Cette thèse est consacrée à l'étude des aspects linéaires et non-linéaires des équations de type Schrödinger [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] Quand $sigma = 2$, il s'agit de l'équation de Schrödinger bien connue dans de nombreux contextes physiques tels que la mécanique quantique, l'optique non-linéaire, la théorie des champs quantiques et la théorie de Hartree-Fock. Quand $sigma in (0,2) backslash {1}$, c'est l'équation Schrödinger fractionnaire, qui a été découverte par Laskin (voir par exemple cite{Laskin2000} et cite{Laskin2002}) en lien avec l'extension de l'intégrale de Feynman, des chemins quantiques de type brownien à ceux de Lévy. Cette équation apparaît également dans des modèles de vagues (voir par exemple cite{IonescuPusateri} et cite{Nguyen}). Quand $sigma = 1$, c'est l'équation des demi-ondes qui apparaît dans des modèles de vagues (voir cite{IonescuPusateri}) et dans l'effondrement gravitationnel (voir cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). Quand $sigma = 4$, c'est l'équation Schrödinger du quatrième ordre ou biharmonique introduite par Karpman cite{Karpman} et par Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} pour prendre en compte le rôle de la dispersion du quatrième ordre dans la propagation d'un faisceau laser intense dans un milieu massif avec non-linéarité de Kerr. Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie étudie les estimations de Strichartz pour des équations de type Schrödinger sur des variétés comprenant l'espace plat euclidien, les variétés compactes sans bord et les variétés asymptotiquement euclidiennes. Ces estimations de Strichartz sont utiles pour l'étude de l'équations dispersives non-linéaire à régularité basse. La seconde partie concerne l'étude des aspects non-linéaires tels que les caractères localement puis globalement bien posés sous l'espace d'énergie, ainsi que l'explosion de solutions peu régulières pour des équations non-linéaires de type Schrödinger. [...] / This dissertation is devoted to the study of linear and nonlinear aspects of the Schrödinger-type equations [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] When $sigma = 2$, it is the well-known Schrödinger equation arising in many physical contexts such as quantum mechanics, nonlinear optics, quantum field theory and Hartree-Fock theory. When $sigma in (0,2) backslash {1}$, it is the fractional Schrödinger equation, which was discovered by Laskin (see e.g. cite{Laskin2000} and cite{Laskin2002}) owing to the extension of the Feynman path integral, from the Brownian-like to Lévy-like quantum mechanical paths. This equation also appears in the water waves model (see e.g. cite{IonescuPusateri} and cite{Nguyen}). When $sigma = 1$, it is the half-wave equation which arises in water waves model (see cite{IonescuPusateri}) and in gravitational collapse (see cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). When $sigma =4$, it is the fourth-order or biharmonic Schrödinger equation introduced by Karpman cite {Karpman} and by Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} taking into account the role of small fourth-order dispersion term in the propagation of intense laser beam in a bulk medium with Kerr nonlinearity. This thesis is divided into two parts. The first part studies Strichartz estimates for Schrödinger-type equations on manifolds including the flat Euclidean space, compact manifolds without boundary and asymptotically Euclidean manifolds. These Strichartz estimates are known to be useful in the study of nonlinear dispersive equation at low regularity. The second part concerns the study of nonlinear aspects such as local well-posedness, global well-posedness below the energy space and blowup of rough solutions for nonlinear Schrödinger-type equations.[...]

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La conception de réseaux est un riche sous-domaine de l'optimisation combinatoire ayant de nombreuses applications pratiques. Du point de vue méthodologique, la plupart des problèmes de cette classe sont notoirement difficiles en raison de leur nature combinatoire et de l'interdépendance des décisions qu'ils impliquent. Ce mémoire aborde deux problèmes de conception de réseaux dont les structures respectives posent des défis bien distincts. Tout d'abord, nous examinons un problème déterministe dans lequel un client doit acquérir au prix minimum un certain nombre d'unités d'un produit auprès d'un ensemble de fournisseurs proposant différents coûts fixes et unitaires, et dont les stocks sont limités. Ensuite, nous étudions un problème probabiliste dans lequel une entreprise entrant sur un marché existant cherche, en ouvrant un certain nombre d'installations parmi un ensemble de sites disponibles, à maximiser sa part espérée d'un marché composé de clients maximisant une fonction d'utilité aléatoire. Ces deux problèmes, soit le problème de transport à coût fixe à un puits et le problème d'emplacement d'installations compétitif basé sur les choix, sont étroitement liés au problème du sac à dos et au problème de couverture maximale, respectivement. Nous introduisons de nouvelles reformulations prenant avantage de ces connexions avec des problèmes classiques d'optimisation combinatoire. Dans les deux cas, nous exploitons ces reformulations pour démontrer de nouvelles propriétés théoriques et développer des méthodes de résolution efficaces. Notre nouvel algorithme pour le problème de transport à coûts fixes à un puits domine les meilleurs algorithmes de la littérature, réduisant le temps de résolution des instances de grande taille jusqu'à quatre ordres de grandeur. Une autre contribution notable de ce mémoire est la démonstration que la fonction objectif du problème d'emplacement d'installations compétitif basé sur les choix est sous-modulaire sous n'importe quel modèle de maximisation d’utilité aléatoire. Notre méthode de résolution basée sur la simulation exploite cette propriété et améliore l'état de l'art pour plusieurs groupes d'instances. / Network design is a rich subfield of combinatorial optimization with wide-ranging real-life applications. From a methodological standpoint, most problems in this class are notoriously difficult due to their combinatorial nature and the interdependence of the decisions they involve. This thesis addresses two network design problems whose respective structures pose very distinct challenges. First, we consider a deterministic problem in which a customer must acquire at the minimum price a number of units of a product from a set of vendors offering different fixed and unit costs and whose supply is limited. Second, we study a probabilistic problem in which a firm entering an existing market seeks, by opening a number of facilities from a set of available locations, to maximize its expected share in a market composed of random utility-maximizing customers. These two problems, namely the single-sink fixed-charge-transportation problem and the choice-based competitive facility location problem, are closely related to the knapsack problem and the maximum covering problem, respectively. We introduce novel model reformulations that leverage these connections to classical combinatorial optimization problems. In both cases, we exploit these reformulations to prove new theoretical properties and to develop efficient solution methods. Our novel algorithm for the single-sink fixed-charge-transportation problem dominates the state-of-the-art methods from the literature, reducing the solving time of large instances by up to four orders of magnitude. Another notable contribution of this thesis is the demonstration that the objective function of the choice-based competitive facility location problem is submodular under any random utility maximization model. Our simulation-based method exploits this property and achieves state-of-the-art results for several groups of instances.

La résolution de problème est souvent utilisée comme outil de mesure des capacités cognitives individuelles chez les animaux non-humains, puisqu’elle permet d’étudier leurs capacités d’apprentissage opérant et d’innovation. Les capacités cognitives diffèrent selon les espèces et les individus, et leur permettent de maximiser leur aptitude. Par exemple, chez les oiseaux et les mammifères, les espèces avec de plus gros cerveaux relatifs possèderaient de meilleures capacités d’apprentissage sociale et d’innovation, qui leur permettent de mieux s’adapter à un environnement nouveau. Malgré l’utilisation répandue des diamants mandarins dans la recherche en écologie comportementale, l’impact du sexe sur la performance de résolution de problème et la répétabilité des performances ont souvent été négligés, et aucune étude, à notre connaissance, ne s’est intéressée à leur performance en contexte de résolution de problème coopérative. Dans le cadre de notre étude, nous avons décidé d’aborder ces différents aspects pour améliorer notre compréhension des capacités cognitives et de la coopération chez cette espèce modèle. Nous avons confronté des diamants mâles et femelles à trois tests de résolution de problème individuelle (test de la ficelle, test de la barre et test du couvercle) et un test de résolution de problème coopérative. Pour ce dernier, nous avons séparé les individus en deux groupes : couples sociaux et couples expérimentaux, afin de manipuler le lien social entre individus. Les couples sociaux étaient composés d’un mâle et d’une femelle ayant cohabité pendant 7 jours, alors que les couples expérimentaux étaient composés d’un mâle et d’une femelle ne s’étant jamais rencontrés auparavant. Bien que nous nous attendions à ce que le sexe n’ait pas d’impact sur la performance de résolution, nos résultats ont révélé que, en moyenne, les mâles étaient plus rapides pour résoudre un test de résolution de problème individuelle. Ces résultats étaient principalement attribuables à leur performance sur le deuxième test de résolution de problème individuelle (test de la barre). Nous pensons que cette différence pourrait être due à un niveau de persistance plus élevé chez les mâles et/ou à l’impact de la sélection sexuelle sur les performances cognitives, et que ces aspects devraient être davantage explorés dans de futures études. Ensuite, en accord avec nos attentes, nos résultats ont confirmé l’hypothèse de la répétabilité contextuelle, selon laquelle les performances de résolution sont constantes entre différentes tâches impliquant le même processus cognitif. Enfin, nous nous attendions à ce que les couples sociaux soient plus performants que les couples expérimentaux sur le test de résolution de problème coopérative, puisque nous les pensions davantage capables de synchronisation et de coordination comportementale. Or, nous avons trouvé des résultats suggérant le contraire, et nous avons constaté que la performance du couple au test de résolution de problème coopérative, était principalement expliquée par les performances de résolution individuelle de chaque partenaire. Des questions subsistent quant aux raisons pour lesquelles les couples expérimentaux ont mieux performé que les couples sociaux. Est-ce qu’une différence de motivation pourrait être à l’origine de ces résultats ? De futures études seront nécessaires pour nous éclairer. Malgré les questions en suspens, nos résultats contribuent à enrichir nos connaissances sur les capacités cognitives individuelles, la résolution de problème ainsi que la coopération. / Problem solving is often used as a tool for measuring individual cognitive abilities in non-human animals, since it enables us to study their operant learning and innovation capacities. Cognitive capacities differ between species and individuals, enabling them to maximize their abilities. For example, in birds and mammals, species with larger relative brains are said to have better social learning and innovation capacities, enabling them to adapt better to new environments. Despite the widespread use of zebra finches in behavioral ecology research, the impact of sex on problem-solving performance and the repeatability of performance have often been overlooked and, to our knowledge, no studies have investigated their performance in cooperative problem-solving contexts. In our study, we decided to address these different aspects to improve our understanding of cognitive abilities and cooperation in this model species. We tested male and female zebra finches in three individual problem-solving tests (string test, bar test and lid test) and one cooperative problem-solving test. For the latter, we separated the individuals into two groups: social pairs and experimental pairs, to manipulate the social bond between individuals. Social pairs were made up of a male and a female who had cohabited for 7 days, while experimental pairs were made up of a male and a female who had never met before. While we expected sex to have no impact on solving performance, our results revealed that, on average, males were faster at solving individual problem-solving tests. These results were mainly attributable to their performance on the second individual problem-solving test (bar test). We believe that this difference could be attributable to a higher level of persistence in males and/or the impact of sexual selection on cognitive performance, and that these aspects should be explored in future studies. Secondly, in line with our expectations, our results confirmed the contextual repeatability hypothesis, according to which solving performance is consistent across trials requiring the same cognitive process. Finally, we expected social pairs to perform better than experimental pairs on the cooperative problem-solving test, since we expected them to be more capable of synchronisation and behavioral coordination. . However, we found results suggesting the opposite, and the performance of the pairs on the cooperative problem-solving task was mainly explained by the ability of each partner to solve a problem. Questions remain as to why the experimental pairs performed better than the social pairs. Could a difference in motivation be behind these results? Future studies are needed to shed light on this. Despite the outstanding questions, we believe that our results contribute to our knowledge of individual cognitive abilities, problem solving and cooperation.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles et de méthodes numériques pour les écoulements diphasiques compressibles à faible nombre de Mach. Toutes les méthodes numériques développées dans cette étude sont basées sur une formulation de type volumes finis en maillages non structurés. La première partie de cette thèse propose une analyse du comportement des schémas décentrés de type Godunov dans la limite des faibles nombres de Mach. Nous expliquons de manière rigoureuse les raisons pour lesquelles ces schémas aboutissent à des approximations imprécises lorsque les écoulements sont très proches de l'incompressible. Nous développons alors des méthodes de préconditionnement adaptées qui permettent de retrouver de bonnes approximations. Ce premier travail complète un certain nombre de travaux récents sur l'analyse des schémas décentrés dans la limite des faibles nombres de Mach. Le deuxième point abordé dans cette thèse est un travail de modélisation où nous développons à partir d'un modèle bi-fluides à sept équations de type Baer-Nunziato, un modèle réduit à cinq équations pour les écoulements diphasiques. Ce travail présente une méthode originale de réduction de systèmes hyperboliques avec termes sources raides. Nous développons pour ce modèle un schéma numérique implicite et suivant la stratégie utilisée dans la première partie de cette thèse, une technique de préconditionnement adaptée aux écoulements à faible vitesse. Les expériences numériques réalisées montrent que ce modèle est bien adapté au calcul d'ondes de détonations ainsi qu'à la simulation d'interfaces entre fluides compressibles. Enfin la dernière partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle à sept équations pour le calcul d'écoulements diphasiques à faible nombre de Mach. On développe des méthodes numériques implicites basées sur des solveurs de Riemann approchés, permettant de réduire les coûts de calcul pour ce type de régime.

L'idée d'utiliser des bases d'ondelettes dans l'analyse numérique (résolution des équations elliptiques, aux dérivées partielles, intégrales) s'est imposée depuis que ces bases ont fait preuve de leur efficacité dans le traitement du signal. Deux problèmes se posent quant au calcul de la solution dans une base d'ondelettes : - problème 1 : l'étude de la structure de la matrice associée à un noyau K d'un opérateur intégral T dans une base d'ondelettes ; - problème 2 : l'adaptation des techniques de discrétisation de Galerkin aux bases d'ondelettes. Cette thèse contribue à l'étude de ces problèmes par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs définis par leur matrice représentative dans une base d'ondelettes et caractérisés par les dérivées fractionnaires de leurs noyaux.

Les Interfaces Cerveau-Machine sont des dispositifs permettant d'instaurer un canal de communication entre le cerveau humain et le monde extérieur sans utiliser les voies usuelles nerveuses et musculaires. Le développement de tels systèmes se situe à l'interface entre le traitement du signal, l'apprentissage statistique et la neurophysiologie. Dans cette thèse, nous avons réalisé et étudié un dispositif d'Interface Cerveau-Machine non invasif asynchrone, c'est-à-dire capable d'identifier des actions mentales associées à des tâches motrices ou cognitives imaginées sans synchronisation sur un événement contrôlé par un système externe. Celui-ci est basé sur l'analyse en temps réel de signaux électro-encéphalographiques (EEG) issus d'électrodes disposées à la surface de la tête d'un sujet humain. Du point de vue méthodologique, nous avons implémenté plusieurs techniques de prétraitement de ces signaux et comparé leur influence sur les performances du système. Ces techniques comprennent : 1) l'utilisation directe du signal issu des capteurs EEG, 2) l'exploitation de méthodes de séparation de sources qui permettent de résumer les signaux EEG par un faible nombre de composantes spatiales et 3) la reconstruction de l'activité des sources de courant corticales par résolution du problème inverse en EEG. De plus, plusieurs mesures permettant de quantifier l'activité cérébrale sont exploitées et comparées : la puissance spectrale, la cohérence et la synchronie de phase. Nos résultats montrent que la reconstruction préalable de l'activité corticale par problème inverse, ainsi que l'utilisation de mesures d'interaction à distance permettent d'améliorer les performances du dispositif.

La géophysique interne est une discipline riche en enseignements sur la structure de la Terre à différentes échelles, et sur les phénomènes passés liés à sa lente évolution. Elle constitue de plus un enjeu présent et d'avenir de première importance dans notre société, à l'heure où les ressources de toutes sortes se font de plus en plus rares, et dans le cadre d'une meilleure gestion de l'aménagement du territoire. La méthode d'inversion des formes d'ondes complètes, fondée sur un processus d'optimisation local, se distingue des autres méthodes d'imagerie sismique par sa vocation à extraire de manière aussi complète que possible l'intégralité de l'information sismique, afin de construire une image quantitative haute résolution d'un ou plusieurs paramètres physiques. Je discute dans ma thèse de plusieurs problématiques liées à cette méthode, en les illustrant par des applications à des données multicomposantes enregistrées par des câbles de fond de mer (OBC) sur le champ pétrolier de Valhall en mer du nord. Je discute tout d'abord de l'empreinte de l'anisotropie engendrée par des milieux transverses isotropes à axe de symétrie vertical sur les données du champ de Valhall. J'illustre cette empreinte sur les résultats de l'imagerie en comparant les modèles du sous-sol obtenus lorsque l'anisotropie est prise en compte ou pas dans la modélisation sismique. Je mets en évidence un biais dans les vitesses reconstruites par une méthode d'inversion isotrope, ce biais induisant un mauvais positionnement des réflecteurs en profondeur. %Les vitesses n'ont pas la même signification près de la surface et en profondeur, où elles sont représentatives des vitesses horizontales et NMO respectivement. J'aborde ensuite le problème de la construction du modèle initial nécessaire à l'inversion des formes d'ondes à partir de données à grands déports. L'approche sélectionnée est une extension de la stéréotomographie, une méthode de tomographie de pente, où les attributs temps de trajet+pente des ondes réfractées et réfléchies sont inversées au sein d'un algorithme hiérarchique multi-échelle. Le potentiel de la méthode est discuté à partir d'un cas synthétique représentatif du champ pétrolier de Valhall, avant l'application aux données réelles du champ de Valhall.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de type détection à l'aide du calcul de forme et de l'analyse asymptotique : l'objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d'une mesure effectuée à la surface du fluide ? Peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? Peut-on connaître le nombre d'objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ? Pour répondre à ces questions, le problème inverse est analysé comme un problème d'optimisation en minimisant une fonctionnelle coût, la variable étant la forme inconnue. Deux différentes approches sont considérées dans ce travail : l'optimisation géométrique (à l'aide des dérivées de forme et du gradient de forme) et l'optimisation topologique (à l'aide d'un développement asymptotique et du "gradient" topologique). Dans un premier temps, un cadre mathématique est mis en place pour démontrer l'existence des dérivées de forme d'ordre un et deux pour les problèmes de détection d'inclusions. Le problème inverse considéré est ensuite analysé à l'aide de l'optimisation géométrique de forme : un résultat d'identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l'instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée. Ces résultats théoriques sont alors utilisés pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient régularisé par une méthode de projection. Enfin, la localisation de petites inclusions dans un fluide est étudiée à l'aide de l'optimisation topologique pour une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius. L'expression théorique de la dérivée topologique est finalement utilisée pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient topologique. Les limites effectives de cette approche sont explorées : la pénétration reste faible dans ce problème stationnaire.