Le développement de sources cohérentes de rayons X offre de nouvelles possibilités pour visualiser les structures biologiques à différentes échelles en exploitant la réfraction des rayons X. La cohérence des sources synchrotron de troisième génération permettent des implémentations efficaces des techniques de contraste de phase. Une des premières mesures des variations d’intensité dues au contraste de phase a été réalisée en 1995 à l’Installation Européenne de Rayonnement Synchrotron (ESRF). L’imagerie de phase couplée à l’acquisition tomographique permet une imagerie tridimensionnelle avec une sensibilité accrue par rapport à la tomographie standard basée sur absorption. Cette technique est particulièrement adaptée pour les échantillons faiblement absorbante ou bien présentent des faibles différences d’absorption. Le contraste de phase a ainsi une large gamme d’applications, allant de la science des matériaux, à la paléontologie, en passant par la médecine et par la biologie. Plusieurs techniques de contraste de phase aux rayons X ont été proposées au cours des dernières années. Dans la méthode de contraste de phase basée sur le phénomène de propagation l’intensité est mesurée pour différentes distances de propagation obtenues en déplaçant le détecteur. Bien que l’intensité diffractée puisse être acquise et enregistrée, les informations de phase du signal doivent être "récupérées" à partir seulement du module des données mesurées. L’estimation de la phase est donc un problème inverse non linéaire mal posé et une connaissance a priori est nécessaire pour obtenir des solutions stables. Si la plupart de méthodes d’estimation de phase reposent sur une linéarisation du problème inverse, les traitements non linéaires ont été eux très peu étudiés. Le but de ce travail était de proposer et d’évaluer des nouveaux algorithmes, prenant en particulier en compte la non linéarité du problème direct. Dans la première partie de ce travail, nous présentons un schéma de type Landweber non linéaire itératif pour résoudre le problème de la récupération de phase. Cette approche utilise l’expression analytique de la dérivée de Fréchet de la relation phase-intensité et de son adjoint. Nous étudions aussi l’effet des opérateurs de projection sur les propriétés de convergence de la méthode. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions la résolution du problème inverse linéaire avec un algorithme en coordonnées ondelettes basé sur un seuillage itératif. Par la suite, les deux algorithmes sont combinés et comparés avec une autre approche non linéaire basée sur une régularisation parcimonieuse et un algorithme de point fixe. Les performances des algorithmes sont évaluées sur des données simulées pour différents niveaux de bruit. Enfin, les algorithmes ont été adaptés pour traiter des données réelles acquises en tomographie de phase à l’ESRF à Grenoble. / The development of highly coherent X-ray sources offers new possibilities to image biological structures at different scales exploiting the refraction of X-rays. The coherence properties of the third-generation synchrotron radiation sources enables efficient implementations of phase contrast techniques. One of the first measurements of the intensity variations due to phase contrast has been reported in 1995 at the European Synchrotron Radiation Facility (ESRF). Phase imaging coupled to tomography acquisition allows threedimensional imaging with an increased sensitivity compared to absorption CT. This technique is particularly attractive to image samples with low absorption constituents. Phase contrast has many applications, ranging from material science, paleontology, bone research to medicine and biology. Several methods to achieve X-ray phase contrast have been proposed during the last years. In propagation based phase contrast, the measurements are made at different sample-to-detector distances. While the intensity data can be acquired and recorded, the phase information of the signal has to be "retrieved" from the modulus data only. Phase retrieval is thus an illposed nonlinear problem and regularization techniques including a priori knowledge are necessary to obtain stable solutions. Several phase recovery methods have been developed in recent years. These approaches generally formulate the phase retrieval problem as a linear one. Nonlinear treatments have not been much investigated. The main purpose of this work was to propose and evaluate new algorithms, in particularly taking into account the nonlinearity of the direct problem. In the first part of this work, we present a Landweber type nonlinear iterative scheme to solve the propagation based phase retrieval problem. This approach uses the analytic expression of the Fréchet derivative of the phase-intensity relationship and of its adjoint, which are presented in detail. We also study the effect of projection operators on the convergence properties of the method. In the second part of this thesis, we investigate the resolution of the linear inverse problem with an iterative thresholding algorithm in wavelet coordinates. In the following, the two former algorithms are combined and compared with another nonlinear approach based on sparsity regularization and a fixed point algorithm. The performance of theses algorithms are evaluated on simulated data for different noise levels. Finally the algorithms were adapted to process real data sets obtained in phase CT at the ESRF at Grenoble.

La reconstruction en tomographie discrète de la microstructure de l’os joue un role très important pour le diagnostic de l’ostéoporse, une maladie des os très fréquente. Le diagnostic clinique est basé sur l’absortiométrie duale de rayons X. Avec la tomographie de rayons X, une résolution spatiale élevée avec des images reconstruites in vivo requiert une dose d’irradiation élevée et un temps de balayage long, ce qui est dangereux pour le patient. Une des méthodes pour résoudre ce problème est de limiter le nombre de projections. Cependant, avec cette méthode le problème de reconstruction devient mal posé. Deux types de régularisation par Variation Totale minimisées avec la méthode Alternate Direction of Minimization Method (ADMM) et deux schémas basés sur les méthodes de régularisation Level-set sont appliquées à deux images d’os expérimentales acquises avec un synchrotron (pixel size: 15 μm). Des images de tailles variées et avec différents niveaux de bruit Gaussien additifs ajoutés aux projections sont utlisées pour étudier l’efficacité des méthodes de régularisation. Des minima locaux sont obtenus avec ces méthodes déterministes. Une approche globale d’optimisation est nécessaire pour améliorer les résultats. Des perturbations stochastiques peuvent être un moyen très utile pour échapper aux minima locaux. Dans une première approche, une équation différentielle stochastique basée sur la régularisation level-set est étudiée. Cette méthode améliore les résultats de reconstruction mais ne modifie que les frontières entre les régions 0 et 1. Ensuite une équation aux dérivées partielles stochastique est obtenue avec la régularisation TV pour améliorer la méthode stochastique level-set. A la fin de notre travail, nous avons étendu la méthode de régularisation à des images 3D avec des données réelles. Cette algorithme a été implémenté avec RTK. Nous avons aussi étendu l’approche level-set utilisée pour la tomographie binaire au cas multi-level. / Discrete tomography reconstruction of bone microstructure is important in diagnosis of osteoporosis. One way to reduce the radiation dose and scanning time in CT imaging is to limit the number of projections. This method makes the reconstruction problem highly ill-posed. A common solution is to reconstruct only a finite number of intensity levels. In this work, we investigate only binary tomography reconstruction problem. First, we consider variational regularization methods. Two types of Total Variation (TV) regularization approaches minimized with the Alternate Direction of Minimization Method (ADMM) and two schemes based on Level-set (LS) regularization methods are applied to two experimental bone cross-section images acquired with synchrotron micro-CT. The numerical experiments have shown that good reconstruction results were obtained with TV regularization methods and that level-set regularization outperforms the TV regularization for large bone image with complex structures. Yet, for both methods, some reconstruction errors are still located on the boundaries and some regions are lost when the projection number is low. Local minima were obtained with these deterministic methods. Stochastic perturbations is a useful way to escape the local minima. As a first approach, a stochastic differential equation based on level-set regularization was studied. This method improves the reconstruction results but only modifies the boundaries between the 0 and 1 regions. Then partial stochastic differential equation obtained with the TV regularization semi-norm were studied to improve the stochastic level-set method. The random change of the boundary are performed in a new way with the gradient or wavelet decomposition of the reconstructed image. Random topological changes are included to find the lost regions in the reconstructed images. At the end of our work, we extended the TV regularization method to 3D images with real data on RTK (Reconstruction Toolkit). And we also extended the level-set to the multi-level cases.

La caméra Compton est un dispositif permettant d’imager les sources de rayonnement gamma. Ses avantages sont sa sensibilité (absence de collimateur mécanique) et la possibilité de reconstruire des images 3D avec un dispositif immobile. Elle également adaptée pour des sources à large spectre énergétique. Ce dispositif est un candidat prometteur en médecine nucléaire et en hadronthérapie. Ces travaux, financés par le projet européen ENVISION (European NoVel Imaging Systems for ION therapy) Coopération-FP7, portent sur le développement de méthodes de reconstruction d’images pour la caméra Compton pour la surveillance de la thérapie par ions. Celle-ci nécessite idéalement une reconstruction temps réel avec une précision millimétrique, même si le nombre de données acquises est relativement faible. Nous avons développé des méthodes analytiques et itératives. Leurs performances sont analysées dans le contexte d’acquisitions réalistes (géométrie de la caméra, nombre d’événements). Nous avons développé une méthode analytique de rétroprojection filtrée. Cette méthode est rapide mais nécessite beaucoup de données. Nous avons également développé des méthodes itératives utilisant un algorithme de maximisation de la fonction de vraisemblance. Nous avons proposé un modèle probabiliste pour l’estimation des éléments de la matrice système nécessaire à la reconstruction et nous avons développé différentes approches pour le calcul de ses éléments : l’une néglige les incertitudes de mesure sur l’énergie, l’autre les prend en compte en utilisant une distribution gaussienne. Nous avons étudié une méthode simplifiée utilisant notre modèle probabiliste. Plusieurs reconstructions sont menées à partir de données simulées, obtenues avec Geant4, mais provenant aussi de plusieurs prototypes simulés de caméra Compton proposés par l’Institut de Physique Nucléaire de Lyon (IPNL) et par le Centre de recherche de Dresde-Rossendorf en Allemagne. Les résultats sont prometteurs et des études plus poussées, à partir de données encore plus réalistes, viseront à les confirmer. / The Compton camera is a device for imaging gamma radiation sources. The advantages of the system lie in its sensitivity, due to the absence of mechanical collimator, and the possibility of imaging wide energy spectrum sources. These advantages make it a promising candidate for application in hadrontherapy. Funded by the european project ENVISION, FP7-Cooperation Work Program, this work deals with the development of image reconstruction methods for the Compton camera. We developed both analytical and iterative methods in order to reconstruct the source from cone-surface projections. Their performances are analyzed with regards to the context (geometry of the camera, number of events). We developped an analytical method using a Filtered BackProjection (FBP) formulation. This method is fast but really sensitive to the noise. We have also developped iterative methods using a List Mode-Maximum Likelihood Expectation Maximization (LM-MLEM) algorithm. We proposed a new probabilistic model for the computation of the elements of the system matrix and different approaches for the calculation of these elements neglecting or not the measurement uncertainties. We also implemented a simplified method using the probabilistic model we proposed. The novelty of the method also lies on the specific discretization of the cone-surface projections. Several studies are carried out upon the reconstructions of simulated data worked out with Geant4, but also simulated data obtained from several prototypes of Compton cameras under study at the Institut de Physique Nucléaire de Lyon (IPNL) and at the Research Center of Dresden-Rossendorf. Results are promising, and further investigations on more realistic data are to be done.

La problématique de cette thèse concerne la reconstruction statistique itérative 3D de l'arbre coronaire, à partir d'un nombre très réduit d'angiogrammes coronariens (5 images). Pendant un examen rotationnel d'angiographie RX, seules les projections correspondant à la même phase cardiaque sont sélectionnées afin de vérifier la condition de non variabilité spatio-temporelle de l'objet à reconstruire (reconstruction statique). Le nombre restreint de projections complique cette reconstruction, considérée alors comme un problème inverse mal posé. La résolution d'un tel problème nécessite une procédure de régularisation. Pour ce faire, nous avons opté pour le formalisme bayésien en considérant la reconstruction comme le champ aléatoire maximisant la probabilité a posteriori (MAP), composée d'un terme quadratique de vraisemblance (attache aux données) et un a priori de Gibbs (à priori markovien basé sur une interprétation partielle de l'objet à reconstruire). La maximisation MAP adoptant un algorithme d'optimisation numérique nous a permis d'introduire une contrainte de lissage avec préservation de contours des reconstructions en choisissant adéquatement les fonctions de potentiel associées à l'énergie à priori. Dans ce manuscrit, nous avons discuté en détail des trois principales composantes d'une reconstruction statistique MAP performante, à savoir (1) l'élaboration d'un modèle physique précis du processus d'acquisition, (2) l'adoption d'un modèle à priori approprié et (3) la définition d'un algorithme d'optimisation itératif efficace. Cette discussion nous a conduit à proposer deux algorithmes itératifs MAP, MAP-MNR et MAP-ARTUR-GC, que nous avons testés et évalués sur des données simulées réalistes (données patient issues d'une acquisition CT- 64 multi-barrettes). / The problematic of this thesis concerns the statistical iterative 3D reconstruction of coronary tree from a very few number of coronary angiograms (5 images). During RX rotational angiographic exam, only projections corresponding to the same cardiac phase are selected in order to check the condition of space and time non-variability of the object to reconstruct (static reconstruction). The limited number of projections complicates the reconstruction, considered then as an illness inverse problem. The answer to a similar problem needs a regularization process. To do so, we choose baysian formalism considering the reconstruction as a random field maximizing the posterior probability (MAP), composed by quadratic likelihood terms (attached to data) and Gibbs prior (prior markovian based on a partial interpretation of the object to reconstruct). The MAP maximizing allowed us using a numerical optimization algorithm, to introduce a smoothing constraint and preserve the edges on the reconstruction while choosing wisely the potential functions associated to prior energy. In this paper, we have discussed in details the three components of efficient statistical reconstruction MAP, which are : 1- the construction of precise physical model of acquisition process; 2- the selection of an appropriate prior model; and 3- the definition of an efficient iterative optimization algorithm. This discussion lead us to propose two iterative algorithms MAP, MAP-MNR and MAP-ARTUR-GC, which we have tested and evaluated on realistic simulated data (Patient data from 64-slice CT).

Ce travail a pour objectif de développer et d’appliquer une méthode originale permettant de simuler l’écoulement dans un milieu poreux fracturé. Cette méthode repose sur une approche multicouches double continuum permettant de séparer le comportement des différents aquifères présents sur un site. La résolution des écoulements, basée sur la méthode des Eléments Finis de Crouzeix-Raviart, est associée à une méthode inverse (minimisation de type Quasi-Newton combinée à la méthode de l’état adjoint) et à une paramétrisation multi-échelle.La méthode est appliquée dans un premier temps sur l’aquifère fracturé du site expérimental de Poitiers. Les résultats montrent une bonne restitution du comportement de l’aquifère et aboutissent à des champs de transmissivité plus réguliers par rapport à ceux de l’approche simple continuum. L’application finale est réalisée sur le site de Cadarache (taille plus importante et données d’entrée moins denses). Le calage des deux aquifères présents sur le site est satisfaisant et montre que ceux-ci se comportent globalement de façon indépendante. Ce calage pourra être amélioré localement grâce à données de recharge plus fines. / The aim of this study is to develop and validate a new method for the simulation of flow in fractured porous media. This method is based on a multi-layered and dual continuum approach allowing to discriminate the behavior of different aquifers present on a site. The flow equations are solved using a Crouzeix-Raviart Finite Element method, in association with an inverse method (Quasi-Newton minimization combined with the adjoint state method) and a multi-scale parameterization.The method is first applied and validated on the fractured aquifer of the Hydrogeological Experimental Site of Poitiers. The results closely reproduce the flow behavior of the aquifer and lead to a transmissivity field much more homogeneous than the one obtained with a simple continuum approach. The final application is performed on the site of Cadarache (large scale problem with heterogeneously distributed input data). The model calibration of both aquifers is rather satisfactory and shows that their behavior is globally independent. It could locally be improved if more accurate groundwater recharge data is made available.

Cette thèse aborde deux thématiques différentes. On s’intéresse d’abord au développement et à l’analyse de méthodes pour le sens électrique appliqué à la robotique. On considère en particulier la méthode des réflexions permettant, à l’image de la méthode de Schwarz, de résoudre des problèmes linéaires à partir de sous-problèmes plus simples. Ces deniers sont obtenus par décomposition des frontières du problème de départ. Nous en présentons des preuves de convergence et des applications. Dans le but d’implémenter un simulateur du problème direct d’électrolocation dans un robot autonome, on s’intéresse également à une méthode de bases réduites pour obtenir des algorithmes peu coûteux en temps et en place mémoire. La seconde thématique traite d’un problème inverse dans le domaine de la chimie quantique. Nous cherchons ici à déterminer les caractéristiques d’un système quantique. Celui-ci est éclairé par un champ laser connu et fixé. Dans ce cadre, les données du problème inverse sont les états avant et après éclairage. Un résultat d’existence locale est présenté, ainsi que des méthodes de résolution numériques. / This thesis tackle two different topics.We first design and analyze algorithms related to the electrical sense for applications in robotics. We consider in particular the method of reflections, which allows, like the Schwartz method, to solve linear problems using simpler sub-problems. These ones are obtained by decomposing the boundaries of the original problem. We give proofs of convergence and applications. In order to implement an electrolocation simulator of the direct problem in an autonomous robot, we build a reduced basis method devoted to electrolocation problems. In this way, we obtain algorithms which satisfy the constraints of limited memory and time resources. The second topic is an inverse problem in quantum chemistry. Here, we want to determine some features of a quantum system. To this aim, the system is ligthed by a known and fixed Laser field. In this framework, the data of the inverse problem are the states before and after the Laser lighting. A local existence result is given, together with numerical methods for the solving.

Cette thèse se décompose en quatre parties auxquelles s'ajoute une présentation. Dans un premier temps, on expose les outils mathématiques essentiels à la compréhension des prochains chapitres. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à la régression non paramétrique locale pour des données fonctionnelles appartenant à un espace de Hilbert. On propose, tout d'abord, un estimateur de l'opérateur de régression. La construction de cet estimateur est liée à la résolution d'un problème inverse linéaire. On établit des bornes de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur de l'opérateur de régression en utilisant une décomposition classique. Cette EQM dépend de la fonction de petite boule de probabilité du régresseur au sujet de laquelle des hypothèses de type Gamma-variation sont posées. Dans le chapitre suivant, on reprend le travail élaboré dans le précédent chapitre en se plaçant dans le cadre de données fonctionnelles appartenant à un espace semi-normé. On établit des bornes de l'EQM de l'estimateur de l'opérateur de régression. Cette EQM peut être vue comme une fonction de la fonction de petite boule de probabilité. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse à l'estimation de la fonction auxiliaire associée à la fonction de petite boule de probabilité. D'abord, on propose un estimateur de cette fonction auxiliare. Ensuite, on établit la convergence en moyenne quadratique et la normalité asymptotique de cet estimateur. Enfin, par des simulations, on étudie le comportement de de cet estimateur au voisinage de zéro. / This thesis is divided in four sections with an additionnal presentation. In the first section, We expose the essential mathematics skills for the comprehension of the next sections. In the second section, we adress the problem of local non parametric with functional inputs. First, we propose an estimator of the unknown regression function. The construction of this estimator is related to the resolution of a linear inverse problem. Using a classical method of decomposition, we establish a bound for the mean square error (MSE). This bound depends on the small ball probability of the regressor which is assumed to belong to the class of Gamma varying functions. In the third section, we take again the work done in the preceding section by being situated in the frame of data belonging to a semi-normed space with infinite dimension. We establish bound for the MSE of the regression operator. This MSE can be seen as a function of the small ball probability function. In the last section, we interest to the estimation of the auxiliary function. Then, we establish the convergence in mean square and the asymptotic normality of the estimator. At last, by simulations, we study the bahavour of this estimator in a neighborhood of zero.

Le problème de restauration d'images dégradées par des flous variables connaît un attrait croissant et touche plusieurs domaines tels que l'astronomie, la vision par ordinateur et la microscopie à feuille de lumière où les images sont de taille un milliard de pixels. Les flous variables peuvent être modélisés par des opérateurs intégraux qui associent à une image nette u, une image floue Hu. Une fois discrétisé pour être appliqué sur des images de N pixels, l'opérateur H peut être vu comme une matrice de taille N x N. Pour les applications visées, la matrice est stockée en mémoire avec un exaoctet. On voit apparaître ici les difficultés liées à ce problème de restauration des images qui sont i) le stockage de ce grand volume de données, ii) les coûts de calculs prohibitifs des produits matrice-vecteur. Ce problème souffre du fléau de la dimension. D'autre part, dans beaucoup d'applications, l'opérateur de flou n'est pas ou que partialement connu. Il y a donc deux problèmes complémentaires mais étroitement liés qui sont l'approximation et l'estimation des opérateurs de flou. Cette thèse a consisté à développer des nouveaux modèles et méthodes numériques permettant de traiter ces problèmes. / The restoration of images degraded by spatially varying blurs is a problem of increasing importance. It is encountered in many applications such as astronomy, computer vision and fluorescence microscopy where images can be of size one billion pixels. Variable blurs can be modelled by linear integral operators H that map a sharp image u to its blurred version Hu. After discretization of the image on a grid of N pixels, H can be viewed as a matrix of size N x N. For targeted applications, matrices is stored with using exabytes on the memory. This simple observation illustrates the difficulties associated to this problem: i) the storage of a huge amount of data, ii) the prohibitive computation costs of matrix-vector products. This problems suffers from the challenging curse of dimensionality. In addition, in many applications, the operator is usually unknown or only partially known. There are therefore two different problems, the approximation and the estimation of blurring operators. They are intricate and have to be addressed with a global overview. Most of the work of this thesis is dedicated to the development of new models and computational methods to address those issues.

Cette thèse se consacre aux garanties de reconstruction et de l'analyse de sensibilité de régularisation variationnelle pour des problèmes inverses linéaires bruités. Il s'agit d'un problème d'optimisation convexe combinant un terme d'attache aux données et un terme de régularisation promouvant des solutions vivant dans un espace dit de faible complexité. Notre approche, basée sur la notion de fonctions partiellement lisses, permet l'étude d'une grande variété de régularisations comme par exemple la parcimonie de type analyse ou structurée, l'antiparcimonie et la structure de faible rang. Nous analysons tout d'abord la robustesse au bruit, à la fois en termes de distance entre les solutions et l'objet original, ainsi que la stabilité de l'espace modèle promu. Ensuite, nous étudions la stabilité de ces problèmes d'optimisation à des perturbations des observations. À partir d'observations aléatoires, nous construisons un estimateur non biaisé du risque afin d'obtenir un schéma de sélection de paramètre.