Cette thèse préparée au CEA Leti, Minatec Campus, Grenoble, et à l’IMS, Bordeaux, s’inscrit dans le thème du traitement de l’information pour des données protéomiques. Nous cherchons à reconstruire des profils protéiques à partir des données issues de chaînes d’analyse complexes associant chromatographie liquide et spectrométrie de masse. Or, les signaux cibles sont des mesures de traces peptidiques qui sont de faible niveau dans un environnement très complexe et perturbé. Ceci nous a conduits à étudier des outils statistiques adaptés. Ces perturbations peuvent provenir des instruments de mesure (variabilité technique) ou des individus (variabilité biologique). Le modèle hiérarchique de l’acquisition des données permet d’inclure ces variabilités explicitement dans la modélisation probabiliste directe. La mise en place d’une méthodologie problèmes inverses permet ensuite d’estimer les grandeurs d’intérêt. Dans cette thèse, nous avons étudié trois types de problèmes inverses associés aux opérations suivantes: 1. la quantification de protéines cibles, vue comme l’estimation de la concentration protéique, 2. l’apprentissage supervisé à partir d’une cohorte multi-classe, vu comme l’estimation des paramètres des classes, et 3. la classification à partir des connaissances sur les classes, vue comme l’estimation de la classe à laquelle appartient un nouvel échantillon.La résolution des problèmes inverses se fait dans le cadre des méthodes statistiques bayésiennes, en ayant recours pour les calculs numériques aux méthodes d’échantillonnage stochastique (Monte Carlo Chaîne de Markov). / This thesis has been prepared at the CEA Leti, Minatec Campus, (Grenoble, France) and the IMS (Bordeaux, France) in the context of information and signal processing of proteomic data. The aim is to reconstruct the proteomic profile from the data provided by complex analytical workflow combining a spectrometer and a chromatograph. The signals are measurements of peptide traces which have low amplitude within a complex and noisy background. Therefore, adapted statistical signal processing methods are required. The uncertainty can be of technical nature (instruments, measurements) or of biological nature (individuals, “patients”). A hierarchical model, describing the forward problem of data acquisition, allows for includingexplicitly those variability sources within the probabilistic model. The use of the inverse problem methodology, finally, leads us to the estimation of the parameters of interest. In this thesis, we have studied three types of inverse problems for the following applications:1. quantification of targeted proteins, seen as estimation of the protein concentration,2. supervised training from a labelled cohort, seen as estimation of distribution parameters for each class,3. classification given the knowledge about the classes, seen as estimation of the class a biological sample belongs to.We solve these inverse problems within a Bayesian framework, resorting to stochastic sampling methods (Monte Carlo Markov Chain) for computation.

Dans cette thèse, on étudie les écoulements oscillatoires en milieux poreux (non saturés ou partiellement saturés) dus à des oscillations tidales des niveaux d'eau dans des milieux ouverts adjacents aux milieux poreux. L'étude est centrée sur le cas des plages de sable en hydrodynamique côtière, mais les applications concernent, potentiellement et plus généralement, les problèmes d'oscillation et de variation temporelle des niveaux d'eau dans des systèmes couplés, lorsque ceux-ci mettent en jeu des interactions entre les écoulements de sub-surface (milieux poreux) et les eaux de surface (milieux ouverts) : plages naturelles et artificielles; digues portuaires; barrages en terre; berges de fleuves; estuaires. Le forçage tidal des écoulements souterrains est représenté et modélisé ici, tant expérimentalement que numériquement, par une oscillation quasi-statique du niveau d'eau dans un réservoir externe ouvert, connecté au domaine poreux. On s'intéresse plus particulièrement aux écoulements verticaux forcés par une pression oscillatoire imposée au bas d'une colonne de sol. Sur le plan expérimental, ce type de forçage est obtenu par une machine à marée équipée d'un arbre rotatif. Au total, on utilise dans ce travail trois types d'approches (expérimentale, numérique, analytique), l'objectif étant d'étudier le mouvement vertical de la surface "libre" et l'écoulement non saturé sus-jacent, de façon à prendre en compte aussi bien les pertes de charge dans la zone saturée que les gradients de pression capillaire dans la zone non saturée. […] / In this thesis, we study hydrodynamic oscillations in porous bodies (unsaturated or partially saturated), due to tidal oscillations of water levels in adjacent open water bodies. The focus is on beach hydrodynamics, but potential applications concern, more generally, time varying and oscillating water levels in coupled systems involving subsurface / open water interactions (natural and artificial beaches, harbor dykes, earth dams, river banks, estuaries). The tidal forcing of groundwater is represented and modeled (both experimentally and numerically) by quasi-static oscillations of water levels in an open water reservoir connected to the porous medium. Specifically, we focus on vertical water movements forced by an oscillating pressure imposed at the bottom of a soil column. Experimentally, a rotating tide machine is used to achieve this forcing. Overall, we use three types of methods (experimental, numerical, analytical) to study the vertical motion of the groundwater table and the unsaturated flow above it, taking into account the vertical head drop in the saturated zone as well as capillary pressure gradients in the unsaturated zone. Laboratory experiments are conducted on vertical sand columns, with a tide machine to force water table oscillations, and with porous cup tensiometers to measure both positive pressures and suctions along the column (among other measurement methods). Numerical simulations of oscillatory water flow are implemented with the BIGFLOW 3D code (implicit finite volumes, with conjugate gradients for the matrix solver and modified Picard iterations for the nonlinear problem). In addition, an automatic calibration based on a genetic optimization algorithm is implemented for a given tidal frequency, to obtain the hydrodynamic parameters of the experimental soil. Calibrated simulations are then compared to experimental results for other non calibrated frequencies. Finally, a family of quasi-analytical multi-front solutions is developed for the tidal oscillation problem, as an extension of the Green-Ampt piston flow approximation, leading to nonlinear, non-autonomous systems of Ordinary Differential Equations with initial conditions (dynamical systems). The multi-front solutions are tested by comparing them with a refined finite volume solution of the Richards equation. Multi-front solutions are at least 100 times faster, and the match is quite good even for a loamy soil with strong capillary effects (the number of fronts required is small, no more than N≈ to 20 at most). A large set of multi-front simulations is then produced in order to analyze water table and flux fluctuations for a broad range of forcing frequencies. The results, analyzed in terms of means and amplitudes of hydrodynamic variables, indicate the existence, for each soil, of a characteristic frequency separating low frequency / high frequency flow regimes in the porous system.

Les objectifs de la thèse sont d’élaborer des systèmes d’instrumentation électronique qui permettent une analyse et un diagnostic fins de l’état d’intégrité et du processus de vieillissement des composants de puissance à semi-conducteur. Ces travaux visent à évaluer la variation de la conductivité de la métallisation à l’aide de capteurs à Courant Foucault (CF) mais aussi à estimer l’effet du vieillissement des puces et de leur assemblage sur la distribution de courant dans les puces afin de mieux comprendre les mécanismes de défaillance. Des éprouvettes simplifiées mais également des modules de puissance représentatifs ont été vieillis par les cyclages thermique. Les capteurs développés ont été utilisés afin, d’une part de suivre le vieillissement, mais aussi d’autre part afin de comprendre l’effet de ce vieillissement sur le comportement des puces de puissance. Un banc d’instrumentation dédié a été élaboré et exploité pour la mesure locale de la conductivité électrique par le capteur à courants de Foucault, et l’estimation de la distribution de courants à partir de la mesure de cartographies de champ magnétique par capteurs de champ, ou à partir de la cartographie de la distribution de tension sur la métallisation de source. Ce banc a permis en premier lieu d’évaluer la pertinence et les performances de différents types de capteurs exploitables. Le travail s’est également appuyé sur des techniques de traitement de signal, à la fois pour estimer de manière quantitative les informations de conductivité des métallisations issues des capteurs à courant de Foucault, mais aussi pour l’analyse de la distribution de courant à partir des informations fournies par des capteurs de champ magnétiques. Les modèles utilisés exploitent des techniques de modélisation comportementale (le modèle approché de « transformateur analogique » modélisant capteurs à CF ou bien d’inversion de modèle semi-analytique dans le cas l’estimation de la distribution de courant). Les résultats obtenus à partir de ces modèles nous permettrons, d’une part de mieux comprendre certains mécanismes de défaillance, mais également de proposer une implantation et des structures de capteurs pour le suivi « in situ » de l’intégrité des composants. / This thesis is dedicated to develop electronic instrumentation systems that allow to analyse the ageing process and to make a diagnosis the failure mechanisms of power semiconductor device. The research objectives were to evaluate the electrical conductivity variation of metallization layer using the eddy current technique but also to estimate the ageing effect of the semiconductor dies and their module packaging on the current distribution in the die, to better understand the mechanism failures. The specimens simplified and the power semiconductor modules were aged by thermal cycles. The various sensors have been used (eddy current sensor, Hall sensor), to follow the ageing process, and to understand the ageing effect on the power semiconductor die. The experimental instrumentation system has been developed and used, to realize the non destructive evaluation by the eddy current technique on the metallization layer and to measure the map of magnetic field induced above the die by the magnetic sensor, the potential distribution. In the first time, this system allowed to evaluate the relevance and the performance of different type sensors used for the local measure on the electrical conductivity by eddy current sensors and on the currents distribution by Hall sensors or the potential distribution of the source metallization layer. This work was also supported by the signal processing techniques. To estimate quantitatively the electrical conductivity of metallization layer by the eddy current sensors, a model using the two-winding transformer analogy simulate the electromagnetic interaction between the sensor and the conducting plate. And, the current distribution from the measured data is given by inverting a mesh-free modeling of the induced magnetic field. The results obtained from these models can allow us to firstly understand certain failure mechanisms, but also to propose the integrated circuit with the sensors for monitoring "in situ" the state ageing of power semiconductor device.

Cette thèse s’intéresse à la création de nouvelles approches algorithmiques pour la résolution du problème inverse en biophysiques. Dans un premier temps, on vise l’application RMN de type DOSY: une nouvelle approche de régularisation hybride a été proposée avec un nouvel algorithme PALMA (http://palma.labo.igbmc.fr/). Cet algorithme permet d’analyser des données réelles DOSY avec une précision importante quelque soit leur type. Dans un deuxième temps, notre intérêt s’est tourné vers l’application de spectrométrie de masse. Nous avons proposé une nouvelle approche par dictionnaire dédiée à l’analyse protéomique en utilisant le modèle averagine et une stratégie de minimisation sous contraintes d'une pénalité de parcimonie. Afin d’améliorer la précision de l’information obtenue, nous avons proposé une nouvelle méthode SPOQ, basée sur une nouvelle fonction de pénalisation, résolue par un nouvel algorithme Forward-Backward à métrique variable localement ajustée. Tous nos algorithmes bénéficient de garanties théoriques de convergence, et ont été validés expérimentalement sur des spectres synthétisés et des données réelles / This thesis aims at proposing new approaches to solve the inverse problem in biophysics. Firstly, we study the DOSY NMR experiment: a new hybrid regularization approach has been proposed with a novel PALMA algorithm (http://palma.labo.igbmc.fr/). This algorithm ensures the efficient analysis of real DOSY data with a high precision for all different type. In a second time, we study the mass spectrometry application. We have proposed a new dictionary based approach dedicated to proteomic analysis using the averagine model and the constrained minimization approach associated with a sparsity inducing penalty. In order to improve the accuracy of the information, we proposed a new SPOQ method based on a new penalization, solved with a new Forward-Backward algorithm with a variable metric locally adjusted. All our algorithms benefit from sounded convergence guarantees, and have been validated experimentally on synthetics and real data.

Ce travail de recherche propose une solution aux problèmes inverses probabilistes avec des outils de la statistique bayésienne. Le problème inverse considéré est d'estimer la distribution d'une variable aléatoire non observée X à partir d'observations bruitées Y suivant un modèle physique coûteux H. En général, de tels problèmes inverses sont rencontrés dans le traitement des incertitudes. Le cadre bayésien nous permet de prendre en compte les connaissances préalables d'experts en particulier lorsque peu de données sont disponibles. Un algorithme de Metropolis-Hastings-within-Gibbs est proposé pour approcher la distribution a posteriori des paramètres de X avec un processus d'augmentation des données. A cause d'un nombre élevé d'appels, la fonction coûteuse H est remplacée par un émulateur de krigeage (métamodèle). Cette approche implique plusieurs erreurs de natures différentes et, dans ce travail,nous nous attachons à estimer et réduire l'impact de ces erreurs. Le critère DAC a été proposé pour évaluer la pertinence du plan d'expérience (design) et le choix de la loi apriori, en tenant compte des observations. Une autre contribution est la construction du design adaptatif adapté à notre objectif particulier dans le cadre bayésien. La méthodologie principale présentée dans ce travail a été appliquée à un cas d'étude en ingénierie hydraulique. / This thesis provides a probabilistic solution to inverse problems through Bayesian techniques.The inverse problem considered here is to estimate the distribution of a non-observed random variable X from some noisy observed data Y explained by a time-consuming physical model H. In general, such inverse problems are encountered when treating uncertainty in industrial applications. Bayesian inference is favored as it accounts for prior expert knowledge on Xin a small sample size setting. A Metropolis-Hastings-within-Gibbs algorithm is proposed to compute the posterior distribution of the parameters of X through a data augmentation process. Since it requires a high number of calls to the expensive function H, the modelis replaced by a kriging meta-model. This approach involves several errors of different natures and we focus on measuring and reducing the possible impact of those errors. A DAC criterion has been proposed to assess the relevance of the numerical design of experiments and the prior assumption, taking into account the observed data. Another contribution is the construction of adaptive designs of experiments adapted to our particular purpose in the Bayesian framework. The main methodology presented in this thesis has been applied to areal hydraulic engineering case-study.

Cette thèse porte sur la conception silencieuse par démarches inverses de machines synchrones à aimants permanents dotées de bobinages dentaires. Notre travail se focalise sur l’analyse des raies de forces radiales à l’origine du bruit magnétique. En premier lieu, un modèle direct électromagnétique, nous a permis de déterminer le spectre spatio-temporel de la force radiale dans l’entrefer. Ce dernier nous offre la possibilité d’obtenir pas à pas et de manière analytique l’induction radiale dans l’entrefer, résultat du produit de la force magnétomotrice totale et de la perméance d’entrefer globale. Plusieurs machines dotées d’un bobinage dentaire et distribué ont été évaluées, comparées à des simulations par éléments finis et corroborés par une analyse modale opérationnelle sur un prototype existant au laboratoire. Puis la démarche inverse de conception est abordée par le biais de deux outils « analytiques prédictifs » donnant les origines des ordres faibles spatio-temporels de la force radiale dans l’entrefer. Enfin, la résolution du problème inverse est conduite au moyen d’une boucle itérative d’optimisation donnant parmi un échantillon de solutions, une fonction de bobinage, visant à atténuer ou supprimer une raie potentiellement risquée en termes de nuisances acoustiques / This thesis deals the quiet design by inverses approaches of synchronous machines with permanent magnets concentrated windings. Our work focuses on the analysis of magnetic noise origin of air gap radial force orders. Firstly a direct electromagnetic model allowed us to determine the spatio-temporal spectrum of air gap radial pressure. The latter offers us the possibility of obtaining step by step and in an analytical way the radial induction in the gap, result of the product of the total magnetomotive force and global air gap permeance. Several machines equipped with a concentrated winding and distributed were evaluated, compared to simulations by finite elements and corroborated by an operational deflection shape on an existing prototype in the laboratory. In the second time two inverse approaches named predictive methodology identified the radial pressure low order origin. Finally, the resolution of the inverse problem is carried out by means of an iterative optimization loop giving among a sample of solutions, a winding function, aimed at attenuating or eliminating a potential risky line in terms of acoustic nuisances.

La caractérisation d’objets enfouis à partir de mesures d’ondes diffractées est un problème présent dans de nombreuses applications comme l’exploration géophysique, le contrôle non-destructif, l’imagerie médicale, etc. Elle peut être obtenue numériquement par la résolution d’un problème inverse. Néanmoins, c’est un problème non linéaire et mal posé, ce qui rend la tâche difficile. Une reconstruction précise nécessite un choix judicieux de plusieurs paramètres très différents, dépendant des données de la méthode numérique d’optimisation choisie.La contribution principale de cette thèse est une étude de la reconstruction complète d’obstacles élastiques immergés à partir de mesures du champ lointain diffracté. Les paramètres à reconstruire sont la frontière, les coefficients de Lamé, la densité et la position de l’obstacle. On établit tout d’abord des résultats d’existence et d’unicité pour un problème aux limites généralisé englobant le problème direct d’élasto-acoustique. On analyse la sensibilité du champ diffracté par rapport aux différents paramètres du solide, ce qui nous conduit à caractériser les dérivées partielles de Fréchet comme des solutions du problème direct avec des seconds membres modifiés. Les dérivées sont calculées numériquement grâce à la méthode de Galerkine discontinue avec pénalité intérieure et le code est validé par des comparaisons avec des solutions analytiques. Ensuite, deux méthodologies sont introduites pour résoudre le problème inverse. Toutes deux reposent sur une méthode itérative de type Newton généralisée et la première consiste à retrouver les paramètres de nature différente indépendamment, alors que la seconde reconstruit tous les paramètre en même temps. À cause du comportement différent des paramètres, on réalise des tests de sensibilité pour évaluer l’influence de ces paramètres sur les mesures. On conclut que les paramètres matériels ont une influence plus faible sur les mesures que les paramètres de forme et, ainsi, qu’une stratégie efficace pour retrouver des paramètres de nature distincte doit prendre en compte ces différents niveaux de sensibilité. On a effectué de nombreuses expériences à différents niveaux de bruit, avec des données partielles ou complètes pour retrouver certains paramètres, par exemple les coefficients de Lamé et les paramètres de forme, la densité, les paramètres de forme et la localisation. Cet ensemble de tests contribue à la mise en place d’une stratégie pour la reconstruction complète des conditions plus proches de la réalité. Dans la dernière partie de la thèse, on étend ces résultats à des matériaux plus complexes, en particulier élastiques anisotropes. / The characterization of hidden objects from scattered wave measurements arises in many applications such as geophysical exploration, non destructive testing, medical imaging, etc. It can be achieved numerically by solving an Inverse Problem. However, this is a nonlinear and ill-posed problem, thus a difficult task. A successful reconstruction requires careful selection of very different parameters depending on the data and the chosen optimization numerical method.The main contribution of this thesis is an investigation of the full reconstruction of immersed elastic scatterers from far-field pattern measurements. The sought-after parameters are the boundary, the Lamé coefficients, the density and the location of the obstacle. First, existence and uniqueness results of a generalized Boundary Value Problem including the direct elasto-acoustic problem are established. The sensitivity of the scattered field with respect to the different parametersdescribing the solid is analyzed and we end up with the characterization of the corresponding partial Fréchet derivatives as solutions to the direct problem with modified right-hand sides. These Fréchet derivatives are computed numerically thanks to the Interior Penalty Discontinuous Galerkin method and the code is validated thanks to comparison with analytical solutions. Then, two solution methodologies are introduced for solving the inverse problem. Both are based on an iterative regularized Newton-type methodology and the first one consists in retrieving the parameters of different nature independently, while the second one reconstructs all parameters together. Due to the different behavior of the parameters, sensitivity tests are performed to assess the impact of the parameters on the measurements. We conclude that material parameters have a weaker influence on the measurements than shape parameters, and therefore, a successful strategy to retrieve parameters of distinct nature should take into account these different levels of sensitivity. Various experiments at different noise levels and with full or limited aperture data are carried out to retrieve some of the physical properties, e.g. Lamé coefficients with shape parameters, density with shape parameters a, density, shape and location. This set of tests contributes to a final strategy for the full reconstruction and in more realistic conditions. In the final part of the thesis, we extend the results to more complex material parameters, in particular anisotropic elastic.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de détection à l’aide du calcul de forme et de l’analyse asymptotique. L’objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes :– peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d’une mesure effectuée à la surface ?– peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ?– peut-on connaître le nombre d’objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ?Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse :– le premier met en place un cadre mathématique pour démontrer l’existence des dérivées de forme d’ordre un et deux pour les problèmes de détection d’inclusions ;– le deuxième analyse le problème de détection à l’aide de l’optimisation géométrique de forme : un résultat d’identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l’instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée ;– le chapitre 3 utilise nos résultats théoriques pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient de forme ;– le chapitre 4 analyse la localisation de petites inclusions dans un fluide à l’aide de l’optimisation topologique de forme : le gradient topologique d’une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius est caractérisé ;– le dernier chapitre utilise cette dernière expression théorique pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient topologique. / This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis. The aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions:– can we localize an obstacle immersed in a fluid from a boundary measurement?– can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure?– can we know how many objects are included in the fluid using this measure?The results are described in the five chapters of the thesis:– the first one gives a mathematical framework in order to prove the existence of the shape derivatives oforder one and two in the frame of the detection of inclusions;– the second one analyzes the detection problem using geometric shape optimization: an identifiabilityresult is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of thisinverse problem is proved;– the chapter 3 uses our theoretical results in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm;– the fourth chapter analyzes the detection of small inclusions in a fluid using the topological shape optimization : the topological gradient of a Kohn-Vogelius shape functional is characterized;– the last chapter uses this theoretical expression in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à résoudre certains problèmes inverses pour des équations différentielles aux dérivées fractionnaires. Un problème inverse est généralement mal posé. Un problème mal posé est un problème qui ne répond pas à l’un des trois critères de Hadamard pour être bien posé, c’est-à-dire, soit l’existence, l’unicité ou une dépendance continue aux données n'est plus vraie, à savoir, des petits changements dans les données de mesure entraînent des changements indéfiniment importants dans la solution. La plupart des difficultés à résoudre des problèmes mal posés sont causées par l’instabilité de la solution. D’autre part, les équations différentielles fractionnaires deviennent un outil important dans la modélisation de nombreux problèmes de la vie réelle et il y a eu donc un intérêt croissant pour l’étude des problèmes inverses avec des équations différentielles fractionnaires. Le calcul fractionnaire est une branche des mathématiques qui fait référence à l’extension du concept de dérivation classique à la dérivation d’ordre non entier. Calculer une dérivée fractionnaire à un certain moment exige tous les processus précédents avec des propriétés de mémoire. C’est l’avantage principal du calcul fractionnaire d’expliquer les processus associés aux systèmes physiques complexes qui ont une mémoire à long terme et / ou des interactions spatiales à longue distance. De plus, les équations différentielles fractionnaires peuvent nous aider à réduire les erreurs découlant de paramètres négligés dans la modélisation des phénomènes physiques. / In this thesis, we are interested in solving some inverse problems for fractional differential equations. An inverse problem is usually ill-posed. The concept of an ill-posed problem is not new. While there is no universal formal definition for inverse problems, Hadamard [1923] defined a problem as being ill-posed if it violates the criteria of a well-posed problem, that is, either existence, uniqueness or continuous dependence on data is no longer true, i.e., arbitrarily small changes in the measurement data lead to indefinitely large changes in the solution. Most difficulties in solving ill-posed problems are caused by solution instability. Inverse problems come into various types, for example, inverse initial problems where initial data are unknown and inverse source problems where the source term is unknown. These unknown terms are to be determined using extra boundary data. Fractional differential equations, on the other hand, become an important tool in modeling many real-life problems and hence there has been growing interest in studying inverse problems of time fractional differential equations. The Non-Integer Order Calculus, traditionally known as Fractional Calculus is the branch of mathematics that tries to interpolate the classical derivatives and integrals and generalizes them for any orders, not necessarily integer order. The advantages of fractional derivatives are that they have a greater degree of flexibility in the model and provide an excellent instrument for the description of the reality. This is because of the fact that the realistic modeling of a physical phenomenon does not depend only on the instant time, but also on the history of the previous time, i.e., calculating timefractional derivative at some time requires all the previous processes with memory and hereditary properties.

Les progrès récents des techniques expérimentales biologiques ont conduit à la production d'une énorme quantité de données sur le comportement dynamique des réseaux de régulation génique (RRG). Nous présentons une approche pour l'identification des modèles affines-par-morceaux (APM) de RRGs à partir de données expérimentales. Ces modèles reposent sur l'hypothèse que la régulation survient au niveau de la synthèse et de la dégradation des produits de l'expression des gènes : les paramètres cinétiques sont supposés être constants jusqu'à ce que la concentration d'une protéine régulatrice franchisse un seuil de transition.<br /><br />La méthode que nous présentons se concentrent sur le problème de la détection des transitions entre les différents modes dynamiques à partir des données d'expression génique et sur la reconstruction des seuils de transition associés avec les interactions régulatrices. En particulier, notre méthode prend en considération les contraintes géométriques spécifiques aux modèles APM de RRGs. Une telle méthode d'identification est conçue pour des systèmes à erreur sur la sortie où les observations sont des séries temporelles de mesures bruitées de niveaux de concentration à l'intérieur d'une cellule.<br /><br />Les données sont d'abord classées en modes dans lesquels le comportement dynamique est considéré comme étant complètement décrit par une équation différentielle linéaire. À partir de la classification résultante, une technique de reconnaissance de forme est utilisée pour reconstruire toutes les combinaisons de seuils de transition qui sont cohérentes avec les données mesurées. Pour chaque combinaison de seuils, il est alors possible de fournir un réseau de régulation et les paramètres dynamiques de chaque mode.<br /><br />Les performances de notre approche ont été analysées en utilisant des données artificielles simulées pour un modèle simplifié de la réponse à un manque de carbone pour le bactérie Escherichia coli. En particulier, nous avons évalué l'influence du niveau du bruit et du pas d'échantillonnage sur les systèmes identifiés. Nos résultats montrent que la méthode, en association avec des séries temporelles de mesures suffisamment précises, lesquelles peuvent être obtenues avec des systèmes à gène rapporteur, permettent une identification quantitative de modèles APM de RRGs.