Ces deux dernières décennies, les techniques de somme connexe essentiellement basées sur des outils d'analyse ont permis de faire des progrès importants dans la compréhension de nombreux problèmes non linéaires issus de la géométrie (étude des métriques à courbure scalaire constante en géométrie Riemannienne, métriques auto-duales, métrique ayant des groupes d'holonomie spéciaux, métriques extrémales en géométrie Kaehlerienne, équations de Yang-Mills, étude des surfaces minimales et des surfaces à courbure moyenne constante, métriques d'Einstein, etc.). Ces techniques se sont avérées être un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à des problèmes hautement non linéaires. Si les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes en des points isolés sont bien comprises et fréquemment utilisées, les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes le long de sous-variétés ne sont pas encore bien maîtrisées. Le principal objectif de cette thèse est de combler (partiellement) cette lacune en développant de telles techniques applicables dans le cadre de l'étude des métriques à courbure scalaire constante et aussi dans le cadre de l'étude des équations de comptabilité d'Einstein en relativité générale / These last two decades the connected sum techniques, essentially based on analytical tools, are revealed to be a powerful instrument to understand solutions of several nonlinear problem issued from the geometry (constant scalar curvature metrics in Riemannian geometry, self-dual metrics, metrics with special holonomy group, extremal Kaehler metrics, Yang-Mills equations, minimal and constant mean curvature surfaces, Einstein metrics, etc.). Even tough the techniques which allows one to consider the connected sum at points for solutions of nonlinear PDE's are frequently used and deeply understood, the analogous techniques for connected sums along sub-manifolds have not been mastered yet. The main purpose of this thesis is to (partially) plug this gap by developing such techniques in the context of the constant scalar curvature metrics and the Einstein constraint equations in general relativity

EVANGELISTA, I. S. Compact almost Ricci soliton, critical metrics of the total scalar curvature functional and p-fundamental tone estimates. 2017. 75 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-07-10T12:41:32Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) Previous issue date: 2017-07-04 / The present thesis is divided in three different parts. The aim of the first part is to prove that a compact almost Ricci soliton with null Cotton tensor is isometric to a standard sphere provided one of the following conditions associated to the Schouten tensor holds: the second symmetric function is constant and positive; two consecutive symmetric functions are non null multiple or some symmetric function is constant and the quoted tensor is positive. The aim of the second part is to study the critical metrics of the total scalar curvature funcional on compact manifolds with constant scalar curvature and unit volume, for simplicity, CPE metrics. It has been conjectured that every CPE metric must be Einstein. We prove that the Conjecture is true for CPE metrics under a suitable integral condition and we also prove that it suffices the metric to be conformal to an Einstein metric. In the third part we estimate the p-fundamental tone of submanifolds in a Cartan-Hadamard manifold. First we obtain lower bounds for the p-fundamental tone of geodesic balls and submanifolds with bounded mean curvature. Moreover, we provide the p-fundamental tone estimates of minimal submanifolds with certain conditions on the norm of the second fundamental form. Finally, we study transversely oriented codimension one C 2-foliations of open subsets Ω of Riemannian manifolds M and obtain lower bounds estimates for the infimum of the mean curvature of the leaves in terms of the p-fundamental tone of Ω. / A presente tese está dividida em três partes diferentes. O objetivo da primeira parte é provar que um quase soliton de Ricci compacto com tensor de Cotton nulo é isométrico a uma esfera canônica desde que uma das seguintes condições associadas ao tensor de Schouten seja válida: a segunda função simétrica é constante e positiva; duas funções simétricas consecutivas são múltiplas, não nulas, ou alguma função simétrica é constante e o tensor de Schouten é positivo. O objetivo da segunda parte é estudar as métricas críticas do funcional curvatura escalar total em variedades compactas com curvatura escalar constante e volume unitário, por simplicidade, métricas CPE. Foi conjecturado que toda métrica CPE deve ser Einstein. Prova-se que a conjectura é verdadeira para as métricas CPE sob uma condição integral adequada e também se prova que é suficiente que a métrica seja conforme a uma métrica Einstein. Na terceira parte, estima-se o p-tom fundamental de subvariedades em uma variedade tipo Cartan-Hadamard. Primeiramente, obtém-se estimativas por baixo para o p-tom fundamental de bolas geodésicas e em subvariedades com curvatura média limitada. Além disso, obtém-se estimativas do p-tom fundamental de subvariedades mínimas com certas condições sobre a norma da segunda forma fundamental. Por fim, estudam-se folheações de classe C 2 transversalmente orientadas de codimensão 1 de subconjuntos abertos Ω de variedades riemannianas M e obtêm-se estimativas por baixo para o ínfimo da curvatura média das folhas em termos do p-tom fundamental de Ω.

Cette thèse concerne le problème de trouver une notion naturelle de «courbure scalaire» en géométrie kählérienne généralisée. L'approche utilisée consiste à calculer l'application moment pour l'action du groupe des difféomorphismes hamiltoniens sur l'espace des structures kählériennes généralisées de type symplectique. En effet, il est bien connu que l'application moment pour la restriction de cette action aux structures kählériennes s'identifie à la courbure scalaire riemannienne. On se limite à une certaine classe de structure kählériennes généralisées sur les variétés toriques notée $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ que l'on reconnaît comme étant classifiées par la donnée d'une matrice antisymétrique $C$ et d'une fonction réelle strictement convexe $\tau$ (ayant un comportement adéquat au voisinage de la frontière du polytope moment). Ce point de vue rend évident le fait que toute structure kählérienne torique peut être déformée en un élément non kählérien de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$, et on note que cette déformation à lieu le long d'une des classes que R. Goto a démontré comme étant libre d'obstruction. On identifie des conditions suffisantes sur une paire $(\tau,C)$ pour qu'elle donne lieu à un élément de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ et on montre qu'en dimension 4, ces conditions sont également nécessaires. Suivant l'adage «l'application moment est la courbure» mentionné ci-haut, des formules pour des notions de «courbure scalaire hermitienne généralisée» et de «courbure scalaire riemannienne généralisée» (en dimension 4) sont obtenues en termes de la fonction $\tau$. Enfin, une expression de la courbure scalaire riemannienne généralisée en termes de la structure bihermitienne sous-jacente est dégagée en dimension 4. Lorsque comparée avec le résultat des physiciens Coimbra et al., notre formule suggère un choix canonique pour le dilaton de leur théorie. / This thesis is about the problem of finding a natural notion of "scalar curvature" in generalized Kähler geometry. The approach taken here is to compute the moment map for the action of the group of hamiltonian diffeomorphisms on the space of generalized Kähler structures of symplectic type. Indeed, it is well known that the moment map for the restriction of this action to the space of ordinary Kähler structures can be naturally identified with the riemannian scalar curvature. We concern ourselves only with a certain class of generalized Kähler structures on toric manifolds which we denote by $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ and which we recognize as being classified by the data of an antisymetric matrix $C$ and a real-valued strictly convex functions $\tau$ (exhibiting appropriate behavior on a neighborhood of the boundary of the moment polytope). This viewpoint makes obvious the fact that any toric Kähler structure can be deformed to a non-Kähler element of $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$, and we note that this deformation happens along one of the classes which were shown by R. Goto to be unobstructed. We identify sufficient conditions on a pair $(\tau,C)$ for it to define an element of $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ and we show that in dimension 4, these conditions are also necessary. Following the adage "the moment map is the curvature" mentioned above, formulas for notions of "generalized Hermitian scalar curvature" and "generalized Riemannian scalar curvature" (in dimension 4) are obtained in terms of the function $\tau$. Finally, an expression for the generalized Riemannian scalar curvature in terms of the underlying bi-Hermitian structure is found in dimension 4. When compared with the results of the physicists Coimbra et al., our formula suggests a canonical choice for the dilaton of their theory.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nosso objetivo nesse trabalho à apresentar uma generalizaÃÃo das mÃtricas quasi-Einstein para campo de vetores suaves nÃo necessariamente gradiente, alÃm disso, apresentar algumas fÃrmulas integrais para mÃtricas quasi-Einstein gradiente definidas numa variedade compacta e como aplicaÃÃo expor trÃs resultados importantes, sendo um deles uma caracterizaÃÃo para tais classes de variedades compactas de dimensÃo dois. / Our objective in this work is to present a generalization of quasi-Einstein metrics for vector field is not necessarily smooth gradient also present some integral formulas for compact quasi-Einstein metrics defined in a compact and as application set out three important results, one being characterized such classes for a compact manifolds of dimension two.

Foi provado por Byde que é possível adicionar um fim do tipo Delaunay a uma variedade compacta não degenerada de curvatura escalar constante positiva; desde que ela seja localmente conformemente plana em alguma vizinhança do ponto de colagem. A variedade resultante é não-compacta e possui a mesma curvatura escalar constante. O principal objetivo desta tese é generalizar este resultado. Construiremos uma família a um parâmetro de soluções para o problema de Yamabe singular positivo em qualquer variedade compacta não degenerada cujo tensor de Weyl anula-se até uma ordem suficientemente grande no ponto singular. Se a dimensão da variedade é no máximo 5; nenhuma condição sobre o tensor de Weyl é necessária. Usaremos técnicas de pertubação e o método de colagem. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT: It has been showed by Byde [5] that it is possible to attach a Delaunay type end to a compact nondegenerate manifold of positive constant scalar curvature, provided it is locally conformally flat in a neighborhood of the attaching point. The resulting manifold is noncompact with the same constant scalar curvature. The main goal of this thesis is to generalize this result. We will construct a one-parameter family of solutions to the positive singular Yamabe problem for any compact non-degenerate manifold with Weyl tensor vanishing to suciently high order at the singular point. If the dimension is at most 5, no condition on the Weyl tensor is needed. We will use perturbation techniques and gluing methods.

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This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto's paper called Complete and Stable O(p + 1) x O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, published on the Annals of Global Analysis and Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classi_cation Theorem, which states: The O(p+1) x O(q+1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2, p; q > 1, with zero scalar curvature belong to one of the following classes: (1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2; (2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the cones Cα and Cβ; (3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα; (4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ; (5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ. It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2, involving the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in its turn, is associated with a vector field X : R22 → R2 on the plan. The study of the orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate the X orbits' behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach the theorem. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p+1) x O(q+1) - Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema de Classicação, que afirma o seguinte: Uma hipersuperfície Mp+q+1 que é invariante pela açãoao do grupo O(p + 1) x O(q + 1), p; q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a uma das seguintes classes: (1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2; (2) Hipersuperfícies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os cones Cα e Cβ; (3) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cα; (4) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cβ; (5) Hipersuperfícies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ. A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfícies. Esta equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possível traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas geratrizes e desta maneira obter o teorema.

SANTOS, A. S. L. Problema de Yamabe modificado em variedades compactas de dimensão quatro e métricas críticas do funcional curvatura escalar. 2017. 58 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-25T19:34:47Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 535461 bytes, checksum: 8c3ddbdd33d74c4eb7b265354b3bafb3 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Eu revisei a Tese de ALEX SANDRO LOPES SANTOS, e encontrei um pequeno erro na capa, ele colocou os seguintes elementos: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA DOUTORADO EM MATEMÁTICA Mas deve ser alterado para: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Com os demais elementos da Tese, não há nenhum problema de formatação. Atenciosamente, on 2017-05-26T15:06:03Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-29T13:47:44Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) Previous issue date: 2017-05-19 / In the fisrt part of this work we investigate the modified Yamabe problem on four-dimensional manifolds whose the modifiers invariants depending on the eigenvalues of the Weyl curvature tensor and they are described in terms of maximum and minimum of the biorthogonal (sectional) curvature. We provide some geometrical and topological properties on four-dimensional manifolds in terms of these invariants. In the second part we investigate the critical points of the total scalar curvature functional restricted to space of metrics with constant scalar curvature of unitary volume, for simplicity CPE metrics. It was conjectured in the 1980’s that every CPE metric must be Einstein. We prove that such a conjecture is true under a second-order vanishing condition on the Weyl tensor. / Na primeira parte deste trabalho investigamos o problema de Yamabe modificado em variedades de dimensão quatro cujos invariantes modificadores dependem dos autovalores do tensor de Weyl e são descritos em termos do máximo e mínimo da curvatura biortogonal (seccional). Fornecemos algumas propriedades geométricas e topológicas para tais variedades em termos destes invariantes. Na segunda parte investigamos os pontos críticos do funcional curvatura escalar total restrito ao espaço de métricas com curvatura escalar constante e volume unitário, abreviadamente chamamos de métricas CPE. Conjecturou-se na década de 1980 que toda métrica CPE deve ser Einstein. Provamos que tal conjectura é verdadeira sob uma condição de nulidade sobre o divergente de segunda ordem do tensor de Weyl.

SILVA, Adam Oliveira da. Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos. 2017. 78 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-19T19:08:04Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 481005 bytes, checksum: 2bdfc6ab68b042a5cfd4f67caf1e21e4 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Estou devolvendo a Tese de ADAM OLIVEIRA DA SILVA, para que o arquivo seja substituído, pois o aluno já veio na BCM e orientei quais eram as correções a serem feitas. Atenciosamente, on 2017-09-20T14:03:26Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-20T16:47:21Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-21T12:26:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T12:26:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) Previous issue date: 2017-09-15 / The aim of this work is to study metrics that are critical points for some Riemannian functionals. In the first part, we investigate critical metrics for functionals which are quadratic in the curvature on closed Riemannian manifolds. It is known that space form metrics are critical points for these functionals, denoted by F t,s (g). Moreover, when s = 0, always Einstein metrics are critical to F t (g). We proved that under some conditions the converse is true. For instance, among others results, we prove that if n ≥ 5 and g is a Bach-flat critical metric to F −n/4(n−1) , with second elementary symmetric function of the Schouten tensor σ 2 (A) > 0, then g should be Einstein. Furthermore, we show that a locally conformally flat critical metric with some additional conditions are space form metrics. In the second part, we study the critical metrics to volume functional on compact Riemannian manifolds with connected smooth boundary. We call such critical points of Miao-Tam critical metrics due to the variational study making by Miao and Tam (2009). In this work, we show that the geodesics balls in space forms Rn , Sn and Hn have the maximum possible boundary volume among Miao-Tam critical metrics with connected boundary provided that the boundary be an Einstein manifold. In the same spirit, we also extend a rigidity theorem due to Boucher et al. (1984) and Shen (1997) to n-dimensional static metrics with positive constant scalar curvature, which give us another way to get a partial answer to the Cosmic no-hair conjecture already obtained by Chrusciel (2003). / Este trabalho tem como principal objetivo estudar métricas que são pontos críticos de alguns funcionais Riemannianos. Na primeira parte, investigaremos métricas críticas de funcionais que são quadráticos na curvatura sobre variedades Riemannianas fechadas. É de conhecimento que métricas tipo formas espaciais são pontos críticos para tais funcionais, denotados aqui por F t,s (g). Além disso, no caso s = 0, métricas de Einstein são sempre críticas para F t (g). Provamos que sob algumas condições, a recíproca destes fatos são verdadeiras. Por exemplo, dentre outros resultados, provamos que se n ≥ 5 e g é uma métrica Bach-flat crìtica para F−n/4(n−1) com segunda função simétrica elementar do tensor de Schouten σ 2 (A) > 0, então g tem que ser métrica de Einstein. Ademais, mostramos que uma métrica crítica localmente conformemente plana, com algumas hipóteses adicionais, tem que ser tipo forma espacial. Na segunda parte, estudamos as métricas críticas do funcional volume sobre variedades Riemannianas compactas com bordo suave conexo. Chamamos tais pontos críticos de métricas críticas de Miao-Tam, devido ao estudo variacional feito por Miao e Tam (2009). Neste trabalho provamos que as bolas geodésicas das formas espaciais Rn , S n e H n possuem o valor máximo para o volume do bordo dentre todas as métricas críticas de Miao-Tam com bordo conexo, desde que o bordo seja uma variedade de Einstein. No mesmo sentido, também estendemos um teorema de rigidez devido à Boucher et al. (1984) e Shen (1997) para métricas estáticas de dimensão n e com curvatura escalar constante positiva, o qual nos fornece outra maneira para obter uma resposta parcial para a Cosmic no-hair conjecture já obtida por Chrusciel (2003).

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-13T11:21:20Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Cid Dias Ferraz Machado - 2014.pdf: 1785087 bytes, checksum: 2f0dd6f0844c3aa992b9eaf248f40ed4 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-13T11:22:09Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Cid Dias Ferraz Machado - 2014.pdf: 1785087 bytes, checksum: 2f0dd6f0844c3aa992b9eaf248f40ed4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-13T11:22:10Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Cid Dias Ferraz Machado - 2014.pdf: 1785087 bytes, checksum: 2f0dd6f0844c3aa992b9eaf248f40ed4 (MD5) Previous issue date: 2014-03-07 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we present a study of a class of oriented hypersurfaces in hyperbolic space satisfying a special linear relation between the rth mean curvatures which is based on a Walterson Ferreira and Pedro Roitman’s article, where this class is characterized by a harmonic map derived from the two hyperbolic Gauss maps.We also show the relation of such hypersufaces with solutions of the equation Du+kun+2 n􀀀2 = 0, where k 2 f􀀀1;0;1g. / Neste trabalho apresentamos um estudo de uma classe de hipersuperfícies orientadas no espaço hiperbólico satisfazendo uma relação linear especial entre as r-ésimas curvaturas médias, baseado no trabalho de Walterson Ferreira e Pedro Roitman, onde esta classe é caracterizada por uma aplicação harmônica derivada das duas aplicações hiperbólicas de Gauss. Também mostramos a relação de tais hipersuperfícies com as soluções da equação Du+kun+2 n􀀀2 = 0, onde k 2 f􀀀1;0;1g.