Cette thèse porte sur le développement de schémas semi-implicites à pas fractionnaires pour les équations de Navier-Stokes compressibles ; ces schémas entrent dans la classe des méthodes de correction de pression.La discrétisation spatiale choisie est de type "à mailles décalées :éléments finis mixtes non conformes (éléments finis de Crouzeix-Raviart ou Rannacher-Turek) ou schéma MAC classique.Une discrétisation en volumes finis décentrée amont du bilan de masse garantit la positivité de la masse volumique.La positivité de l'énergie interne est obtenue en discrétisant le bilan d'énergie interne continu, par une méthode de volumes finis décentrée amont, enfin, et en couplant ce bilan d'énergie interne discret à l'étape de correction de pression.On effectue une discrétisation particulière en volumes finis sur un maillage dual du terme de convection de vitesse dans le bilan de quantité de mouvement et une étape de renormalisation de la pression; ceci permet de garantir le contrôle au cours du temps de l'intégrale de l'énergie totale sur le domaine.L'ensemble de ces estimations a priori implique en outre, par un argument de degré topologique, l'existence d'une solution discrète. L'application de ce schéma aux équations d'Euler pose une difficulté supplémentaire.En effet, l'obtention de vitesses de choc correctes nécessite que le schéma soit consistant avec l'équation de bilan d'énergie totale, propriété que nous obtenons comme suit. Tout d'abord, nous établissons un bilan discret (local) d'énergie cinétique.Ce dernier comporte des termes sources, que nous compensons ensuite dans le bilan d'énergie interne. Les équations d'énergie cinétique et interne sont associées au maillage dual et primal respectivement, et ne peuvent donc être additionnées pour obtenir un bilan d'énergie totale ; cette dernière équation est toutefois retrouvée, sous sa forme continue, à convergence : si nous supposons qu'une suite de solutions discrètes converge lorsque le pas de temps et d'espace tendent vers 0,, nous montrons en effet, en 1D au moins, que la limite en satisfait une forme faible.Ces résultats théoriques sont confortés par des tests numériques.Des résultats similaires sont obtenus pour les équations de Navier-Stokes barotropes.

La thèse est d'éditée a l'analyse numérique et mathématique de systèmes d'équations aux dérivées partielles provenant de la modélisation du mouvement des cellules. Nous constructions un modèle de croissance tumorale dépendant des nutriments et nous montrons la stabilité asymptotique des états stationnaires constants pour des perturbations petites. Puis, les modèles paraboliques et hyperboliques de chimiotactisme sont approchés en utilisant des méthodes de différences finis et de volumes finis. En particulier, nous constructions un schéma consistant, le schéma well-balanced pour les états stationnaires a vitesse constante, qui conserve la positivité de la densité et traite le vide. Avec ces méthodes numériques efficaces et précises, le comportement des solutions est analysé. Premièrement le problème de la diffusion pure est étudié et le phénomène du temps d'attente et la régularité sous la condition physique aux bords sont considérés. Puis nous concentrons notre attention sur l'étude de l'existence et de la stabilité des états stationnaires et sur le comportement en temps long du modèle du chimiotactisme sur un domaine borné.

Résumé : Cette thèse comporte 8 chapitres. Le chapitre 1 est une introduction aux problématiques rencontrées sur les marchés énergétiques : fréquence d'intervention faible, coûts de transaction élevés, évaluation des options spread. Le chapitre 2 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option call dans le modèle de Bachelier, pour des coûts de transaction proportionnels (modèle de Leland-Lott) et lorsque la fréquence d'intervention devient infinie. Il est prouvé que cette erreur est bornée par une variable aléatoire proportionnelle au taux de transaction. Cependant, les démonstrations de convergence en probabilité demandent des régularités sur les sensibilités assez restrictives en pratique. Les chapitres suivants contournent ces obstacles en étudiant des convergences presque sûres. Le chapitre 3 développe tout d'abord de nouveaux outils de convergence presque sûre. Ces résultats ont de nombreuses conséquences sur le contrôle presque sûr de martingales et de leur variation quadratique, ainsi que de leurs incréments entre deux temps d'arrêt généraux. Ces résultats de convergence trajectorielle sont connus pour être difficiles à obtenir sans information sur les lois. Par la suite, nous appliquons ces résultats à la minimisation presque sûre de la variation quadratique renormalisée de l'erreur de couverture d'une option de payoff général (cadre multidimensionnel, payoff asiatique, lookback) sur une large classe de temps d'intervention. Une borne inférieure à notre critère est trouvée et une suite minimisante de temps d'arrêt optimale est exhibée : il s'agit de temps d'atteinte d'ellipsoïde aléatoire, dépendant du gamma de l'option. Le chapitre 4 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option de payoff convexe (dimension 1) en prenant en compte des coûts de transaction à la Leland-Lott. Nous décomposons l'erreur de couverture en une partie martingale et une partie négligeable, puis nous minimisons la variation quadratique de cette martingale sur une classe de temps d'atteintes générales pour des Deltas vérifiant une certaine EDP non-linéaire sur les dérivées secondes. Nous exhibons aussi une suite de temps d'arrêt atteignant cette borne. Des tests numériques illustrent notre approche par rapport à une série de stratégies connues de la littérature. Le chapitre 5 étend le chapitre 3 en considérant une fonctionnelle des variations discrètes d'ordre Y et de Z de deux processus d'Itô Y et Z à valeurs réelles, la minimisation étant sur une large classe de temps d'arrêt servant au calcul des variations discrètes. Borne inférieure et suite minimisant sont obtenues. Une étude numérique sur les coûts de transaction est faite. Le chapitre 6 étudie la discrétisation d'Euler d'un processus multidimensionnel X dirigé par une semi-martingale d'Itô Y . Nous minimisons sur les temps de la grille de discrétisation un critère quadratique sur l'erreur du schéma. Nous trouvons une borne inférieure et une grille optimale, ne dépendant que des données observables. Le chapitre 7 donne un théorème limite centrale pour des discrétisations d'intégrale stochastique sur des grilles de temps d'atteinte d'ellipsoïdes adaptées quelconque. La corrélation limite est conséquence d'asymptotiques fins sur les problèmes de Dirichlet. Dans le chapitre 8, nous nous intéressons aux formules d'expansion pour les options sur spread, pour des modèles à volatilité locale. La clé de l'approche consiste à conserver la propriété de martingale de la moyenne arithmétique et à exploiter la structure du payoff call. Les tests numériques montrent la pertinence de l'approche.

Les travaux résumés dans ce mémoire s'articulent, essentiellement, autour des deux thématiques suivantes: la modélisation et la simulation numériques de systèmes couplés (Chapitres 1-3) et les méthodes d'éléments finis stabilisées pour des problèmes transitoires (Chapitre 4). Ces travaux sont essentiellement motivés par l'étude de la stabilité aéroélastique de structures du génie civil et la simulation numérique de l'écoulement du sang et de l'électrophysiologie cardiaque. Dans le cadre de l'interaction fluide-structure, nous couplons les équations de Navier-Stokes en domaine mobile avec l'équation de l'élastodynamique non-linéaire. Nous étudions la stabilité des états d'équilibre du système à partir de l'analyse des solutions harmoniques d'un problème linéaire spécifique. Dans le contexte de la simulation temporelle, nous proposons une méthode de Newton exacte pour la résolution des schémas de couplage implicite. Puis nous nous intéressons à la question suivante: comment éviter le couplage fort sans compromettre la stabilité? Cette question est abordée de deux points de vue différents: via le couplage semi-implicite avec projection et par un traitement faible approprié des conditions d'interface au niveau discret. Nous abordons aussi la simulation numérique des ECG en utilisant un modèle mathématique 3D complet, entièrement basée sur des EDP/EDO. Les principaux ingrédients de ce modèle sont: dynamique phénoménologique au niveau cellulaire, équation bidomaine (dans le cœur) et équation de Laplace généralisée (dans le torse). D'autres aspects essentiels à la modélisation sont élucidés, ce qui nous permet de simuler des ECGs complets réalistes. Quelques schémas de discrétisation en temps pour l'équation bidomaine et le système couplé cœur-torse sont analysés. Enfin, nous généralisons la méthode de pénalisation intérieure conforme au problème d'Oseen et aux équations de Navier-Stokes transitoires. Des estimations d'erreur a priori (uniformes par rapport à la viscosité) sont fournies pour des approximations vitesse/pression du même ordre. Une analyse d'erreur abstraite pour des méthodes de stabilisation symétriques est présentée pour l'équation de Stokes et l'équation de réaction-advection-diffusion transitoires. Dans le cas de Stokes, nous montrons que l'instabilité des petits pas de temps peut être éliminée par un choix judicieux de l'approximation de la vitesse initiale. Pour l'équation de réaction-advection-diffusion, nous contournons le problème de la réduction de la structure creuse de la matrice (due à l'opérateur de stabilisation) par un traitement explicite de la stabilisation.

Dans [PRID], Pridham a montré que tout n-champs d'Artin M admet une présentation en tant que schéma simplicial X. → M, telle que le schéma simplicial X satisfait à certaines propriétés notées par G.Pn,k de [GROTH]. Dans la présentation (...→ X2 → X1 → X0 → M), le schéma X1 représente une carte pour X0 x MX0. Donc, la lissité de X0 → M est équivalente à la lissité des deux projections ә0,ә1 : X1 → X0. Ce sont les deux premières parties de la condition de Grothendieck-Pridham, notées G.P1,0 et G.P1,1. Dans [BENZ12] nous avons introduit un n-champ d'Artin M des éléments de Maurer-Cartan d'une dg-catégorie. On a construit une carte, et on a déjà fait la preuve des premières conditions de lissité explicitement. Pour tout n et tout 0 ≤ k ≤ n Pridham considère un schéma noté MatchΛkn(X) avec un morphisme Xn → MatchΛkn(X). On construira explicitement le schéma simplicial de Grothendieck-Pridham X, on montrera la lissité formelle de cette carte précédente, ainsi que M est un n-champ géométrique.

Ce mémoire est consacré à l'étude de systèmes dynamiques discrets avec frottements et à des problèmes d'identification en biomécanique. La première partie concerne des résultats théoriques d'unicité, de convergence et d'analyse numérique de solutions d'équations différentielles non linéaires pour étudier des modèles dynamiques discrets contenant des non-linéarités. Ces non-linéarités sont introduites pour prendre en compte des modèles de frictions via des inclusions différentielles maximales monotones, essentiellement en dimension finie. De nombreux exemples ainsi que des applications sont fournis avec des simulations numériques. La seconde partie est consacrée à la résolution de certains problèmes d'identification en biomécanique : identification d'espaces de travail, de paramètres cinématiques lors de la modélisation de certains mouvements et de paramètres anthropométriques dans le cadre de la dynamique inverse.

Dans le premier chapitre, on démontre divers résultats sur le plus grand quotient du groupe fondamental étale premier aux caractéristiques, parmi lesquels la formule de Künneth et l'invariance par changement de corps séparablement clos pour les schémas de type fini sur un corps. Ces énoncés sont déduits de faits généraux sur les images directes de champs, une fois spécialisés au cas des torseurs sous un groupe constant fini d'ordre inversible sur la base. Des résultats analogues<br />pour le groupe fondamental modéré sont également discutés.<br /><br />Au deuxième chapitre, on déduit de la formule du conducteur, conjecturée par S. Bloch, celle de P. Deligne exprimant, dans le cas d'une singularité isolée, la dimension totale des cycles évanescents en fonction du nombre de Milnor.<br />En particulier, la formule de Deligne est établie en dimension relative un.<br /><br />Dans le troisième chapitre, on compare les 1-isomotifs de P. Deligne sur un corps avec la théorie de V. Voevodsky en dimension inférieure à 1.

La recherche de structures arborescentes fréquentes, également appelée fouille d'arbres, au sein de bases de données composées de documents semi-structurés (e.g. XML) est une problématique actuellement très active. Ce processus trouve de nombreux intérêts dans le contexte de la fouille de données comme par exemple la construction automatique d'un schéma médiateur à partir de schémas XML, ou bien l'analyse des structures des sites Web afin d'étudier son usage ou modifier son contenu.<br /><br />L'objectif de cette thèse est de proposer une méthode d'extraction d'arborescences fréquentes. Cette approche est basée sur une représentation compacte des arborescences cherchant à diminuer la consommation de mémoire dans le processus de fouille. En particulier, nous présentons une nouvelle technique de génération d'arborescences candidates visant à réduire leur nombre. Par ailleurs, nous proposons différents algorithmes pour valider le support des arborescences candidates dans une base de données selon divers types de contraintes d'inclusion d'arbres : induite, incrustée et floue. Finalement nous appliquons nos algorithmes à des jeux de données synthétiques et réels et nous présentons les résultats obtenus.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à la simulation des écoulements liquide-vapeur en transition de phase. Pour décrire ces écoulements, une approche bifluide moyennée à deux pressions indépendantes est retenue. Cette description du mélange liquide-vapeur s'appuie sur le modèle à sept équations de Baer et Nunziato. On étudie les aptitudes de cette modélisation à simuler les transitions de phase apparaissant en ingénierie nucléaire.<br /><br />Dans un premier temps, on élabore un cadre thermodynamique théorique pour décrire les écoulements liquide-vapeur. Dans ce cadre, on réalise la fermeture du modèle de Baer et Nunziato. De nouvelles modélisations sont proposées pour les termes d'interaction entre les phases. Ces nouvelles modélisations dotent le modèle bifluide à deux pressions d'une inégalité d'entropie. On étudie ensuite les propriétés mathématiques de ce modèle. Sa partie convective hyperbolique se présente sous une forme non-conservative. On étudie tout d'abord la définition de ses solutions faibles. Divers régimes d'écoulement sont alors mis à jour pour le mélange diphasique. Ces différents régimes d'écoulement présentent des analogies avec le comportement fluvial et torrentiel des écoulements en rivière. Les stabilités linéaire et non-linéaire de l'équilibre liquide-vapeur sont ensuite établies. Pour affiner notre description des interactions diphasiques, on étudie pour finir l'implémentation d'un modèle de turbulence, ainsi que l'implémentation d'une procédure de reconstruction pour la densité d'aire interfaciale.<br /><br />On s'intéresse ensuite à la simulation de ce modèle. Suivant une approche à pas fractionnaires, une méthode numérique est élaborée dans un formalisme Volumes Finis. Pour réaliser l'approximation de la partie convective, diverses adaptations non-conservatives de solveurs de Riemann standard sont tout d'abord proposées. A l'inverse du cadre non-conservatif classique, l'ensemble de ces schémas converge vers une unique solution. Un nouveau schéma de relaxation est ensuite proposé pour approcher la dynamique des transferts interfaciaux. L'ensemble de la méthode numérique se caractérise alors par la préservation des équilibres liquide-vapeur. Dans un premier temps, cette méthode numérique est employée à la comparaison des différentes modélisations bifluides à une et deux pressions. On l'applique ensuite à la simulation des écoulements liquide-vapeur dans les circuits hydrauliques des réacteurs à eau sous pression en configuration accidentelle.

Une ontologie de domaine est une représentation de la sémantique des concepts d'un domaine<br />en termes de classes et de propriétés, ainsi que des relations qui les lient. Avec le développement de<br />modèles d'ontologies stables dans différents domaines, OWL dans le domaine duWeb sémantique,<br />PLIB dans le domaine technique, de plus en plus de données (ou de métadonnées) sont décrites par référence à ces ontologies. La taille croissante de telles données rend nécessaire de les gérer au sein de bases de données originales, que nous appelons bases de données à base ontologique (BDBO), et qui possèdent la particularité de représenter, outre les données, les ontologies qui en définissent le sens. Plusieurs architectures de BDBO ont ainsi été proposées au cours des dernières années. Les chémas qu'elles utilisent pour la représentation des données sont soit constitués d'une unique table de triplets de type (sujet, prédicat, objet), soit éclatés en des tables unaires et binaires respectivement pour chaque classe et pour chaque propriété. Si de telles représentations permettent une grande flexibilité dans la structure des données représentées, elles ne sont ni susceptibles de passer à grande échelle lorsque chaque instance est décrite par un nombre significatif de propriétés, ni adaptée à la structure des bases de données usuelles, fondée sur les relations n-aires. C'est ce double inconvénient que vise à résoudre le modèle OntoDB. En introduisant des hypothèses de typages qui semblent acceptables dans beaucoup de domaine d'application, nous proposons une architecture de BDBO constituée de quatre parties : les deux premières parties correspondent à la structure usuelle des bases de données : données reposant sur un schéma logique de données, et méta-base décrivant l'ensemble de la structure de tables.<br />Les deux autres parties, originales, représentent respectivement les ontologies, et le méta-modèle<br />d'ontologie au sein d'un méta-schéma réflexif. Des mécanismes d'abstraction et de nomination permettent respectivement d'associer à chaque donnée le concept ontologique qui en définit le sens, et d'accéder aux données à partir des concepts, sans se préoccuper de la représentation des données. Cette architecture permet à la fois de gérer de façon efficace des données de grande taille définies par référence à des ontologies (données à base ontologique), mais aussi d'indexer des bases de données usuelles au niveau connaissance en leur adjoignant les deux parties : ontologie et méta-schéma. Le modèle d'architecture que nous proposons a été validé par le développement d'un prototype opérationnel implanté sur le système PostgreSQL avec le modèle d'ontologie PLIB. Nous présentons également une évaluation comparative de nos propositions aux modèles présentés antérieurement.