Ce travail présente quelques résultats concernant le comportement en temps fini et en temps long de méthodes numériques pour des équations stochastiques. On s'intéresse d'abord aux équations différentielles stochastiques de Langevin et de Langevin amorti. On montre un résultat concernant l'analyse d'erreur faible rétrograde de ses équations par des schémas numériques implicites. En particulier, on montre que l'erreur entre le générateur associé au schéma numérique et la solution d'une équation de Kolmogorov modifiée est d'ordre élevé par rapport au pas de discrétisation. On montre aussi que la dynamique associée au schéma numérique est exponentiellement mélangeante. Dans un deuxième temps, on étudie le comportement en temps long d'une discrétisation en temps et en espace d'une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif, qui possède une unique mesure invariante . On considère une discrétisation en temps par un schéma d'Euler et en espace par une méthode des éléments finis. On montre que la moyenne, par rapport aux lois invariantes (qui n'est pas forcément unique) associées à l'approximation, par des fonctions tests suffisamment régulières est proche de la quantité correspondante pour . Plus précisément, on étudie la vitesse de convergence par rapport aux différents paramètres de discrétisation. Enfin, on s'intéresse à une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif dont le terme non-linéaire est un polynôme. On étudie la convergence au sens faible d'une approximation en temps par un schéma de splitting implicite.

Ces travaux de recherche ont pour but d’évaluer la méthode dite de la "Simulation auxEchelles Adaptées" (SAS pour Scale-Adaptive Simulation). Cette approche coïncide avec uneapproche RANS classique dans les zones pariétales attachées et adapte le niveau de viscositéturbulente dans les zones décollées pour y permettre une résolution partielle des structures turbulentes.Dans une première partie, une analyse théorique du modèle SAS original a été menéeet a permis de développer une correction visant à favoriser l’adaptation du niveau de viscositéturbulente dans les zones sièges d’instabilités de type Kelvin-Helmholtz. Le modèle ainsi corrigéest nommé SAS-αL. Les modèles SAS et SAS-αL ont été implantés dans le code de calculNavier-Stokes elsA de l’ONERA. À l’issue de cette étape, trois cas académiques d’écoulementsturbulents instationnaires, cylindre à grand nombre de Reynolds, marche descendante et cavitétranssonique, ont été simulés grâce aux trois modèles de turbulence SST, SAS et SAS-αL. Outreune comparaison aux bases de données expérimentales disponibles, une attention particulièrea été portée à l’influence de paramètres numériques tels que des schémas numériques d’ordreélevé. Enfin, afin d’étudier la viabilité de l’approche SAS dans un contexte industriel, les troismodèles de turbulence ont été testés sur une configuration issue de l’industrie aéronautique etcorrespondant à la sortie d’air chaud d’un système de dégivrage des nacelles d’avion. La comparaisondes prévisions obtenues avec les modèles SST, SAS et SAS-αL aux données expérimentalesobtenues à l’ONERA a permis de montrer un gain de précision grâce à l’emploi de l’approcheSAS et ce pour un coût de calcul compatible avec un cycle de conception industrielle. / This research work is meant to assess an upgraded URANS approach, namely the Scale-Adaptive Simulation (SAS). This method is similar to a conventional RANS approach (namelythe SSTmodel) in attached areas and is able to adapt the eddy-viscosity level in detached areas toensure the resolution, at least partially, of the turbulent structures. In a first part of this researchwork, an improvement of the SAS approach is suggestedto allowa better sensitivity of themodelto instabilities such as Kelvin-Helmholtz ones. This "improved" model is referred to as SAS-αLmodel. Both SAS and SAS-αL models were implemented in the ONERA Navier-Stokes solverelsA and both of themaswell as the SSTmodelwere tested on academic test cases : a cylinder in acrossflowat a high Reynolds number, a backward-facing step flowcorresponding to theDriver&Seegmiller experiment and the transonic flow over the M219 cavity experimentally investigatedby de Henshaw. The influence of the numerical parameters was deeply investigated and particularattention was paid to the high-order space-discretization schemes effects. The reliabilityof the SAS approach in an industrial framework was assessed on an aeronautic configurationnamely a nacelle de-icing device. Comparisons between the threemodels (SST, SAS and SAS-αL)and an experimental database available at ONERA - The French Aerospace Lab have shown thebetter accuracy of the SAS approach as well as the high potential of the SAS-αL model.

Ce texte de synthèse a pour but de présenter l'´évolution de mes recherches postèrieures à ma thèse. Ce travail s'articule autour de plusieurs axes de recherche dans le cadre des équations aux dérivées partielles non linéaires et en particulier des lois de conservation.<br />Il s'inscrit dans l'étude des problèmes hyperboliques, des problème mixtes et des équations cinétiques. Les domaines d'application sont la mécanique des fluides ou du solide, la propagation de composants chimiques, l'électromagnétisme, l'optique.<br />Mon activité concerne d'abord la modélisation de phénomènes physiques ou chimiques sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires telles que les équations de Bloch, Korteweg, Navier-Stokes, Saint-Venant, puis vient l'étude mathématique de ces équations à travers les<br />problèmes d'existence, d'unicité, de régularité avec éventuellement la mise au point de méthodes numériques de résolution.<br /> Ce document est divisé en une introduction générale et trois chapitres qui concernent respectivement les systèmes hyperboliques avec conditions aux limites et la chromatographie, les problèmes d'analyse asymptotique et enfin les méthodes cinétiques.<br />Dans chaque partie, un historique et une présentation des différents résultats mathématiques sont faits et quelques problèmes ouverts sont donnés.