Ce mémoire est une synthèse de plusieurs études à l'intersection des systèmes dynamiques dans l'analyse statistique de séquences, de l'analyse d'algorithmes dans des arbres aléatoires et des processus stochastiques discrets. Les résultats établis ont des applications dans des domaines variés allant des séquences biologiques aux modèles de régression linéaire, processus de branchement, en passant par la statistique fonctionnelle et les estimations d'indicateurs de risque appliqués à l'assurance. Tous les résultats établis utilisent d'une façon ou d'une autre le caractère récursif de la structure étudiée, en faisant apparaître des invariants comme des martingales. Elles sont au coeur de ce mémoire, utilisées comme outils dans les preuves ou comme objets d'étude.

Cette thèse est constituée de trois articles. Le premier étudie le problème de pollution globale dans un contexte environnemental incertain. Le deuxième article traite des accords internationaux sur l'environnement. Le troisième article montre comment la libéralisation du commerce peut affecter le bien-être et les taxes sur la pollution dans un monde où les pays sont hétérogènes et la pollution transfrontalière. Dans le premier article, je considère un monde dans lequel les pays souffrent uniformément de la pollution globale. Ils font face à une menace continuelle de voir les dommages causés par cette pollution globale s'accroître subitement de façon irréversible. Je caractérise le niveau des émissions, le stock de pollution, et le niveau de bien-être actualisé en équilibres coopératif et non-coopératif. L'objectif visé est d'analyser l'impact de ce type d'incertitude sur les équilibres issus des comportements stratégiques des pays. Je trouve que cette incertitude peut avoir un effet significatif sur ces équilibres. Les pays réduisent leurs émissions pour atténuer leur exposition à cette menace. Plus la menace est grande, plus les pays ajustent leurs émissions afin de réduire le stock de pollution globale. Cependant, en dépit du fait que cette incertitude diminue le bien-être net initial, elle peut à long terme avoir un effet net positif sur le bien-être. Le deuxième article étend la classe des modèles dynamiques standards traitant des accords internationaux sur l'environnement au cas où la durée de la période d'engagement à de tels accords est un paramètre que l'on peut varier de façon exogène. Nous y étudions les évolutions dans le temps de la taille des coalitions stables, du stock de pollution et du taux d'émissions en fonction de la durée d'engagement. Nous montrons que la longueur de la période d'engagement a un effet très significatif sur l'équilibre. Trois intervalles de durée d'engagement sont identifiés pour lesquels l'équilibre et sa dynamique diffèrent considérablement. Alors que pour des durées de la période d'engagement très longues on observe des coalitions stables constituées d'un petit nombre de pays, si ces durées sont suffisamment courtes on peut observer un niveau de coopération élevé. Les durées d'engagement entre ces deux extrêmes sont caractérisées par une relation inverse entre la durée de la période d'engagement et la taille des coalitions stables. Ces faits portent à croire qu'il faudrait accorder une attention toute particulière au choix de la durée d'engagement lors de l'élaboration de tels accords internationaux. Le troisième article s'inscrit dans un contexte où les activités de production des pays potentiellement hétérogènes génèrent de la pollution qui peut traverser les frontières et nuire au bien-être des pays impliqués. Dans chacun de ces pays, l'état impose des taxes sur la pollution aux firmes polluantes et des tarifs à l'importation afin de corriger cette distorsion. Ce papier a pour but d'évaluer les effets que pourrait avoir une diminution des tarifs douaniers sur la production, les taxes sur la pollution et le bien-être de ces pays. La littérature existante a étudié ce problème, mais seulement dans le cadre d'un commerce bilatéral entre pays identiques. Cet article fournit un cadre d'analyse plus réaliste dans lequel les pays ne seront pas nécessairement identiques et où le commerce pourra être multilatéral. Il devient alors possible de mettre en évidence le biais introduit en négligeant ces deux facteurs. Dans ce nouveau contexte, je montre qu'une réduction des tarifs d'importation n'augmente pas nécessairement la production; elle peut aussi nuire au bien-être, même si la pollution est purement locale. / This thesis is composed of three papers. The first paper studies the problem of global pollution in the context of environmental uncertainty. The second paper has to do with international environmental agreements. The third paper shows how trade liberalization can affect welfare and pollution taxes in a world of heterogeneous countries and transboundary pollution. In the first paper, I consider a world where countries suffer uniformly from global pollution while facing a continuous threat that the damages from this global pollution will suddenly jump to an irreversible high-damage state. I characterize the equilibrium level of emissions, the equilibrium stock of global pollution and the discounted net social welfare for both the cooperative and non-cooperative equilibria. The purpose is to analyze the impact of this type of uncertainty on the equilibrium behavior of the countries. I find that this uncertainty can have a significant effect on those equilibria. Countries reduce their emissions to mitigate their exposure to that threat. As the level of threat rises, countries adjust their emissions to lower the stock of pollutant. However, although initially this type of uncertainty has the effect of lowering the discounted net welfare, it can in the long run have a net positive effect on welfare. The second paper extends the standard model of self-enforcing dynamic international environmental agreements by allowing the length of the period of commitment of such agreements to vary as a parameter. It analyzes the pattern of behavior of the size of stable coalitions, the stock of pollutant and the emission rate as a function of the length of the period of commitment. It is shown that the length of the period of commitment can have very significant effects on the equilibrium. Three distinct intervals for the length of the period of commitment are identified, across which the equilibrium and its dynamic behavior differ considerably. Whereas for sufficiently high values of the period of commitment only self-enforcing agreements by a small number of countries are possible, for sufficiently low such values cooperation on the part of a very high number of countries can be occur. Lengths of periods of commitment between those two thresholds are characterized by an inverse relationship between the length of commitment and the membership size of the agreement. This suggests that considerable attention should be given to the determination of the length of such international agreements. The third paper considers a trade situation where the production activities of potentially heterogeneous countries generate pollution which can cross borders and harm the well-being of all the countries involved. In each of those countries the policy maker levies pollution taxes on the polluting firms and a tariff on imports in order to correct that distortion. The purpose of the paper is to investigate the effect of a reduction in the tariff on equilibrium pollution taxes and welfare. The existing literature has investigated this problem for trade between two identical countries. This paper analyzes the problem in the more realistic context where countries are not necessarily identical and trade can be multilateral. It becomes possible to show what bias is introduced when those two realities are neglected. I find that a tariff reduction can actually lower output; it can also lower welfare even if pollution is purely local.

Ce mémoire concerne la construction et l'analyse d'estimateurs robustes pour le calcul numérique des dérivés de signaux bruités et des paramètres de signaux sinusoïdaux bruités. Ces estimateurs, originalement introduits par Fliess, Mboup et Sira Ramirez, sont actuellement étudiés au sein de l'équipe projet NON-A de l'INRIA Lille Nord Europe. Pour une classe d'entre eux, nous les obtenons à partir de la réécriture dans le domaine opérationnel de Laplace des équations différentielles linéaires des signaux analysés. Par des manipulations algébriques simples dans l'anneau R(s)[d/ds] des polynômes différentiels en d/ds à coefficients rationnels en la variable opérationnelle s, nous montrons que ces estimateurs sont non-asymptotiques et que les estimations numériques obtenues, même en présence de bruits, sont robustes pour un faible nombre d'échantillons des signaux. Nous montrons, de plus, que ces propriétés sont vérifiées pour une large classe de type de bruits. Ces estimateurs exprimés dans le domaine temporel s'écrivent en général via des fractions d'intégrales itérées des signaux analysés. Dans la première partie du mémoire, nous étudions des familles d'estimateurs de dérivées obtenus par ces méthodes algébriques. Nous montrons que pour une classe d'entre eux, il est possible de les formuler directement en tronquant une série orthogonale de polynômes de Jacobi. Cette considération nous permet alors d'étendre à IR le domaine de définition des paramètres de ces estimateurs. Nous analysons ensuite l'influence de ces paramètres étendus sur l'erreur de troncature, qui produit un retard d'estimation dans le cas causal, puis sur l'erreur due aux bruits, considérés comme des processus stochastiques, et enfin sur l'erreur numérique de discrétisation des intégrales. Ainsi, nous montrons comment réduire le retard d'estimation et l'effet du aux bruits. Une validation de cette approche est réalisée par la construction d'un observateur non asymptotique de variables d'état d'un système non linéaire. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous construisons par cette approche algébrique des estimateurs des paramètres d'un signal sinusoïdal bruité dont l'amplitude varie avec le temps. Nous montrons que les méthodes classiques de fonctions modulatrices sont un cas particulier de cette approche. Nous étudions ensuite l'influence des paramètres algébriques sur l'erreur d'estimation due au bruit et l'erreur numérique d'intégration. Des majorations de ces erreurs sont données pour une classe d'estimateurs. Finalement, une comparaison entre ces estimateurs et la méthode classique de détection synchrone est réalisée pour démontrer l'efficacité de notre approche sur ce type de signaux.

Les éléments principaux apparaissant dans ce document de synthèse sont les suivants : - La mise en exergue de la pertinence du critère d'information $\phi_\beta$ qui offre la possibilité d'être ``réglé'' par apprentissage de $\beta$ et cela quelque soit le problème de sélection de modèles pour lequel il est possible d'écrire un critère d'information, possibilité qui a été illustrée dans divers contextes applicatifs (supports de prédiction linéaire et dimension du modèle utilisé pour les cinétiques de $\dot VO_2$). - Une méthode d'estimation d'histogrammes pour décrire de manière non-paramé-trique la distribution d'échantillons et son utilisation en reconnaissance de lois supervisée dans un contexte de canaux de transmission. \item Une méthode dite ``comparative descendante'' permettant de trouver la meilleure combinaison des paramètres pour décrire les données étudiées sans avoir à tester toutes les combinaisons, illustrée sur l'obtention de supports de prédiction linéaire 1-d et 2-d. - La mise en place de stratégies de choix de modèles par rapport à des contextes variés comme l'imagerie TEP et les lois de mélange de Gauss et de Poisson ou les espaces couleur et les lois de mélange gaussiennes multidimensionnelles. - L'exploration des modèles de prédiction linéaire vectorielle complexe sur les images représentées dans des espaces couleur séparant l'intensité lumineuse de la partie chromatique et l'usage qui peut en être fait en caractérisation de textures afin de les classifier ou de segmenter les images texturées couleur. \item Des apports en segmentation : optimisation d'une méthode de segmentation non-supervisée d'images texturées en niveaux de gris ; une nouvelle méthode supervisée de segmentation d'images texturées couleur exploitant les espaces couleur psychovisuels et les erreurs de prédiction linéaire vectorielle complexe ; prise en compte dans des distributions de Gibbs d'informations géométriques et topologiques sur le champ des régions afin de réaliser de la segmentation 3-d ``haut-niveau'' exploitant le formalisme des processus ponctuels. - L'illustration des méthodes MCMC dans des contextes divers comme l'estimation de paramètres, l'obtention de segmentations 2-d ou 3-d ou la simulation de processus. Et beaucoup d'autres éléments se révèleront à sa lecture ...

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

Ce travail de thèse a pour objet l'étude de modèles markoviens qui résultent de la prise en compte d'incertitudes dans des systèmes possédant une dynamique hybride : entrées bruitées, dynamique mal connue, ou évènements aléatoires par exemple. De tels modèles, parfois qualifiés de Systèmes Hybrides Stochastiques (SHS), sont utilisés principalement en automatique et en recherche opérationnelle.<br /><br />Nous introduisons dans la première partie du mémoire la notion de processus diffusif par morceaux, qui fournit un cadre théorique général qui unifie les différentes classes de modèles "hybrides" connues dans la littérature. Différents aspects de ces modèles sont alors envisagés, depuis leur construction mathématique (traitée grâce au théorème de renaissance pour les processus de Markov) jusqu'à l'étude de leur générateur étendu, en passant par le phénomène de Zénon.<br /><br />La deuxième partie du mémoire s'intéresse plus particulièrement à la question de la "propagation de l'incertitude", c'est-à-dire à la manière dont évolue la loi marginale de l'état au cours du temps. L'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) usuelle est généralisée à diverses classes de processus diffusifs par morceaux, en particulier grâce aux notions d'intensité moyenne de sauts et de courant de probabilité. Ces résultats sont illustrés par deux exemples de modèles multidimensionnels, pour lesquels une résolution numérique de l'équation de FPK généralisée a été effectuée grâce à une discrétisation en volumes finis. La comparaison avec des méthodes de type Monte-Carlo est également discutée à partir de ces deux exemples.

Ce travail présente quelques résultats concernant le comportement en temps fini et en temps long de méthodes numériques pour des équations stochastiques. On s'intéresse d'abord aux équations différentielles stochastiques de Langevin et de Langevin amorti. On montre un résultat concernant l'analyse d'erreur faible rétrograde de ses équations par des schémas numériques implicites. En particulier, on montre que l'erreur entre le générateur associé au schéma numérique et la solution d'une équation de Kolmogorov modifiée est d'ordre élevé par rapport au pas de discrétisation. On montre aussi que la dynamique associée au schéma numérique est exponentiellement mélangeante. Dans un deuxième temps, on étudie le comportement en temps long d'une discrétisation en temps et en espace d'une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif, qui possède une unique mesure invariante . On considère une discrétisation en temps par un schéma d'Euler et en espace par une méthode des éléments finis. On montre que la moyenne, par rapport aux lois invariantes (qui n'est pas forcément unique) associées à l'approximation, par des fonctions tests suffisamment régulières est proche de la quantité correspondante pour . Plus précisément, on étudie la vitesse de convergence par rapport aux différents paramètres de discrétisation. Enfin, on s'intéresse à une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif dont le terme non-linéaire est un polynôme. On étudie la convergence au sens faible d'une approximation en temps par un schéma de splitting implicite.

Les approches statistiques en génétique des populations visent deux objectifs distincts qui sont la description des données et la possibilité d'inférer les processus évolutifs qui ont généré les patrons observés. Le premier chapitre de ce manuscrit décrit nos apports théoriques et méthodologiques concernant le calcul bayésien approché (Approximate Bayesian Computation) qui permet de réaliser l'objectif d'inférence des processus évolutifs. Je décris des résultats asymptotiques qui permettent de décrire des propriétés statistiques du calcul bayésien approché. Ces résultats mettent en évidence à la fois l'intérêt des méthodes dites avec ajustement qui reposent sur des équations de régression et aussi l'intérêt de réduire la dimension des descripteurs statistiques utilisés dans le calcul bayésien approché. Je présente ensuite une méthode originale de calcul bayésien approché qui permet de manière conjointe d'effectuer des ajustements et de réduire la dimension des descripteurs statistiques. Une comparaison des différentes méthodes de réduction de dimension clos le premier chapitre. Le deuxième chapitre est consacré à l'objectif de description des données et se place plus particulièrement dans un cadre spatial. Les méthodes statistiques proposées reposent sur le concept d'isolement par la distance qui est une forme particulière de l'autocorrélation spatiale où la corrélation entre individus décroit avec la distance. Une approche originale de krigeage nous permet de caractériser des patrons d'isolement par la distance non-stationnaire où la manière avec laquelle la corrélation entre individus décroit avec la distance dépend de l'espace. Une deuxième extension que nous proposons est celle d'isolement par la distance anisotrope que nous caractérisons et testons à partir d'une équation de régression. La conclusion de ce manuscrit met l'accent sur les problèmes d'interprétation des résultats statistiques, l'importance de l'échantillonnage et la nécessité de tester l'adéquation des modèles aux données. Je conclus par des perspectives qui se proposent de faire passer l'analyse statistique bayésienne à l'échelle des données massives produites en génétique.

Ces travaux s'intéressent à l'estimation de la fiabilité des évacuateurs de crues vannés. Le comportement fiabiliste de ces systèmes hydrauliques dépend à la fois d'événements aléatoires discrets, mais aussi de l'évolution d'une variable déterministe continue : ce sont des systèmes dynamiques hybrides. Pour ces systèmes, l'événement redouté est réalisé lorsque le niveau de la retenue atteint un seuil de sûreté. La démarche de fiabilité dynamique proposée dans cette thèse vise à prendre en compte l'information temporelle, de la modélisation à la synthèse d'indicateurs fiabilistes pour l'aide à la décision et développe deux contributions : 1) L'élaboration d'une base de connaissances dédiée à la description des évacuateurs de crues en termes de fiabilité dynamique. Chaque classe de composants est décrite par un automate stochastique hybride dont les états sont les différentes phases de son fonctionnement. 2) Le suivi de la simulation de Monte Carlo, le traitement et l'analyse des "histoires" (séquence de tous les états activés et des dates d'activation) obtenues en simulation. Cela permet de construire des indicateurs de fiabilité classique (probabilité d'occurrence de l'évènement redouté, identification des coupes équivalentes prépondérantes, ...). Des indicateurs de fiabilité dynamique basés sur la classification des histoires en fonction des dates de défaillance des composants concernés et sur l'estimation de l'importance dynamique sont aussi proposés.

Quels sont les principes fondateurs de l'auto-organisation des sociétés humaines ? Produits d'une évolution culturelle rapide, qui a pris le pas sur l'évolution biologique, celles-ci réclament une approche par des formalismes radicalement différents de ceux utilisés généralement dans l'étude des autres sociétés animales. Concrètement, la modélisation des rapports entre individus et collectif considère le plus souvent des agents qui peuvent être représentés sous la forme d'une hiérarchie de règles, chacune se plaçant en position méta par rapport aux règles du niveau inférieur. Celles-ci peuvent s'interpréter, selon les niveaux, comme des règles de comportement, des règles de décision, des règles de transmission culturelle ou génétique. L'émergence de régularités au niveau collectif peut alors s'interpréter comme la sélection d'une distribution particulière sur l'ensemble des règles et métarègles définissant les agents. Dès lors, le problème de l'auto-organisation dans les systèmes économiques et sociaux se reformule autour de la question suivante : « Peut-on endogénéiser les distributions des métarègles de comportement de manière à ce qu'elles soient le produit des dynamiques collectives qu'elles définissent ? ». Nous montrons dans cette thèse que la prise en compte, dans les modèles formels, de la spécificité de l'imitation humaine permet de répondre positivement à cette question, un point essentiel étant qu'une règle d'imitation peut être sa propre métarègle. Nous proposons ainsi un cadre formel pour l'étude de sociétés d'agents mimétiques auto-organisées, les jeux métamimétiques ; le concept d'équilibre correspondant est alors l'état contrefactuellement stable : aucun agent ne peut s'imaginer mieux qu'il n'est en se mettant contrefactuellement à la place de l'un de ses voisins. Nous étudions ensuite les propriétés de ces jeux en prenant comme champs d'application le problème de l'émergence de la coopération dans un dilemme de prisonnier spatialisé. Nous montrons au passage, que cette approche permet d'échapper au dilemme. Plus généralement, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie des jeux stochastiques et nous explicitons le rôle structurant des perturbations dans ce type de système dynamique, les structures spatio-temporelles émergentes étant le produit du couplage entre la dynamique endogène des systèmes métamimétiques et la structure interne des perturbations. En rupture avec l'approche traditionnelle, ceci nous amène à interpréter l'hétérogénéité auto-organisée des systèmes sociaux humains comme une différenciation par un processus de co-évolution d'une multiplicité de critères possibles, plutôt que par un processus d'optimisation global d'un critère unique.