In large and complex systems, failures can have dramatic consequences, such as black-outs, pandemics or the loss of entire classes of an ecosystem. Nevertheless, it is a centuries-old intuition that by using networks to capture the core of the complexity of such systems, one might understand in which part of a system a phenomenon originates. I investigate this intuition using spectral methods to decouple the dynamics of complex systems near stationary states into independent dynamical modes. In this description, phenomena are tied to a specific part of a system through localized eigenvectors which have large amplitudes only on a few nodes of the system's network. Studying the occurrence of localized eigenvectors, I find that such localization occurs exactly for a few small network structures, and approximately for the dynamical modes associated with the most prominent failures in complex systems. My findings confirm that understanding the functioning of complex systems generally requires to treat them as complex entities, rather than collections of interwoven small parts. Exceptions to this are only few structures carrying exact localization, whose functioning is tied to the meso-scale, between the size of individual elements and the size of the global network. However, while understanding the functioning of a complex system is hampered by the necessary global analysis, the prominent failures, due to their localization, allow an understanding on a manageable local scale. Intriguingly, food webs might exploit this localization of failures to stabilize by causing the break-off of small problematic parts, whereas typical attempts to optimize technological systems for stability lead to delocalization and large-scale failures. Thus, this thesis provides insights into the interplay of complexity and localization, which is paramount to ascertain the functioning of the ever-growing networks on which we humans depend.:1 Introduction 2 Concepts and Tools 2.1 Networks 2.2 Food webs 2.3 Dynamics on networks 2.4 Steady state operating modes 2.5 Bifurcations affecting operating modes 2.6 Dynamical modes 2.7 Generalized models for food webs 3 Perturbation Impact 3.1 Impact of perturbations on food webs 3.2 Examples 3.3 Impact formulation with dynamical modes 3.4 Influence and sensitivity of species 3.5 Localized dynamical modes 3.6 Iterative parameter estimation 3.7 Most important parameters and species 3.8 Discussion 4 Exact Localization 4.1 Graph symmetries 4.2 Localized dynamics on symmetries 4.3 Exactly localized dynamics 4.4 Symmetry reduction in networks 4.5 Application to food webs 4.6 Localization on asymmetric structures 4.7 Nearly-exact localization 4.8 Other systems 4.9 Discussion 5 Approximate Localization 5.1 Spread of a dynamical mode 5.2 Examples for localized instabilities 5.3 Localization of extreme eigenvalues 5.4 Dependence on the system size 5.5 Localization in the model of R. May 5.6 Finding motifs that carry localization 5.7 (Self-)stabilization of food webs 5.8 Repairing localized instabilities 5.9 Discussion 6 Conclusions Acknowledgments Appendix A Parametrization of the Gatun Lake food web B The Master Stability Function approach C Approximate localization on larger structures Bibliography

Dem Erwerb geometrischer Kompetenzen wird in der Primarstufe im Allgemeinen eine wichtige Bedeutung zugemessen. Geometrische Inhalte finden sich in Deutschland sowohl in den nationalen Bildungsstandards als auch in den Lehrplänen der Bundesländer wieder. An einer strukturierten empirischen Aufarbeitung der Kompetenzentwicklung, der Fähigkeiten sowie der Schwierigkeiten der Schülerinnen und Schüler in der Auseinandersetzung mit diesen Inhalten mangelt es dennoch in einigen dieser Bereiche. Damit einhergehend fehlen auch erforderliche Grundlagen, die es Lehrkräften ermöglichen, Unterricht planen zu können und somit ein anschlussfähiges Verständnis bei den Schülerinnen und Schülern aufzubauen. Aus der Lehrerprofessionsforschung liegen Modelle vor, welche zentrale Wissensfacetten, die eine Rolle bei der unterrichtlichen Vermittlung fachlicher Inhalte spielen, beschreiben (u.a. Weinert, Schrader & Helmke 1990; Shulman 1986; Bromme 1992, 1997; Baumert & Kunter 2006, 2011; Ball, Thames & Phelps 2008). Insbesondere dem fachlichen sowie dem fachdidaktischen Wissen der Lehrperson wird eine entscheidende Rolle bezüglich des Lernerfolgs der Schülerinnen und Schüler zugeschrieben (u.a. Kunter et al. 2013). Ein geometrischer Inhaltsbereich, in dem bereits Wissen vorliegt, auf das Lehrerinnen und Lehrer zurückgreifen können, ist die Achsenspiegelung und -symmetrie. Dieses Wissen bezieht sich jedoch überwiegend auf die Sekundarstufe und ist wenig systematisch angelegt bzw. lückenhaft. Diese Arbeit verfolgt daher das Ziel, systematisch Wissen herauszuarbeiten, auf das Lehrkräfte zurückgreifen können, um im Geometrieunterricht der Grundschule fachlich fundierte Entscheidungen treffen zu können und im Bereich der Achsenspiegelung und Achsensymmetrie mit Bezug auf die individuellen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler ein anschlussfähiges und tragfähiges Verständnis aufzubauen. Basierend auf einer integrativen Betrachtung der Facetten professionellen Wissens werden inhaltsspezifisch relevante Facetten des Wissens von Lehrkräften herausgearbeitet. Diese Perspektiven der Lehr-Lern-Forschung werden aufgegriffen und bieten eine Rahmung zur fachlichen und fachdidaktischen Einordnung der einzelnen Forschungsarbeiten dieser Dissertation. Die Forschungsschwerpunkte dieser Arbeit werden daraufhin ebenfalls in der Rahmung verankert, anschließend vorgestellt und ihre Ergebnisse zusammengefasst. • Der erste Forschungsschwerpunkt setzt sich mit wichtigen Grundlagen zu spezifischen Anforderungen von Aufgabenstellungen sowie typischen schwierigkeitsgenerierenden Merkmalen bei der Achsenspiegelung und Achsensymmetrie auseinander (vgl. Götz & Gasteiger 2019; Götz et al. 2020; Götz 2018). Dabei führt der Abgleich psychometrisch erfasster Aufgabenschwierigkeiten mit inhaltlich fachdidaktischen Analysen der Fehler und theoretischen Erkenntnissen zur Achsenspiegelung zu einem Kategorienschema mit unterschiedlichen schwierigkeitsgenerierenden Merkmalen bei Aufgaben zur Achsenspiegelung und deren Ausprägungen. • Der zweite Forschungsschwerpunkt nimmt das Wissen über das mathematische Denken von Schülerinnen und Schülern bei der Achsenspiegelung in den Fokus. Um dieser Frage nachzugehen, wurden in dieser Studie Äußerungen der Schülerinnen und Schüler während ihrer Lösungsprozesse bei Aufgaben zur Achsenspiegelung beobachtet und analysiert (vgl. Götz & Gasteiger 2022). Der Mehrwert dieser Arbeit liegt insbesondere in den Erkenntnissen zu fachdidaktischem Wissen bezüglich des Unterrichtens der Achsensymmetrie und Achsenspiegelung in der Grundschule. Ein Kategorienschema zu den schwierigkeitsgenerierenden Merkmalen bei der Achsenspiegelung, ein Überblick über Fehlerarten bei Aufgaben zur Achsensymmetrie sowie Zusammenstellungen, die Rückschlüsse auf das Verständnis von Schülerinnen und Schülern bei der Achsenspiegelung ermöglichen, bieten eine wertvolle Wissensbasis für Lehrkräfte in der Grundschule. Für die Unterrichtspraxis sind die Ergebnisse dieser Arbeit an unterschiedlichen Stellen relevant. Zum einen stellen die Ergebnisse dieser Arbeit ein Handlungsgerüst zur Erstellung adäquater Aufgaben, zum anderen liefern sie eine wertvolle Unterstützung bei der Kompetenzdiagnostik. Gleichzeitig geht aus den Ergebnissen dieser Arbeit die hohe Bedeutung adäquater Unterrichtsmaterialien hervor – wobei diesbezüglich wertvolle Hinweise zur Auswahl geeigneter Arbeitsmittel gegeben werden.

In a crystalline ordered magnet, coherent excitations called spin waves, or magnons, propagate in the material forming band structures in an analogous way to electrons. Spin waves can possess non trivial topology associated with novel response functions of fundamental and potential technological interest. In particular, topologically protected surface states of magnons offer a new path towards coherent spin transport for spintronics applications. One of the central issues in this area is to establish the conditions under which band topology can arise in magnons and explore its variety. In this work we harness the full power of symmetry as applied to magnetism, to facilitate the discovery of new topological magnon models and materials. We show how to efficiently identify such systems by adapting the electronic topological quantum chemistry scheme to magnons, using constraints imposed by time reversal and crystalline symmetries to determine possible gapped and nodal topology in magnon models. Further, we explore enhanced symmetries beyond this paradigm, which are nevertheless natural for magnons: the spin-space groups. Exploring spin-space symmetry, which has wholly or partially decoupled magnetic and lattice degrees of freedom, reveals a proliferation of nodal points, lines, and planes beyond the standard crystalline symmetries. Linear spin wave theory is one of the most valuable techniques to study magnons, however, it can fail in different scenarios. Because of its importance to the community, we explore cases where it contains spurious symmetries which can potentially hide important physics in the spectra, like topology. We provide therefore a simple way to identify and resolve such cases within the linear theory. Finally, a pressing issue in magnons is the experimental detection and manipulation of topological surface states. Even more, the characterisation of generic 2D magnetism is an open problem. We contribute to this by devising an experimental setup based on quasi-particle interference which potentially could solve this long-lasting challenge. / Kohärente Anregungen, wie Spinwellen, auch Magnonen genannt, formen Bandstrukturen in kristallin geordneten Materialien. Diese Magnonen können eine nicht triviale Topologie aufwei- sen, welche neuartige Antwortfunktionen erzeugen können. Sie sind daher von technologischem Interesse. Insbesondere die topologisch geschützten Oberflächenzustände der Magnonen ermöglichen eine Realisierung von kohärentem Spin Transport und erlauben eine potentielle Anwendung in der Spintronik. Zentraler Punkt der aktuellen Forschung sind Bedingungen, unter denen eine nicht triviale Magnon-Bandtopologie entstehen kann und welche Möglichkeiten diese eröffnen. In dieser Arbeit untersuchen wir diese neuartigen topologischen Phasen für verschiedene Mo- delle unter Nutzung verschiedener Symmetrien. Die Erweiterung des elektronischen “topological quantum chemistry” Ansatzes für Magnonen erlaubt eine effiziente Identifikation dieser topologischen Eigenschaften. Der Ansatz basiert auf verschiedenen Einschränkungen, welche von der Zeitumkehr und kristallinen Symmetrien induziert werden. Darüber hinaus untersuchen wir die Anwendung von weiteren Symmetrien, welche relevant für Magnonen sind: die Spin-Raumgruppen. Die Erforschung der Spin-Raum-Symmetrie, welche magnetische Freiheitsgrade und Gittersyme- trien ganz oder teilweise entkoppelt, führt zur Ausbreitung von Knotenpunkten, Linien und Ebenen jenseits der standardmäßigen Kristallsymmetrien. Die lineare Spinwellentheorie ist eine der erfolgreichsten Methoden zur Untersuchung von Magnonen, kann jedoch unter verschiedenen Umständen versagen, da künstliche Symmetrien essenzielle Physik, wie beispielsweise topologische Eigenschaften, verbergen. Ansätze, die im Rahmen dieser Dissertation erarbeitet worden sind, helfen dabei, solche Fälle zu identifizieren und zu verstehen. Aktuelle Experimente zur Manipulation topologischer Oberflächenzustände von Magnonen, sowie die allgemeine Untersuchung von Magnetismus in zwei Dimensionen, fehlen. Daher präsentieren wir einen möglichen experimentellen Aufbau, basierend auf Quasi-Teilchen-Interferenz, welcher einen möglichen Ausweg aufzeigt.

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Die spontane Brechung der chiralen Symmetrie ist ein faszinierendes Phenomän der QCD mit fundamentalen phänomenologischen Implikationen. Die Brechung der chiral Symmetrie ist beispielsweise verantwortlich für die niedrige Masse der Pionen, welche die effektiven Goldstone Boson der spontan gebrochene Symmetrie sind. Die spontane Brechung der chiral Symmetrie und die chirale Anomalie sind niedrig Energie-Phenomäne der QCD, weshalb nichtperturbative Methoden nötig sind um sie zu studieren. In der vorliegenden Arbeit verwenden wir die Gitterregularisierung der QCD, um das chirale Kondensat, den Ordnungsparameter der spontanen Brechung der chiralen Symmetrie zu bestimen. Dazu wendeten wir die Definition der in dieser Arbeit studierten Observablen über Dichteketten an, die eine theoretisch wohldefinierte Bahndlung der Observablen zulässt. Für die praktische Berechnung wurde die kürzlich entwickelte Methode der spektralen Projektoren angewandt. In dieser Weise berchnen wir den Kontinuumlimes des chiralen Kondensates, das im chiralen Limes gewonnen, sowohl für N_f=2 als auch für N_f=2+1+1 Flavour von so genannten twisted mass Fermionen. Des Weiteren untersuchen wir das chirale Verhalten der topologischen Suszeptibilität. Wir verwenden hier wieder die Methode der spektralen Projektoren, anstelle aufwendigerer Verfahren, die chirale Symmetrie erhalten, aber zu numerisch sehr aufwändigen Simulationen führen. Schließ lich kommentieren wir die sich aus den starken Autokorrelationen ergebenden Schwierigkeiten dieser Rechnung. Abschließ end stellen wir die Kontinuumlimes-Ergebnisse der topologischen Suszeptibilität in der rein gluonischen Theorie vor, die es uns erlauben, die Witten-Veneziano-Formel zu testen. Unseren Untersuchung zufolge ist diese Formel gut erfüllt. Diese Tatsache stützt die Gültigkeit der Formel, die die topologischen Fluktuationen der Eichfelder mit der unerwartet groß en Masse des eta'' Mesons in Verbindung setzt. / The spontaneous breaking of chiral symmetry is a fascinating phenomenon of QCD whose mechanism is still not well understood and it has fundamental phenomenological implications. It is, for instance, responsible for the low mass of the pions which are effectively Goldstone bosons of the spontaneously broken symmetry. Since these phenomena belong to the low energy regime of QCD, non-perturbative techniques have to be applied in order to study them. In this work we use the twisted mass lattice QCD regularization to compute the chiral condensate, the order parameter of spontaneous chiral symmetry breaking. To this end we apply the recently introduced method of spectral projectors which allows us to perform calculations in large volumes due to its inherently low computational cost. This approach, moreover, enables a direct calculation of the chiral condensate based on a theoretically clean definition of the observable via density chains. We thus present a continuum limit determination of the chirally extrapolated condensate for N_f=2 and N_f=2+1+1 flavours of twisted mass fermions at maximal twist. In addition we study the chiral behavior of the topological susceptibility, a measure of the topological fluctuations of the gauge fields. We again apply the spectral projector method for this calculation. We comment on the difficulties which appear in the calculation of this observable due to the large autocorrelations involved. Finally we present the continuum limit result of the topological susceptibility in the pure gluonic theory which allows us to perform a test of the Witten-Veneziano relation. We found that this relation is well satisfied. Our results support the validity of the Witten-Veneziano formula which relates the topological fluctuations of the gauge fields with the unexpectedly large value of the eta''

Das Zusammenspiel von Hadronen und Modifikationen ihrer Eigenschaften auf der einen Seite und spontaner chiraler Symmetriebrechung und Restauration auf der anderen Seite wird untersucht. Es werden die QCD Summenregeln für D und B Mesonen in kalter Materie berechnet. Wir bestimmen die Massenaufspaltung von D - D-bar und B - B-bar Mesonen als Funktion der Kerndichte und untersuchen den Einfluss verschiedener Kondensate in der Näherung linearer Dichteabhängigkeit. Die Analyse beinhaltet ebenfalls D_s und D^*_0 Mesonen. Es werden QCD Summenregeln für chirale Partner mit offenem Charmfreiheitsgrad bei nichtverschwindenden Nettobaryonendichten und Temperaturen vorgestellt. Es wird die Differenz sowohl von pseudoskalaren und skalaren Mesonen, als auch von Axialvektor- und Vektormesonen betrachtet und die entsprechenden Weinberg-Summenregeln hergeleitet. Basierend auf QCD Summenregeln werden die Auswirkungen eines Szenarios auf das rho Meson untersucht, in dem alle chiral ungeraden Kondensate verschwinden wohingegen die chiral symmetrischen Kondensate ihren Vakuumwert behalten. Die komplementären Folgerungen einer Massenverschiebung und Verbreiterung der rho Mesonanregung werden diskutiert. Ein alternativer Zugang basierend auf gekoppelten Dyson-Schwinger- und Bethe-Salpeter-Gleichungen für Quarkbindungszustände wird untersucht. Zu diesem Zwecke wird die analytische Struktur des Quarkpropagators in der komplexen Ebene numerisch untersucht und die Möglichkeit getestet die Anwendbarkeit auf den Sektor der schwer-leicht Quark Systeme im skalaren und pseudoskalaren Kanal, wie dem D Meson, durch Variation des Impulsteilungsparameters zu erweitern. Die Lösungen der Dyson-Schwinger-Gleichung in der Wigner-Weyl-Phase der chiralen Symmetrie bei nichtverschwindenden Stromquarkmassen wird benutzt um den Fall einer expliziten Symmetriebrechung ohne spontane Symmetriebrechung zu untersuchen. / The interplay of hadron properties and their modification in an ambient nuclear medium on the one hand and spontaneous chiral symmetry breaking and its restoration on the other hand is investigated. QCD sum rules for D and B mesons embedded in cold nuclear matter are evaluated. We quantify the mass splitting of D - D-bar and B - B-bar mesons as a function of the nuclear matter density and investigate the impact of various condensates in linear density approximation. The analysis also includes D_s and $D^*_0 mesons. QCD sum rules for chiral partners in the open-charm meson sector are presented at nonzero baryon net density or temperature. We focus on the differences between pseudo-scalar and scalar as well as vector and axial-vector D mesons and derive the corresponding Weinberg type sum rules. Based on QCD sum rules we explore the consequences of a scenario for the rho meson, where the chiral symmetry breaking condensates are set to zero whereas the chirally symmetric condensates remain at their vacuum values. The complementarity of mass shift and broadening is discussed. An alternative approach which utilizes coupled Dyson-Schwinger and Bethe-Salpter equations for quark-antiquark bound states is investigated. For this purpose we analyze the analytic structure of the quark propagators in the complex plane numerically and test the possibility to widen the applicability of the method to the sector of heavy-light mesons in the scalar and pseudo-scalar channels, such as the D mesons, by varying the momentum partitioning parameter. The solutions of the Dyson-Schwinger equation in the Wigner-Weyl phase of chiral symmetry at nonzero bare quark masses are used to investigate a scenario with explicit but without dynamical chiral symmetry breaking.

Owing to their versatile orbital character with both local and highly dispersive degrees of freedom, transition metal oxides span the range of ionic, covalent and metallic bonding. They exhibit a vast diversity of electronic phenomena such as high dielectric, piezoelectric, pyroelectric, ferroelectric, magnetic, multiferroic, catalytic, redox, and superconductive properties. The nature of these properties arises from sensitive details in the electronic structure, e.g. orbital mixing and orbital hybridization, due to non-stoichiometry, atomic displacements, broken symmetries etc., and their coupling with external perturbations. In the work presented here, these variations of the electronic structure of crystals due to structural and electronic defects have been investigated, exemplarily for the quasi-binary system SrO - SrTiO3 - TiO2. A number of binary and ternary structures have been studied, both experimentally as well as by means of electronic modeling. The applied methods comprise Resonant X-ray Scattering techniques like Diffraction Anomalous Fine Structure, Anisotropy of Anomalous Scattering and X-ray Absorption Fine Structure, and simultaneously extensive electronic calculations by means of Density Functional Theory and Finite Difference Method Near-Edge Structure to gain a thorough physical understanding of the underlying processes, interactions and dynamics. It is analyzed in detail how compositional variations, e.g. manifesting as oxygen vacancies or ordered stacking faults, alter the short-range order and affect the electronic structure, and how the severe changes in mechanical, optical, electrical as well as electrochemical properties evolve. Various symmetry-property relations have been concluded and interpreted on the basis of these modifications in electronic structure for the orbital structure in rutile TiO2, for distorted TiO6 octahedra and related switching mechanisms of the Ti valence, for elasticity and resistivity in strontium titanate, and for surface relaxations in Ruddlesden-Popper phases. Highlights of the thesis include in particular the methodical development regarding Resonant X-Ray Diffraction, such as the first use of partially forbidden reflections to get the complete phase information not only of the tensorial structure factor but of each individual atomic scattering tensor for a whole spectrum of energies, as well as the determination of orbital degrees of freedom and details of the partial local density of states from these tensors. On the material side, the most prominent results are the identification of the migration-induced field-stabilized polar phase and the exergonic redox behavior in SrTiO3 caused by defect migration and defect separation.

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