Dada uma palavra w e um grupo G, suponha que o conjunto Gw pode ser coberto por finitos subgrupos cÃclicos. à verdade que w(G) tambÃm pode ser coberto por finitos subgrupos cÃclicos? Nesta dissertaÃÃo mostraremos que a resposta à positiva para a palavra comutador. / Given a word w and a group G, suppose that the set can be Gw covered by finite cyclic subgroups. It is true that w(G) can also be covered by finite cyclic subgroups? This dissertation will show that the answer is positive for the word switch.

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T02:25:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_LeonardodeAmorine_D.pdf: 582293 bytes, checksum: ed3c907af5279b8923c782d730bcf1d4 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta tese consideramos uma extensão cindida G de um grupo abeliano A por um grupo nilpotente (de classe 2) Q e provamos dois resultados. Primeiro, se Q age nilpotentemente sobre A e G tem tipo FP2, calculamos o sigma invariante de G em dimensão 2. Segundo, se G tem tipo FP4, mostramos que cada quociente de G tem tipo FP4 / Abstract: In this thesis we consider a split extension G of an abelian group A by a nilpotent group (class 2) Q and prove two results. First, if Q acts nilpotently on A and G has type FP2, compute the sigma invariant of G in dimension 2. Second, if G has type FP4, we show that every quotient G has type FP4 / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Reginaldo Palazzo Junior / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-07-25T22:57:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lazari_Henrique_D.pdf: 4758049 bytes, checksum: ab6be5277bcaabe53055f44bf76b8e41 (MD5) Previous issue date: 2000 / Resumo: O objetivo do presente trabalho é estabelecer uma teoria de códigos e conjuntos de sinais geometricamente uniformes no plano hiperbólico, bem como obter presentações de subgrupos de grupos de isometrias de tesselações hiperbólicas. Foi mostrado que a teoria de uniformidade geométrica no plano hiperbólico subsiste mesmo no contexto de grupos de translações não abelianos, desde que imposta a condição que os códigos de rótulos sejam subgrupos normais do alfabeto ( ou de seus produtos diretos). Foram obtidas presentações de famílias de subgrupos normais do grupo [8,8], de isometrias da tessselação auto dual {8, 8}, de modo a obter como quocientes os grupos Zn, Dn, o grupo diedral de grau n, e Zm x Zn, com m, n inteiros positivos e maiores que 2. No caso não auto dual, foram impostas condições aritméticas para obtenção de presentação de subgrupos de [p, 3], que resultaram nos quocientes Z2, Z3 ~ e uma sequência de Z2 e Z3­ / Abstract: The goal of the present work is to establish the theory of geometrically uni­form signal sets and codes in the hyperbolic plane, and to obtain presentations of hyperbolic tesselations isometry groups. It was shown that the theory of geometrically uniforms signal sets partitions subsist, even in the hyperbolic context, with the condition that the label codes be normal subgroups of the (direct products of) alphabets. Presentations of families of normal subgroups of the group [8,8] ( the isome­tries of the self-dual tesselation {8, 8}), was obtained such that their quotients was the groups Zn, Dn, the dihedra1 group of degree n, and Zm x Zn. In the non self-dual case, arithmetic conditions was imposed to obtain presentations of subgroups of [p, 3] such that the quotients Z2, Z3 and one sequence Z2 and Z3 was obtained. / Doutorado / Doutor em Engenharia Elétrica

Desenvolvemos as ideias centrais da Homologia Simplicial e provamos a invariância topológica dos grupos de homologia para espaços homeomorfos. Discutimos também a invariância topológica da característica de Euler-Poincaré mostrando a sua relação com os grupos de homologia através dos números de Betti. Adicionalmente apresentamos conceitos da Álgebra Abstrata, especificamente da teoria de Grupos, importantes para o entendimento formal da álgebra homológica. Ao final, propomos atividades didáticas com objetivo de trazer as ideias de triangulação e invariância topológica ao contexto da sala de aula. / We develop central ideas of Simplicial Homology and prove the topological invariance of homology groups for homeomorphic spaces. We also discuss topological invariance of Euler- Poincaré characteristic showing its relation with the homology groups through Betti numbers. In addition, we present concepts of abstract algebra, specifically of group theory, which are important to formal understanding of homological algebra. In the end, we propose didactic activities in order to bring the ideas of triangulation and topological invariance to context of math classes on basic education.

Orientador: Prof. Dr. Antônio Cândido Faleiros / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / The main goal of this work is to show that it is very benecial to the students to use logical thinking games in the mathematics classes, particularly the one known as Rubik Cube, closely related to the group theory. We present a historical study on the developing of this game, as well as the practical aspects we use in its solution. We also present the group theory and show what are the relations between it and the Rubik Cube. Finally, we show a quiz the students answered after learning this game, in order to analyse in what aspects the game may contributed to the students activities in the school and in the learning process. This non-traditional classes are a good way of increasing the self-esteem of the students and, also, their sociability. It's also a good way of training the logical thinking and concentration, two of the main requisites for learning mathematics, as could be realized in all the groups which did this activities. It is possible to teach notions of group theory to the basic student, because the Rubik Cube may be shown to be a set of elements with a binary operation, which, in this game, is the movements sequence. Furthermore, it is possible to verify the associative, neutral element and inverse element properties. It is usually said that the \Education is the most powerful weapon you can use to change the world"(Nelson Mandela), that is, it is seen as a powerful social transformation instrument. However, our experience shows that goals and laws does not change the reality by themselves. We also need the society as a whole working and contributing, not only the directly interested people, teachers and other school professionals. When we have an education of high quality we can easily see the economic and cultural consequences for our country, as well as in the daily activities. In this work I will present the conclusions I obtained proposing the mathematical games for my students, specially the Rubik Cube, but also other games, like the Sudoku and the Rummikub.

We present an efficient quantum algorithm for the Hidden Subgroup Problem (HSP) on the semidirect product of the cyclic groups and , where is any odd prime number, and are positives integers and the homomorphism which defines the group is given by the root such that . As a consequence we can solve efficiently de HSP on the semidirect product of the groups by , where has a special prime factorization. / Neste trabalho apresentamos um algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupos Oculto (PSO) no produto semidireto dos grupos cíclicos e , onde é qualquer número primo ímpar, e são inteiros positivos e o homomorfismo que define o grupo é dado por uma raiz para a qual . Como conseqüência, podemos resolver eficientemente o PSO também no produto semidireto dos grupos por , onde o inteiro possui uma especial fatoração prima.

Neste trabalho apresentamos um novo algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupo Oculto (PSO) sobre uma classe especial de grupos metacíclicos, Z_p times Z_q^s, com q | (p-1) e p/q= poli(log p), onde p, q são números primos ímpares distintos e s um inteiro positivo qualquer. Em um contexto mais geral, sem impor uma relação entre p e q obtemos um algoritmo quântico com complexidade de tempo 2^{O(sqrt{log p})}. Em qualquer caso, esses resultados são melhores que qualquer algoritmo clássico para o mesmo fim, cuja complexidade é Omega(sqrt{p}). Apresentamos também, algoritmos quânticos para o PSO sobre grupos não abelianos de ordem 2^{n+1} que possuem subgrupos cíclicos de índice 2 e para certos produtos semidiretos de grupos Z_N^m times Z_p, com m, N inteiros positivos e N fatorado de forma especial. / We present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the hidden subgroup problem (HSP) for a special class of metacyclic groups, namely Z_{p} times _{q^s}, with q mid (p-1) and p/q= up{poly}(log p), where p, q are any odd prime numbers and s is any positive integer. This solution generalizes previous algorithms presented in the literature. In a more general setting, without imposing a relation between p and q, we obtain a quantum algorithm with time and query complexity 2^{O(sqrt{log p})}. In any case, those results improve the classical algorithm, which needs {Omega}(sqrt{p}) queries. We also present quantum algorithms for the HSP over non-abelian groups of order 2^{n+1} which have a cyclic subgroup of index 2 and for some semidirect product _N^m times _p, where N has a special prime factorization.

CAPES / A resolução de equações polinomiais com coeficientes racionais consiste em parte significativa da história do desenvolvimento da álgebra. O problema era encontrar fórmulas que expressassem uma raiz por meio de operações aritméticas efetuadas sobre a equação original, isto é, determinar a resolubilidade por radicais da equação. O trabalho de vários matemáticos culminou, no século XVI, com a obtenção das fórmulas para a resolução de equações polinomiais de grau menor ou igual a 4. Três séculos depois, Niels Abel mostrou que não é possível obter uma fórmula para a equação geral de grau 5. Finalmente, Evariste Galois resolveu completamente o problema estudando o grupo de permutação das raízes e estabelecendo as condições exatas para a resolubilidade de uma equação polinomial. Neste trabalho apresentamos um breve histórico da obtenção de fórmulas para as raízes das equações de grau menor ou igual a 4 e a essência da matemática envolvida no estudo da resolubilidade por radiciais de equações polinomiais de grau maior ou igual a 5. / The solvability by radicals of polynomial equations with rational coefficients is an important part of the history of algebra. The problem was to express a root by means of basic arithmetic operations and radicals. Formulas to solve polynomial equations of degree lower than or equal to 4 were obtained in XVIth century. About three centuries later, Niels Abel showed that it is not possible to find a formula for the general equation of degree 5. Finally, Evariste Galois solved the problem by studying the permutations groups, establishing the exact conditions for the solvability of a polynomial equation. In this work we present a brief history of the classic formulas for the roots of equations with degree lower or equal to 4. Then we study solvability by radicals of polynomial equations of degree higher than or equal to 5.

CAPES / A resolução de equações polinomiais com coeficientes racionais consiste em parte significativa da história do desenvolvimento da álgebra. O problema era encontrar fórmulas que expressassem uma raiz por meio de operações aritméticas efetuadas sobre a equação original, isto é, determinar a resolubilidade por radicais da equação. O trabalho de vários matemáticos culminou, no século XVI, com a obtenção das fórmulas para a resolução de equações polinomiais de grau menor ou igual a 4. Três séculos depois, Niels Abel mostrou que não é possível obter uma fórmula para a equação geral de grau 5. Finalmente, Evariste Galois resolveu completamente o problema estudando o grupo de permutação das raízes e estabelecendo as condições exatas para a resolubilidade de uma equação polinomial. Neste trabalho apresentamos um breve histórico da obtenção de fórmulas para as raízes das equações de grau menor ou igual a 4 e a essência da matemática envolvida no estudo da resolubilidade por radiciais de equações polinomiais de grau maior ou igual a 5. / The solvability by radicals of polynomial equations with rational coefficients is an important part of the history of algebra. The problem was to express a root by means of basic arithmetic operations and radicals. Formulas to solve polynomial equations of degree lower than or equal to 4 were obtained in XVIth century. About three centuries later, Niels Abel showed that it is not possible to find a formula for the general equation of degree 5. Finally, Evariste Galois solved the problem by studying the permutations groups, establishing the exact conditions for the solvability of a polynomial equation. In this work we present a brief history of the classic formulas for the roots of equations with degree lower or equal to 4. Then we study solvability by radicals of polynomial equations of degree higher than or equal to 5.

This present work to describe the code based on D5 as part of the application of Abstract Algebra, through Symmetry Groups, as well as its advantages over other codes in the case of detection of typos. To this end, we provide some definitions and theorems of the theory of groups useful for understanding this work. Study groups Permutation Groups and Symmetry, issues of great relevance to the study of dihedral groups, being these, particularly if those groups and the basis for the development of the code described herein. / Este trabalho tem como objetivo descrever o Código baseado em D5 como aplicação de parte da Álgebra Abstrata, através dos Grupos de Simetria, bem como suas vantagens em relação a outros códigos, em se tratando da detecção de erros de digitação. Para tanto, fornecemos algumas definições e teoremas da teoria dos Grupos úteis à compreensão deste trabalho. Estudamos os Grupos de Permutação e os Grupos de Simetria, assuntos de grande relevância para o estudo dos Grupos Diedrais, por serem, estes, caso particular dos grupos citados e base para o desenvolvimento do código aqui descrito.