Pour toute courbe projective lisse C et théorie homologique orientée de Borel-Moore libre A, on construit un produit associatif de type Hall sur les A-groupes du champ de modules des faisceaux de Higgs de torsion sur C.On montre que l'algèbre AHa0C qu'on obtient admet une présentation de battage naturelle, qui est fidèle dans le cas où A est l'homologie de Borel-Moore usuelle.On introduit de plus les espaces de modules des triplets stables M(d,n), fortement inspirés par les variétés de carquois de Nakajima.Ces espaces de modules sont des variétés lisses symplectiques, et admettent une autre caractérisation comme les espaces de modules de faisceaux sans torsion stables encadrés sur P(T*C)$.De plus, on munit leurs A-groupes avec une action de AHa0C, qui généralise les opérateurs de modification ponctuelle de Nakajima sur l'homologie des schémas de Hilbert de T*C. / For a smooth projective curve C and a free oriented Borel-Moore homology theory A, we construct a Hall-like associative product on the A-theory of the moduli stack of Higgs torsion sheaves on C.We show that the resulting algebra AHa0C admits a natural shuffle presentation, and prove it is faithful when A is replaced with usual Borel-Moore homology groups.We also introduce moduli spaces of stable triples M(d,n), heavily inspired by Nakajima quiver varieties.These moduli spaces are shown to be smooth symplectic varieties, which admit another characterization as moduli of framed stable torsion-free sheaves on P(T*C).Moreover, we equip their A-theory with an AHa0C-action, which generalizes Nakajima's raising operators on the homology of Hilbert schemes of points on T*C.

Au cours de cette thèse, nous avons étudié des modèles de partitions aléatoires issus de la théorie des représentations des groupes symétriques et des groupes de Chevalley finis classiques, en particulier les groupes GL(n,Fq). Nous avons démontré des résultats de concentration gaussienne pour :- les q-mesures de Plancherel (de type A), qui correspondent à l'action de GL(n,Fq) sur la variété des drapeaux complets de (Fq)^n, et sont liées à la théorie des représentations des algèbres d'Hecke des groupes symétriques.- l'analogue en type B du modèle précédent, correspondant à l'action de Sp(2n,Fq) sur la variété des drapeaux totalement isotropes complets dans (Fq)^2n.- les mesures de Schur-Weyl, qui correspondent aux actions commutantes de GL(N,C) et Sn sur l'espace des n-tenseurs d'un espace vectoriel de dimension N.- et les mesures de Gelfand, qui correspondent à la représentation du groupe symétrique qui est la somme directe sans multiplicité de toutes les représentations irréductibles de Sn.Dans chaque cas, nous avons établi une loi des grands nombres et un théorème central limite tout à fait semblable à la loi des grands nombres de Logan-Shepp-Kerov-Vershik (1977) et au théorème central limite de Kerov (1993) pour les mesures de Plancherel des groupes symétriques.Nos résultats peuvent presque tous être traduits en termes de combinatoire des mots, et d'autre part, les techniques employées sont inspirées des techniques de la théorie des matrices aléatoires. Ainsi, on a calculé pour chaque modèle l'espérance de fonctions polynomiales sur les partitions, qui jouent un rôle tout à fait analogue aux polynômes traciaux en théorie des matrices aléatoires. L'outil principal des preuves est ainsi une algèbre d'observables de diagrammes de Young, qu'on peut aussi interpréter comme algèbre de permutations partielles. Nous avons tenté de généraliser cette construction au cas d'autres groupes et algèbres, et nous avons construit une telle généralisation dans le cas des algèbres d'Hecke des groupes symétriques. Ces constructions rentrent dans le cadre très abstrait des fibrés de semi-groupes par des semi-treillis ; dans le même contexte, on peut formaliser des problèmes combinatoires sur les permutations, par exemple le problème du calcul des nombres de Hurwitz / During this thesis, we have studied models of random partitions stemming from the representation theory of the symmetric groups and the classical finite Chevalley groups, in particular the groups GL(n,Fq). We have shown results of gaussian concentration in the case of:- q-Plancherel measures (of type A), that correspond to the action of GL(n,Fq) on the variety of complete flags of (Fq)^n, and are related to the representation theory of the Hecke algebras of the symmetric groups.- the analogue in type B of the aforementioned model, that corresponds to the action of Sp(2n,Fq) on the variety of complete totally isotropic flags in (Fq)^2n.- Schur-Weyl measures, that correspond to the two commuting actions of GL(N,C) and Sn on the space of n-tensors of a vector space of dimension N.- Gelfand measures, that correspond to the representation of the symmetric group which is the multiplicity-free direct sum of all irreducible representations of Sn.In each case, we have established a law of large numbers and a central limit theorem similar to the law of large numbers of Logan-Shepp-Kerov-Vershik (1977) and to Kerov's central limit theorem (1993) for the Plancherel measures of the symmetric groups. Almost all our results can be restated in terms of combinatorics of words, and besides, the tools of the proofs are inspired by the usual techniques of random matrix theory. Hence, we have computed for each model the expectation of polynomial functions on partitions, that play a role similar to the tracial polynomials in random matrix theory. The principal tool of the proofs is therefore an algebra of observables of diagrams, that can also be interpreted as an algebra of partial permutations. We have tried to generalize this construction to the case of other groups and algebras, and we have constructed such a generalization in the case of the Hecke algebras of the symmetric groups. These constructions belong to the abstract setting of semilattice bundles over semigroups; in the same setting, one can formalize combinatorial problems on permutations, for instance the problem of computing the Hurwitz numbers

Dans cette thèse nous proposons plusieurs contributions à l'étude des groupes quantiques et de leurs représentations. Dans le cadre de l'étude des représentations de dimension finie des algèbres affines quantiques, nous proposons une nouvelle construction algébrique générale des q,t-caractères (t-déformations des q-caractères de Frenkel-Reshetikhin), indépendante de la construction géométrique de Nakajima (cette dernière n'est valable que pour le cas ADE). Cela nous permet d'étendre la quantification de l'anneau de Grothendieck et la définition des analogues des polynômes de Kazhdan-Lusztig aux cas non simplement lacés. Par ailleurs nous établissons une décomposition triangulaire des affinisées quantiques générales (incluant les algèbres affines et toroïdales quantiques) et classifions leurs représentations intégrables de plus haut poids. Nous proposons une nouvelle construction d'un produit de fusion en définissant une déformation du ``nouveau coproduit de Drinfel'd''.

Dans cette thèse, nous montrons deux résultats d'analyse harmonique sur un groupe réductif p-adique tordu.Le premier résultat est un analogue non connexe au théorème matriciel de Paley Wiener. Soit G réductif p-adique (non nécessairement connexe). L'algèbre de Hecke des fonctions complexes sur G localement constantes à support compact agit les représentations complexe lisses irréductibles de G. L'action d'une fonction est vue comme sa transformée de Fourier. Le théorème fournit une caractérisation de l'image de l'algèbre de Hecke par la transformée de Fourier, ainsi qu'une formule d'inversion.Le second résultat établit une identité spectrale sur le groupe GLn tordu (avec n pair, sur un corps p-adique) pour l'intégrale orbitale tordue sur la classe de conjugaison tordue stable des matrices antisymétriques inversibles. Cette dernière s'exprime comme une intégrale sur les représentations irréductibles tempérées auto-duales de GLn dont le paramètre de Langlands est symplectique. La preuve repose sur le transfert endoscopique. / In this thesis, we show tow results of Harmonic Analysis on réductive p-adic group.The first results extends the matrix Paley-Wiener theorem to the non-connected case. Let G be reductive (non necessarily connected) p-adic group. The Hecke algebra of compactly supported locally constant complex functions on G acts on complex smooth irreducible representations of G. The action of a given function is seen as its Fourier transform. The theorem characterizes the image of the Hecke algebra under the Fourier transform and provides an inversion formula.The second result is the proof of a spectral identity on the so-called twisted GLn group (where n is even, on a p-adic field) for the twisted orbital integral over the twisted stable conjugacy class of antisymetric invertible matrices. We express it as an integral over those irreducible tempered auto-dual representations of GLn whose Langlands' parameter is symplectic. Our proof uses endoscopic transfer.

On étudie la correspondance de Howe entre la catégorie de représentations complexes de G et celle de G’, pour des paires duales irréductibles (G,G’) définis sur des corps finis de caractéristique impaire. On établit la compatibilité entre la correspondance de Howe et les séries arbitraires de Harish-Chandra. On démontre comment obtenir des sous-représentations extrémales (i.e. minimales et maximales) de l’image d’une représentation irréductible unipotente de G. Finalement, on démontre comment l’étude de la correspondance de Howe entre séries d’Harish-Chandra arbitraires peut être ramenée à l’étude des séries unipotentes, et on utilise ceci pour étendre nos résultats sur les représentations extrémales aux représentations irréductibles arbitraires (i.e. pas forcément unipotentes) de G. / We study the Howe correspondence between the category of complex representations of G and that of G’, for irreducible dual pairs (G,G’) over finite fields of odd characteristic. We establish the compatibility between the Howe correspondence and arbitrary Harish-Chandra series. We define and prove the existence of extremal (i.e. minimal and maximal) irreducible sub-representations from the image of irreducible unipotent representations of G. Finally, we prove how the study of the Howe correspondence between arbitrary Harish-Chandra series can be brought to the study of unipotent series, and use this to extend our results on extremal representations to arbitrary (i.e. not necessarily unipotent) irreducible representations of G.

Cette thèse se situe en combinatoire algébrique, et plus particulièrement en théorie combinatoire des représentations linéaires des monoïdes finis.Rappelons qu'un monoïde est un ensemble fini M muni d'une multiplication et d'un élément neutre, et qu'une représentation de M est un morphisme de M dans le monoïde des matrices $M_n(ck)$ où $ck$ est un corps, typiquement $ck =CC$. Les résultats des dernières décennies donnent un contrôle assez fin sur les représentations des monoïdes, permettant souvent de se ramener à de la théorie des représentations des groupes et de la combinatoire sur des préordres.En 1996, Krob et Thibon ont montré que l'induction et la restriction des représentations irréductibles et projectives de la tour des $0$-algèbres de Hecke $H_n(0)$ permet de munir l'ensemble des caractères d'une structure d'algèbre de Hopf, qui est isomorphe a l'algèbre de Hopf $ncsf$ des fonctions symétriques non commutatives. Cela donne une emph{catégorification} de$ncsf$, c'est-à-dire une interprétation de celle-ci en terme de théorie des représentations. Ils prolongent ainsi un résultat dû à Frobenius établissant un lien entre l'anneau des caractères de la tour des groupes symétriques et lesfonctions symétriques. Un problème naturel depuis lors est d'essayer de catégorifier d'autres algèbres de Hopf -- par exemple l'algèbre $pbt$ desarbres binaires de Loday et Ronco -- par des tours d'algèbres.Deviner une telle tour d'algèbres est difficile en général. Dans le cadre de cemanuscrit on restreint le champ de recherche aux tours de monoïdes, afin de mieux contrôler leurs représentations. C'est naturel car ce cadre couvre enfait les deux exemples fondamentaux ci-dessus, tandis qu'il est impossible decatégorifier $ncsf$ avec seulement une tour de groupes.Nous commençons par donner quelques résultats sur les représentations des toursde monoïdes. Ensuite, nous nous intéressons à la catégorification par destours de semi-treillis, et en particulier de quotients du permutoèdre. Avecceux-ci, nous catégorifions la structure de cogèbre de $fqsym$ sur la base$gbasis$ et celle d'algèbre de $fqsym$ sur la base $fbasis$. Cela ne permetcependant pas de catégorifier simultanément toute la structure de Hopf de ces algèbres. Dans un second temps, nous menons une recherche exhaustive des catégorifications de $pbt$. Nous montrons que, sous des hypothèses naturelles,il n'existe pas de catégorification de $pbt$ par une tour de monoïdesapériodiques. Enfin, nous démontrons que, dans un certain sens, la tour des monoïdes $0$-Hecke est la tour de monoïdes la plus simple catégorifiant $ncsf$.La seconde partie porte sur les fonctions de parking, par application des résultats de la première partie. D'une part, nous étudions la théorie des représentations de la tour des fonctions de parking croissantes. D'autre part,dans un travail commun avec Jean-Baptiste Priez nous reprenons une généralisation des fonctions de parking due à Stanley et Pitman. Afin d'obtenir des formules d'énumérations, nous utilisons une variante -- plus efficace dansle cas présent -- de la théorie des espèces. Nous donnons une action de$H_n(0)$ (et non du groupe symétrique) sur les fonctions de parking généralisées, et utilisons le théorème de catégorification de Krob et Thibon,pour relever dans les fonctions symétriques non commutatives le caractère de cette action. / This thesis is focused on combinatorical representation theory of finitemonoids within the field of algebraic combinatorics.A monoid $M$ is a finite set endowed with a multiplication and a neutralelement. A representation of $M$ is a morphism from $M$ into the monoid ofmatrices $M_n(ck)$ where $ck$ is a field; in this work it will typically bereferred to as $ck = CC$.The results obtained in the last decades allows us to use representation theoryof groups, and combinatorics on preorders in order to explore representationtheory of finite monoides.In 1996, Krob and Thibon proved that the induction and restriction rules ofirreducible and projective representations of the tower of $0$-Hecke monoidsendows its ring of caracters with a Hopf algebra structure, isomorph to thenon-commutative symmetric functions Hopf algebra $ncsf$. This gives acategorification of $ncsf$, which is an interpretation of the non-commutativesymmetruc functions in the language of representation theory. This extends atheorem of Frobenius endowing the character ring of symmetric groups to theHopf algebra of symmetric functions. Since then a natural problem is tocategorify other Hopf algebras -- for instance the Planar Binary Tree algebraof Loday and Ronco -- by a tower of algebras.Guessing such a tower of algebra is a difficult problem in general.In this thesis we restrict ourselves to towers of monoids in order to have abetter control on its representations. This is quite natural as on one hand,this setup covers both previous fundamental examples, whereas $ncsf$cannot be categorified in the restricted set of tower of group algebras.In the first part of this work, we start with some results about representationtheory of towers of monoids. We then focus on categorification with towers ofsemilatices, for example the tower of permutohedrons. We categorify thealgebra, and cogebra structure of $fqsym$, but not the full Hopf algebrastructure with its dual. We then make a comprehensive search in order tocategorify $pbt$ with a tower of monoids. We show that under naturalhypothesis, there exists no tower of monoids satisfying the categorificationaxioms. Finally we show that in some sense, the tower of $0$-Hecke monoids isthe simplest tower categorifying $ncsf$.The second part of this work deals with parking functions, applying resultsfrom the first part. We first study the representation theory of non decreasingparking functions. We then present a joint work with Jean-Baptiste Priez on ageneralization of parking functions from Pitman and Stanley. To obtainenumeration formulas, we use a variant of the species theory which was moreefficient in our case.We used an action of $H_n(0)$ instead of the symmetric group and use theKrob-Thibon theorem to lift the character of this action into the Hopf algebraof non-commutative symmetric functions.

Les algèbres L(g,n,H) ont été introduites par Alekseev-Grosse-Schomerus et Buffenoir-Roche au milieu des années 1990, dans le cadre de la quantification combinatoire de l'espace de modules des G-connexions plates sur la surface S(g,n) de genre g avec n disques ouverts enlevés. L'algèbre de Hopf H, appelée algèbre de jauge, était à l'origine le groupe quantique U_q(g), avec g=Lie(G). Dans cette thèse nous appliquons les algèbres L(g,n,H) à la topologie en basses dimensions (groupe de difféotopie et algèbres d'écheveaux des surfaces), sous l'hypothèse que H est une algèbre de Hopf de dimension finie, factorisable et enrubannée mais pas nécessairement semi-simple, l'exemple phare d'une telle algèbre de Hopf étant le groupe quantique restreint associé à sl(2) (à une racine 2p-ième de l'unité). D'abord, nous construisons en utilisant L(g,n,H) une représentation projective des groupes de difféotopie de S(g,0)D et de S(g,0) (où D est un disque ouvert). Nous donnons des formules pour les représentations d'un ensemble de twists de Dehn qui engendre le groupe de difféotopie; en particulier ces formules nous permettent de montrer que notre représentation est équivalente à celle construite par Lyubashenko-Majid et Lyubashenko via des méthodes catégoriques. Pour le tore S(1,0) avec le groupe quantique restreint associé à sl(2) comme algèbre de jauge, nous calculons explicitement la représentation de SL(2,Z) en utilisant une base convenable de l'espace de représentation et nous en déterminons la structure.Ensuite, nous introduisons une description diagrammatique de L(g,n,H) qui nous permet de définir de façon très naturelle l'application boucle de Wilson W. Cette application associe un élément de L(g,n,H) à chaque entrelac dans (S(g,n)D) x [0,1] qui est parallélisé, orienté et colorié par des H-modules. Quand l'algèbre de jauge est le groupe quantique restreint associé à sl(2), nous utilisons W et les représentations de L(g,n,H) pour construire des représentations des algèbres d'écheveaux S_q(S(g,n)). Pour le tore S(1,0) nous étudions explicitement cette représentation. / The algebras L(g,n,H) have been introduced by Alekseev-Grosse-Schomerus and Buffenoir-Roche in the middle of the 1990's, in the program of combinatorial quantization of the moduli space of flat G-connections over the surface S(g,n) of genus g with n open disks removed. The Hopf algebra H, called gauge algebra, was originally the quantum group U_q(g), with g = Lie(G). In this thesis we apply these algebras L(g,n,H) to low-dimensional topology (mapping class groups and skein algebras of surfaces), under the assumption that H is a finite dimensional factorizable ribbon Hopf algebra which is not necessarily semisimple, the guiding example of such a Hopf algebra being the restricted quantum group associated to sl(2) (at a 2p-th root of unity).First, we construct from L(g,n,H) a projective representation of the mapping class groups of S(g,0)D and of S(g,0) (D being an open disk). We provide formulas for the representations of Dehn twists generating the mapping class group; in particular these formulas allow us to show that our representation is equivalent to the one constructed by Lyubashenko-Majid and Lyubashenko via categorical methods. For the torus S(1,0) with the restricted quantum group associated to sl(2) for the gauge algebra, we compute explicitly the representation of SL(2,Z) using a suitable basis of the representation space and we determine the structure of this representation.Second, we introduce a diagrammatic description of L(g,n,H) which enables us to define in a very natural way the Wilson loop map W. This maps associates an element of L(g,n,H) to any link in (S(g,n)D) x [0,1] which is framed, oriented and colored by H-modules. When the gauge algebra is the restricted quantum group associated to sl(2), we use W and the representations of L(g,n,H) to construct representations of the skein algebras S_q(S(g,n)). For the torus S(1,0) we explicitly study this representation.

Cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Hecke carquois et de certaines généralisations des algèbres d'Iwahori-Hecke. Dans un premier temps, nous montrons deux résultats concernant les algèbres de Hecke carquois, dans le cas où le carquois possède plusieurs composantes connexes puis lorsqu'il possède un automorphisme d'ordre fini. Ensuite, nous rappelons un isomorphisme de Brundan-Kleshchev et Rouquier entre algèbres d'Ariki-Koike et certaines algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. D'une part nous en déduisons qu'une équivalence de Morita importante bien connue entre algèbres d'Ariki-Koike provient d'un isomorphisme, d'autre part nous donnons une présentation de type Hecke carquois cyclotomique pour l'algèbre de Hecke de G(r,p,n). Nous généralisons aussi l'isomorphisme de Brundan-Kleshchev pour montrer que les algèbres de Yokonuma-Hecke cyclotomiques sont des cas particuliers d'algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. Finalement, nous nous intéressons à un problème de combinatoire algébrique, relié à la théorie des représentations des algèbres d'Ariki-Koike. En utilisant la représentation des partitions sous forme d'abaque et en résolvant, via un théorème d'existence de matrices binaires, un problème d'optimisation convexe sous contraintes à variables entières, nous montrons qu'un multi-ensemble de résidus qui est bégayant provient nécessairement d'une multi-partition bégayante. / This thesis is devoted to the study of quiver Hecke algebras and some generalisations of Iwahori-Hecke algebras. We begin with two results concerning quiver Hecke algebras, first when the quiver has several connected components and second when the quiver has an automorphism of finite order. We then recall an isomorphism of Brundan-Kleshchev and Rouquier between Ariki-Koike algebras and certain cyclotomic quiver Hecke algebras. From this, on the one hand we deduce that a well-known important Morita equivalence between Ariki--Koike algebras comes from an isomorphism, on the other hand we give a cyclotomic quiver Hecke-like presentation for the Hecke algebra of type G(r,p,n). We also generalise the isomorphism of Brundan-Kleshchev to prove that cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras are particular cases of cyclotomic quiver Hecke algebras. Finally, we study a problem of algebraic combinatorics, related to the representation theory of Ariki-Koike algebras. Using the abacus representation of partitions and solving, via an existence theorem for binary matrices, a constrained optimisation problem with integer variables, we prove that a stuttering multiset of residues necessarily comes from a stuttering multipartition.

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori.