Le but de cette thèse est de donner une démonstration complète de la conjecture de l'inertie modérée de Serre qui donne des contraintes (en fonction de e et de r) sur l'action de Galois sur le groupe de cohomologie H^r_et(X_Kbar, Z/pZ) si X est une variété propre et lisse, à réduction semi-stable, sur un corps p-adique K d'indice de ramification absolue e.<br /><br />Pour ce faire, nous établissons, dans le cas er < p-1, un isomorphisme de périodes reliant le groupe de cohomologie étale précédent à un groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de X. Nous montrons ensuite que ce dernier groupe est un objet de la catégorie M^r définie par Breuil. La conclusion découle finalement d'un examen relativement fin des objets de M^r.<br /><br />Le dernier chapitre de cette thèse (qui est indépendant) est consacré à la construction d'une dualité sur la catégorie M^r.

Dans le cadre de l'étude des ensembles de pavages, nous nous sommes concentrés sur le cas des pavages de zonotopes (figures d'un espace formées de toutes les combinaisons linéaires d'un ensemble de vecteurs donnés). Après avoir défini un graphe dual d'un pavage de zonotope planaire (par l'utilisation de la relation d'adjacence liant les tuiles), nous avons montré la relation biunivoque qui lie les deux classes d'objets. Nous avons alors étudié comment l'opération de flip (qui est un réarrangement local de tuiles) peut s'exprimer sur le dual, permettant par la suite de construire l'ensemble des pavages du zonotope associé. Cette méthode ne pouvant que très difficilement s'adapter aux cas de dimensions supérieures (zonotopes non planaires), nous avons alors mis au point une méthode de décomposition permettant d'étudier un pavage en nous focalisant sur les propriétés de pavages plus petits. Ce type de méthode nous a permis de démontrer des résultats forts de reconstruction et de structure dans le cas de pavages de dimension 2. De plus, ceci nous a permis de démontrer des résultats de connexité dans certains cas particuliers de dimensions supérieures. Le choix des pavages de zonotopes étend naturellement certains pavages étudiés classiquement (tels que les pavages de dominos sur une grille carrée ou de losanges sur une grille triangulaire). En effet, ils ne peuvent être définis sur une grille, et sont définis en toute dimension.

En premier, nous montrons l'existence d'inégalités de Markov sur les courbes algébriques singulières de Rn. Nous donnons une signification géométrique à l'exposant de Markov en montrant qu'il est minoré par la multiplicité de la singularité de la courbe complexifiée dans Cn. Nous construisons une paramétrisation de Puiseux en la singularité réelle de la courbe complexifiée. Nous la prolongeons à un ouvert de C partout dense, afin d'obtenir la propriété d'HCP de la fonction de Green avec pôle à l'infini dans la courbe complexifiée, via la métrique des géodésiques. En second, nous montrons un théorème de type Bernstein pour les classes de fonctions intermédiaires entre les fonctions holomorphes et les fonctions indéfiniment différentiables sur des classes de compacts s-H convexes de Cn . Pour démontrer ce résultat, nous donnons une représentation intégrale sur les compacts s-H convexes de Cn des fonctions de A¥(K) via un noyau adéquat , nous approchons ce noyau par les noyaux à poids de type Henkin-Ramirez. Nous proposons une nouvelle propriété géométrique de la fonction de Green avec pôle à l'infini. Pour finir nous donnons quelques applications et corollaires.

Dans cette thèse, on s'intéresse au billard dans un polyèdre. On étudie cette application, en codant les orbites sur un alphabet fini. On étudie alors deux problèmes: la complexité des mots infinis obtenus, et l'existence de trajectoires périodiques. On montre que la complexité est reliée à la notion de diagonale généralisée : une diagonale généralisée est une trajectoire de billard, qui part d'une arête et qui arrive à une arête. On obtient alors, au premier chapitre, une nouvelle preuve du calcul de la complexité d'une rotation du tore $\mathbb(T)^2$, totalement irrationnelle. Cette preuve permet de plus, d'obtenir une estimation de la complexité directionnelle du billard dans certains prismes droits. Au deuxième chapitre, on obtient, grâce aux diagonales généralisées, une estimation de la complexité globale du billard cubique. On donne alors au chapitre trois une estimation valable dans n'importe quel polyèdre convexe: On montre en fait que le billard est d'entropie topologique nulle. Le chapitre quatre traite alors du problème des orbites périodiques. On donne une condition suffisante, pour qu'un mot soit stable. On montre de plus l'existence d'une trajectoire périodique dans le tétraèdre régulier. Pour finir on s'intéresse, dans le chapitre cinq, à une sous classe d'échange de rectangles. On montre que ces applications sont ergodiques, et de complexité quadratique. Ces applications sont reliées au billard puisque, à direction fixée, l'application de premier retour est une application affine par morceaux.

Le micromagnétisme est l'étude de la magnétisation spontanée dans les matériaux ferromagnétiques. Cette magnétisation, de norme constante, est soumise à une énergie libre. Nous étudions les configurations limites admissibles de la magnétisation dans certains régimes asymptotiques. Les premiers résultats présentés concernent la structure géométrique des parois des configurations limites d'un modèle micromagnétique en deux dimensions. La similarité entre le problème micromagnétique et les lois de conservation scalaires nous permet d'obtenir, par la meme méthode, un résultat sur la structure des ondes de choc de certaines solutions d'une loi de conservation scalaire en une dimension d'espace. Enfin, nous donnons une formulation cinétique du problème mathématique lié à un modèle micromagnétique en trois dimensions et nous terminons par un résultat de régularisation pour les moyennes en vitesse des solutions d'une équation cinétique linéaire.

Les minorations de combinaison linéaire, à coefficients entiers, de logarithmes de nombres algébriques constituent un outil important dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes. Le cas de deux logarithmes est à cet égard particulièrement utile. Nous utilisons ici, pour l'obtention de ces minorations, la méthode dite de Schneider avec multiplicité. La démonstration repose sur l'utilisation des déterminants d'interpolation et d'un lemme de zéros approprié à ce cadre. Le lemme de zéros exploité ici, dont la preuve reprend la construction originelle de D.W. Masser, s'avère dans notre cas plus efficace que les résultats généraux précédemment employés. Nous utilisons ensuite une méthode standard pour encadrer un déterminant non nul, afin d'obtenir une inégalité fondamentale faisant intervenir de nombreux paramètres arbitraires. Nous déduisons de cette dernière une liste de minorations totalement explicites de formes linéaires de logarithmes.

La théorie des cordes est le candidat le plus promettant pour la théorie unissant toutes les interactions en incluant la gravitation. Elle a la dynamique très compliquée. C'est pourquoi c'est utile d'étudier ses simplifications. Une de celles-ci est la théorie des cordes non-critiques qui peut être définie dans les dimensions inférieures. Le cas particulièrement intéressant est la théorie des cordes à deux dimensions. D'une part elle a la structure très riche et d'autre part elle est résoluble exactement. La solution complète de la théorie des cordes à deux dimensions dans le fond le plus simple du dilaton linéaire a été obtenue en utilisant sa représentation comme la mécanique quantique matricielle. Ce modèle de matrices fournit une technique très puissante et découvre l'intégrabilité cachée dans la formulation habituelle de CFT. Cette thèse prolonge la formulation de la théorie des cordes à deux dimensions par des modèles de matrices dans des fonds non-triviaux. Nous montrons comment les perturbations changeants le fond sont incorporés à la mécanique quantique matricielle. Les perturbations sont intégrables et dirigées par la hiérarchie de Toda. Cette intégrabilité est utilisée pour extraire l'information divers sur le système perturbé: les fonctions des corrélations, le comportement thermodynamique, la structure de l'espace-temps. Les résultats concernant ces et autres questions, comme des effets non-perturbatifs dans la théorie des cordes non-critiques, sont présentés dans cette thèse.

Cette thèse s'inscrit dans l'étude de familles de graphes infinis de présentation finie, de leurs propriétés structurelles, ainsi que des comparaisons entre ces familles. Étant donné un alphabet fini Σ, un graphe infini étiqueté par Σ peut être caractérisé par un ensemble fini de relations binaires (Ra )a∈Σ sur un domaine dénombrable V quelconque. De multiples caractérisations finies de tels ensembles de relations existent, soit de façon explicite grâce à des systèmes de réécriture ou à divers formalismes de la théorie des automates, soit de façon implicite. Après un survol des principaux résultats existants, nous nous intéressons plus particulièrement à trois problèmes. Dans un premier temps, nous définissons trois familles de systèmes de réécriture de termes dont nous démontrons que la rela- tion de dérivation peut être représentée de façon finie. De ces résultats découlent plusieurs questions sur les familles de graphes infinis correspondantes. Dans un se- cond temps, nous étudions deux familles de graphes dont les ensembles de traces forment la famille des langages contextuels, à savoir les graphes rationnels et les graphes linéairement bornés. Nous nous intéressons en particulier au cas des langages contextuels déterministes, ainsi qu'à la comparaison structurelle de ces deux familles. Enfin, d'un point de vue plus proche du domaine de la vérifica- tion, nous proposons un algorithme de calcul des prédécesseurs pour une famille d'automates à pile d'ordre supérieur.

Notre travail ici concerne certaines pistes pour des constructions nouveaux groupes, et en particulier de contre-exemples à la conjecture de Cherlin-Zilber. On parvient à trouver une réponse pour la stabilité de groupes CSA existentiellement clos. On exhibe un mot de groupe en deux variables qui a la propriété d'indépendance par rapport à la classe de groupes hyperboliques sans torsion. On en déduit que l'équation correspondante donne la propriété d'indépendance des groupes CSA existentiellement clos, ce qui en particulier implique leur instabilité. En outre, on prouve que les équations, et en particulier les ensembles définissables sans quantificateurs, définissent des ensembles stables dans les boules bornées des produits libres de groupes, en utilisant la version finie du théorème de Ramsey. Enfin, on introduit certains groupes construits comme tours particulières de produits libres et d'extensions HNN.

Le développement durable, défini à l'origine comme un mode de développement qui répond aux besoins du présent sans compromettre la capacité des générations futures à répondre aux leurs, souffre aujourd'hui des limites de cette définition. On dénombre en effet des centaines de définitions rendant le concept flou au point que mesures politiques et économiques les plus diverses se revendiquent durables.L'objectif de cette thèse est de modéliser le développement durable à l'aide des outils mathématiques de la théorie de la viabilité et de rendre sa définition opérationnelle. La théorie de la viabilité permet en effet d'intégrer les principales caractéristiques d'un développement durable : l'approche multi-objectifs, la prise en compte d'un horizon temporel infini, la possibilité de déterminer plusieurs politiques d'actions viables et le respect de l'équité intergénérationnelle. Le principe de la viabilité est l'étude de systèmes dynamiques contrôlés soumis à un ensemble de contraintes. Le concept central est celui de noyau de viabilité, ensemble regroupant tous les états initiaux à partir desquels il existe une évolution restant dans l'ensemble de contraintes. Après avoir mis en évidence les limites des méthodes utilisées dans la modélisation du développement durable telles que l'analyse multicritères, notre démarche scientifique s'appuie sur le développement de deux modèles mathématiques appliqués à la gestion durable du corridor forestier de Fianarantsoa (Madagascar). L'enjeu est alors de déterminer des politiques d'actions permettant de satisfaire un double objectif : la conservation de la forêt et la satisfaction des besoins de la population locale. Nous démontrons alors l'utilité de la théorie de la viabilité pour atteindre ces objectifs en définissant les contraintes adaptées et en calculant des noyaux de viabilité.