Les problèmes de contrôle optimal se rencontrent dans l'industrie aérospatiale et dans la mécanique. Leur étude conduit à des difficultés mathématiques importantes. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux conditions d'optimalité pour certains problèmes de contrôle avec des contraintes exprimées en termes d'inclusions différentielles. Nous considérons aussi des problèmes de contrôle associés aux modèles mathématiques issus de la Mécanique du Contact. Cette thèse est structurée en deux parties et six chapitres. La première partie, contenant les Chapitres 1, 2 et 3, représente un résumé de nos résultats, en Français. Nous y présentons les problèmes étudiés, les hypothèses sur les données, les notations utilisées ainsi que l’énoncé des principaux résultats. Les démonstrations sont omises. La deuxième partie du manuscrit représente la partie principale de la thèse. Elle contient les Chapitres 4, 5 and 6, chacun ayant fait l'objet d'une publication (parue ou soumise) dans une revue internationale avec comité de lecture.Nous y présentons nos principaux résultats, accompagnés des démonstrations et des références bibliographiques. / Optimal control problems arise in aerospace industry and in mechanics. They are challenging and involve important mathematical difficulties. In this thesis, we are interested to derive optimality conditions for optimal control problems with constraints under the form of differential inclusions. We also consider optimal control problems in the study of some boundary value problems arising in Contact Mechanics. The thesis is structured in two parts and six chapters. Part I represents an abstract of the main results, in French. It contains Chapters 1, 2 and 3. Here we present the problems we study together with the assumptions on the data, the notation and the statement of the main results. The proofs of these results are omitted, since them are presented in Part II of the manuscript.Part II represents the main part of the thesis. It contains Chapters 4, 5 and 6. Each of these chapters made the object of a paper published (or submitted) in an international journal. Here we present our main results, together with the corresponding proofs and bibliographical references.

Cette thèse propose de nouvelles méthodes d'analyse d'enregistrements cérébraux intra-crâniens (potentiels de champs locaux), qui pallie les lacunes de la méthode temps-fréquence standard d'analyse des perturbations spectrales événementielles : le calcul d'une moyenne sur les enregistrements et l'emploi de l'activité dans la période pré-stimulus. La première méthode proposée repose sur la détection de sous-ensembles d'électrodes dont l'activité présente des synchronisations cooccurrentes en un même point du plan temps-fréquence, à l'aide de modèles bayésiens de mélange gaussiens. Les sous-ensembles d'électrodes pertinents sont validés par une mesure de stabilité calculée entre les résultats obtenus sur les différents enregistrements. Pour la seconde méthode proposée, le constat qu'un bruit blanc dans le domaine temporel se transforme en bruit ricien dans le domaine de l'amplitude d'une transformée temps-fréquence a permis de mettre au point une segmentation du signal de chaque enregistrement dans chaque bande de fréquence en deux niveaux possibles, haut ou bas, à l'aide de modèles bayésiens de mélange ricien à deux composantes. À partir de ces deux niveaux, une analyse statistique permet de détecter des régions temps-fréquence plus ou moins actives. Pour développer le modèle bayésien de mélange ricien, de nouveaux algorithmes d'inférence bayésienne variationnelle ont été créés pour les distributions de Rice et de mélange ricien. Les performances des nouvelles méthodes ont été évaluées sur des données artificielles et sur des données expérimentales enregistrées sur des singes. Il ressort que les nouvelles méthodes génèrent moins de faux-positifs et sont plus robustes à l'absence de données dans la période pré-stimulus / This thesis promotes new methods to analyze intracranial cerebral signals (local field potentials), which overcome limitations of the standard time-frequency method of event-related spectral perturbations analysis: averaging over the trials and relying on the activity in the pre-stimulus period. The first proposed method is based on the detection of sub-networks of electrodes whose activity presents cooccurring synchronisations at a same point of the time-frequency plan, using bayesian gaussian mixture models. The relevant sub-networks are validated with a stability measure computed over the results obtained from different trials. For the second proposed method, the fact that a white noise in the temporal domain is transformed into a rician noise in the amplitude domain of a time-frequency transform made possible the development of a segmentation of the signal in each frequency band of each trial into two possible levels, a high one and a low one, using bayesian rician mixture models with two components. From these two levels, a statistical analysis can detect time-frequency regions more or less active. To develop the bayesian rician mixture model, new algorithms of variational bayesian inference have been created for the Rice distribution and the rician mixture distribution. Performances of the new methods have been evaluated on artificial data and experimental data recorded on monkeys. It appears that the new methods generate less false positive results and are more robust to a lack of data in the pre-stimulus period

La connaissance du microclimat et de l’évapotranspiration ou flux de chaleur latente qui représente la consommation réelle en eau de la culture à l’échelle des parcelles agricoles est une donnée importante pour comprendre le développement des cultures. La plupart des modèles permettant d’estimer l’évapotranspiration sont utilisés sur des surfaces homogènes sans tenir compte des interactions surface - atmosphère et de la variabilité spatiale du domaine agricole. Nous avons utilisé un modèle de couche limite atmosphérique afin de prendre en compte ces interactions. Une approche dite « patchée » permet d’introduire la variabilité spatiale des surfaces dans le modèle à partir des diverses proportions et des caractéristiques des principaux couverts végétaux qui composent le paysage. Une méthode d’assimilation variationnelle a été implémentée afin d’estimer certains paramètres du modèle difficile à connaître précisément. La méthode est basée sur le calcul de l’adjoint du modèle et utilise une température de surface observée par télédétection. L’approche développée est comparée à des approches plus simples considérant chaque type de surface indépendamment, mettant en évidence le rôle de la prise en compte de la variabilité spatiale de la surface sur la simulation du microclimat et des flux de surface / Knowledge of climate at regional scale and evapotranspiration (or latent heat flux which represents the actual water consumption of culture) is a key to understand the development of crops. Most of the methods aiming at estimating evapotranspiration assume homogeneous or decoupled atmospheric variables over the modelling domain without accounting for the feedback between surface and atmosphere. In order to analyse such dependencies and to predict microclimate and land surface fluxes we have developed a coupled atmospheric boundary layer - land surface model which accounts for the landscape heterogeneity using a tiled approach. We have implemented appropriate procedures (variational data assimilation) for assimilating remote sensing data into the model allowing to retrieve some input parameters difficult to estimate spatially (soil moisture and aerodynamic roughness). The developed method is compared to classical approaches considering each type of surface independently. Results are discussed in this paper

La gestion de l'environnement et des ressources disponibles nécessite de caractériser l'état de la végétation. Les modèles agronomiques simulent le fonctionnement du couvert à partir du climat, des pratiques culturales et des propriétés de la plante et du sol. Le projet ADAM, dans lequel s'inscrit cette thèse, a pour objectif de combiner les données de télédétection avec l'information fournie par les modèles agronomiques afin de participer au raisonnement des cultures et à l'évaluation de l'environnement. Sur un modèle d'étude, nous avons proposé une approche originale d'assimilation simultanée sur une scène, en imposant des contraintes sur les paramètres en fonction de leur variabilité au niveau du pixel, de la parcelle, de la variété. . . La taille de l'espace de contrôle est ainsi diminuée par rapport à un problème résolu pixel par pixel et qui se trouve être mal posé lorsque l'on dispose de peu d'observations. Cette technique a permis d'améliorer fortement l'estimation des paramètres d'entrée et de réduire la fréquence temporelle d'observation. Nous avons ensuite étudié la faisabilité d'une telle méthode sur un modèle mécaniste complexe de fonctionnement de la végétation (STICS), dont la différentiation a présenté des difficultés théoriques et pratiques. En effectuant une analyse de sensibilité utilisant le modèle adjoint de STICS, nous avons pu hiérarchiser ses paramètres selon leur influence sur la croissance de la culture. Nous avons démontré la faisabilité d'une technique d'assimilation avec contraintes dans STICS, ce qui permet d'envisager de nombreuses applications dans le domaine agronomique.

Un modèle représente un système, ses composants et les interactions entre composants. Il sert à analyser et simuler les interactions, en déduisant les conséquences logiques d'hypothèses sur les variables d'état du système, ou sur des variables de contrôle ou de perturbation. Comment juger, ou mieux mesurer, si le modèle est proche de la réalité ? La thèse établit les principes d'un tel examen, appelé audit technique d'un modèle. Il s'agit de détecter, identifier, et si possible réduire, les erreurs et les incertitudes, que nous décomposons en quatre classes : (i) erreur de conception (quels mécanismes explicatifs constituent la composition conceptuelle, quelles schématisations ?), (ii) erreur formelle (la synthèse mathématique des mécanismes explicatifs dans une formule caractéristique, doit être conforme au contenu conceptuel et cohérente), (iii) erreur algorithmique (le dispositif de résolution fournit-il vraiment une solution ? Avec quelle précision ?), (iv) enfin une incertitude de type économétrique qui englobe l'erreur d'estimation et l'erreur exogène a priori sur les inputs. Chaque classe d'erreur relève d'une discipline spécifique, ce qui confère autant de dimensions à l'audit : audit conceptuel à base d'analyse systémique, audit formel à caractère mathématique, audit algorithmique de caractère physique ou informatique, audit économétrique. Nous proposons une méthode systématique d'audit. Nous l'appliquons à un modèle d'équilibre entre offre et demande, précisément un modèle de choix d'itinéraire sur un réseau avec une offre sujette à congestion et une demande qui arbitre de façon diversifiée entre prix et temps. Nous établissons une formule caractéristique (inéquation variationnelle en dimension finie) dont la solution jouit de propriétés d'existence et d'unicité ; nous proposons et testons plusieurs algorithmes et critères de convergence ; nous effectuons l'analyse de sensibilité pour propager l'erreur économétrique exogène à travers le modèle.

Un défi courant de la Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER) est de prendre en considération les non-linéarités induites par les déformations du front de ssure. Pour ceci, une approche appropriée est la méthode de perturbation du front initiée par Rice (1985). Elle permet d'actualiser les Facteurs d'Intensité des Contraintes (FIC) quand le front d'une ssure plane est perturbé dans son plan. Cette approche, et ses prolongements ultérieurs à des cas plus complexes, sont rappelés dans cette thèse. Les applications concernent la déformation du front de ssure quand il se propage dans des milieux homogènes ou hétérogènes en rupture fragile, en fatigue ou propagation sous-critique. Les formes de ssures correspondant à des FIC uniformes le long du front ont été obtenues : fissure à front droit ou circulaire, mais également quand les bifurcations existent, à front ondulé. Pour un front initialement droit, on a montré que lors de la propagation dans un milieu homogène, d'éventuelles perturbations du front disparaîssent progressivement quelles que soient leurs longueurs d'onde, tandis que dans un milieu à propriétés de rupture désordonnées, le front devient rugueux de type Family-Vicsek (1985). La prolongation de ces approches de perturbation à des géomètries plus réalistes et à la coalescence de fissures est également envisagée. La comparaison quantitative avec des expériences est à l'étude. En outre, l'application de la MLER et de son principe énergétique de minimisation à l'initiation et aux morphologies de fissures apparaissant dans différents problèmes physiques (séchage de suspensions, impact de plaque, indentation de film et phénomènes géologiques) est considérée.

Le sujet de cette thèse se situe à la frontière entre les mathématiques appliquées et la mécanique. Il s'agit d'étudier, sous un angle mathématique, des problèmes piézoélectriques, c'est à dire des problèmes couplant action mécanique et action électrique, en présence de contact et de frottement. On s'intéresse notamment à l'analyse variationnelle et numérique de ces problèmes. La thèse comporte quatre parties. La première partie contient l'ensemble des outils mathématiques, numériques et mécaniques nécessaires à une bonne compréhension du travail réalisé par la suite. La deuxième partie aborde deux problèmes statiques de contact frottant entre un corps électro-élastique et une fondation. Dans le cas des formulations primales des problèmes, nous prouvons l'existence, l'unicité, et la dépendance continue des solutions faibles, exprimées en termes de déplacements et de potentiel électrique. Une formulation duale équivalente au problème précédent, exprimée en termes de contraintes et de déplacement électrique, est étudiée pour laquelle des résultats d'existence et d'unicité sont établis. La troisième partie aborde deux modèles de contact piézoélectrique dans un cadre évolutif de type quasistatique. Pour chaque modèle, on présente un résultat d'existence. Dans la quatrième partie, le travail porte sur l'analyse numérique et les simulations par différences finies en temps (Euler implicite) et éléments finis en espace. Dans le cas statique, on traite un problème électro-élastique avec contact frottant de type compliance. Le problème discret est posé et les estimations a priori de l'erreur sont obtenues. Le problème est écrit sous forme d'un Lagrangien augmenté couplé à un algorithme de type Newton généralisé. S'ensuit une simulation numérique en dimension deux d'espace et des vérifications numériques de convergence. Des résultats similaires sont obtenus dans le cas d'un problème de contact quasistatique électro-viscoélastique.

Cette thèse est consacrée à la résolution de trois types de problèmes fondamentaux qui apparaissent en analyse fonctionnelle hilbertienne non-linéaire et dans ses applications : les problèmes d'équilibre pour les bifonctions monotones, les problèmes de point fixe pour les contractions, et les problèmes d'inclusion pour les opérateurs monotones. Notre objectif est d'élaborer de nouvelles méthodes d'approximation et de construction de solutions pour ces problèmes et d'étudier leur comportement asymptotique. Dans un premier temps, nous proposons de nouvelles perturbations visqueuses et visco-pénalisées de ces problèmes, et étudions le comportement asymptotique des courbes d'approximation associées quand la perturbation devient évanescente. Nous étudions ensuite les propriétés de divers systèmes dynamiques discrets et continus associés à ces courbes. Cette étude débouche en particulier sur de nouveaux algorithmes, dont la convergence est établie. Des applications numériques à des problèmes de restauration en traitement de l'image sont fournies pour illustrer la mise en œuvre et les performances de certains des algorithmes proposés.

Ce travail de recherche traite du couplage entre un liquide incompressible, irrotationnel et son contenant : une structure élastique. Cette interaction fluide-structure est traitée dans le cadre des petites déformations autour d'un état d'équilibre.Dans un premier temps, on présente une méthode d'introduction des sources dissipatives visqueuses dans le liquide à partir des équations du système couplé conservatif en s'appuyant sur une approche de type fluide potentiel généralement utilisée pour traiter les problèmes de couplage fluide-structure linéarisés non amortis. Un modèle d'amortissement diagonal est alors choisi pour le liquide et les effets dissipatifs de celui-ci sont pris en compte en calculant les coefficients d'amortissement modaux. Seuls les effets dissipatifs liées à la viscosité du liquide sont alors pris en compte. Le système couplé dissipatif obtenu possède une matrice d'amortissement non symétrique. Une résolution de ce système à amortissement non classique est alors présentée et les expressions des réponses fréquentielle et temporelle linéarisées sont données pour différents types d'excitations.Dans un deuxième temps, le liquide est supposé non visqueux et les forces de tension surfacique sont prises en compte. Cette configuration concerne principalement les satellites où le système couplé est en situation de microgravité. Une formulation du problème conservatif permettant de prendre en compte l'incompressibilité du fluide, la condition de continuité à l'interface fluide structure, les effets de capillarité du fluide ainsi que les effets éventuels de précontraintes statiques est alors établie. On se propose pour cela d'utiliser une méthode énergétique via le Principe de Moindre Action. La démarche est alors décomposée en deux étapes : une étude statique afin de déterminer la position de référence, puis une étude dynamique linéarisée autour de cette position d'équilibre. Cette formulation forme notamment une base pour l'introduction des sources dissipatives liées aux effets de capillarité via la méthode précédemment introduite.

Les sources de couplage thermomécanique dans les matériaux viscoélastiques sont multiples : thermo-élasticité, dissipation visqueuse, évolution des caractéristiques mécaniques avec la température. La simulation numérique de ces couplages en calcul des structures présente encore un certain nombre de défis, spécialement lorsque les effets de couplage sont très marqués (couplage fort). De nombreuses approches algorithmiques ont été proposées dans la littérature pour ce type de problème. Ces méthodes vont des approches monolithiques, traitant simultanément l'équilibre mécanique et l'équilibre thermique, aux approches étagées, traitant alternativement chacun des sous-problèmes mécanique et thermique. La difficulté est d'obtenir un bon compromis entre les aspects de précision, stabilité numérique et coût de calcul. Récemment, une approche variationnelle des problèmes couplés a été proposée par Yang et al. (2006), qui permet d'écrire les équations d'équilibre mécanique et thermique sous la forme d'un problème d'optimisation d'une fonctionnelle scalaire. Cette approche variationnelle présente notamment les avantages de conduire à une formulation numérique à structure symétrique, et de permettre l'utilisation d'algorithmes d'optimisation. Dans ce travail on utilise l'approche variationnelle pour résoudre le problème thermo-visco-élastique fortement couplé, puis on compare plusieurs schémas algorithmiques afin de trouver celui qui présente les meilleures performances.