Les nombres p-adiques sont un analogue des nombres réels plus proche de l’arithmétique. L’avènement ces dernières décennies de la géométrie arithmétique a engendré la création de nombreux algorithmes utilisant ces nombres. Ces derniers ne peuvent être de manière générale manipulés qu’à précision finie. Nous proposons une méthode, dite de précision différentielle, pour étudier ces problèmes de précision. Elle permet de se ramener à un problème au premier ordre. Nous nous intéressons aussi à la question de savoir quelles bases de Gröbner peuvent être calculées sur les p-adiques. / P-Adic numbers are a field in arithmetic analoguous to the real numbers. The advent during the last few decades of arithmetic geometry has yielded many algorithms using those numbers. Such numbers can only by handled with finite precision. We design a method, that we call differential precision, to study the behaviour of the precision in a p-adic context. It reduces the study to a first-order problem. We also study the question of which Gröbner bases can be computed over a p-adic number field.

A une représentation de p-torsion du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique, M. Kisin associe un espace de modules, appelé par la suite variété de Kisin par G. Pappas et M. Rapoport. Ces variétés ont été introduites afin de démontrer plusieurs résultats de modularité sur les représentations galoisiennes. Elles se sont révélées utiles également pour construire certains anneaux de déformations voire les calculer. Plus récemment elles ont été utilisées pour munir le champ des représentations galoisiennes de torsion d'une structure algébrique. Par ailleurs ces variétés ressemblent formellement aux variétés de Deligne-Lusztig affines. En particulier leur définition s'étend dans le cadre de la théorie des groupes réductifs. Dans cette thèse, nous étudions la dimension de certaines variétés de Kisin dans le cas de la restriction des scalaires à la Weil du groupe linéaire général GLd. En nous basant sur des méthodes issues du cadre Deligne-Lusztig et en suivant les travaux de E. Viehmann et X. Caruso, nous définissons une stratification de la variété de Kisin. Nous encadrons ensuite la dimension des strates, puis étudions le problème de la maximisation de la dimension sur l'ensemble des strates. Cela permet de démontrer des encadrements pour la dimension des variétés de Kisin considérées. Comme dans le cas des variétés de Deligne-Lusztig affines, la somme des racines positives intervient dans l'encadrement de la dimension. / Given a p-torsion representation of the absolute Galois group of a p-adic field, M. Kisin defines a moduli space, which was named Kisin variety afterwards by G. Pappas and M. Rapoport. These varieties were first introduced in order to prove several modularity results on Galois representations. They were also used for constructing certain Galois deformation rings and computing some of them. Besides, they were involved in a recent work aiming at defining an algebraic structure on the stack of torsion Galois representations. It turns out that these varieties are formally similar to affine Deligne-Lusztig varieties. In particular their definition extends to the framework of reductive groups. In this thesis, we study the dimension of some Kisin varieties corresponding to the scalar restriction of the general linear group GLd. Inspired by methods coming from Deligne-Lusztig theory and following works by E. Viehmann and X. Caruso, we define a stratification on the given Kisin variety. Then we bound from below and from above the dimension of the strata, and we address the problem of maximizing the dimension over all strata. This allows us to derive the announced bounds on the dimension. As for affine Deligne-Lusztig varieties, the sum of the positive roots appears in the bounds.

Les chercheurs en psychologie ont montré que nous utilisons différentes stratégies pour accomplir différentes tâches cognitives. Une stratégie est une procédure ou un ensemble de procédures permettant aux participants d'atteindre un but cognitif. La question importante est alors de savoir comment nous choisissons une stratégie parmi toutes les stratégies disponibles. Pour améliorer nos connaissances sur ce phénomène, l'objectif général de cette thèse était d'étudier les processus impliqués dans la sélection stratégique, ainsi que leur évolution au cours du vieillissement. Pour cela, nous avons adopté une double approche neuroscientifique et cognitive. Les données rapportées dans nos études IRMf indiquent qu'un réseau cérébral spécifique serait associé à la sélection stratégique. Ce réseau comprend notamment des régions préfrontales connues pour être recrutées dans des tâches impliquant les fonctions exécutives. Ainsi nos données suggèrent que, contrairement à ce que postulent les modèles théoriques, les fonctions exécutives pourraient être impliquées dans la sélection stratégique. L'absence d'activation dans ces régions chez les participants âgés pourrait nous aider à expliquer pourquoi la capacité à choisir la meilleure stratégie diminue avec l'âge. De manière intéressante, nous montrons aussi que les participants peuvent utiliser différents processus de sélection stratégique en fonction de la difficulté des problèmes. Enfin, dans la dernière partie, nous discutons des implications de nos résultats au niveau des modèles de la sélection stratégique, ainsi qu'au niveau du vieillissement cognitif. / Researchers in psychology have shown that we use several strategies to accomplish cognitive tasks. A strategy is a procedure or a set of procedures for achieving a higher level goal or task. One of the crucial issues concerns how we choose a strategy among several available strategies to solve each problem. To further our understanding of strategy selection, the overall objective of this thesis was to investigate processes involved in strategy selection, and their evolution with aging. To achieve this goal, we adopted both neuroscience and cognitive approach. Data reported in our fMRI studies indicate that a specific network was associated with strategy selection. This particular network includes prefrontal regions known to be engaged in tasks involving executive functions. Thus, our data suggest that, contrary to the assumptions of theoretical models, executive functions may be involved in the strategy selection. The lack of activation in these regions in older adults may help us to understand why the ability to choose the better strategy decreases during aging. Interestingly, we also show that participants can use different strategy selection processes based on the difficulty of problems. Finally, in the last section, we discuss the implications of our results for theoretical models of strategy selection, and for cognitive aging.

Aujourd'hui la connectivité entre les systèmes se standardise. Il supprime l'intervention humaine et permet aux systèmes distribués d'accomplir des tâches longues et complexes. La SOA est une approche fondée sur le modèle qui s'appuie sur des contrats et qui permet aux systèmes existants de collaborer par échange de messages. De multiples organisations peuvent, automatiser des échanges de services sans risquer leur confidentialité. Cette collaboration est à l'origine des difficultés concernant le test, parce que si il a des échanges entre les différents partenaires, le fonctionnement interne de processus résultant dans l'information échangé est limité à certains partenaires/testeurs. Ceci nous place dans un cadre de tests boîte grise où les systèmes sont des boîtes noires et seulement l'échange de message est visible. C'est pourquoi nous proposons une approche probabiliste en utilisant l'inférence bayésienne pour tester les SOA. Le deuxième défi est leur taille. Etant donné que les systèmes sont connectés de manière lâche en les couplant deux par deux selon les spécifications, une SOA peut contenir un nombre très important de participants et donc une grande taille. La taille des SOA se reflète dans la complexité de l'inférence bayésienne. Cette seconde contrainte pousse à chercher de meilleure solution pour l'inférence bayésienne. Afin de faire face à la taille et la densité de la BN, même pour de petits services architectures, les techniques d'inférence par compilation dirigée par les modèles qui permet la génération rapide de circuits arithmétiques directement à partir du modèle de l'architecture des services et de la suite de tests sont en cours d'élaboration. / In present times connectivity between systems becomes more common. It removes human mediation and allows complex distributed systems to autonomously complete long and complex tasks. SOA is a model driven contract based approach that allows legacy systems to collaborate by messages exchange. Collaboration, here, is a key word in the sense that multiple organisation can, with this approach, automate services exchanges between them without putting at risks their confidentiality. This cause to encounter the first difficulty, because if there are exchanges between the different partners, the inner-processes resulting in the exchange information is restricted to some partners and therefor to some of the testers. That put us in a grey-box testing case where the systems are black-boxes and only the message exchange is visible. That is why we propose a probabilistic approach using Bayesian Inference to test the architectures. The second Challenge is the size of the SOA. Since the systems are connected by loosely coupling them two by two according to SOA Specifications, SOA can contain a very important number of participants. In Fact most of the existing SOA are very important in there size. The size of the SOA is reflected in the complexity of the Bayesian inference. This second challenge constraints us to search for better solution for the Bayesian Inference. In order to cope with the size and density of the BN for even small services architectures, techniques of model-driven inference by compilation that allows quick generation of arithmetic circuits directly from the services architecture model and the test suite are being developed.

Québec Université Laval, Bibliothèque 2015

La montée rapide du progrès scientifique et les besoins de la société technologique actuelle ont considérablement valorisé les mathématiques et ont conduit d'éminents chercheurs à en reviser les fondements. "La structure des notions de base sur lesquelles est construite toute la science mathématique apparut alors comme parallèle à la structure de la pensée: les lois qui gouvernent ces structures sont les lois même de la pensée logique." Cette lumière projetée sur l'édifice mathématique a suscité une révolution pédagogique qui a fait éclater les cadres traditionnels de la méthodologie du calcul. Le contenu des programmes d'arithmétique, les méthodes d'enseignement, depuis la classe maternelle jusqu'au degré supérieur, tout est mis en question et une refonte de l'enseignement de cette discipline s'avère nécessaire: la didactique du calcul doit être repensée dans l'optique de la mathématique moderne, c'est-à-dire, du système élaboré à partir de la théorie intuitive des ensembles. Les éducateurs du Québec sont conscients de ce problème pédagogique, leur inquiétude croissante au sujet du rendement des élèves en cette matière et leur nombreuse participation aux journées d'études ou aux cours d'Initiation à la pédagogie nouvelle des mathématiques en sont un témoignage non équivoque "De toutes les matières au programme, les mathématiques sont probablement l'une de celles dont on devra rénover l'enseignement le plus profondément", dit le Rapport de la Commission royale d'enquête sur l'enseignement, puis il recommande d'intensifier les recherches sur les méthodes d'enseignement des mathématiques à tous les niveaux; nous ajouterions volontiers, au niveau élémentaire d'abord. C'est l'urgence de cet impératif pédagogique et notre expérience comme professeur de méthodologie des mathématiques qui nous a incitée à entreprendre une recherche en ce domaine. Dans le Québec français, l'enseignement de l'arithmétique élémentaire s'inspire, sauf quelques exceptions, ou delà méthode traditionnelle, ou de la méthode Cuisenaire et ces deux types d'enseignement sont souvent confrontés à l'heure actuelle. D'une part, l'on constate les déficiences de la méthode traditionnelle, d'autre part, l'on s'interroge au sujet de l'efficience que les usagers des 'réglettes" attribuent à la méthode Cuisenaire. Ce dernier procédé d'enseignement permet d'enregistrer des résultats étonnants chez de tout jeunes écoliers mais l'on peut se demander si, parallèlement à de telles performances, il y a éveil et culture de l'esprit mathématique, si la supériorité des élèves Cuisenaire n'est pas un résultat artificiel de l'expérience plutôt qu'un signe de la supériorité effective de la méthode. Notre recherche voudrait apporter des éléments de solution à ce problème d'actualité scolaire; elle se propose d'éprouver l'efficacité de la méthode Cuisenaire à un double point de vue: celui de la structuration de la pensée opératoire chez l'enfant, soit la mobilité des processus cognitifs et le niveau de développement, et celui de l'apprentissage des mathématiques, soit l'acquisition des techniques de calcul et le développement de la pensée mathématique. Pour ce faire, nous placerons, dans les mêmes conditions expérimentales, un groupe Cuisenaire et un groupe traditionnel et nous comparerons leur comportement psychologique et leur rendement respectifs. Dans une première partie, après avoir situé le problème que nous voulons étudier, nous exposerons l'utilité de la présente recherche. La deuxième partie sera consacrée à la description des sujets de l'expérience, des instruments de mesure utilisés et de la méthode d'expérimentation. L'analyse et la synthèse des résultats obtenus feront l'objet de la troisième partie de la thèse. / Québec Université Laval, Bibliothèque 2014

Plusieurs ressources proposant des activités ludiques visant la promotion des mathématiques sont à la disposition des enseignants. Entre autres, le projet de la Semaine des maths suggère des activités ludiques sur Internet, dont des tours de magie mathématiques. Ce projet compte plusieurs éditions à son actif, mais quelques défis demeurent. Malgré le matériel à leur disposition, plusieurs enseignants mentionnent qu’ils ne sentent pas à l’aise d’animer ces activités. De nombreuses recherches ont démontré le potentiel des activités ludiques pour favoriser l’apprentissage des mathématiques (Boussand-Rio, 2014; Peltier, 2000.). Celles portant sur la magie en mathématique reconnaissent également les bienfaits de son utilisation en classe, mais elles sont peu nombreuses et elles sont centrées sur les effets en termes de motivation (Larsy, 2012; Koirala et Goodwin, 2000). Nous observons aussi que les recherches se centrent moins sur la manière de mener ces activités en classe. Pourtant, Bednarz (2002) le mentionne, les activités ludiques doivent être bien choisies et bien exploitées pour participer au développement et à l’apprentissage des élèves. C’est donc dire que la seule utilisation de jeux et d’activités ludiques n’est pas garante de l’apprentissage des élèves. Faire des mathématiques à partir de tours de magie n’est pas une pratique usuelle et les enseignants ont bien évidemment un rôle à jouer dans la réussite de ces activités. Comment mieux accompagner des enseignants du primaire dans l’intégration (planification ou mise en œuvre) de tours de magie en mathématique dans leurs classes? Quelles connaissances sont mobilisées et lesquelles doivent être développées par les enseignants pour intégrer (planifier ou mettre en œuvre) des tours de magie en mathématique en classe? Pour répondre à ces questions de recherche, nous avons travaillé avec une enseignante du primaire afin d’intégrer en classe deux activités de magie provenant du répertoire de la Semaine des maths. Le processus d’intégration de chacun des tours s’est déroulé en trois phases : une phase de préparation et de planification, une expérimentation en classe et une rencontre bilan. À l’aide du modèle de Ball, Thames et Phelps (2008), nous avons observé les connaissances mathématiques qui sont mobilisées et celles à développer pour mettre en œuvre ce type d’activités.

Les surfaces de subdivision fournissent une méthode alternative prometteuse dans la modélisation géométrique, et ont des avantages sur la représentation classique de trimmed-NURBS, en particulier dans la modélisation de surfaces lisses par morceaux. Dans ce mémoire, nous considérons le problème des opérations géométriques sur les surfaces de subdivision, avec l'exigence stricte de forme topologique correcte. Puisque ce problème peut être mal conditionné, nous proposons une approche pour la gestion de l'incertitude qui existe dans le calcul géométrique. Nous exigeons l'exactitude des informations topologiques lorsque l'on considère la nature de robustesse du problème des opérations géométriques sur les modèles de solides, et il devient clair que le problème peut être mal conditionné en présence de l'incertitude qui est omniprésente dans les données. Nous proposons donc une approche interactive de gestion de l'incertitude des opérations géométriques, dans le cadre d'un calcul basé sur la norme IEEE arithmétique et la modélisation en surfaces de subdivision. Un algorithme pour le problème planar-cut est alors présenté qui a comme but de satisfaire à l'exigence topologique mentionnée ci-dessus. / Subdivision surfaces are a promising alternative method for geometric modelling, and have some important advantages over the classical representation of trimmed-NURBS, especially in modelling piecewise smooth surfaces. In this thesis, we consider the problem of geometric operations on subdivision surfaces with the strict requirement of correct topological form, and since this problem may be ill-conditioned, we propose an approach for managing uncertainty that exists inherently in geometric computation. We take into account the requirement of the correctness of topological information when considering the nature of robustness for the problem of geometric operations on solid models, and it becomes clear that the problem may be ill-conditioned in the presence of uncertainty that is ubiquitous in the data. Starting from this point, we propose an interactive approach of managing uncertainty of geometric operations, in the context of computation using the standard IEEE arithmetic and modelling using a subdivision-surface representation. An algorithm for the planar-cut problem is then presented, which has as its goal the satisfaction of the topological requirement mentioned above.

Dans cette thèse, nous définissons des méthodes efficaces et génériques<br /> dans le but de résoudre les problèmes de robustesse que pose la géométrie algorithmique,<br /> en se concentrant principalement sur l'évaluation exacte des prédicats<br /> géométriques.<br /> Nous avons exploré des méthodes basées sur l'arithmétique<br /> modulaire, ce qui nous a conduits à mettre au point des algorithmes simples<br /> et efficaces de reconstruction du signe dans cette représentation des<br /> nombres.<br /> Nous avons également mis au point de nouveaux types de filtres<br /> arithmétiques qui permettent d'accélérer<br /> le calcul des prédicats exacts, en contournant le coût des solutions<br /> traditionnelles basées sur des calculs multi-précision génériques.<br /> Nos méthodes sont basées sur l'utilisation de l'arithmétique<br /> d'intervalles, qui permet une<br /> utilisation souple et efficace, combinée à un outil de génération<br /> automatique de code des prédicats.<br /> Ces solutions sont maintenant disponibles dans la bibliothèque<br /> d'algorithmes géométriques CGAL.

Dans la cryptographie à clé privée l'arithmétique joue un rôle important. En particulier, l'arithmétique des corps finis doit être très rapide étant donnée la quantité de calculs effectués en nécessitant des ressources limitées (surface de circuit, taille mémoire, consommation d'énergie) mais aussi tout en offrant un bon niveau de robustesse vis à vis des attaques physiques. L'objectif de cette thèse etait d'étudier, comparer, concevoir en matériel et enfin de valider expérimentalement et théoriquement des opérateurs arithmétiques matériels pour la cryptographie sur courbes elliptiques (ECC) sur des extensions du corps fini binaire (GF(2m)) à la fois performants, peu gourmands en énergie et robustes d'un point de sécurité contre les attaques physiques par canaux cachés (p.ex. mesure de la consommation d'énergie). Des travaux effectues aboutissent à la proposition d'opérateurs de multiplication performants (rapides, surface de circuit limitée) dans une architecture modulaire (pouvant être adaptée à des besoins spécifiques sans perte de performance). Les calculs requis par ces opérateurs sont complexes car les éléments du corps sont grands (160-580 bits) et la multiplication s'effectue modulo un polynôme irréductible. En plus la thèse presente des modification et l'optimisation des opérateurs pour les rendre plus robustes à certaines attaques par canaux cachés (de type mesure de consommation) sans perte de performance. Sécurisation d'opérateurs arithmétiques pour ECC au niveau des calculs sur le corps fini est particulièrement intéressant car c'est la première proposition de ce type. Ce travail complète un état de l'art en protections aux niveaux supérieurs (courbes, protocoles).