Ces travaux portent sur l'étude de la complexité en requêtes de <br />problèmes symétriques, dans les cadres du calcul probabiliste classique <br />et du calcul quantique.<br /><br />Il est montré, dans le cas quantique, une application de la méthode de <br />bornes inférieures dite "polynomiale" au calcul de la complexité en <br />requêtes des problèmes de sous-groupes cachés abéliens, via la technique de "symétrisation".<br /><br />Dans le cas du calcul probabiliste, sous une hypothèse de "symétrie <br />transitive" des problèmes, il est donné une formule combinatoire <br />permettant de calculer la complexité en requêtes exacte du meilleur <br />algorithme non-adaptatif. De plus, il est mis en évidence que sous <br />certaines hypothèses de symétrie, ce meilleur algorithme non-adaptatif <br />est optimal même parmi les algorithmes probabilistes plus généraux, ce qui donne pour la classe de problèmes correspondante une expression exacte de la complexité en requêtes.

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes. / In this thesis, we will study several algebraic, geometrical and topological properties of compact Riemann surfaces. Two principal subjects will be treated. First, using the fact that every compact Riemann surfaces of genus g greater or equal to 2 has a finite number of Weierstrass points, we will be able to prove that those surfaces have a finite number of automorphism. Afterward, we will study the Eichler's trace formula. This formula allow us to find the character of an automorphism acting on the space of holomorphic q-differentials. We will start our study using Klein's quartic curve. We will apply Eichler's formula in this case, which will allow us to familiarize ourselves with the statement of the theorem. Finally, we will demonstrate the Eichler's trace formula, treating the case where the automorphism acts fixed point freely separately from the case where the automorphism has fixed points.

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux sujets de géométrie symplectique inspirés<p>de la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines <p>connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.<p><p>Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété <p>symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimes<p>hamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous <p>identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupe<p>des automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de <p>ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismes<p>hamiltoniens.<p><p>Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédients<p>nécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs <p>symplectiques, connexions symplectiques,) sont également utilisés en quantification géométrique et en<p>quantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construits<p>de manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbock<p>lie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudions<p>les noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.<p>Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous <p>prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques.<p><p>/<p><p>In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.<p><p>Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernel<p>of a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. <p><p>Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections, The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space <p>$CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Nous étudions, dans la première partie de notre thèse, les polysimplexes d’un espace euclidien de dimension quelconque, c’est-à-dire les objets consistant en une juxtaposition de simplexes réguliers (de tétraèdres si la dimension est 3) accolés le long de leurs faces. Nous étudions principalement le groupe des symétries de ces polysimplexes. Nous présentons une façon de représenter un polysimplexe à l’aide d’un diagramme. Ceci fournit une classification complète des polysimplexes à similitude près. De plus, le groupe des symétries se déduit du groupe des automorphismes du diagramme. Il découle en particulier de notre étude qu’en dimension supérieure à 2, une telle structure ne possède jamais deux faces parallèles et ne contient jamais de circuit fermé de simplexes.<p><p>Dans la seconde partie de notre thèse, nous abordons un problème classique de combinatoire :l’énumération des pavages d’un rectangle mxn à l’aide de dominos. Klarner et Pollack ont montré qu’en fixant m la suite obtenue vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants. Nous établissons une nouvelle méthode nous permettant d’obtenir la fonction génératrice correspondante et la calculons pour m <= 16, alors qu’elle n’était connue que pour m <= 10.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les travaux de Killing et Cartan ont montré la correspondance entre les algèbres de Lie semi-simples complexes et les matrices de Cartan. Ces dernières sont des matrices sur les entiers satisfaisants certaines propriétés, parmi lesquelles une condition de positivité. Si cette condition est omise, on obtient une matrice de Cartan généralisée. On peut y étendre la présentation de Serre pour les algèbre de Lie semi-simples et obtenir les algèbres de Kac-Moody. <p>L'intérêt de l'étude des algèbres de Lie semi-simples réside dans le fait qu'elles induisent la plupart des groupes simples finis, comme le montre la construction de Chevalley. Il se fait que cette construction se généralise aux algèbres de Kac-Moody.<p><p>L'ingrédient principal de cette construction est l'utilisation d'un système de sous-groupes dans un groupe de Kac-Moody, ceux-ci étant indicés par les racines du système de Coxeter associé à la matrice de Cartan généralisée. Tits a réalisé l'axiomatique de ce système de sous-groupes, une donnée radicielle jumelée, pour un système de Coxeter quelconque. Par définition, les groupes de Kac-Moody sur un corps commutatif admettent une donnée radicielle jumelée.<p><p>En réalité les notions de donnée radicielle jumelée et d'immeuble jumelé de Moufang sont essentiellement équivalentes.<p>Au vu de la classification des immeubles sphériques et des polygones de Moufang, on obtient une classification complète des données radicielles sphériques irréductibles de rang au moins 2. Il se trouve qu'elles sont toutes d'origine algébrique (i.e. obtenues par constructions algébriques à partir de groupes de Chevalley).<p><p>Dans le cas sphérique, la situation est différente. D'une part, des résultats de Mühlherr semblent indiquer que les données radicielles jumelées 2-sphériques seraient d'origine algébrique. D'autre part Rémy et Ronan ont construit des exemples exotiques à angles droits pour lesquels l'adjectif "d'origine algébrique" est inapproprié.<p><p>Néanmoins ces exemples sont toujours relativement proches d'une construction algébrique. On ne peut donc rien conclure sur les données radicielles jumelées. Afin de répondre à cette question, on peut essayer de prouver des théorèmes structurels sur les données radicielles jumelées ou en donner des constructions permettant plus de flexibilité.<p><p>Les principaux résultats de cette thèse sont motivés par ces lignes directrices:<p>- nous prouvons un critère d'existence général pour les données radicielles jumelées;<p>- nous donnons une réponse affirmative à une question sur les automorphismes des groupes de Kac-Moody laissée ouverte dans un article de Caprace;<p>- nous proposons une définition d'une donnée radicielle jumelée sur un corps commutatif de caractéristique p.<p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Etant donné trois entiers k, s et a, nous prouvons dans le premier chapitre qu'il existe un graphe k-régulier fini (resp. un graphe k-régulier connexe fini) dont le groupe d'automorphismes a exactement s orbites sur l'ensemble des sommets et a orbites sur l'ensemble des arêtes si et seulement si<p><p>(s,a)=(1,0) si k=0,<p>(s,a)=(1,1) si k=1,<p>s=a>0 si k=2,<p>0< s <= 2a <= 2ks si k>2.<p><p>(resp.<p>(s,a)=(1,0) si k=0,<p>(s,a)=(1,1) si k=1 ou 2,<p>s-1<=a<=(k-1)s+1 et s,a>0 si k>2.)<p><p>Nous étudions les polyèdres convexes de R³ dans le second chapitre. Pour tout polyèdre convexe P, nous notons Isom(P) l'ensemble des isométries de R³ laissant P invariant. Si G est un sous-groupe de Isom(P), le f_G-vecteur de P est le triple d'entiers (s,a,f) tel que G ait exactement s orbites sur l'ensemble sommets de P, a orbites sur l'ensemble des arêtes de P et f orbites sur l'ensemble des faces de P. Remarquons que (s,a,f) est le f_{id}-vecteur (appelé f-vecteur dans la littérature) d'un polyèdre si ce dernier possède exactement s sommets, a arêtes et f faces. Nous généralisons un théorème de Steinitz décrivant tous les f-vecteurs possibles. Pour tout groupe fini G d'isométries de R³, nous déterminons l'ensemble des triples (s,a,f) pour lesquels il existe un polyèdre convexe ayant (s,a,f) comme f_G-vecteur. Ces résultats nous permettent de caractériser les triples (s,a,f) pour lesquels il existe un polyèdre convexe tel que Isom(P) a s orbites sur l'ensemble des sommets, a orbites sur l'ensemble des arêtes et f orbites sur l'ensemble des faces.<p><p>La structure d'incidence I(P) associée à un polyèdre P consiste en la donnée de l'ensemble des sommets de P, l'ensemble des arêtes de P, l'ensemble des faces de P et de l'inclusion entre ces différents éléments (la notion de distance ne se trouve pas dans I(P)). Nous déterminons également l'ensemble des triples d'entiers (s,a,f) pour lesquels il existe une structure d'incidence I(P) associée à un polyèdre P dont le groupe d'automorphismes a exactement s orbites de sommets, a orbites d'arêtes et f orbites de sommets. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

On étudie dans cette thèse les cycles algébriques sur les variétés Jacobiennes de courbes complexes projectives lisses qui admettent des automorphismes non triviaux. Il s'agit plus précisément d'étudier de nouveaux anneaux tautologiques associés à des groupes d’automorphismes de la courbe. On montre que ces Q-algèbres naturelles de cycles algébriques sur les Jacobiennes se restreignent en des familles de cycles sur certaines sous-variétés spéciales de la Jacobienne et que celles-ci méritent encore le nom d'anneaux tautologiques sur ces sous-variétés. On étudie en détail le cas des courbes hyperelliptiques; situation dans laquelle les algèbres introduites admettent un nombre fini de générateurs, et en particulier sont de dimension finie. On peut alors être très précis dans l'étude des relations entre ces générateurs. Enfin, on montre que ces anneaux tautologiques apparaissent naturellement dans un autre contexte : celui des systèmes linéaires complets sans point de base. / In this thesis we study algebraic cycles on Jacobian varieties of smooth projective complex curves with non trivial automorphisms. More precisely, we introduce new tautological rings associated to groups of automorphisms of the curve. We show that these natural Q-algebras of algebraic cycles on Jacobians induce a good notion of tautological rings on some particular subvarieties of the Jacobian. We then study in detail the case of hyperelliptic curves. In this case, the tautological rings admit a finite number of generators, and in particular are of finite dimension. We can then be very precise when studying the relations between these generators. Finally, we present another situation in which these tautological rings appear: when we consider complete linear series without base point.

Dans ce travail, nous classifions les automorphismes non-symplectiques des variétés équivalentes par déformations à des variétés de Kummer généralisées de dimension 4, ayant une action d'ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Dans un premier temps, nous donnons les lieux fixes des automorphismes naturels de cette forme. Par la suite, nous développons des outils sur les réseaux en vue de les appliquer à nos variétés. Une étude réticulaire des tores complexes de dimension 2 permet de mieux comprendre les automorphismes naturels sur les variétés de type Kummer. Nous classifions finalement tous les automorphismes décrits précédemment sur ces variétés. En application de nos résultats sur les réseaux, nous complétons également la classification des automorphismes d'ordre premier sur les variétés équivalentes par déformations à des schémas de Hilbert de 2 points sur des surfaces K3, en traitant le cas de l'ordre 5 qui restait ouvert. / Ln this work, we classify non-symplectic automorphisms of varieties deformation equivalent to 4-dimensional generalized Kummer varieties, having a prime order action on the Beauville-Bogomolov lattice. Firstly, we give the fixed loci of natural automorphisms of this kind. Thereafter, we develop tools on lattices, in order to apply them to our varieties. A lattice-theoritic study of 2-dimensional complex tori allows a better understanding of natural automorphisms of Kummer-type varieties. Finaly, we classify all the automorphisms described above on thos varieties. As an application of our results on lattices, we complete also the classification of prime order automorphisms on varieties deformation-equivalent to Hilbert schemes of 2 points on K3 surfaces, solving the case of order 5 which was still open.

Cette thèse s'intéresse aux automorphismes des surfaces algébriques réelles, c'est-à-dire les transformations polynomiales admettant un inverse polynomial. La question centrale est de savoir si leur restriction au lieu réel reflète toute la richesse de la dynamique complexe. Celle-ci est traitée sous deux aspects : celui de l'entropie topologique et celui de l'ensemble de Fatou. Pour le premier point, on introduit une quantité purement géométrique, appelée concordance, qui ne dépend que de la surface. Puis on montre que le rapport des entropies réelle et complexe est relié à cette quantité. La concordance est calculée explicitement sur de nombreux exemples de surfaces, notamment les surfaces abéliennes qui sont traitées en détails, ainsi que certaines surfaces K3. Dans la seconde partie, on étudie l'ensemble de Fatou, qui correspond aux pointscomplexes pour lesquels la dynamique est simple. On montre, grâce à des résultats antérieurs de Dinh et Sibony sur les courants positifs fermés, que celui-ci est hyperbolique au sens de Kobayashi, quitte à lui enlever certaines courbes fixées par (unitéré de) notre transformation. Cette propriété permet d'en déduire que ce lieu réel ne peut pas être entièrement contenu dans l'ensemble de Fatou, hormis quelques cas exceptionnels où la topologie du lieu réel est simple et la dynamique bien comprise. Ainsi la complexité de la dynamique est presque toujours observable sur les points réels.

Une surface K3 est une surface X complexe compacte projective lisse qui a fibré canonique trivial et h0;1(X) = 0. Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes pour ces surfaces. D'abord on considère des surfaces K3 obtenues comme recouvrement double de P2 ramifié le long d'une sextique. On classifie les fibrations elliptiques sur ces surfaces et leur groupe de Mordell-Weil, c'est-à-dire le groupe des sections. Vu que une section de 2-torsion définit une involution de la surface (dite involution de van Geemen-Sarti), alors en classifiant les fibrations et les section de 2-torsion on obtient une classification complète des involutions de van Geemen-Sarti sur ce type de surfaces K3. On montre aussi comment calculer l'équation de la fibration et on étudie le quotient par l'involution de van Geemen-Sarti. Ensuite on montre la construction de Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR): il s'agit d'une construction miroir qui part d'un polynôme dans un espace projectif à poids et d'un groupe d'automorphismes (avec certaines propriétés) et qui donne, en toute dimension, des paires de variétés Calabi-Yau. Ces deux variétés sont l'une miroir de l'autre en sense classique. On classifie toutes les paires de surfaces K3 obtenues avec cette construction qui aient en plus un automorphisme non{symplectique d'ordre premier p > 3. Pour les surfaces K3 une autre notion de symétrie miroir a été introduite par Dolgachev et Nikulin : la symétrie pour K3 polarisées (LPK3). On montre dans la thèse comment polariser les surfaces obtenues avec la construction BHCR et on preuve que deux surfaces miroir au sense BHCR, dûment polarisées, appartiennent à deux familles miroir LPK3. / A K3 surface is a complex compact projective surface X which is smooth and such that its canonical bundle is trivial and h0;1(X) = 0. In this thesis we study two different topics about K3 surfaces. First we consider K3 surfaces obtained as double covering of P2 branched on a sextic curve. For these surfaces we classify elliptic fibrations and their Mordell-Weil group, i.e. the group of sections. A 2-torsion section induces a symplectic involution of the surface, called van Geemen-Sarti involution. The classification of elliptic fibrations and 2-torsion sections allows us to classify all van Geemen-Sarti involutions on the class of K3 surfaces we are considering. Moreover, we give details in order to obtain equations for the elliptic fibrations and their quotient by the van Geemen-Sarti involutions. Then we focus on the mirror construction of Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR). This construction starts from a polynomial in a weighted projective space together with a group of diagonal automorphisms (with some properties) and gives a pair of Calabi-Yau varieties which are mirror in the classical sense. The construction works for any dimension. We use this construction to obtain pairs of K3 surfaces which carry a non-symplectic automorphism of prime order p > 3. Dolgachev and Nikulin proposed another notion of mirror symmetry for K3 surfaces: the mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces (LPK3). In this thesis we show how to polarize the K3 surfaces obtained from the BHCR construction and we prove that these surfaces belong to LPK3 mirror families.