Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-05-03T12:04:50Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1304658 bytes, checksum: e4e550beeae66c0949fd33c9fa86db45 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-03T12:04:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1304658 bytes, checksum: e4e550beeae66c0949fd33c9fa86db45 (MD5) Previous issue date: 2017-06-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Abstract indisponível neste campo - O PDF foi entregue protegido para cópia / Resumo indisponível neste campo - O PDF foi entregue protegido para cópia

The thesis consists of three papers of the author. In the first paper, it is shown that the sets of Fréchet subdifferentiability of Lipschitz functions on a Banach space X are Borel if and only if X is reflexive. This answers a ques- tion of L. Zajíček. In the second paper, a problem of G. Debs, G. Godefroy and J. Saint Raymond is solved. On every separable non-reflexive Banach space, equivalent strictly convex norms with the set of norm-attaining func- tionals of arbitrarily high Borel class are constructed. In the last paper, binormality, a separation property of the norm and weak topologies of a Ba- nach space, is studied. A result of P. Holický is generalized. It is shown that every Banach space which belongs to a P-class is binormal. It is also shown that the asplundness of a Banach space is equivalent to a related separation property of its dual space. 1

The present thesis consists of four research papers. Each article deals with quan- tifications of certain properties of Banach spaces. The first paper is devoted to the Grothendieck property. The main result is that the space ∞ enjoys its quan- titative version. The second paper investigates quantifications of the Banach- Saks and the weak Banach-Saks property. The relationship of compact, weakly compact, Banach-Saks, and weak Banach-Saks sets is quantified, as well as some characterizatons of weak Banach-Saks sets. In the third article we discuss possible quantifications of Pelczy'nski's property (V), their characterizations and relations to quantitative versions of other properties of Banach spaces. The last paper is a continuation of the third one. We prove that C∗ -algebras have a quantita- tive version of the property (V), which generalizes one of the results obtained in the previous paper. Moreover, we establish a relationship between quantita- tive versions of the property (V) and the Grothendieck property in dual Banach spaces. 1

In this work we will demonstrate that the Cauchy problem associated with the Korteweg-de Vries equation, denoted by KdV, and Korteweg-de Vries modified equation, denoted by mKdV, with initial data in the space of Sobolev Hs(|R), is locally well-posed on Hs(|R), with s>3/4 for KdV and s≥1/4 for mKdV, where the notion of well-posedness includes existence, uniqueness, persistence property of solution and continuous dependence of solution with respect to the initial data. This result is based on the works of Kenig, Ponce and Vega. The technique used to obtain these results is based on fixed point Banach theorem combined with the regularizantes effects of the group associated with the linear part. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Neste trabalho demonstraremos que o problema de Cauchy associado as equações de Korteweg-de Vries, denotada por KdV, e de Korteweg-de Vries modificada, denotada por mKdV, com dado inicial no espaço de Sobolev Hs(|R), é bem posto localmente em Hs(|R), com s>3/4 para a KdV e s≥1/4 para a mKdV, onde a noção de boa postura inclui a existência, unicidade, a propriedade de persistência da solução e dependência contínua da solução com relação ao dado inicial. Este resultado é baseado nos trabalhos de Kenig, Ponce e Vega. A técnica utilizada para obter tais resultados se baseia no Teorema do Ponto Fixo de Banach combinada com os efeitos regularizantes do grupo associado com a parte linear.

Quelques aspects de la géométrie des espaces LipschitzEn premier lieu, nous donnons les propriétés fondamentales des espaces Lipschitz libres. Puis, nous démontrons que l'image canonique d'un espace métrique M est faiblement fermée dans l'espace libre associé F(M). Nous prouvons un résultat similaire pour l'ensemble des molécules.Dans le second chapitre, nous étudions les conditions sous lesquelles F(M) est isométriquement un dual. En particulier, nous généralisons un résultat de Kalton sur ce sujet. Par la suite, nous nous focalisons sur les espaces métriques uniformément discrets et sur les espaces métriques provenant des p-Banach.Au chapitre suivant, nous explorons le comportement de type l1 des espaces libres. Entre autres, nous démontrons que F(M) a la propriété de Schur dès que l'espace des fonctions petit-Lipschitz est 1-normant pour F(M). Sous des hypothèses supplémentaires, nous parvenons à plonger F(M) dans une somme l_1 d'espaces de dimension finie.Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à la structure extrémale de $F(M)$. Notamment, nous montrons que tout point extrémal préservé de la boule unité d'un espace libre est un point de dentabilité. Si F(M) admet un prédual, nous obtenons une description précise de sa structure extrémale.Le cinquième chapitre s'intéresse aux fonctions Lipschitziennes à valeurs vectorielles. Nous généralisons certains résultats obtenus dans les trois premiers chapitres. Nous obtenons également un résultat sur la densité des fonctions Lipschitziennes qui atteignent leur norme. / Some aspects of the geometry of Lipschitz free spaces.First and foremost, we give the fundamental properties of Lipschitz free spaces. Then, we prove that the canonical image of a metric space M is weakly closed in the associated free space F(M). We prove a similar result for the set of molecules.In the second chapter, we study the circumstances in which F(M) is isometric to a dual space. In particular, we generalize a result due to Kalton on this topic. Subsequently, we focus on uniformly discrete metric spaces and on metric spaces originating from p-Banach spaces.In the next chapter, we focus on l1-like properties. Among other things, we prove that F(M) has the Schur property provided the space of little Lipschitz functions is 1-norming for F(M). Under additional assumptions, we manage to embed F(M) into an l1-sum of finite dimensional spaces.In the fourth chapter, we study the extremal structure of F(M). In particular, we show that any preserved extreme point in the unit ball of a free space is a denting point. Moreover, if F(M) admits a predual, we obtain a precise description of its extremal structure.The fifth chapter deals with vector-valued Lipschitz functions.We generalize some results obtained in the first three chapters.We finish with some considerations of norm attainment. For instance, we obtain a density result for vector-valued Lipschitz maps which attain their norm.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-04-23T21:42:23Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 889863 bytes, checksum: feeec177f9d947c98727574b765d8acb (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-23T21:42:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 889863 bytes, checksum: feeec177f9d947c98727574b765d8acb (MD5) Previous issue date: 2017-07-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we study the notion of index of summability for pairs of Banach spaces. This index plays the role of a kind of “measure” of how the space of m-homogeneous polynomials from E to F (or the space of multilinear operators of E1×···×Em to F) are far from being the space of absolutely summing m-homogeneous polynomials (or with the space of multiple summing multilinear operators). In some cases the optimal index of summability is presented. / Neste trabalho, estudamos a noção de índice de somabilidade para pares de espaços de Banach. Esse índice desempenha o papel de um tipo de \medida" de como o espaço dos polinômios m-homogêneos de E em F (ou o espaço dos operadores multilineares de E Em em F) está longe de coincidir com o espaço dos polinômios m- homogêneos absolutamente somantes (ou com o espaço dos operadores multilineares multiplo somantes). Em alguns casos o índice ótimo de somabilidade e apresentado. Palavras-chave: Polinômios absolutamente somantes, operadores multilineares absolutamente somantes, espaços de Banach, índice de somabilidade.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 842217 bytes, checksum: 4549b711fa61f709fe2ff3b8c94c4bef (MD5) Previous issue date: 2014-02-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study the existence of positive solutions for a class of semilinear elliptic equations in a smooth bounded domain, with Dirichlet boundary condition and non-linear terms changing sign as well as with small perturbations. In order to obtain the positive solution, in the first case we use a version of the Mountain Pass Theorem in Ordered Banach spaces. In the second case, the main term is under assumptions that guarantee the application of the usual Mountain Pass Theorem and the perturbation term does not require any hypothesis. / Neste trabalho, estudamos existência de solução positiva para uma classe de equações elípticas semilineares em um domínio limitado suave, com condição de fronteira de Dirichlet, tanto com termos nao-lineares mudando de sinal, quanto com termos com pequenas perturbações. A fim de obtermos solução positiva, no primeiro caso, usamos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para Espacos de Banach Ordenados. No segundo caso, o termo principal esta sob condições que garantem a aplicação do Teorema do Passo da Montanha usual e o termo de perturbação não requer nenhuma hipótese.

Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-09-02T13:30:29Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Abraão C Mendes.pdf: 596466 bytes, checksum: 828e2e3d4596502c864741954a15b161 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-09-16T15:31:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Abraão C Mendes.pdf: 596466 bytes, checksum: 828e2e3d4596502c864741954a15b161 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-09-16T15:35:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Abraão C Mendes.pdf: 596466 bytes, checksum: 828e2e3d4596502c864741954a15b161 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-09-16T15:35:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - Abraão C Mendes.pdf: 596466 bytes, checksum: 828e2e3d4596502c864741954a15b161 (MD5) Previous issue date: 2015-08-12 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / For a long time one was looking for an answer of Peano’s theorem in infinitedimensional Banach spaces. In 1974, Godunov proved that the Peano’s theorem holds in a Banach space X if and only if X has finite dimension. In the following, he turned all his attention to the weak form of Peano’s theorem in the infinite-dimensional case. In 2003, Shkarin proved that if X is a Banach space containing a complemented subspace with an unconditional Schauder basis, then the weak form of Peano’s theorem does not hold. In this work we try to show all details of the proof. / Por muito tempo procurou-se responder à questão da validade (ou não-validade) do Teorema de Peano em espaços de Banach de dimensão infinita. Mas, em 1974, Godunov mostrou que o Teorema de Peano é válido em um espaço de Banach X se, e somente se, X tem dimensão finita (veja [13]). Voltou-se, então, a atenção para a Forma Fraca do Teorema de Peano no caso de dimensão infinita. Em 2003, Shkarin mostrou que se X é um espaço de Banach contendo um subespaço complementado com base de Schauder incondicional, então a Forma Fraca do Teorema de Peano não é válida (veja [14]). Veremos os detelhes deste resultado ao longo deste trabalho.

Submitted by Lenieze Lira (leniezeblira@gmail.com) on 2016-08-01T14:34:07Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Raimundo N. V. de Oliveira.pdf: 1180188 bytes, checksum: c115f87106ecc3e857d9523454d71ff4 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-08-19T15:47:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Raimundo N. V. de Oliveira.pdf: 1180188 bytes, checksum: c115f87106ecc3e857d9523454d71ff4 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-08-22T12:47:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Raimundo N. V. de Oliveira.pdf: 1180188 bytes, checksum: c115f87106ecc3e857d9523454d71ff4 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-22T12:47:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - Raimundo N. V. de Oliveira.pdf: 1180188 bytes, checksum: c115f87106ecc3e857d9523454d71ff4 (MD5) Previous issue date: 2016-03-11 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this present work, we study the “no validity” of Peano Theorem of Weak Form in Banach spaces with separable quotient of infinite dimension, in a more precise way, we show that if X is a Banach space with the quotient separable infinite-dimensional, then there is a continuous map f : X ! X such that autonomous differential equation x0 = f(x) has no solution at any point. / Neste presente trabalho, faremos o estudo da “não validade” da Forma Fraca do Teorema de Peano em espaços de Banach com quociente separável de dimensão infinita ou, de uma forma mais precisa, mostraremos que se X é um espaço de Banach com quociente separável de dimensão infinita, então existe uma aplicação contínua f : X ! X tal que a equação diferencial autônoma x0 = f(x) não tem solução em qualquer ponto.

Neste trabalho temos por objetivo apresentar alguns resultados relacionados aos temas abordados por Aron, Choi e Llavona (1995), Aron e Dimant (2002) e Aron e Rueda (1997). Primeiramente, vamos estudar as propriedades polinomiais (P) e (RP) para os espaços de Banach e a propriedade ACL para as funções definidas entre as bolas unitárias fechadas do espaço. Vamos apresentar novos exemplos de espaços de Banach que possuem a propriedade (P) onde é possível exibir funções que satisfazem a propriedade ACL. Vamos ainda estudar o conjunto de continuidade seqüencial fraca de um polinômio N-homogêneo contínuo com valores vetoriais. Apresentamos as suas propriedades básicas e algumas conexões com o caso dos polinômios escalares. No espaço dual faremos uma breve análise dos polinômios com certo tipo de continuidade com relação à topologia fraca-estrela. Numa outra direção, estudamos os zeros de polinômios N-homogêneos em várias variáveis complexas, mais especificamente, dados n, N números naturais existe um número natural m tal que para cada polinômio N-homogêneo complexo P definido no espaço vetorial C^ existe um subespaço vetorial X_ contido no conjunto dos zeros do polinômio P de dimensão n. Aqui, o principal objetivo é melhorar as limitações para m encontradas por Aron e Rueda (1997) como também generalizar os seus resultados. / Our purpose here is to study some results regarding the articles of Aron, Choi and Llavona (1995), Aron and Dimant (2002) and Aron and Rueda (1997). Firstly, we study properties (P) and (RP) for the Banach spaces and the ACL property for the functions defined between the closed unit balls. We give new examples of Banach spaces which have (P) property and some functions defined in those spaces satisfying the ACL property. We also study the set of weak sequential continuity of a vector-valued continuous Nhomogeneous polynomial. In the dual space we study the N-homogeneous polynomials which are weak-star continuous on bounded sets. Finally, we study the zeros of complex N-homogeneous polynomials. This means, given positive integers n and N, there is a positive integer m such that an complex N-homogeneous polynomial P defined in C^ has an ndimensional subspace contained in its zero set. We discuss the problem of finding a good bound on m as a function of n and N. We improve the results given by Aron and Rueda (1997) as also generalize their results.