Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

On étudie dans cette thèse la régularité des cônes et d'ensembles de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4.Dans la première partie, on étudie d'abord la régularité Bi-Hölderienne des cônes minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. Ceci nous permet ensuite de montrer qu'il existe un difféomorphisme locale entre un cône minimal de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4 et un cône minimal de dimension 3, de type P, Y ou T, loin d'origine. La méthode est la même que pour les ensembles minimaux de dimension 2. On construit des compétiteurs et on se ramène aux situations connues des ensembles minimaux de dimension 2 dans l'espace Euclidien de dimension 3.Dans la deuxième partie, on utilise le résultat de la première partie pour donner quelques résultats de régularité Bi-Hölderienne pour les ensembles minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. On s'intéresse aussi aux ensembles minimaux de Mumford-Shah et on obtient un résultat de l'existence d'un point de type T. / In this thesis we study the problems of regularity of three-dimensional minimal cones and sets in l'espace Euclidien de dimension 4In the first part we study the Hölder regularity for minimal cones of dimension 3 in l'espace Euclidien de dimension 4. Then we use this for showing that there exists a local diffeomorphic mapping between a minimal cone of dimension 3 and a minimal cone of dimension 3 of type P, Y or T, away from the origin. The techniques used here are the same as the ones for the regularity of two-dimensional minimal sets. We construct some competitors to reduce to the known situation of two-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 3.In the second part, we use the first part to give somme results of the Hölder regularity for three-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 4. We interested also in Mumford-Shah minimal sets and we get a result of the existence of a T-point.

Cette thèse s’intéresse principalement à l’existence et à la régularité desensembles minimaux. On commence par montrer, dans le chapitre 3, que le problème de Plateau étudié par Reifenberg admet au moins une solution. C’est-à-dire que, si l’onse donne un ensemble compact B⊂R^n et un sous-groupe L du groupe d’homologie de Čech H_(d-1) (B;G) de dimension (d-1) sur un groupe abelien G, on montre qu’il existe un ensemble compact E⊃B tel que L est contenu dans le noyau de l’homomorphisme H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induit par l’application d’inclusion B→E, et pour lequel la mesure de Hausdorff H^d (E∖B) est minimale (sous ces contraintes). Ensuite, on montre au chapitre 4, que pour tout ensemble presque minimal glissant E de dimension 2, dans un domaine régulier Σ ressemblant localement à un demi espace, associé à la frontière glissante ∂Σ, et tel que E⊃∂Σ, il se trouve qu’à la frontière E est localement équivalent, par un homéomorphisme biHöldérien qui préserve la frontière, à un cône minimal glissant contenu dans un demi plan Ω, avec frontière glissante ∂Ω. De plus les seuls cônes minimaux possibles dans ce cas sont ∂Ω seul, ou son union avec un cône de type P_+ ou Y_+. / This thesis focuses on the existence and regularity of minimal sets. First we show, in Chapter 3, that there exists (at least) a minimizerfor Reifenberg Plateau problems. That is, Given a compact set B⊂R^n, and a subgroup L of the Čech homology group H_(d-1) (B;G) of dimension (d-1)over an abelian group G, we will show that there exists a compact set E⊃B such that L is contained in the kernel of the homomorphism H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induced by the natural inclusion map B→E, and such that the Hausdorff measure H^d (E∖B) is minimal under these constraints. Next we will show, in Chapter 4, that if E is a sliding almost minimal set of dimension 2, in a smooth domain Σ that looks locally like a half space, and with sliding boundary , and if in addition E⊃∂Σ, then, near every point of the boundary ∂Σ, E is locally biHölder equivalent to a sliding minimal cone (in a half space Ω, and with sliding boundary ∂Ω). In addition the only possible sliding minimal cones in this case are ∂Ω or the union of ∂Ω with a cone of type P_+ or Y_+.

Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3.<br />Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

Cette thèse concerne quatre thèmes apparemment différents, mais en fait intimement liés : problèmes variationnels sur les algèbres de Jordan euclidiennes, problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques, analyse angulaire entre deux cônes convexes fermés et analyse du chemin central en programmation conique symétrique.Dans la première partie de ce travail, le concept de “commutation au sens opérationnel” dans les algèbres de Jordan euclidiennes est étudié en fournissant un principe de commutation pour problèmes variationnels avec données spectrales.Dans la deuxième partie, nous abordons l’analyse et la résolution numérique d’une large classe de problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques. Les conditions de complémentarité sont exprimées en termes de l’ordre de Loewner ou, plus généralement, en termes d’un cône du type Loewnerien.La troisième partie de ce travail est une tentative de construction d’une théorie générale des angles critiques pour une paire de cônes convexes fermés. L’analyse angulaire pour une paire de cônes spécialement structurés est également considérée. Par-exemple, nous travaillons avec des sous-espaces linéaires, des cônes polyédriques, des cônes de révolution, des cônes “topheavy” et des cônes de matrices.La dernière partie de ce travail étudie la convergence et le comportement asymptotique du chemin central en programmation conique symétrique. Ceci est fait en utilisant des techniques propres aux algèbres de Jordan. / This thesis deals with four different but interrelated topics: variational problems on Euclidean Jordan algebras, complementarity problems on the space of symmetric matrices, angular analysis between two closed convex cones and the central path for symmetric cone linear programming.In the first part of this work we study the concept of “operator commutation” in Euclidean Jordan algebras by providing a commutation principle for variational problems involving spectral data.Our main concern of the second part is the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problems on spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewner ordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones.The third part of this work is an attempt to build a general theory of critical angles for a pair of closed convex cones. The angular analysis for a pair of specially structured cones is also covered. For instance, we work with linear subspaces, polyhedral cones, revolution cones, topheavy cones and cones of matrices.The last part of this work focuses on the convergence and the limiting behavior of the central path in symmetric cone linear programming. This is done by using Jordan-algebra techniques.

Ces dernières années, de nouveaux matériaux bidimensionnels aux propriétés surprenantes ont été découverts, le plus connu étant le graphène. Dans ces matériaux, les électrons du niveau de Fermi ont une masse apparente nulle, et peuvent être décrits par l’équation de Dirac sans masse. Un tel phénomène apparaît dans des situations très générales, pour les matériaux bidimensionnels ayant une structure périodique en « nid d’abeille ». De plus, la prise en compte d’interactions mène à des équations de Dirac non linéaires. Ces équations apparaissent également dans l’étude des paquets d’ondes lumineuses dans certaines fibres optiques. Le but de cette thèse est d’étudier l’existence et la stabilité de solutions stationnaires de ces équations avec termes non linéaires sous-critiques et critiques, et de montrer qu’ils sont la limite de solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger non linéaire à potentiel périodique dans certains régimes de paramètres. Du point de vue mathématique, on devra résoudre les équations d’Euler-Lagrange de fonctionnelles d'énergie fortement indéfinies faisant intervenir l’opérateur de Dirac. Il s’agira en particulier d’étudier le cas des non-linéarités avec exposant critique, encore mal comprises pour ce type de fonctionnelle, et qui apparaissent naturellement en optique non linéaire. Les résultats de cette thèse pourraient avoir un impact important en physique, en particulier en physique du solide et optique non linéaire. / Recently, new two-dimensional materials possessing unique properties have been discovered, the most famous being the graphene. In this materials, electrons at the Fermi level behave as massless particles and can be described by the massless Dirac equation. This phenomenon is quite general, and it is a common features of "honeycomb" periodic structures. Moreover, taking into account interaction leads to non-linear Dirac equations, which also appear in the description of light propagation in particular waveguides. The aim of the thesis is to study existence and stability of stationary solutions for those equations with both sub-critical and critical nonlinearities, and to show that they are limit of stationary solutions to the Schroedinger equation with honeycomb potential, for a suitable choice of parameters. This amounts to solving the Euler-Lagrange equation for strongly indefinite energy functionals, involving the Dirac operator. We will deal with critical nonlinearities, which are still poorly understood, and appear naturally in non-linear optics. This results may have an impact on the understanding some solid state or nonlinear optics systems.

La vision est considérée comme un des sens les plus importants, prenant en charge environ 80% des perceptions que nous recevons dans notre vie quotidienne. Les photorécepteurs de type cônes sont responsables de la vision centrale de haute résolution et en couleurs, et leur dégénérescence est souvent la cause de la perte de vision dans les maladies dégénératives rétiniennes (RDs). Les RDs sont un groupe hétérogène de maladies affectant des millions de personnes dans le monde, qui pour le moment sont pour la plupart sans aucune option thérapeutique. Les modèles animaux sont extrêmement utiles pour étudier le développement ou la dégénérescence de la rétine, ainsi que pour comprendre les mécanismes moléculaires des maladies génétiques héréditaires affectant les photorécepteurs. La modélisation des maladies dégénératives et du développement peut être particulièrement difficile, spécialement dans le cas de maladies humaines rares et complexes pour lesquelles aucun modèle animal exhaustif n'est disponible. De nos jours, la génération et le maintien de modèles de maladies humaines permettant une analyse approfondie du mécanisme moléculaire représente un grand défis . La technologie des cellules souches possède un grand potentiel dans la modélisation des maladies et représente un outil puissant pour générer des modèles évolutifs, sans l’utilisation d’animaux qui peuvent illustrer plus précisément les phénotypes cliniques de maladies humaines complexes. Nous avons développé un protocole pour différencier les cellules souches pluripotentes (PSCs) en feuillets rétiniens (RSs), qui sont des tissus polarisés et multicouches contenant des photorécepteurs cône et exprimant les marqueurs spécifiques du segment externe (OS), du cilium connecteur (CC) et du noyau. En utilisant à la fois des modèles de souris et des modèles humanisés à base de cellules souches, nous avons étudié le rôle de BMI1 dans les photorécepteurs matures. La protéine du groupe Polycomb Bmi1 est connue pour ses fonctions neuroprotectrices en contrôlant la sénescence et l'apoptose, et est exprimée à la fois dans le progéniteur rétinien et les neurones, mais on en sait peu sur son rôle spécifique dans la rétine adulte. Elle a été récemment associée à des troubles neurodégénératifs d'apparition tardive, et elle pourrait avoir un rôle dans la pathologie des RDs d'apparition tardive, comme la dégénérescence maculaire liée à l'âge (DMLA). Nous avons montré que les photorécepteurs cône et les neurones bipolaires sont générés normalement mais subissent ensuite une dégénérescence rapide chez les souris Bmi1-/- par nécroptose associée à Rip3. La dégénérescence était associée à des anomalies de compactage de la chromatine, à l'activation des répétitions en tandem et au stress oxydatif. De plus, nous montrons que BMI1 est préférentiellement exprimé dans les cônes au niveau des foyers hétérochromatiques dans la rétine humaine. Son inactivation dans les cellules souches embryonnaires humaines (hESCs) a altéré la différenciation terminale du cône et a entraîné des anomalies de compactage de la chromatine, l'activation des répétitions en tandem et l'induction de P53. Ces résultats fournissent un mécanisme expliquant comment une carence en Bmi1 conduit à la dégénérescence des cônes et révèlent des fonctions biologiques conservées et des différences pour Bmi1 dans la biologie des photorécepteurs entre la souris et l'homme. En utilisant un modèle humain basé sur les cellules souches pluripotentes induites (iPSCs), nous avons ensuite étudié le processus dégénératif chez les patients atteints de ciliopathies, un groupe de maladies génétiques hétérogènes affectant les protéines impliquées dans la structure et la fonction du cil primaire, qui sont fréquemment accompagnée d'une dégénérescence rétinienne. Nous générons des feuillets rétiniens dérivés d'iPSCs à partir de patients atteints de deux ciliopathies, les syndromes de Meckel-Gruber (MKS) et de Bardet-Biedl (BBS). Les photorécepteurs ciliopathiques présentaient des altérations communes significatives dans l'expression de centaines de gènes de développement. De plus, ils ont montré plusieurs anomalies dans la formation et le maintien du cilium interne, le positionnement du centriole mère, l'activation d'une réponse au stress aux protéines mal repliées, instabilités génomiques et l'accumulation de dommages à l'ADN. Cette étude révèle comment la combinaison des technologies de reprogrammation cellulaire et d'organogenèse avec le séquençage de nouvelle génération permet d'élucider les mécanismes moléculaires et cellulaires impliqués dans les troubles dégénératifs et développementaux de la rétine humaine. La même approche, combinant la différenciation en RSs avec des techniques de séquençage du génome à large spectre, pourrait être appliquée pour modéliser de nombreuses maladies génétiques, développementales et dégénératives affectant les photorécepteurs. Il peut également aider à élucider les mécanismes moléculaires sous-jacents à ces maladies, au criblage de médicaments de composés ayant des effets thérapeutiques potentiels et à prédire les effets secondaires des médicaments. / Vision is considered the most important sense, taking on about 80% of the perceptions we receive in our everyday life. Cone-photoreceptors are responsible for high-resolution central vision and color discrimination, and their degeneration is frequently the cause of vision loss in retinal degenerative diseases (RDs). RDs are a heterogeneous group of diseases affecting millions of people worldwide, which at the moment are mostly without any therapeutic option. Animal models are extremely useful in studying the retina's development or degeneration and understanding the molecular mechanisms in inherited genetic disease affecting photoreceptors. Modeling human developmental and degenerative diseases can be particularly challenging, especially in the case of rare and complex diseases where no exhaustive animal models are available. Generation of sustainable human disease models that allow in-depth analysis of the molecular mechanism is one of the big challenges nowadays. Stem cell technology holds great potential in disease modeling and represents a new powerful tool for generating scalable and animal-free models that can more accurately illustrate clinical phenotypes of complex human diseases. We developed a protocol to differentiate pluripotent stem cells (PSCs) into retinal sheets (RSs), which are polarized, multi-layered tissues containing cone photoreceptors and expressing outer segment (OS), connecting cilium (CC), and nuclear specific markers. Using both mouse and stem cells-based humanized models, we first investigate the role of BMI1 in mature photoreceptors. The Polycomb group protein Bmi1 is known for its neuroprotective functions by controlling senescence and apoptosis and is expressed in both retinal progenitor and neurons, but little is known about its specific role in the adult retina. It has been recently linked to late-onset neurodegenerative disorders, and it could have a role in the pathology of late-onset RDs, such as Age-related Macular Degeneration (AMD). We showed that cone photoreceptors and bipolar neurons are generated normally but then undergo rapid degeneration in Bmi1-/- mice through Rip3-associated necroptosis. Degeneration was associated with chromatin compaction anomalies, activation of tandem-repeats, and oxidative stress. Furthermore, we show that BMI1 is preferentially expressed in cones at heterochromatic foci in the human retina. Its inactivation in human embryonic stem cells (hESCs) impaired cone terminal differentiation and resulted in chromatin compaction anomalies, activation of tandem-repeats, and P53 induction. These findings provide a mechanism explaining how Bmi1 deficiency leads to cone degeneration and reveal conserved biological functions and differences for Bmi1 in photoreceptor biology between mouse and man. Using an induced Pluripotent Stem Cells (iPSCs) based human model, we then investigate the degenerative process in patients with ciliopathies, a group of heterogeneous genetic diseases affecting proteins involved in primary cilium structure and function frequently accompanied by retinal degeneration. We generate iPSC-derived retinal sheets from patients affected by two ciliopathies, Meckel-Gruber (MKS) and Bardet-Biedl syndromes (BBS). Ciliopathic photoreceptors displayed significant common alterations in the expression of hundreds of developmental genes. Moreover, they showed several anomalies in the formation and maintenance of cilia, the mother centriole's positioning, the activation of a stress response to misfolded proteins, genomic instabilities, and DNA damage accumulation. This study reveals how combining cell reprogramming and organogenesis technologies with next-generation sequencing enables the elucidation of molecular and cellular mechanisms involved in human retinal degenerative and developmental disorders. The same approach, combining photoreceptor sheet differentiation and wide-genome expression profile, could be applied to model many genetic, developmental, and degenerative diseases affecting photoreceptors. It may help elucidate the molecular mechanisms underlining these diseases, drug screening of compounds with potential therapeutic effects, and predict drug side effects.

Un piémont constitue la zone de transition entre une chaîne de montagnes et son bassin d'avant-pays. Tectonique et climat se partagent le contrôle de son évolution géomorphologique à toutes les échelles de temps. L'étude de l'exemple du piémont Nord du Tian Shan oriental (Nord-Ouest de la Chine) permet une description précise de ces influences, ainsi qu'une quantification des phénomènes majeurs observés. Le signal tectonique intervient sur le long terme, par le soulèvement actif de la chaîne qui induit un flux de matière vers le piémont, ainsi que par la migration de la déformation vers le bassin dzungar sous forme de plis d'avant-pays. Au contraire, le signal climatique se manifeste à court et moyen terme, suivant les grands cycles climatiques globaux plus ou moins nuancés à l'échelle régionale. En période glaciaire, le matériel érodé dans les bassins versants montagneux est difficilement exporté de la chaîne. Le transport est facilité à la transition vers l'interglaciaire, par l'augmentation brutale des flux d'eau qui provoque la mise en place dans le piémont de grands cônes alluviaux, abandonnés vers 12 \pm 2 ka BP. A partir de ce moment, les rivières s'encaissent profondément dans les cônes, à des taux d'incision moyens de 1 à 2.5~cm/an sur l'Holocène. Les terrasses d'abrasion abandonnées au cours de cette phase sont d'abord de largeurs plurikilométriques, puis les vallées se font de plus en plus étroites sans que les rivières ne cessent d'inciser. Nous modélisons l'évolution du profil d'une de ces rivières au cours de l'Holocène à partir de la théorie du transport de Bagnold, en cherchant à retrouver la décroissance des paléo-pentes du lit de la rivière observée à l'aide de la topographie actuelle des terrasses. Cette reconstruction nous mène à considérer que la largeur du lit varie peu, alors que sa sinuosité diminue pendant la progression de l'encaissement. Elle suggère en outre que le débit de la rivière a chuté d'un facteur 3 entre la mi-Holocène et l'actuel. Cette étude est complétée par l'exploitation de données de paléo-niveaux holocènes du lac exutoire du piémont. Des lignes de rivage repérées à plus de 50~m montrent en effet que le lac s'est étendu sur une surface triple de sa surface actuelle au début de l'Holocène. Le calcul de bilans hydrologiques pour les conditions actuelles et mi-holocènes atteste que les apports des rivières vers 6000~ans~BP étaient supérieurs d'un facteur 2.6 aux apports actuels. La synthèse de ces deux approches révéle que la région a connu pendant la première moitié de l'Holocène un climat beaucoup plus humide que l'actuel, dans une mesure jusqu'alors ignorée des reconstitutions paléoclimatiques.

De nos jours, les images de synthèse occupent une place de plus en plus importante dans des domaines aussi variés que l'ingénierie ou le divertissement. Le matériel informatique a énormément évolué ces dernières années afin de pouvoir suivre cette tendance. Cependant, le matériel ne peut satisfaire seul aux exigences, en terme de qualité et d'interactivité, que requièrent les nouvelles applications. D'où l'intérêt d'algorithmes permettant d'optimiser le temps d'exécution et l'occupation mémoire de telles applications, et notamment celles qui nécessitent une interactivité avec l'utilisateur. Le placage de déplacement tridimensionnel par pixel est une nouvelle technique qui permet d'enrichir visuellement les scènes 3D, en simulant les mesostructures (microreliefs) présentes sur de nombreux types de surface. Cette amélioration s'effectue sans modification de la définition géométrique des objets 3D, et s'appuie uniquement sur le placage de textures dédiées à cet effet. Cette technique contribue ainsi à éviter la saturation du pipeline graphique que peut provoquer le traitement d'un très grand nombre de primitives graphiques. Dans le même esprit, la technique de modélisation et rendu à base d'images, qui est une extension du placage de déplacement 3D par pixel, permet de créer et d'afficher des objets 3D dans leur intégralité, sans passer par le traditionnel maillage polygonal. Au cours de ce travail, nous nous sommes intéressés à l'une des meilleures techniques pour le placage de déplacement 3D par pixel. Il s'agit de la technique de traçage de cônes, dont nous avons pu faire passer les algorithmes de prétraitement des textures d'une complexité quadratique à une complexité linéaire. Nous avons également proposé un nouvel algorithme permettant la prise en charge des textures rectangulaires, car elles étaient très mal gérées par les méthodes existantes. Nous avons aussi développé une nouvelle approche qui rend possible la synchronisation temps réel entre la modification de l'échelle du microrelief et son ombrage. Cette thèse introduit notamment le placage d'extrusion et de révolution. Il s'agit d'une nouvelle technique de modélisation et rendu à base d'images. L'approche que nous avons adoptée permet de créer des géométries sans maillage, par extrusion ou par révolution d'une forme de base, stockée sous forme d'une image 2D binaire. Ce type de géométrie est très utilisé en modélisation 3D, et particulièrement dans la création d'environnements architecturaux. La technique proposée est très performante, que ce soit en terme d'interactivité, ou en terme de qualité visuelle.

Cette thèse en physique constitue une étude théorique des états de bord dans des cristaux bidimensionnels qui exhibent deux cônes de Dirac (dégénérés en spin) dans leur relation de dispersion. Les deux systèmes considérés sont le graphène d'une part, et le réseau carré traversé d'un demi quantum de flux magnétique d'autre part. L'accent est mis sur la description analytique des niveaux d'énergie dispersifs sous fort champ magnétique (régime de l'effet Hall quantique), à l'approche du bord. Selon la géométrie du réseau cristallin et la forme du bord considéré, différents types de couplage sont induits sur les composantes de la fonction d'onde, donnant lieu à des structures d'états de bord différentes mais qui peuvent néanmoins être décrites de façon communes. En l'absence de champ magnétique, des états de bord peuvent également exister dans ces systèmes, mais ceux-ci ont une origine différente et leur existence même dépend de la nature des bords. Dans le cas du graphène, on montre comment comprendre l'existence de tels états en terme d'une phase de Berry particulière, appelée phase de Zak. Cette approche permet entre autre de comprendre comment manipuler ces états de bord en induisant une transition topologique de la phase de Zak à partir des paramètres de volume. Un autre type de transition topologique est également étudié. Il s'agit de la fusion des cônes de Dirac dans le réseau carré à demi flux. On montre que le mécanisme donnant lieu à ce phénomène est totalement différent de celui connu dans le graphène, et que le voisinage de la transition peut toutefois être décrit avec le même Hamiltonien effectif. Une partie plus courte traite de la localisation faible sur un cylindre désordonné en présence d'interactions électroniques. Le but de cette étude est d'illustrer le rôle de la géométrie sur les mécanismes de décohérence dus aux interactions électron-électron dans les systèmes diffusifs. Les harmoniques de la correction de localisation faible alors calculées mettent en évidence différents régimes qui permettent de sonder les différentes échelles de longueur caractérisant la décohérence. Ces longueurs révèlent la sensibilité des processus cohérents à la géométrie, et sont caractérisées par des lois de puissance en température spécifiques.