Cette thèse s'intéresse à la simulation numérique de l'explosion vapeur. Ce phénomène correspond à une vaporisation instantanée d'un volume d'eau liquide entraînant un choc de pression. Nous nous y intéressons dans le cadre de la sûreté nucléaire. En effet, lors d'un accident entraînant la fusion du cœur du réacteur, du métal fondu pourrait interagir avec de l'eau liquide et entraîner un tel choc. On voudrait alors connaître l'ampleur de ce phénomène et les risques d'endommagements de la centrale qu'il implique. Pour y parvenir, nous utilisons pour modèle les équations d'Euler dans un cadre Lagrangien. Cette description a l'avantage de suivre les fluides au cours du temps et donc de parfaitement conserver les interfaces entre l'eau liquide et sa vapeur. Pour résoudre numériquement les équations obtenues, nous développons un nouveau schéma de type Godunov utilisant des flux nodaux. Le solveur nodal développé durant cette thèse ne dépend que de la répartition angulaire des variables physiques autour du nœud. De plus, nous nous intéressons aux changements de phase liquide-vapeur. Nous proposons une méthode pour les prendre en compte et mettons en avant les avantages qu'il y a à l'implémentation de ce phénomène dans un algorithme Lagrangien. / This thesis studies numerical simulation of steam explosion. This phenomenon correspond to a fast vaporization of a liquid leading to a pressure shock. It is of interest in the nuclear safety field. During a core-meltdown crisis, molten fuel rods interacting with water could lead to steam explosion. Consequently we want to evaluate the risks created by this phenomenon.In order to do it, we use Euler equations written in a Lagrangian form. This description has the advantage of following the fluid motion and consequently preserves interfaces between the liquid and its vapor. To solve these equations, we develop a new Godunov type scheme using nodal fluxes. The nodal solver developed here only depends on the angular repartition of the physical variables around the node.Moreover, we study liquid-vapor phase changes. We describe a method to take it into account and highlight the advantages of using this method into a Lagrangian framework.

Lors de la rentrée atmosphérique nous sommes amenés à modéliser trois phénomènes physiques différents. Tout d'abord, l'écoulement autour du véhicule entrant dans l'atmosphère est hypersonique,il est caractérisé par la présence d'un choc fort et provoque un fort échauffement du véhicule. Nous modélisons l'écoulement par les équations de Navier-Stokes compressibles et l'échauffement du véhicule au moyen de la thermique anisotrope. De plus le véhicule est protégé par un bouclier thermique siège de réactions chimiques que l'on nomme communément ablation.Dans le premier chapitre de cette thèse nous présentons le schéma numérique de diffusion CCLAD (Cell-Centered LAgrangian Diffusion) que nous utilisons pour résoudre la thermique anisotrope. Nous présentons l'extension en trois dimensions de ce schéma ainsi que sa parallélisation.Nous continuons le manuscrit en abordant l'extension de ce schéma à une équation de diffusion tensorielle. Cette équation est obtenue en supprimant les termes convectifs de l'équation de quantité de mouvement des équations de Navier-Stokes. Nous verrons qu'une pénalisation doit être introduite afin de pouvoir inverser la loi constitutive et ainsi appliquer la méthodologie CCLAD. Nous présentons les propriétés numériques du schéma ainsi obtenu et effectuons des validations numériques.Dans le dernier chapitre, nous présentons un schéma numérique de type Volumes Finis permettant de résoudre les équations de Navier-Stokes sur des maillages non-structurés obtenu en réutilisant les deux schémas de diffusion présentés précédemment. / When studying the problem of atmospheric reentry we need to model three different physical phenomenons. First, the ow around the atmospheric reentry vehicle is hypersonic, it is characterized by the presence of a strong shock which leads to a rapid heating of the vehicle. We model the ow using the compressible Navier-Stokes equations and the heating of the vehicle is modeled with the anisotropic heat transfer equation. Furthermore the vehicle is protected by an heat shield, where thermochemical reactions, commonly named ablation, occurs.In the first chapter of this thesis we introduce the numerical diffusion scheme CCLAD (Cell-Centered LAgrangian Diffusion) that we use to solve the anisotropic heat diffusion. We develop its non trivial extension to three-dimensional geometries and present its parallelization. We continue this thesis by the presentation of the extension of this scheme to tensorial diffusion. This equation is obtained by suppressing the convective terms of the momentum equation of the Navier-Stokes equations. We show that we need to introduce a penalization term in order to be able to invert the constitutive law. The invertibility of the constitutive law allows us to apply the CCLAD methodology to this equation straightforwardly. We present the numerical properties of this scheme and show numerical validations.In the last chapter, we present a Finite Volume scheme on unstructured grids that solves the compressible Navier-Stokes equations. This numerical scheme is mainly obtained by gathering the contributions of the two diffusion schemes we developed in the previous chapters.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles mathématiques concernant certains problèmes d'écoulement de fluide à densité variable. Le premier chapitre résume l'ensemble de la thèse et se concentre sur les résultats obtenus, la nouveauté et la comparaison avec la littérature existante. Dans le deuxième chapitre, nous étudions la stabilisation locale des équations non homogènes de Navier-Stokes dans un canal 2d autour du flot de Poiseuille. Nous concevons un contrôle feedback de la vitesse qui agit sur l'entrée du domaine de sorte que la vitesse et la densité du fluide soient stabilisées autour du flot de Poiseuille, à condition que la densité initiale soit donnée par une constante additionnée d'une perturbation dont le support se situe loin du bord latéral du canal. Dans le troisième chapitre, nous étudions un système couplant les équations de Navier-Stokes compressibles à une structure élastique située à la frontière du domaine fluide. Nous prouvons l'existence locale de solutions solides pour ce système couplé. Dans le quatrième chapitre, notre objectif est d'étudier la nulle- contrôlabilité d'un problemè d'interaction fluide-structure linéarisé dans un canal bi dimensional. L'écoulement du fluide est ici modélisé par les équations de Navier-Stokes compressibles. En ce qui concerne la structure, nous considérons une poutre de type Euler-Bernoulli amortie située sur une partie du bord. Dans ce chapitre, nous établissons une inégalité d'observabilité pour le problème considéré d'interaction fluid-structure linéarisé qui constitue le premier pas vers la preuve de la nulle contrôlabilité du système. / In this thesis we study mathematical models concerning some fluid flow problems with variable density. The first chapter is a summary of the entire thesis and focuses on the results obtained, novelty and comparison with the existing literature. In the second chapter we study the local stabilization of the non-homogeneous Navier-Stokes equations in a 2d channel around Poiseuille flow. We design a feedback control of the velocity which acts on the inflow boundary of the domain such that both the fluid velocity and density are stabilized around Poiseuille flow provided the initial density is given by a constant added with a perturbation, such that the perturbation is supported away from the lateral boundary of the channel. In the third chapter we prove the local in time existence of strong solutions for a system coupling the compressible Navier-Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. In the fourth chapter our objective is to study the null controllability of a linearized compressible fluid structure interaction problem in a 2d channel where the structure is elastic and located at the fluid boundary. In this chapter we establish an observability inequality for the linearized fluid structure interaction problem under consideration which is the first step towards the direction of proving the null controllability of the system.

Cette théese est basée sur la représentation Eulerienne-Lagrangiene de la vitesse, qui nous appelons la transformation de Weber-Clebsch.<br />Constantin a construit en 2002 une extension de la description de Weber-Clebsch des fluides parfaits aux fluides visqueux. La nécessité de réinitialiser périodiquement les coordonnées Lagrangiennes à été interprété par Constantin comme un diagnostique de la reconnexion de la <br />vorticité. Le système de Constantin est contenu dans notre formulation, qui est plus générale, dans une limite singulière.<br /><br />Pour comparer les résultats obtenus en utilisant notre formulation généralisée à ceux qui sont obtenus dans la formulation de <br />Constantin nous avons procédé à des simulations numériques d'un certain nombre d'écoulements obéissants aux équations de Navier<br />Stokes.<br /><br />Des extensions à la magnéto hydrodynamique et aux fluides compressibles sont également proposées et validées numériquement.

Ce mémoire est dédié à l'étude d'équations aux dérivées partielles de type hyperbolique intervenant en mécanique des fluides. Suivant les problèmes, on entend par étude la modélisation, l'analyse ou l'approximation numérique des modèles considérés. Le premier chapitre de ce mémoire traite des systèmes hyperboliques et de leur approximation par des schémas volumes finis. On présente notamment des schémas numériques simples pour approcher les solutions de systèmes de lois de conservation généraux. On étudie de plus la notion de hiérarchie de modèles, c'est-à-dire de connexion entre différents modèles à travers des procédés asymptotiques (relaxation, asymptotique parabolique et contrainte sur l'espace des états admissible), d'un point de vue théorique et/ou numérique, suivant le type de hiérarchie considéré. Le deuxième chapitre est consacré à la modélisation, l'analyse et l'approximation numérique d'écoulements diphasiques. Les modèles diphasiques envisagés ici sont les modèles compressibles avec deux vitesses et deux pressions, les modèles de dérive, les modèles pour un fluide avec transition de phase, ainsi que les modèles d'écoulements d'eau à surface libre. Pour la plupart des cas, on propose une analyse et une approximation numérique des modèles et quand c'est possible, on donne les liens les unissant. Le dernier chapitre compile différents travaux sur des modèles de fluides dans lesquels apparaissent des interfaces ayant une origine extérieure à l'écoulement lui-même. Les premiers travaux sont dédiés aux lois de conservation incluant une discontinuité, soit due à un changement brusque du milieu environnant, soit due à la présence d'une contrainte locale sur la solution. On présente ensuite l'analyse et l'approximation numérique d'un modèle de particule ponctuelle évoluant dans un fluide unidimensionnel. Enfin, on aborde le couplage de systèmes hyperboliques issus de la connexion interfaciale de codes de calcul, avec pour application l'adaptation dynamique de modèle, qui consiste à remplacer localement et dynamiquement un modèle par un modèle simplifié pour optimiser d'un code.

Cette thèse est une contribution à l'étude de la dynamique et du contrôle des oscillations grande-échelle qui se développent en régime subsonique dans le sillage d'un corps de révolution modélisant le corps central d'un lanceur. Pour plusieurs configurations (disque, sphère, culot franc), la transition stationnaire/instationnaire est caractérisée par une étude de stabilité de l'écoulement axisymétrique à faible nombre de Reynolds. On montre tout d'abord que les oscillations sont liées à une instabilité absolue du sillage proche. On utilise ensuite une approche globale de la stabilité, mieux adaptée aux écoulements non parallèles. Une unique séquence de bifurcation est mise en évidence pour cette classe d'écoulements, impliquant un mode stationnaire et un mode oscillant à basse fréquence. Une analyse basée sur la théorie des formes normales montre qu'au seuil d'apparition des instationnarités, la fréquence et l'organisation spatiale de l'écoulement sont fixées par l'interaction non linéaire de ces modes. On montre également qu'augmenter la compressibilité affaiblit la production des perturbations et augmente leur transport, ce qui induit une stabilisation de l'écoulement. Une analyse de sensibilité des valeurs propres à un forçage stationnaire permet ensuite de développer une approche systématique du contrôle en boucle ouverte en régime compressible. Cette approche est appliquée au culot franc, ce qui constitue un premier pas dans la perspective d'un contrôle de l'écoulement en configuration industrielle. Diverses méthodes ont été analysées, notamment l'introduction d'un! corps secondaire, un dépôt d'énergie ou un! souffla ge au culot («base bleed»).

Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.

Lors que nous examinons numériquement des phénomènes multiphasiques suite à un accidentgrave dans le réacteur nucléaire, la dimension caractéristique des zones multi-fluides(non-réactifs et réactifs) s'avère beaucoup plus petite que celle du bâtiment réacteur, cequi fait la Simulation Numérique Directe de la configuration à peine réalisable. Autrement,nous proposons de considérer la zone de mélange multiphasique comme une interface infinimentfine. Puis, le solveur de Riemann réactif est inséré dans la Méthode des ÉquationsDiscrètes Réactives (RDEM) pour calculer le front de combustion à grande vitesse représentépar une interface discontinue. Une approche anti-diffusive est ensuite couplée avec laRDEM afin de précisément simuler des interfaces réactives. La robustesse et l'efficacité decette approche en calculant tant des interfaces multiphasiques que des écoulements réactifssont à la fois améliorées grâce à la méthode ici proposée : upwind downwind-controlled splitting(UDCS). UDCS est capable de résoudre précisément des interfaces avec les maillagesnon-structurés multidimensionnels, y compris des fronts réactifs de détonation et de déflagration.

Cette thèse présente la construction de schémas distribuant le résidu (RD) d'ordre très élevés, pour la discrétisation d'équations d'advection-diffusion multidimensionnelles et stationnaires sur maillages non structurés. Des schémas linéaires ainsi que des schémas non linéaires sont considérés. Une approximation de la solution polynomiale par morceaux et continue sur chaque élément est adoptée, de plus une procédure de reconstruction du gradient que celle de la solution numérique est utilisée afin d'avoir une représentation continue de la solution numérique et de son gradient. Il est montré que le gradient doit être reconstruit avec la même précision de la solution, sans quoi la précision formel du schéma numérique est perdue dans les cas où les effets de diffusion prévalent sur les effets d'advection, et aussi quand l'advection et la diffusion sont également importants. Ensuite, la méthode est étendue à des systèmes d'équations, en particulier aux équations de Navier-Stokes et aux équations RANS. La précision, l'efficacité et la robustesse du solveur RD implicite sont démontrées sur plusieurs cas tests.

Cette thèse porte sur le développement de schémas semi-implicites à pas fractionnaires pour les équations de Navier-Stokes compressibles ; ces schémas entrent dans la classe des méthodes de correction de pression.La discrétisation spatiale choisie est de type "à mailles décalées :éléments finis mixtes non conformes (éléments finis de Crouzeix-Raviart ou Rannacher-Turek) ou schéma MAC classique.Une discrétisation en volumes finis décentrée amont du bilan de masse garantit la positivité de la masse volumique.La positivité de l'énergie interne est obtenue en discrétisant le bilan d'énergie interne continu, par une méthode de volumes finis décentrée amont, enfin, et en couplant ce bilan d'énergie interne discret à l'étape de correction de pression.On effectue une discrétisation particulière en volumes finis sur un maillage dual du terme de convection de vitesse dans le bilan de quantité de mouvement et une étape de renormalisation de la pression; ceci permet de garantir le contrôle au cours du temps de l'intégrale de l'énergie totale sur le domaine.L'ensemble de ces estimations a priori implique en outre, par un argument de degré topologique, l'existence d'une solution discrète. L'application de ce schéma aux équations d'Euler pose une difficulté supplémentaire.En effet, l'obtention de vitesses de choc correctes nécessite que le schéma soit consistant avec l'équation de bilan d'énergie totale, propriété que nous obtenons comme suit. Tout d'abord, nous établissons un bilan discret (local) d'énergie cinétique.Ce dernier comporte des termes sources, que nous compensons ensuite dans le bilan d'énergie interne. Les équations d'énergie cinétique et interne sont associées au maillage dual et primal respectivement, et ne peuvent donc être additionnées pour obtenir un bilan d'énergie totale ; cette dernière équation est toutefois retrouvée, sous sa forme continue, à convergence : si nous supposons qu'une suite de solutions discrètes converge lorsque le pas de temps et d'espace tendent vers 0,, nous montrons en effet, en 1D au moins, que la limite en satisfait une forme faible.Ces résultats théoriques sont confortés par des tests numériques.Des résultats similaires sont obtenus pour les équations de Navier-Stokes barotropes. / This thesis is concerned with the development of semi-implicit fractional step schemes, for the compressible Navier-Stokes equations; these schemes are part of the class of the pressure correction methods.The chosen spatial discretization is staggered: non conforming mixed finite elements (Crouzeix-Raviart or Rannacher-Turek) or the classic MAC scheme. An upwind finite volume discretization of the mass balanced guarantees the positivity of the density. The positivity of the internal energy is obtained by discretising the internal energy balance by an upwind finite volume scheme and by coupling the discrete internal energy balance with the pressure correction step.A special finite volume discretization on dual cells is performed for the convection term in the momentum balance equation, along with a renormalization of the pressure; this allows to guarantee the control in time of integral of the total energy over the domain.All these a priori estimates implies lead to the existence of a discrete solution by a topological degree argument.The application of this scheme the equations of Euler yields an additional difficulty.Indeed, obtaining correct shock speeds requires that the scheme be consistent with the total energy balance,, property which we obtain as follows.First of all, a local discrete kinetic energy balance is established; it contains source terms which are compensated by adding some source terms in the internal energy balance. The kinetic and internal energy equations are associated with the dual and primal meshes respectively, and thus cannot be added to obtain a balance total energy balance; its continuous counterpart is however recovered at the limit: if we suppose that a sequence of discrete solutions converges when the space and time steps tend to 0, we indeed show, in 1D at least, that the limit satisfies a weak form of the equation. These theoretical results are comforted by numerical tests.Similar results are obtained for the barotropic Navier--Stokes equations