Universiẗat, Diss., 2005--Kiel.

Universiẗat, Diss., 2005--Karlsruhe.

Zugl.: Magdeburg, Univ., Diss., 2008

Die exakte Bestimmung der Dimension invarianter Mengen dynamischer Systeme ist nur in Ausnahmesituationen möglich. In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, wie unter Ausnutzung von speziellen Eigenschaften des dynamischen Systems die Hausdorff-Dimension zugehöriger invarianter Mengen nach oben und unten abgeschätzt werden kann. Es wird gezeigt, wie der Grad der Nichtinjektivität der Abbildung, die das dynamische System erzeugt, in die Beschreibung des Deformationsverhaltens von k-Volumina einbezogen werden kann, so daß eine Abschwächung der Kontraktionsbedingung für Hausdorff-Maße erreicht werden kann. Dazu werden äußere Hausdorff-Integrale über beliebige nichtnegative Funktionen betrachtet, die im Falle der Integration über charakteristische Funktionen den gewichteten Hausdorff-Maßen entsprechen. Schrankensätze, die sich als verallgemeinerte Transformationssätze für Integrale ergeben, charakterisieren das Verhalten der äußeren Integrale bei Transformationen. Diese Schrankensätze eignen sich, um Kontraktionsbedingungen für die äußeren Hausdorff-Maße und damit Oberschranken für die Hausdorff-Dimension zu formulieren. Ein weiterer Teil der Arbeit ist der Abschwächung des Konzepts der hyperbolischen Mengen gewidmet. Es werden Mengen mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels betrachtet, d. h. mit einer Zerlegung, die unter der Tangentialabbildung invariant bleibt. Solch eine Zerlegung ermöglicht die Betrachtung der auf die jeweiligen Teilbündel eingeschränkten Tangentialabbildung, entweder in der ursprünglichen Zeitrichtung oder in umgekehrter Zeitrichtung. Im Gegensatz zu hyperbolischen Mengen werden hier aber keine Voraussetzungen bezüglich der Streckungs- und Stauchungseigenschaften der Tangentialabbildung in den Teilräumen gestellt. Unter diesen abgeschwächten Bedingungen können für invariante Mengen von Diffeomorphismen und Flüssen ähnliche obere Dimensionsschranken wie für hyperbolische Mengen erreicht werden, die sowohl in der Sprache der Singulärwerte als auch der globalen Lyapunov-Exponenten der Tangentialabbildung und der topologischen Entropie der Abbildung formuliert werden können. Es wird außerdem gezeigt, daß sich die für Systeme mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels angewandte Beweistechnik auch auf eine spezielle Klasse nicht injektiver Abbildungen, die sogenannten k-1-Endomorphismen, anwenden läßt. Untere Dimensionsschranken für invariante Mengen dynamischer Systeme lassen sich in der Regel nur durch das Ausnutzen von Zusatzstrukturen des Systems ableiten. Die Klasse der k-1-Endomorphismen weist solche speziellen Strukturen auf. Die Eigenschaften der invarianten Mengen solcher Endomorphismen ermöglichen die Konstruktion von Minoranten für die Hausdorff-Maße ohne Verwendung potentialtheoretischer Hilfsmittel, aus denen sich eine untere Schranke für die Hausdorff-Dimension ableiten läßt. Eine breite Palette von Beispielsystemen demonstriert die Leistungsfähigkeit der hergeleiteten Abschätzungen der Hausdorff-Dimension. Insbesondere zählen hierzu Hufeisenabbildungen, iterierte Funktionensysteme und Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene.

Im Beitrag wird zunächst die konventionelle auf Signalflüssen basierte Modellbildung mit modernen leistungsflussbasierten Methoden, die auf dem Prinzip von Aktion und Reaktion aufbauen, verglichen. BG (Bond Graph), POG (Power Oriented Graph) und EMR (Energetic Macroscopic representation) sind solche modernen Methoden die den Leistungsaustausch zwischen Teilsystemen als Grundlage für den Modellbildungsansatz nutzen. Diese Werkzeuge erhalten die physikalische Struktur, erlauben es in das dynamische System hineinzuschauen und unterstützen das Verständnis des Leistungsflusses. Unterschiede werden anhand verschiedener Eigenschaften in einer Tabelle angegeben. Nach Erläuterung der Grundlagen zu POG und BG erfolgt die Vorstellung einer Freeware Zusatzbibliothek zur Simulation von Bondgraphen. Spezielle Eigenschaften werden kurz umrissen. Diese Blockbibliothek läuft unter Simulink, besteht aus nur 9 mittels Menü konfigurierbaren Blöcken und realisiert bidirektionale Verbindungen. Die Beispiele Gleichstrommotor, Pulssteller und elastische Welle demonstrieren die Vorteile der leistungsflussorientierten Modellbildung. Zustandsregelung, Energieeffizienz und Simulink LTI Analysewerkzeuge führen in die Anwendung der vorgestellten Simulink Zusatzbibliothek für Bondgraphen ein. / The paper starts with a comparison of the conventional modelling method based on signal flow and modern power flow oriented modelling methods based on the principle of action and reaction. BG (Bond Graph), POG (Power Oriented Graph) and EMR (Energetic Macroscopic representation) are such modern methods based on the power exchange between partial systems as a key element for the basic modelling approach. These tools preserve the physical structure, enable a view inside dynamical systems and support understanding the power flow. Relationships between these graphical representations will be given. After the explanation of basics for POG and BG an overview and special features of a freeware add-on library for simulation of BGs will be outlined. The block library runs under Simulink, consists of nine menu-driven customised blocks only and realises bidirectional connections. Examples DC motor, chopper and elastic shaft demonstrate the advantages of power flow oriented modelling. State space control, energy efficiency and Simulink LTI analysis tools exemplify the application of the presented Simulink add-on BG library.

As tools for dynamic system modelling both conventional methods such as transfer function or state space representation and modern power flow based methods are available. The latter methods do not depend on energy domain, are able to preserve physical system structures, visualize power conversion or coupling or split, identify power losses or storage, run on conventional software and emphasize the relevance of energy as basic principle of known physical domains. Nevertheless common control structures as well as analysis and design tools may still be applied. Furthermore the generalization of power flow methods as pseudo-power flow provides with a universal tool for any dynamic modelling. The phenomenon of power flow constitutes an up to date education methodology. Thus the paper summarizes fundamentals of selected power flow oriented modelling methods, presents a Bond Graph block library for teaching power oriented modelling as compact menu-driven freeware, introduces selected examples and discusses special features.

As tools for dynamic system modelling both conventional methods such as transfer function or state space representation and modern power flow based methods are available. The latter methods do not depend on energy domain, are able to preserve physical system structures, visualize power conversion or coupling or split, identify power losses or storage, run on conventional software and emphasize the relevance of energy as basic principle of known physical domains. Nevertheless common control structures as well as analysis and design tools may still be applied. Furthermore the generalization of power flow methods as pseudo-power flow provides with a universal tool for any dynamic modelling. The phenomenon of power flow constitutes an up to date education methodology. Thus the paper summarizes fundamentals of selected power flow oriented modelling methods, presents a Bond Graph block library for teaching power oriented modelling as compact menu-driven freeware, introduces selected examples and discusses special features.:1. Introduction 2. Fundamentals 2A. Fundamentals of BG Modelling 2.B. Fundamentals of POG Modelling 2C. Fundamentals of EMR Modelling 3. Systematization 4. Block library 4A. Simulink add-on BG Block Library 4B. Menu-Driven Customization 4C. Application Hints 5. Examples 5A. Lift a Load 5B. Solenoid 5C. Filter and Chopper 6. Special features 7. Conclusions References [1] till [25]

In this article we investigate a pitchfork bifurcation of the local attractor of a simple capsizing model proposed by Thompson. Although this is a very simple system it has a very complicate dynamic. We try to reveal some properties of this dynamic with modern numerical methods. For this reason we approximate stable and unstable manifolds which connect the steady states to obtain a complete understanding of the topology in the phase space. We also consider approximations of the Lyapunov Exponents (resp. Floquet Exponents) which indicates the pitchfork bifurcation.

Diss.--Mathematik--Berlin--Humboldt-Universität, 2000. / Notes bibliogr. Bibliogr. p. [175]-179. Index.

Für zufällige dynamische Systeme mit stetiger Zeit existieren zwei wichtige Klassen von Generatoren: Zum einen stationäre zufällige ifferentialgleichungen, i.e. gewöhnliche Differentialgleichungen, die von einem stationärer zufälligen Vektorfeld getrieben werden, und zum anderen stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen mit weißem Rauschen. Während die erste Klasse sich gut in den ergodentheoretischen Rahmen der Theorie der zufälligen dynamischen Systeme einfügt, widersetzte sich die zweite Klasse lange Zeit der dynamischen Untersuchung aufgrund des "Konflikts zwischen Ergodentheorie und stochastischer Analysis". In dieser Arbeit wird gezeigt, daß beide Klassen von zufälligen dynamischen Systemen nicht wesentlich verschieden sind, genauer: Zu jeder stochastischen Stratonovichdifferentialgleichung mit weißem Rauschen (unter den üblichen Regularitätsforderungen an die Vektorfelder, die die Existenz von Flüssen garantieren) existiert eine stationäre zufällige Differentialgleichung derart, daß die erzeugten zufälligen dynamischen Systeme konjugiert sind. Als Anwendung wird eine Version des lokalen Linearisierungssatzes von Hartman/Grobman für stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen bewiesen. / For continuous time random dynamical systems there exist two important classes of generators: on the one hand stationary random differential quations, i.e. ordinary differential equations driven by a stationary random vector field, and on the other hand stochastic Stratonovich differential equations with white noise. While the first class fits well into the framework of the theory of random dynamical systems, the second class resisted for a long time the dynamical investigation due to the "conflict between ergodic theory and stochastic analysis". The main result of this thesis is that both classes of random dynamical systems are not essentially distinct, more precisely: For each stochastic Stratonovich differential equation with white noise (under usual regularity assumptions) there exists a stationary random differential equation such that the corresponding random dynamical systems are conjugate. As an application a version of the local Hartman/Grobman theorem for stochastic differential equations is proved.