Multiquadric collocation method is highly efficient for solving partial differential equations due to its exponential error convergence rate. More amazingly, there are two ways to reduce the error: the traditional way of refining the grid, and the unexpected way of simply increasing the value of shape constant $c$ contained in the multiquadric basis function, $sqrt{r^2 + c^2}$. The latter is accomplished without increasing computational cost. It has been speculated that in a numerical solution without roundoff error, infinite accuracy can be achieved by letting $c ightarrow infty$. The ability to obtain infinitely accurate solution is limited only by the roundoff error induced instability of matrix solution with large condition number. Using the arbitrary precision computation capability of {it Mathematica}, this paper tests the above conjecture. A sharper error estimate than previously obtained is presented in this paper. A formula for a finite, optimal $c$ value that minimizes the solution error for a given grid size is obtained. Using residual errors, constants in error estimate and optimal $c$ formula can be obtained. These results are supported by numerical examples.

L'objectif de ce travail est d'étudier le comportement en temps long d'un modèle de particules avec une interaction de type branchement. Plus précisément, les particules se déplacent indépendamment suivant une dynamique markovienne jusqu'au temps de branchement, où elles donnent naissance à de nouvelles particules dont la position dépend de celle de leur mère et de son nombre d'enfants. Dans la première partie de ce mémoire nous omettons le branchement et nous étudions le comportement d'une seule lignée. Celle-ci est modélisée via un processus de Markov qui peut admettre des sauts, des parties diffusives ou déterministes par morceaux. Nous quantifions la convergence de ce processus hybride à l'aide de la courbure de Wasserstein, aussi nommée courbure grossière de Ricci. Cette notion de courbure, introduite récemment par Joulin, Ollivier, et Sammer correspond mieux à l'étude des processus avec sauts. Nous établissons une expression du gradient du semigroupe des processus de Markov stochastiquement monotone, qui nous permet d'expliciter facilement leur courbure. D'autres bornes fines de convergence en distance de Wasserstein et en variation totale sont aussi établies. Dans le même contexte, nous démontrons qu'un processus de Markov, qui change de dynamique suivant un processus discret, converge rapidement vers un équilibre, lorsque la moyenne des courbures des dynamiques sous-jacentes est strictement positive. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous étudions le comportement de toute la population de particules. Celui-ci se déduit du comportement d'une seule lignée grâce à une formule many-to-one, c'est-à-dire un changement de mesure de type Girsanov. Via cette transformation, nous démontrons une loi des grands nombres et établissons une limite macroscopique, pour comparer nos résultats aux résultats déjà connus en théorie des équations aux dérivées partielles. Nos résultats sont appliqués sur divers modèles ayant des applications en biologie et en informatique. Parmi ces modèles, nous étudierons le comportement en temps long de la plus grande particule dans un modèle simple de population structurée en taille / The aim of this work is to study the long time behavior of a branching particle model. More precisely, the particles move independently from each other following a Markov dynamics until the branching event. When one of these events occurs, the particle produces some random number of individuals whose position depends on the position of its mother and her number of offspring. In the first part of this thesis, we only study one particle line and we ignore the branching mechanism. So we are interested by the study of a Markov process which can jump, diffuse or be piecewise deterministic. The long time behavior of these hybrid processes is described with the notion of Wasserstein or coarse Ricci curvature. This notion of curvature, introduced by Joulin, Ollivier and Sammer, is more appropriate for the study of processes with jumps. We establish an expression of the gradient of the Markov semigroup of stochastically monotone processes which gives the curvature of these processes. Others sharp bounds of convergence, in Wasserstein distance and total variation distance, are also established. In the same way, we prove that if a Markov process evolves according to one of finitely many underlying Markovian dynamics, with a choice of dynamics that changes at the jump times of a second Markov process, then it is exponentially ergodic, under the assumption that the mean of the curvature of the underlying dynamics is positive. In the second part of the work, we study all the population. Its behaviour can be deduced to the study of the first part using a Girsavov-type transform which is called a many-to-one formula. Using this relation, we establish a law of large numbers and a macroscopic limit, in order to compare our results to the well know results on deterministic setting. Several examples, based on biology and computer science problems, illustrate our results, including the study of the largest individual in a size-structured population model

Cette thèse vise à étudier certains modèles biologiques dans le réseau neuronal et dans la chimiotaxie avec la méthode d’analyse spectrale. Afin de traiter les principaux problèmes, tels que l’existence et l’unicité des solutions et des états stationnaires ainsi que les comportements asymptotiques, le modèle linéaire ou linéarisé associé est considéré par l’aspect du spectre et des semi-groupes dans les espaces appropriés, puis la stabilité de modèle non linéaire suit. Plus précisément, nous commençons par une équation de courses-et-chutes linéaire dans la dimension d≥1 pour établir l’existence d’un état stationnaire unique, positif et normalisé et la stabilité exponentielle asymptotique dans l’espace L¹ pondéré basé sur la théorie de Kerin-Rutman avec quelques estimations du moment de la théorie cinétique. Ensuite, nous considérons le modèle du temps écoulé sous les hypothèses générales sur le taux de tir et nous prouvons l’unicité de l’état stationnaire et sa stabilité exponentielle non linéaire en cas sans ou avec délai au régime de connectivité faible de la théorie de l’analyse spectrale pour les semi-groupes. Enfin, nous étudions le modèle sous une hypothèse de régularité plus faible sur le taux de tir et l’existence de la solution ainsi que la même stabilité exponentielle sont généralement établies n’importe la prise en compte du délai ou non, au régime de connectivité faible ou forte. / This thesis is aimed to study some biological models in neuronal network and chemotaxis with the spectral analysis method. In order to deal with the main concerning problems, such as the existence and uniqueness of the solutions and steady states as well as the asymptotic behaviors, the associated linear or linearized model is considered from the aspect of spectrum and semigroups in appropriate spaces then the nonlinear stability follows. More precisely, we start with a linear runs-and-tumbles equation in dimension d≥1 to establish the existence of a unique positive and normalized steady state and the exponential asymptotic stability in weighted L¹ space based on the Krein-Rutman theory together with some moment estimates from kinetic theory. Then, we consider time elapsed model under general assumptions on the firing rate and prove the uniqueness of the steady state and its nonlinear exponential stability in case without or with delay in the weak connectivity regime from the spectral analysis theory for semigroups. Finally, we study the model under weaker regularity assumption on the firing rate and the existence of the solution as well as the same exponential stability are established generally no matter taking delay into account or not and no matter in weak or strong connectivity regime.

Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. / This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes. / The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.