The time coordinate is a common obstacle in the theory of non-commutative (nc.) spacetimes. Despite that, this work shows how the interplay between quantum fields and an underlying nc. spacetime can still be analyzed, even for the case of nc. time. This is done for the example of a general Moyal-type external potential scattering of the Dirac field in Moyal-Minkowski spacetime. The spacetime is a rare example of a Lorentzian non-compact nc. geometry. Elements of the associated spectral function algebra are shown to be operationally involved at the level of quantum field operators by Bogoliubovs formula. Furthermore, a similar task is attacked in the case of locally nc. spacetimes. An explicit star-product is constructed by a method of Kontsevich. It implements a decay of non-commutativity with increasing distance. This behavior should benefit the technical side - diverse interesting formal attempts are discussed. It is striven for unification of several toy models of nc. spacetimes and a general strategy to define quantum field operators. Within the latter one has to implement the usual quantum behavior as well as a new kind of spacetime behavior. It is shown how this two-fold character causes key difficulties in understanding.

La complexité des systèmes conçus actuellement devient de plus en plus importante. En effet,afin de rester compétitives, les entreprises concevant des systèmes cherchent à leur rajouter de plus en plusde fonctionnalités. Cette compétitivité introduit aussi une demande de réactivité lors de la conception desystèmes, pour que le système puisse évoluer lors de sa conception et suivre les demandes du marché.Un des éléments identifiés comme empêchant ou diminuant cette capacité à concevoir de manière flexibledes systèmes complexes concerne les spécifications des systèmes, et en particulier l’utilisation de la languenaturelle pour spécifier les systèmes. Tout d’abord, la langue naturelle est intrinsèquement ambiguë et celarisque donc de créer des non-conformités si client et fournisseur d’un système ne sont pas d’accord sur lesens de sa spécification. De plus, la langue naturelle est difficile à traiter automatiquement, par exemple, onpeut difficilement déterminer avec un programme informatique que deux exigences en langue naturelle secontredisent. Cependant, la langue naturelle reste indispensable dans les spécifications que nous étudions,car elle reste un moyen de communication pratique et très répandu.Nous cherchons à compléter ces exigences en langue naturelle avec des éléments permettant à la fois de lesrendre moins ambiguës et de faciliter les traitements automatiques. Ces éléments peuvent faire partie demodèles (d’architecture par exemple) et permettent de définir le lexique et la syntaxe utilisés dans lesexigences. Nous avons testé les principes proposés sur des spécifications industrielles réelles et développéun prototype logiciel permettant de réaliser des tests sur une spécification dotée de ces éléments de syntaxeet de lexique. / Systems are becoming more and more complex, because to stay competitive, companies whichdesign systems search to add more and more functionalities to them. Additionally, this competition impliesthat the design of systems needs to be reactive, so that the system is able to evolve during its conception andfollow the needs of the market.This capacity to design flexibly complex systems is hindered or even prevented by various variouselements, with one of them being the system specifications. In particular, the use of natural language tospecify systems have several drawbacks. First, natural language is inherently ambiguous and this can leadsto non-conformity if customer and supplier of a system disagree on the meaning of its specification.Additionally, natural language is hard to process automatically : for example, it is hard to determine, usingonly a computer program, that two natural language requirements contradict each other. However, naturallanguage is currently unavoidable in the specifications we studied, because it remains very practical, and itis the most common way to communicate.We aim to complete these natural language requirements with elements which allow to make them lessambiguous and facilitate automatic processing. These elements can be parts of models (architectural modelsfor example) and allow to define the vocabulary and the syntax of the requirements. We experimented theproposed principles on real industrial specifications and we developped a software prototype allowing totest a specification enhanced with these vocabulary and syntax elements.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des structures déterminantielles apparaissent dans l'optimisation semi-définie (SDP), le prolongement naturel de la programmation linéaire au cône des matrices symétrique semi-définie positives. Si l'approximation d'une solution d'un programme semi-défini peut être calculé efficacement à l'aide des algorithmes de points intérieurs, ni des algorithmes exacts efficaces pour la SDP sont disponibles, ni une compréhension complète de sa complexité théorique a été atteinte. Afin de contribuer à cette question centrale en optimisation convexe, nous concevons un algorithme exact pour décider la faisabilité d'une inégalité matricielle linéaire (LMI) $A(x)\succeq 0$. Quand le spectraèdre associé (le lieu $\spec$ des $x \in \RR^n$ ou $A(x)\succeq 0$) n'est pas vide, la sortie de cet algorithme est une représentation algébrique d'un ensemble fini qui contient au moins un point $x \in \spec$: dans ce cas, le point $x$ minimise le rang de $A(x)$ sur $\spec$. La complexité est essentiellement quadratique en le degré de la représentation en sortie, qui coïncide, expérimentalement, avec le degré algébrique de l'optimisation semi-définie. C'est un garantie d'optimalité de cette approche dans le contexte des algorithmes exacts pour les LMI et la SDP. Remarquablement, l'algorithme ne suppose pas la présence d'un point intérieur dans $\spec$, et il profite de l'existence de solutions de rang faible de l'LMI $A(x)\succeq 0$. Afin d'atteindre cet objectif principal, nous développons une approche systématique pour les variétés déterminantielles associées aux matrices linéaires. Nous prouvons que décider la faisabilité d'une LMI $A(x)\succeq 0$ se réduit à calculer des points témoins dans les variétés déterminantielles définies sur $A(x)$. Nous résolvons ce problème en concevant un algorithme exact pour calculer au moins un point dans chaque composante connexe réelle du lieu des chutes de rang de $A(x)$. Cet algorithme prend aussi avantage des structures supplémentaires, et sa complexité améliore l'état de l'art en géométrie algébrique réelle. Enfin, les algorithmes développés dans cette thèse sont implantés dans une nouvelle bibliothèque Maple appelé Spectra, et les résultats des expériences mettant en évidence la meilleure complexité sont fournis. / In this thesis we focus on the study of determinantal structures arising in semidefinite programming (SDP), the natural extension of linear programming to the cone of symetric positive semidefinite matrices. While the approximation of a solution of a semidefinite program can be computed efficiently by interior-point algorithms, neither efficient exact algorithms for SDP are available, nor a complete understanding of its theoretical complexity has been achieved. In order to contribute to this central question in convex optimization, we design an exact algorithm for deciding the feasibility of a linear matrix inequality (LMI) $A(x) \succeq 0$. When the spectrahedron $\spec = \{x \in \RR^n \mymid A(x) \succeq 0\}$ is not empty, the output of this algorithm is an algebraic representation of a finite set meeting $\spec$ in at least one point $x^*$: in this case, the point $x^*$ minimizes the rank of the pencil on the spectrahedron. The complexity is essentially quadratic in the degree of the output representation, which meets, experimentally, the algebraic degree of semidefinite programs associated to $A(x)$. This is a guarantee of optimality of this approach in the context of exact algorithms for LMI and SDP. Remarkably, the algorithm does not assume the presence of an interior point in the spectrahedron, and it takes advantage of the existence of low rank solutions of the LMI. In order to reach this main goal, we develop a systematic approach to determinantal varieties associated to linear matrices. Indeed, we prove that deciding the feasibility of a LMI can be performed by computing a sample set of real solutions of determinantal polynomial systems. We solve this problem by designing an exact algorithm for computing at least one point in each real connected component of the locus of rank defects of a pencil $A(x)$. This algorithm admits as input generic linear matrices but takes also advantage of additional structures, and its complexity improves the state of the art in computational real algebraic geometry. Finally, the algorithms developed in this thesis are implemented in a new Maple library called {Spectra}, and results of experiments highlighting the complexity gain are provided.

This book is devoted to the study of operators on discrete structures. The operators are supposed to be self-adjoint and obey a certain translation invariance property. The discrete structures are given as Cayley graphs via finitely generated groups. Here, sofic groups and amenable groups are in the center of our considerations. Note that every finitely generated amenable group is sofic. We investigate the spectrum of a discrete self-adjoint operator by studying a sequence of finite dimensional analogues of these operators. In the setting of amenable groups we obtain these approximating operators by restricting the operator in question to finite subsets Qn , n ∈ N. These finite dimensional operators are self-adjoint and therefore admit a well-defined normalized eigenvalue counting function. The limit of the normalized eigenvalue counting functions when |Qn | → ∞ (if it exists) is called the integrated density of states (IDS). It is a distribution function of a probability measure encoding the distribution of the spectrum of the operator in question on the real axis. We prove the existence of the IDS in various geometric settings and for different types of operators. The models we consider include deterministic as well as random situations. Depending on the specific setting, we prove existence of the IDS as a weak limit of distribution functions or even as a uniform limit. Moreover, in certain situations we are able to express the IDS via a semi-explicit formula using the trace of the spectral projection of the original operator. This is sometimes referred to as the validity of the Pastur-Shubin trace formula. In the most general geometric setting we study, the operators are defined on Cayley graphs of sofic groups. Here we prove weak convergence of the eigenvalue counting functions and verify the validity of the Pastur-Shubin trace formula for random and non-random operators . These results apply to operators which not necessarily bounded or of finite hopping range. The methods are based on resolvent techniques. This theory is established without having an ergodic theorem for sofic groups at hand. Note that ergodic theory is the usual tool used in the proof of convergence results of this type. Specifying to operators on amenable groups we are able to prove stronger results. In the discrete case, we show that the IDS exists uniformly for a certain class of finite hopping range operators. This is obtained by using a Banach space-valued ergodic theorem. We show that this applies to eigenvalue counting functions, which implies their convergence with respect to the Banach space norm, in this case the supremum norm. Thus, the heart of this theory is the verification of the Banach space-valued ergodic theorem. Proceeding in two steps we first prove this result for so-called ST-amenable groups. Then, using results from the theory of ε-quasi tilings, we prove a version of the Banach space-valued ergodic theorem which is valid for all amenable groups. Focusing on random operators on amenable groups, we prove uniform existence of the IDS without the assumption that the operator needs to be of finite hopping range or bounded. Moreover, we verify the Pastur-Shubin trace formula. Here we present different techniques. First we show uniform convergence of the normalized eigenvalue counting functions adapting the technique of the Banach space-valued ergodic theorem from the deterministic setting. In a second approach we use weak convergence of the eigenvalue counting functions and additionally obtain control over the convergence at the jumps of the IDS. These ingredients are applied to verify uniform existence of the IDS. In both situations we employ results from the theory of large deviations, in order to deal with long-range interactions.

Cette version de la thèse a été tronquée de certains éléments protégés par le droit d’auteur. Les partitions et enregistrements des compositions musicales qui accompagnent cette thèse peuvent être consultés par les membres de la communauté de l’Université de Montréal dans une des bibliothèques UdeM. / Cette thèse présente une approche personnelle du thématisme. Traditionnellement, la théorie et la pratique thématiques traitent d'entités mélodiques ou rythmiques (thèmes, motifs, séries) qui imprègnent le contenu et l'organisation d'un morceau de musique à travers de nombreuses techniques de dérivation et d'élaboration. L'objectif principal de cette approche est d'assurer l'unité de l'oeuvre musicale en présentant de multiples expressions d'une ou de quelques idées de base. Essentiellement, mon approche reprend la notion de description paramétrique — déjà présente dans l'approche traditionnelle par rapport aux hauteurs et aux rythmes des entités récurrentes — et l'applique à la description de périodes de temps ou de niveaux formels. Trois chapitres m'aident à développer cette vision. Le premier donne un aperçu des fondements sur lesquels repose mon approche, notamment le thématisme, la hiérarchie et la temporalité. Le second présente l'approche elle-même. En particulier, il introduit le concept de réseau paramétrique et le relie à des notions telles que description paramétrique et niveau formel. Le dernier chapitre consiste en plusieurs analyses de pièces conçues à travers cette manière personnelle de penser le thématisme. / This thesis presents a personal approach to thematicism. Traditionally, thematic theory and practice deal with melodic or rhythmic entities (themes, motives, series) that permeate the content and organization of a piece of music through numerous derivation and elaboration techniques. The main objective of this approach is to ensure the unity of the musical work by presenting multiple expressions of one or a few basic ideas. Essentially, my approach takes the notion of parametric description —already present in the traditional approach in relation to the pitches and durations of the recurrent entities— and applies it to the description of periods of time or formal levels. Three chapters help me develop this vision. The first provides an overview of the foundations on which my approach is based, most notably thematicism, hierarchy, and temporality. The second presents the approach itself. In particular, it introduces the concept of parametric network and relates it to notions such as parametric description and formal level. The last chapter consists of several analyses of pieces conceived through this personal way of thinking of thematicism.

Les grammaires catégorielles abstraites (ou λ-grammaires) sont un formalisme basé sur le λ-calcul simplement typé. Elles peuvent être vues comme des grammaires générant de tels termes, et ont été introduites afin de modéliser l'interface entre la syntaxe et la sémantique du langage naturel, réunissant deux idées fondamentales : la distinction entre tectogrammaire (c.a.d. structure profonde d'un énoncé) et phénogrammaire (c.a.d représentation de la surface d'un énoncé) de la langue, exprimé par Curry ; et une modélisation algébrique du principe de compositionnalité afin de rendre compte de la sémantique des phrases, due à Montague. Un des avantages principaux de ce formalisme est que l'analyse d'une grammaires catégorielle abstraite permet de résoudre aussi bien le problème de l'analyse de texte, que celui de la génération de texte. Des algorithmes d'analyse efficaces ont été découverts pour les grammaires catégorielles abstraites de termes linéaires et quasi-linéaires, alors que le problème de l'analyse est non-élémentaire dans sa forme la plus générale. Nous proposons d'étudier des classes de termes pour lesquels l'analyse grammaticale reste solvable en temps polynomial. Ces résultats s'appuient principalement sur deux théorèmes de typage : le théorème de cohérence, spécifiant qu'un λ-terme donné est l'unique habitant d'un certain typage ; et le théorème d'expansion du sujet, spécifiant que deux termes β-équivalents habitent les même typages. Afin de mener cette étude à bien, nous utiliserons une représentation abstraite des notions de λ-termes et de typages, sous forme de jeux. En particulier, nous nous appuierons grandement sur cette notion afin de démontrer le théorème de cohérence pour de nouvelles familles de λ-termes et de typages. Grâce à ces résultats, nous montrerons qu'il est possible de construire de manière directe, un reconnaisseur dans le langage Datalog, pour des grammaires catégorielles abstraites de λ-termes quasi-affines.

Diese Dissertation untersucht Aspekte des Zusammenspiels von ergodischem Langzeitver- halten und der Glättungseigenschaft dynamischer Systeme, die von stochastischen Differen- tialgleichungen (SDEs) mit Sprüngen erzeugt sind. Im Speziellen werden SDEs getrieben von Lévy-Prozessen und der Marcusschen kanonischen Gleichung untersucht. Ein vari- ationeller Ansatz für den Malliavin-Kalkül liefert eine partielle Integration, sodass eine Variation im Raum in eine Variation im Wahrscheinlichkeitsmaß überführt werden kann. Damit lässt sich die starke Feller-Eigenschaft und die Existenz glatter Dichten der zuge- hörigen Markov-Halbgruppe aus einer nichtstandard Elliptizitätsbedingung an eine Kom- bination aus Gaußscher und Sprung-Kovarianz ableiten. Resultate für Sprungdiffusionen auf Untermannigfaltigkeiten werden aus dem umgebenden Euklidischen Raum hergeleitet. Diese Resultate werden dann auf zufällige dynamische Systeme angewandt, die von lin- earen stochastischen Differentialgleichungen erzeugt sind. Ruelles Integrierbarkeitsbedin- gung entspricht einer Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß und gewährleistet die Gültigkeit von Oseledets multiplikativem Ergodentheorem. Damit folgt die Existenz eines Lyapunov-Spektrums. Schließlich wird der top Lyapunov-Exponent über eine Formel der Art von Furstenberg–Khasminsikii als ein ergodisches Mittel der infinitesimalen Wachs- tumsrate über die Einheitssphäre dargestellt. / The present thesis investigates certain aspects of the interplay between the ergodic long time behavior and the smoothing property of dynamical systems generated by stochastic differential equations (SDEs) with jumps, in particular SDEs driven by Lévy processes and the Marcus’ canonical equation. A variational approach to the Malliavin calculus generates an integration-by-parts formula that allows to transfer spatial variation to variation in the probability measure. The strong Feller property of the associated Markov semigroup and the existence of smooth transition densities are deduced from a non-standard ellipticity condition on a combination of the Gaussian and a jump covariance. Similar results on submanifolds are inferred from the ambient Euclidean space. These results are then applied to random dynamical systems generated by linear stochas- tic differential equations. Ruelle’s integrability condition translates into an integrability condition for the Lévy measure and ensures the validity of the multiplicative ergodic theo- rem (MET) of Oseledets. Hence the exponential growth rate is governed by the Lyapunov spectrum. Finally the top Lyapunov exponent is represented by a formula of Furstenberg– Khasminskii–type as an ergodic average of the infinitesimal growth rate over the unit sphere.

Les patients atteints de cancer traversent des conditions d’existence extrêmes demandant un cadre spécifique de prise en charge psychothérapique. Le cancer et les soins anticancéreux indispensables, forment pourtant la situation cancéreuse envahie par les logiques processuelles du cancer, violentes. Cette situation peut être un raz de marrée dans la vie d’un sujet, emportant les convictions les plus établies et les bases narcissiques-identitaires et du caractère les plus ancrées. Le sujet présente un risque majeur d’effondrement. De plus, la puissance du traumatisme actuel puise ses racines dans la reviviscence de traumatismes primaires restés jusque là éteints. Leur retour a lieu sous la forme de sensations hallucinatoires induisant des états de corps et des états de perception du monde extérieur psychiquement irreprésentables. Le sujet se vit et s’éprouve alors passivement, sans pouvoir s’affecter véritablement. Mortifères, la pesanteur, l’inertie et la douleur dominent ou au contraire, le sujet se sent à vif, hypersensible, envahi, persécuté, au risque de l’éclatement. Le monde s’articule alors essentiellement sur cette bipolarité que vient recouvrir la défense opératoire radicale de la blancheur. Elle jette son dévolu sur le monde, les relations, les objets, les affects, le corps du sujet. Parfois, rien ne touche ce dernier dont la psyché s’est resserrée autour de son noyau archaïque aux limites psyché-soma. Le cancer éradique la subjectivité, subtilisant le principe actif des logiques de l’originaire. Cet état de mélancolie blanche parfois durable, n’est que l’une des phases d’une processualité mélancolique polymorphe. Cette dynamique domine la vie du sujet selon deux tendances à la proto-mélancolie et à la proto-manie, qui remplacent le monde affectif par une propension à l’inertie ou à la psychomotricité. Le travail de mélancolie vise la relance des capacités d’identification en impasse. Nous allons étudier les modalités spécifiques du transfert et en particulier la mobilisation essentielle d’un transfert formel de base. Il fonctionne à partir de l’activation originaire en double de signifiants formels alors partagés par le thérapeute et son patient. Des mouvements de léthargie et d’excitations psychocorporelles peuvent gagner le clinicien et plonger la relation thérapeutique dans des états crépusculaires, relatifs au cancer et au retour des traumatiques primaires. Nous verrons comment le but premier de la psychothérapie vise l’utilisation psychique – et non l’éradication – de l’objet-cancer, comme moyen de forger les conditions de viabilité du cadre : permettre la mise en représentation des états de corps, rétablir la symbolisation, l’imagination et le recours aux fantasmes inconscients. Ce sont là les bases indispensables d’une psychothérapie auprès des patients atteints de cancer. / Cancer patients experience extreme conditions of existence requiring a specific form of psychotherapy. The cancer and essential anticancer treatments together form the cancerous situation, invaded by the cancer’s violent, processual logic. This situation can constitute a sea change in the subject’s life, sweeping away their most firmly held convictions and the most deeply rooted foundations of their narcissistic identity and character. The subject is at major risk of suffering a breakdown. In addition, the ‘actual’ trauma draws strength from the revival of primary traumas up until now extinguished. Their return takes the form of hallucinatory sensations producing states of body and perception of the external world psychologically unrepresentable. The subject sees and experiences themself passively, without really being capable of feeling affected. Deadly dullness, inertia and pain dominate or, on the contrary, the subject feels vividly alive, hypersensitive, invaded and persecuted, at the risk of bursting. The world essentially revolves around this bipolarity, which the radical operational defence system covers in whiteness. It throws its mantle over the world, relationships, objects, affects and the subject’s body. Sometimes nothing can touch the subject at all, and their psyche is reduced to its archaic core, at the edge of psyche-soma. The cancer eradicates subjectivity, steeling away the active principle of primal logic. This sometimes lasting state of white melancholy is but one phase in a polymorphic melancholic processuality. This force dominates the subject’s life, with a tendency either to proto-melancholy or proto-mania, which replace the affective world by a propensity to inertia or psychomotricity. The aim of melancholy work is to revive the deadlocked capacity for identification. We will examine the specific use of transference and, in particular, the key implementation of a basic formal transference. This works based on the dual primal activation of formal signifiers shared by the therapist and their patient. The therapist may be subject to motions of lethargy and psychocorporal excitations, plunging the therapeutic relationship into crepuscular states, relative to the cancer and to the return of primary traumas. We will look at how the principle aim of psychotherapy is the psychological use, and not eradication, of the cancer object, as a means of forging the conditions rendering the therapeutic context feasible: allow the representation of states of body, restore symbolisation, imagination and recourse to unconscious fantasy. Together, these form the essential basis of psychotherapy for cancer patients.

Mes recherches portent essentiellement sur l''elaboration de m'ethodes de calcul formel pour l''etude constructive des 'equations diff'erentielles lin'eaires, plus particuli'erement autour de la th'eorie de Galois diff'erentielle. Celles-ci vont du d'eveloppement de la th'eorie sous-jacente aux algorithmes, en incluant leur implantation en Maple. Ces travaux ont en commun une approche exp'erimentale des math'ematiques o'u l'on met l'accent sur l'examen d'exemples les plus pertinents possibles. L''etude d'etaill'ee de cas provenant de la m'ecanique rationnelle ou de la physique th'eorique nourrit en retour le d'eveloppement de th'eories math'ematiques idoines. Mes travaux s'articulent suivant trois grands th'emes interd'ependants : la th'eorie de Galois diff'erentielle effective, ses applications 'a l'int'egrabilit'e de syst'emes hamiltoniens et des applications en physique th'eorique.

Voir le texte.