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Optimisation d'une source vibratoire pour la détection des cavités souterraines par sismique réflexion haute résolution / Optimization of a vibratory source for cavity detection by high resolution seismic

Kosecki, Arkadiusz 07 December 2009 (has links)
L’objectif principal de cette thèse est de développer et d’optimiser les outils d’acquisition de la technique de Sismique réflexion haute résolution (SHR) afin d’améliorer ses performances pour la détection des cavités souterraines. Il est communément admis que l’imagerie SHR est d’autant plus complexe que la profondeur de la cible est petite. Les travaux menés dans le cadre de cette thèse devraient remédier à certains problèmes les plus critiques identifiés lors des applications de la SHR.L’utilisation des sources vibratoires présente des avantages indéniables (non destructivité, contrôle du signal émis...) par rapport aux sources « classiques » (i.e. impulsionnelles, destructives) mais leur application optimale nécessite un choix correct du signal émis.Ainsi, les travaux de recherche réalisés ont permis de (1) développer un système complet de pilotage par ordinateur d’une mini-source vibratoire destinée à l’imagerie SHR, (2) développer une méthode de génération de signaux émis. En établissant un lien entre le signal d’entrée et l’image sismique obtenue, cette procédure offre la possibilité à l’utilisateur de choisir le signal émis en fonction des conditions de terrain, et des objectifs des mesures, (3) tester le fonctionnement du système développé avec plusieurs mini-vibrateurs.Le système développé ainsi est testé et validé dans les tests à petite échelle. Ensuite, il a été utilisé dans les conditions réelles avec l’objectif « détection des cavités » dans le contexte salin (anciennes mines de sel en Lorraine, profondeur : 160 m - 180 m) et les marnières de Haute Normandie (anciennes carrières de craie, profondeur : 15 m - 45 m) / The main objective of this thesis is to develop and optimize the acquisition tools for High Resolution Reflection Seismic (HRS) technique in order to improve its performances in the detection of underground cavities. It is commonly admitted that HRS imaging becomes more complicated with when the depth of interest is decreased. The work carried out in the frame of this thesis aims to bring solutions to some of the most critical problems identified in application of the HRS.The vibratory sources show undeniable advantages (non destructivity, controllable output signal) over “classic” (impulsive, destructive) sources. However, the optimal use of these sources depends on the proper choice of emitted signal.Thus, the research work carried out resulted in (1) development of a complete, computer-based vibrator control system allowing piloting small vibratory source intended to use for HRS surveys, (2) development of a method for generating the source signal. The proposed procedure links the entry signal with seismic image and thus allows the choice of the signal in terrain conditions and with regard to the measurement goals, (3) extensive testing of the developed system with several portable vibratory sources.The developed system was tested and validated in small-scale tests. Afterwards it was used in real conditions with the goal of “cavity detection” in salt-mining context (old salt mines in Lorraine region at depths between 160 m and 180 m) as well as in chalk-mining area (ancient marl-pit quarries in the Normandy region at depths 15 m - 45 m)
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Accès multiple OFDMA pour les systèmes cellulaires post 3G : allocation de ressources et ordonnancement

Lengoumbi, Carle 14 March 2008 (has links) (PDF)
Cette thèse s'intéresse à l'allocation de ressources des réseaux WMAN (Wireless Metropolitan Area Networks) utilisant l'OFDMA (Orthogonal Frequency Division Multiple Access). Les applications récentes destinées aux réseaux sans fils requièrent des débits importants. L'OFDMA, technique d'accès multiple basée sur l'OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing), permet d'obtenir des débits élevés en tirant avantage de la diversité multiutilisateur. Dans une première partie, l'allocation de ressources est considérée au niveau de la couche physique (affectation des fréquences et de la puissance). Dans un contexte monocellulaire, un algorithme est proposé afin de maximiser le débit de la cellule tout en assurant des débits individuels aux utilisateurs (problème RA, Rate Adaptive optimization). L'impact de la sous canalisation sur le débit global est analysé. Puis, un algorithme est proposé dans un contexte multicellulaire pour adapter dynamiquement le facteur de réutilisation fréquentiel. Dans une deuxième partie, l'ordonnancement est traité. L'objectif est de garantir les délais du trafic temps réel, de maximiser le débit du trafic non temps réel tout en assurant une équité proportionnelle entre les flux. Pour cela, les extensions du GPS (Global Processor Sharing) sont étudiées. Deux algorithmes, extensions du WFS (Wireless Fair Service) pour l'OFDMA, sont proposés. Leurs performances sont comparées au WFS et aux algorithmes existants en OFDMA. L'une des propositions, l'OWFS (Opportunist Wireless Fair Service) est particulièrement adaptée pour maximiser le débit du trafic non temps réel et comporte un paramètre, le poids de délai, qui permet de maintenir un taux de pertes acceptable pour le trafic temps réel.
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Détection et localisation d'objets enfouis dans le sédiment marin

Saidi, Zineb 06 September 2006 (has links) (PDF)
Cette étude propose une nouvelle méthode pour estimer l'angle et la distance afin de localiser des objets reposants sur le fond ou enfouis dans les sédiments marins. L'originalité de cette méthode réside en l'estimation simultanée de l'angle et la distance dans un environnement bruité et en présence de signaux corrélés. Les statistiques d'ordre supérieur ont été utilisées pour pallier au problème du bruit et ceci en formant la matrice des cumulants pour chaque fréquence. Ensuite, un lissage fréquentiel est appliqué pour former la matrice des cumulants focalisée afin d'estimer le sous-espace signal cohérent. C'est ce dernier traitement qui permet de décorréler les signaux. Ainsi, pour estimer les paramètres des objets, la matrice interspectrale est remplacée par la matrice des cumulants focalisée et le modèle du champ acoustique diffusé est utilisé au lieu du modèle d'onde plane dans la méthode MUSIC (MUltiple SIgnal Classification). D'autre part, les déphasages des signaux dus aux déformations de l'antenne ont été estimés en utilisant l'algorithme DIRECT (DIviding RECTangles). Les performances de cette méthode ont été évaluées sur des données réelles mesurées dans une cuve expérimentale où plusieurs objets ont été enfouis sous le sable. La méthode proposée est supérieure en terme de performances comparée aux méthodes classiques. Cette supériorité est vérifiée qu'elle que soit la position de l'objet, champ lointain ou de champ proche de l'antenne. Les bons résultats de la localisation des objets sont encourageants et très prometteurs.
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Inversion des formes d'onde élastique dans le domaine espace-fréquence en deux dimensions.<br />Application à la caractérisation de la subsurface dans le cadre de la détection de cavités souterraines.

Gélis, Céline 14 December 2005 (has links) (PDF)
L'imagerie des paramètres physiques du sous-sol à partir d'enregistrements sismiques de surface constitue un problème inverse non linéaire. L'inversion des formes d'onde élastique est une méthode d'imagerie quantitative multiparamètres de diffractants, nécessitant au préalable la connaissance précise d'un macromodèle de vitesse. <br /><br />Le problème direct associé, la propagation des ondes élastiques, est résolu dans le domaine fréquentiel, permettant la prise en compte efficace d'acquisitions multisources et multirécepteurs, par une méthode numérique de différences finies modélisant la propagation de tous les types d'onde (ondes de volume, de surface, diffractées, réfractées ...). Le stencil de différences finies choisi permet simule précisément la surface libre et la propagation des ondes de surface. <br /><br />Cette inversion linéarisée s'appuie sur une méthode de gradient, qui minimise une fonction coût contenant les différences entre données observées et calculées. Deux paramètres sismiques sont reconstruits à partir de sismogrammes verticaux et horizontaux. L'inversion est effectuée des basses fréquences vers les hautes fréquences, introduisant des longueurs d'onde de plus en plus courtes dans les images des paramètres. Ces dernières sont sensibles au choix des approximations physiques effectuées pour calculer le gradient de la fonction coût (approximation de Born ou de Rytov), au dispositif d'acquisition, au préconditionnement des données et au choix des paramètres inversés. <br /><br />Cette méthode est ensuite appliquée à des milieux contenant une surface libre. La surface libre est une interface très contrastée qui donne lieu à des ondes de surface très énergétiques dans les sismogrammes. Les milieux de subsurface sont complexes, les ondes qui s'y propagent subissent des réflexions ou diffractions multiples. Lorsque le milieu contient deux anomalies dont le contraste en vitesse vaut $20 \%$, l'inversion les localise correctement dans un macromodèle connu. Les images sont améliorées et l'amplitude des anomalies est très bien reconstruite lorsque le nombre de fréquences inversées augmente et les données sont sélectionnées des faibles déports vers les grands déports. Avec une anomalie fortement contrastée comme une cavité vide, l'inversion retrouve correctement la position, la forme et la taille de l'objet mais son amplitude est sous-estimée.<br /><br />L'application à des données réelles verticales de subsurface acquises dans un milieu complexe contenant une cavité maçonnée montre que le milieu hétérogène issu de l'inversion ajuste mieux les données et permet de bien reproduire les ondes inversées. Néanmoins, la cavité n'est pas imagée.
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Conception et caractérisation fréquentielle et temporelle d'antennes réseaux planaires à très large bande passante

Clementi, Guillaume 23 November 2011 (has links) (PDF)
Une grande partie des travaux de cette thèse a été guidée par les réflexions mené au sein du groupe de travail " Antennes Réseaux Très Large Bande " du GDR Ondes. Il s'agit de concevoir des antennes réseaux planaires de faible épaisseur (sur plan de masse) très large bande passante. Pour ces travaux la bande de fréquence choisie est celle allouée par la Federal Communications Commission (3.1-10.6GHz). Une première phase de ce travail a consisté à définir le facteur de réseau dans les domaines fréquentiel et temporel. Puis la métrologie particulière pour déterminer les caractéristiques radioélectriques des antennes ULB a été décrite et mise en place grâce à l'installation de deux bancs de mesure : l'un dans le domaine temporel et l'autre dans le domaine fréquentiel. Une antenne planaire originale présentant un diagramme de rayonnement hémisphérique a été conçue. Il s'agit d'une fente rectangulaire dans un plan de masse alimentée par ligne microruban terminée par un stub carré centré dans la largeur de l'ouverture. Une cavité métallique remplie d'air dont les dimensions sont identiques à celles de l'ouverture est soudée du coté du plan de masse. Les performances de l'élément proposé (gain, réponse impulsionnelle, facteur de fidélité, etc...) ont pu alors être mesurées et comparées à celle d'autres éléments. Enfin ce travail a aboutit à la réalisation de deux antennes réseaux planaires à fort gain utilisables dans les systèmes de communication à haut débit et en régime impulsionnel.
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Quaternions et Algèbres Géométriques, de nouveaux outils pour les images numériques couleur

Denis, Patrice 13 December 2007 (has links) (PDF)
Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le contexte du traitement et de l'analyse des images couleur. Les premiers travaux pour traiter ces images consistaient à appliquer des traitements déjà existant en niveaux de gris marginalement sur les trois composantes constituant la couleur et le plus généralement dans l'espace RVB. Ces traitements ont été peu à peu améliorés notamment par l'utilisation d'espaces couleur d'avantage liés à la perception humaine mais aussi par des approches vectorielles. Dans ce travail de thèse nous nous plaçons dans la continuité de ces travaux et nous proposons une modélisation mathématique de la dimension vectorielle dans le but de manipuler les couleurs de manière globale. Trois formalismes sont présentés pour représenter la couleur : les complexes, les quaternions et les algèbres géométriques. Dans ce cadre, il est proposé de définir de nouveaux outils d'analyse couleur avec notamment une caractérisation numérique fréquentielle de chacun de ces modèles. Une étude approfondie de leurs utilisations permet de faire ressortir leurs propriétés ainsi que leurs principaux avantages et inconvénients à savoir : impossibilité des complexes à représenter les vecteurs couleurs qui par nature s'expriment en trois dimensions minimum contrairement aux quaternions et aux algèbres géométriques ; distinction entre objets manipulés (vecteurs couleur) et opérations effectuées sur ces objets (projections, rotations,...) pour les algèbres géométriques contrairement aux quaternions... Enfin nous avons montré que la transformée de Fourier quaternionique analyse la couleur avec une direction indiquée par un vecteur couleur, tandis que la transformée de Fourier définie au moyen de l'algèbre G3, plus générique, répartit l'information couleur sur des composantes fréquentielles indépendantes. L'utilisation de modèles algébriques pour représenter l'information couleur permet la définition et le développement d'un filtre spatial de détection de contours tenant compte de la dispersion dans l'espace couleur.
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Etude du traitement visuel rétinotopique des fréquences spatiales de scènes et plasticité cérébrale au cours du vieillissement normal et pathologique / Study of retinotopic spatial frequency processing of scenes and cerebral plasticity in normal and pathological aging.

Ramanoël, Stephen 04 December 2015 (has links)
L'analyse visuelle de scènes débute par l'extraction en parallèle de différentes caractéristiques visuelles élémentaires à différentes fréquences spatiales. L'objectif de cette thèse a été de préciser les mécanismes et les bases cérébrales du traitement des fréquences spatiales lors de la catégorisation de scènes et leur évolution au cours du vieillissement normal et pathologique. Nous avons tout d'abord mené deux études en Imagerie par Résonance Magnétique fonctionnelle (IRMf) sur des adultes jeunes avec une vision normale afin de proposer un outil de cartographie rétinotopique des aires visuelles permettant une localisation fine des activations cérébrales qui soit à la fois rapide et précis (Expériences 1 et 2). Dans un second temps, nous avons étudié via IRMf les bases cérébrales du traitement des fréquences spatiales lors de la catégorisation de scènes chez de jeunes adultes avec vision normale(Expérience 3). Nous avons également étudié l'influence de la normalisation RMS (« root mean square ») du contraste de luminance des scènes filtrées. Au sein du cortex occipital, nous avons montré une organisation rétinotopique du traitement des fréquences spatiales contenues dans de larges scènes visuelles. Au sein du cortex occipito-temporal, nous avons montré que les régions sélectives aux scènes (la « parahippocampal place area », le cortex retrosplenial et l'« occipital place area ») participent de façon distincte au traitement des fréquences spatiales. Enfin, nous avons montré que la normalisation du contraste de luminance modifiait l'intensité et l'étendue des activations cérébrales. Dans un dernier temps, nous avons ensuite étudié le traitement des fréquences spatiales au cours du vieillissement normal et pathologique. Nous avons tout d'abord montré, dans le cas du vieillissement normal (Expérience 4), un déficit spécifique de la catégorisation de scènes en hautes fréquences spatiales (HFS), associé à une hypo activation du cortex occipital et des régions sélectives aux scènes. Dans le cas de la perte de la vision centrale consécutive à une dégénérescence maculaire liée à l'âge (patients DMLA, Expériences 5 et 6), nous avons mis en évidence un déficit du traitement des HFS encore plus marqué que celui observé au cours du vieillissement normal. De façon intéressante pour l'aide aux patients DMLA, l'augmentation du contraste de luminance des scènes en HFS améliorait significativement leur catégorisation des scènes en HFS. Les résultats de ces travaux nous permettent de mieux comprendre les mécanismes neuro-fonctionnels impliqués dans la perception visuelle de scènes et de différencier les changements au niveau cortical liés au vieillissement normal de ceux résultant d'une pathologie visuelle.Mots clés : Scènes visuelles, Fréquences spatiales, IRMf, Cortex visuel, Rétinotopie, Régions sélectives aux scènes, Vieillissement normal, DMLA. / Visual analysis begins with the parallel extraction of different attributes at different spatial frequencies. The aim of this thesis was to investigatethe mechanisms and the cerebral basis of spatial frequencies processing during scene categorization and their evolution during normal and pathological aging. As a first step, we performed two functional Magnetic Resonance Imaging (fMRI) studies on young adults with normal vision in order to design a retinotopic mapping tool that allows to localize cerebral activations, which is both fast and accurate (studies 1 and 2). As a second step, we studied via fMRI (study 3) the cerebral basis involved in spatial frequencies processing during scenes categorization in young adults with normal vision (study 3). We also assessedthe influence of RMS luminance contrast (“root mean square”) normalization of filtered scenes. Within the occipital cortex, we showed a retinotopic organization of spatial frequencies processing for large visual scenes. Within the occipito-temporal cortex, we showed that scenes-selective regions (the parahippocampal place area, retrosplenial cortex and occipital place area) are specifically involved in spatial frequencies processing. Also, we highlighted the factthat luminance contrast normalization changesboth the intensity and the size of cerebral activations. As a last step, we studiedspatial frequencies processing in normal and pathological aging. We first highlighted in normal aging (study 4) a specific deficit in the ability to categorize scenes with high spatial frequencies (HSF); this deficit was associated with a decrease of activation within the occipital cortex and scenes selective regions. In patients suffering from a loss in central vision due to Age-Related Macular Degeneration (AMD patients, studies 5 and 6), we showed an even more pronounced deficit of HSF processing than observed in normal aging. Interestingly, with respect to the assistance of AMD patients, we observed that increasing the contrast luminance of HSF scenes significantly improved their ability to categorize such scenes. In the end, these results allow us to better understand the neurofunctional mechanisms involved in the visual perception of scenes and to distinguish the cortical changes related to normal aging from those resulting from a visual pathology.Keywords: Visual scenes, Spatial frequencies, fMRI, Visual cortex, Retinotopy, Scene-selective regions, Normal aging, AMD.
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Méthode d'Équilibrage Harmonique Multi-Frequentielle pour la Simulation des Doublets d'Hélices Contra-Rotatives : application à l'aéroélasticité / Multi-frequential Harmonic Balance Approach for the Simulation of Contra-Rotating Open Rotors : Application to Aeroelasticity

Gomar, Adrien 14 April 2014 (has links)
La mécanique des fluides numérique a permis d'optimiser de nombreux systèmes dont, notamment, les moteurs d'avions. Dans l'industrie aéronautique, les calculs numériques d'écoulements sont principalement limités à des approches stationnaires de par le coût prohibitif des simulations instationnaires. Néanmoins, les écoulements qui se développent dans les machines tournantes, à savoir les principaux composants d'un moteur d'avion, sont majoritairement périodiques en temps. En partant de cette hypothèse de périodicité temporelle, des approches dites spectrales en temps ont vus le jour il y a plus de quinze ans. Elles restent principalement limitées à des écoulements mono-fréquentiels, à savoir composés d'une seule fréquence de base et de ses harmoniques. Récemment, une méthode d'équilibrage harmonique multi-fréquentielle a été développée et implémentée dans le code de calcul elsA, élargissant le champ des applications possibles. En particulier, l'étude de l'aéroélasticité des machines tournantes multi-étagées devient alors envisageable.Cette thèse se propose d'appliquer la méthode d'équilibrage harmonique multi-fréquentielle pour étudier l'aéroélasticité d'une configuration nouvelle de moteur d'avion: les doublets d'hélices contra-rotatives. La méthode est tout d'abord validée analytiquement et numériquement sur des cas tests linéaires et non-linéaires avec succès. Deux problèmes sont soulevés pour l'utilisation d'une telle méthode sur des configurations aéroélastiques arbitraires: le conditionnement du terme source et la convergence de la méthode. Des approches originales ont été développées afin d'améliorer le conditionnement et de fournir une estimation a priori du nombre d'harmoniques nécessaire pour obtenir un certain niveau de convergence. La méthode d'équilibrage harmonique est ensuite validée sur un cas standard d'aéroélasticité des machines tournantes et montre des résultats très proches de ceux expérimentaux. L'applicabilité de la méthode est finalement démontrée pour la simulation de l'aéroélasticité des doublets d'hélices contra-rotatives. / Computational Fluid Dynamics (CFD) has allowed the optimization of many configurations among which aircraft engines. In the aeronautical industry, CFD is mostly restricted to steady approaches due to the high computational cost of unsteady simulations. Nevertheless, the flow field across the rotating parts of aircraft engines, namely turbomachinery blades, is essentially periodic in time. Years ago, Fourier-based time methods have been developed to take advantage of this time periodicity. However, they are, for the most part, restricted to mono-frequential flow fields. This means that only a single base-frequency and its harmonics can be considered. Recently, a multi-frequential Fourier-based time method, namely the multi-frequential Harmonic Balance (HB), has been developed and implemented into the elsA CFD code, enabling new kinds of applications as, for instance, the aeroelasticity of multi-stage turbomachinery.The present PhD thesis aims at applying the HB approach to the aeroelasticity of a new type of aircraft engine: the contra-rotating open rotor. The method is first validated on analytical, linear and non-linear numerical test problems. Two issues are raised, which prevent the use of such an approach on arbitrary aeroelastic configurations: the conditioning of the multi-frequential HB source term and the convergence of the method. Original methodologies are developed to improve the condition number of the simulations and to provide a priori estimates of the number of harmonics required to achieve a given convergence level. The HB method is then validated on a standard configuration for turbomachinery aeroelasticity. The results are shown to be in fair agreement with the experimental data. The applicability of the method is finally demonstrated for aeroelastic simulations of contra-rotating open rotors.
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Etude de la régulation de température d'un milieu fini homogène diffusif et incertain à l'aide des trois générations de la commande CRONE / Study of temperature regulation of a diffusive and uncertain homogeneous medium using the three generations of the CRONE command

Christophy, Fady 15 December 2016 (has links)
Le contrôle de la température d'un milieu thermique reste d'une grande importance en raison du coût économique qu'il peut engendrer. Ainsi, un moyen efficace de réduire les coûts de chauffage/refroidissement est de fournir un bon système de contrôle qui limite l'énergie nécessaire pour exécuter ces tâches. À cette fin, nous étudierons le contrôle d'une interface diffusive homogène finie utilisant le contrôleur CRONE de trois générations et contrôlons leurs comportements. La nouveauté de ce travail existe dans l'utilisation d'un contrôleur de commande fractionnaire (le contrôleur CRONE) appliqué à une unité d'ordre fractionnaire et l'utilisation d'un contrôleur complexe (la troisième génération) qui n'est pas si familier dans le domaine des contrôleurs. Les résultats montrent le comportement et la robustesse des contrôleurs CRONE de trois générations. / Controlling thermal medium’s temperature remains of a great importance, because of the economic cost that it may engender. Thus, one effective way to reduce heating/cooling cost is by providing a good control system that limits power needed to run these tasks. For this purpose, we will study the control of a finite homogeneous diffusive interface using the three generations CRONE controller and control their behaviors. The novelty of this work exists in the use of a fractional order controller (the CRONE controller) applied to a fractional order plant and the use of a complex controller (the third generation) which is not so familiar in the controllers domain. The results show the behavior and the robustness of the three generations CRONE controllers.
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Approches fréquentielle et temporelle de la dynamique des tubes à onde progressive / Frequency and time domain approaches to the dynamics of traveling wave tubes

Theveny, Stéphane 29 November 2016 (has links)
Le tube à onde progressive (TOP) est un dispositif où un faisceau d’électrons se déplaçant sur l’axe d’une hélice interagit avec les ondes électromagnétiques propagées par cette hélice. Il est le siège de nombreuses instabilités : des oscillations (génération d’ondes hyperfréquences parasites), mais aussi des instabilités du faisceau qui ont pour conséquence une dissipation parasite due à l'interception du faisceau par l'hélice. L’objectif de cette thèse est de développer une formulation hamiltonienne au problème permettant des modèles approchés plus compacts, plus précis et plus complets. Après l'avoir exposée, nous présentons un schéma numérique contenant notre modèle discret pour la simulation du TOP. Ce modèle discret a été mis au point pour tenir compte des conditions d'adaptation et de changements de géométrie. Le couplage avec les électrons met en jeu des champs de base simples, et le modèle tient compte de la charge d'espace. Différentes méthodes d'intégration numérique sont développées, dont nous comparons l'efficacité. Nous comparons ce modèle discret avec divers modèles d'amplification des ondes à froid, dont le modèle actuellement utilisé chez Thales pour la conception des tubes ({texttt{MVTRAD}}). Nous montrons aussi que les modèles d'amplification des ondes à froid à deux ou trois dimensions comme {texttt{MVTRAD}} ou {texttt{BWIS}} (prenant en compte les ondes inverses) ne respectent pas nécessairement l'équation de Maxwell-Faraday, contrairement au nôtre. Enfin, nous comparons notre modèle discret de circuit et le modèle d'amplification des ondes à froid dans le cas d'un faisceau linéaire. / A traveling-wave tube (TWT) is a device where an electron beam traveling along the axis of a helix interacts with the electromagnetic waves propagated by this helix. It is sensitive to many instabilities : oscillators (generating noise microwave), but also beam instabilities that generate a noise dissipation due to the interception of the beam by the helix. The aim of this thesis is to find a Hamiltonian formulation of the problem to allow more compact, more accurate and more complete approximate models. Having found one, we start to develop a numerical scheme containing our discrete model for the simulation of TOP. This discrete model has been developed to take into account the tapering sections, geometry changes and adaptations. The coupling with electrons involves simple functions of space, and the model takes space charge into account. Different methods of numerical integration are developed, of which we compare the efficiency. We compared the discrete model with various cold waves amplification models, especially with the model currently used at Thales for the design of their tubes ({texttt{MVTRAD}}). Moreover, we showed that two- or three-dimensional cold wave amplification models like {texttt{MVTRAD}} or {texttt{BWIS}} (which takes into account the backward waves) fail to respect the Maxwell-Faraday equation, contrary to ours. Finally we made a comparison between our circuit discrete model and the amplification model of cold waves in the case of a linear beam.

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