Dans cette thèse, nous nous intéressons a la résolution de problèmes de contrôle optimal associés a des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps et a données incomplètes, ou les dérivées sont prises au sens de Riemann-Liouville. / In this thesis, we are interested in the résolution of optimal control problems associated to fractional diffusion-wave equations in time with incomplete data, and where derivatives are understood in Riemann-Liouville sense.

Cette thèse vise à concevoir des estimateurs non-asymptotiques et robustes pour les systèmes linéaires d’ordre fractionnaire dans un environnement bruité. Elle traite une classe des systèmes linéaires d’ordre fractionnaire modélisée par la dite pseudo représentation d’état avec des conditions initiales inconnues. Elle suppose également que les systèmes étudiés ici peuvent être transformés sous la forme canonique de Brunovsky. Pour estimer le pseudo-état, la forme précédente est transformée en une équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire en prenant en compte les valeurs initiales des dérivées fractionnaires séquentielles de la sortie. Ensuite, en utilisant la méthode des fonctions modulatrices, les valeurs initiales précédentes et les dérivées fractionnaires avec des ordres commensurables de la sortie sont données par des formules algébriques avec des intégrales à l’aide d’une méthode récursive. Ainsi, ces formules sont utilisés pour calculer le pseudo-état dans le cas continu sans bruit. En outre, elle fournit un algorithme pour construire les fonctions modulatrices requises à l’accomplissement de l’estimation. Deuxièmement, inspiré par la méthode des fonctions modulatrices développée pour l’estimation de pseudo-état, cette méthode algébrique basée sur un opérateur est introduite pour estimer la dérivée fractionnée avec un ordre arbitraire fractionnaire de la sortie pour les systèmes considérés. Cet opérateur sert à annuler les valeurs initiales non désirées, puis permet d’estimer la dérivée fractionnaire souhaitée par une nouvelle formule algébrique à l’aide d’une méthode récursive. Troisièmement, l’estimateur du pseudo-état et le différenciateur d’ordre fractionnaire obtenus précédemment sont étudiés respectivement dans le cas discret et bruité. Chacun d’entre eux contient une erreur numérique due à la méthode d’intégration numérique utilisée et au bruit. En particulier, elle fournit une analyse pour diminuer la contribution du bruit au moyen d’une d’erreur bornée qui permet de sélectionner les degrés optimaux des fonctions de modulation à chaque instant. Ensuite, des exemples numériques sont donnés pour mettre en évidence la précision, la robustesse et la propriété non-asymptotique des estimateurs proposés. En outre, les comparaisons avec certaines méthodes existantes et avec un nouvel observateur d’ordre fractionnaire de typeH1sont montrées. Enfin, elle donne des conclusions / This thesis aims to design non-asymptotic and robust estimators for a class of fractional order linear systems in noisy environment. It deals with a class of commensurate fractional order linear systems modeled by the so-called pseudo-state space representation with unknown initial conditions. It also assumed that linear systems under study can be transformed into the Brunovsky’s observable canonical form. Firstly, the pseudo-state of the considered systems is estimated. For this purpose, the Brunovsky’s observable canonical form is transformed into a fractional order linear differential equation involving the initial values of the fractional sequential derivatives of the output. Then, using the modulating functions method, the former initial values and the fractional derivatives with commensurate orders of the output are given by algebraic integral formulae in a recursive way. Thereby, they are used to calculate the pseudo-state in the continuous noise-free case. Moreover, to perform this estimation, it provides an algorithm to build the required modulating functions. Secondly, inspired by the modulating functions method developed for pseudo-state estimation, an operator based algebraic method is introduced to estimate the fractional derivative with an arbitrary fractional order of the output. This operator is applied to cancel the former initial values and then enables to estimate the desired fractional derivative by a new algebraic formula using a recursive way. Thirdly, the pseudo-state estimator and the fractional order differentiator are studied in discrete noisy case. Each of them contains a numerical error due to the used numerical integration method, and the noise error contribution due to a class of stochastic processes. In particular, it provides ananalysis to decrease noise contribution by means of an error bound that enables to select the optimal degrees of the modulating functions at each instant. Then, several numerical examples are given to highlight the accuracy, the robustness and the non-asymptotic property of the proposed estimators. Moreover, the comparisons to some existing methods and a new fractional orderH1-like observer are shown. Finally, conclusions are outlined with some perspectives

Cette thèse traite de synthétiseurs de fréquence, et plus précisément de diviseurs de fréquence fractionnaires qui sont des blocs critiques en radiocommunications. Une nouvelle méthode pour la division de fréquence fractionnaire y est présentée : Elle est basée sur la répartition aléatoire de l'erreur de phase. Deux implémentations de cette méthode sont proposées. Le spectre du bruit de phase en sortie de diviseur est débarrassé de toute raie parasite. L'énergie habituellement contenue dans ces raies étant uniformément répartie sur l'ensemble du spectre, ce dernier adopte un profil plat. La solution proposée peut être implémentée dans des synthétiseurs de fréquence tels que les Boucles à Verrouillage de Phase (PLL). Puisque aucune mise en forme du bruit n'est appliquée par le diviseur, la bande passante de la PLL peut être optimisée. Dans ces conditions, la possibilité d'une modulation directe haut débit de la PLL résultante est étudiée. Pour finir, des solutions d'optimisation du système résultant sont étudiées. / This dissertation deals with frequency synthesis and more specifically with the fractional frequency divider, one of the most critical blocks in radio frequency systems. A new fractional division method is presented along with two possible embodiments. It is based on a random dithering of the phase error. The divider output spectrum is cleaned from any fractional spurious tone. The spurious tones energy is uniformly spread on the whole spectrum, without noise shaping. The proposed solution can be implemented in frequency synthesizers like Phase Locked Loops (PLL). As no noise shaping is applied, the PLL bandwidth can be optimized. In this context, the possibility of high data-rate direct modulation is studied. Finally, solutions for the optimization of the resulting system are inspected.

Dans certains états quantique de la matière, le courant peut être transporté par des porteurs de charges ayant une fraction e* de la charge élementaire. C'est notamment le cas de l'Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) qui se produit pour des systèmes électroniques bidimensionels à basse température et soumis à un fort champ magnetique perpendiculaire. Quand le nombre de quantum de flux en unité h/e est une fraction du nombre d'électrons, le courant se propage le long des bords de l'échantillon sans dissipation. Les porteurs de charges impliqués dans le transport portent une charge fractionnaire. La mise en évidence de ces charges peut être faite via les faibles fluctuations de courant dûes à la granularité de la charge. Nous présentons ici une méthode fiable de mesure de la charge fractionnaire basée sur des correlations croisées de fluctuations de courant. La dynamique de ces charges fractionnaires lorsque l'échantillon est irradié avec des photons GHz est étudiée, permettant la mesure de la fréquence Josephson des charges fractionnaires. Ces mesures valident les processus photo-assisté en régime d'EHQF et permettent une manipulation résolue en temps des charges fractionnaires, dans le but de réaliser une source d'anyon sur le principe du léviton afin de réaliser des tests de la statistique anyonique de ces charges fractionnaires. / In some quantum matter states, the current may remarkably be transported by carriers that bear a fraction e* of the elementary electron charge. This is the case for the Fractional quantum Hall effect (FQHE) that happens in two-dimensional systems at low temperature under a high perpendicular magnetic field. When the number of magnetic flux in units of h/e is a fraction of the number of electron, a dissipationless current flows along the edges of the sample and is carried by anyons with fractional charge. The observation of the fractional charge is realized through small current fluctuations produced by the granularity of the charge. Here is presented a reliable method to measure the fractional charge by the mean of cross-correlation of current fluctuations. Moreover, the dynamical properties of those charges is probed when the sample is irradiated with photos at GHz frequency. The long predicted Josephson frequency of the fractional charge is measured. Those measurements validate Photoassisted processes in the FQHE and enable timedomain manipulation of fractional charges in order to realize a single anyon source based on levitons to perform tests of the anyonic statistics of fractional charge.

Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de crédit / This work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models

Notre objectif dans cette thèse est l'étude des équations différentielles non linéaires comportant des dérivées fractionnaires en temps et/ou en espace. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à l'étude de deux systèmes non linéaires d'équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace, puis à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Plus exactement pour la première partie, les questions concernant l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles comportant des dérivées fractionnaires en temps et en espace sont élucidées. Les techniques utilisées reposent sur des estimations obtenues pour les solutions fondamentales et la comparaison de certaines inégalités fractionnaires. Toujours dans la première partie, l'étude d'un système non linéaire d'équations de réaction-diffusion avec des dérivées fractionnaires en espace est abordée. L'existence locale et l'unicité des solutions sont prouvées à l'aide du théorème du point fixe de Banach. Nous montrons que les solutions sont bornées et analysons leur comportement à l'infini. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire non linéaire. Sous certaines conditions sur la donnée initiale, nous montrons que la solution est globale alors que sous d'autres, elle explose en temps fini. Dans ce dernier cas, nous donnons son profil ainsi que des estimations bilatérales du temps d'explosion. Alors que pour la solution globale nous étudions son comportement asymptotique. / Our objective in this thesis is the study of nonlinear differential equations involving fractional derivatives in time and/or in space. First, we are interested in the study of two nonlinear time and/or space fractional systems. Our second interest is devoted to the analysis of a time fractional differential equation. More exactly for the first part, the question concerning the global existence and the asymptotic behavior of a nonlinear system of differential equations involving time and space fractional derivatives is addressed. The used techniques rest on estimates obtained for the fundamental solutions and the comparison of some fractional inequalities. In addition, we study a nonlinear system of reaction-diffusion equations with space fractional derivatives. The local existence and the uniqueness of the solutions are proved using the Banach fixed point theorem. We show that the solutions are bounded and analyze their large time behavior. The second part is dedicated to the study of a nonlinear time fractional differential equation. Under some conditions on the initial data, we show that the solution is global while under others, it blows-up in a finite time. In this case, we give its profile as well as bilateral estimates of the blow-up time. While for the global solution we study its asymptotic behavior.

Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

Cette thèse a pour objet le développement d'outils de conception de machines polyphasées à pôles lisses alimentées par onduleur de tension à modulation de largeur d'impulsion. Basée sur la décomposition multimachine de la machine polyphasée en une somme de machines fictives magnétiquement découplées et mécaniquement couplées, l'approche adoptée consiste à étudier le problème de l'adaptation convertisseur-machine en reportant les objectifs sur les machines fictives. Une représentation matricielle du bobinage polyphasé, le développement d'un modèle de calcul analytique du champ et l'introduction de la Transformée de Fourier Discrète permettent d'associer aux machines fictives un bobinage et une couche d'aimants. Les objectifs et contraintes liés à la réduction des courants arasites et à l'amélioration de la qualité du couple peuvent alors être formulés directement sur des grandeurs fictives, ce qui permet de déduire des démarches de conception optimale.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Récemment, la localisation statique et dynamique d'un objet ou d'une personne est devenue l'un des plus importantes fonctionnalités d'un système de communication, du fait de ses multiples applications. En effet, connaître la position d'un terminal mobile (MT), en milieu extérieur ou intérieur, est généralement d'une importance majeure pour des applications fournissant des services basés sur la localisation. Ce développement des systèmes de localisation est dû au faible coût des infrastructures de réseau sans fil en milieu intérieur (WLAN). Les techniques permettant de localiser des MTs diffèrent selon les paramètres extraits des signaux radiofréquences émis entre des stations de base (BSs) et des MTs. Les conditions idéales pour effectuer des mesures sont des environnements dépourvus de tout obstacle, permettant des émissions directes entre BS et MT. Ce n'est pas le cas en milieu intérieur, du fait de la présence continuelle d'obstacles dans l'espace, qui dispersent les rayonnements. Les mesures prises dans ces conditions (NLOS, pour Non Line of Sight) sont imprévisibles et diffèrent de celles prises en condition LOS. Afin de réduire les erreurs de mesure, différentes techniques peuvent être utilisées, comme la mitigation, l'approximation, la correction à priori, ou le filtrage. En effet, l'application de systèmes de suivi (TSs) constitue une base substantielle pour la navigation individuelle, les réseaux sociaux, la gestion du trafic, la gestion des ressources mobiles, etc. Différentes techniques sont appliquées pour construire des TSs en milieu intérieur, où le signal est bruité, faible voire inexistant. Bien que les systèmes de localisation globaux (GPS) et les travaux qui en découlent fonctionnent bien hors des bâtiments et dans des canyons urbains, le suivi d'utilisateurs en milieu intérieur est bien plus problématique. De ce fait, le problème de prédiction reste un obstacle essentiel à la construction de TSs fiable dans de tels environnements. Une étape de prédiction est inévitable, en particulier, dans le cas où l'on manque d'informations. De multiples approches ont été proposées dans la littérature, la plupart étant basées sur un filtre linéaire (LF), un filtre de Kalman (KF) et ses variantes, ou sur un filtre particulaire (PF). Les filtres de prédiction sont souvent utilisés dans des problèmes d'estimation et l'application de la dérivation non entière peut limiter l'impact de la perte de performances. Ce travail présente une nouvelle approche pour la localisation intérieure par WLAN utilisant un groupement des coordonnées. Ensuite, une étude comparative des techniques déterministes et des techniques d'apprentissage pour la localisation intérieure est présentée. Enfin, une nouvelle approche souple pour les systèmes de suivi en milieu intérieur, par application de la dérivation non entière, est présentée / Recently, the static and dynamic geo-location of a device or a person has become one of the most important aspects of communication systems because of its multiple applications. In general, knowing the position of a mobile terminal (MT) in outdoor or indoor environments is of major importance for applications providing services based on the location. The development of localization systems has been mainly driven by the avail- ability of the affordable cost of indoor wireless local area network (WLAN) infrastructure. There exist different techniques to localize MTs with the different mainly depending on the type of the metrics extracted from the radio frequency signals communicated between base stations (BSs) and MTs. Ideal measurements are taken in environments which are free of obstacles and in direct ray tracings between BS and MT. This is not the case in indoor environment because the daily use of permanent obstacles in the work space scatters the ray tracings. Measurements taken in Non Line Of Sight (NLOS) are unpredictable and different from those taken in LOS. In order to reduce measurement errors, one can apply different techniques such as mitigation, approximation, prior correction, or filtering. Tracking systems (TSs) have many concrete applications in the space of individual navigation, social net- working, asset management, traffic management, mobile resource management, etc. Different techniques are applied to build TSs in indoor environments, where the signal is noisy, weak or even non-existent. While the Global Positioning System (GPS) devices work well outside buildings and in urban canyons, tracking an indoor user in a real-world environment is much more problematic. The prediction problem remains an essential obstacle to construct reliable indoor TSs. Then lacks of reliable wireless signals represent the main issue for indoor geo-location systems. This obviously calls for some sort of predictions and corrections to overcome signal reliability, which unavoidably open the door for a multitude of challenges. Varieties of approaches were proposed in the literature. The most used are the ones based on prediction filters, such as Linear Filter (LF), Kalman Filter (KF) and its derivatives, and Particle Filters (PF). Prediction filters are often used in estimation problems and applying Digital Fractional Differentiation can limit the impact of performance degradations. This work presents a novel approach for the WLAN indoor geo-location by using coordinates clustering. This approach allows overcoming the limitations of NLOS methods without applying any of mitigation, approximation, prior correction, or filtering approaches. Then a comparison study of deterministic and learning techniques for indoor geo-location is presented. Finally, it presents a novel soft approach for indoor tracking system by applying digital fractional integration (DFI) to classical prediction filters