Cette thèse porte sur l'analyse de la synchronisation des grands réseaux d'oscillateurs non linéaires et hétérogènes à l'aide d'outils et de méthodes issues de la théorie du contrôle. Nous considérons deux modèles de réseaux; à savoir, le modèle de Kuramoto qui considère seulement les coordonnées de phase des oscillateurs et des réseaux composés d'oscillateurs non linéaires de Stuart-Landau connectés par un couplage linéaire.Pour le modèle de Kuramoto nous construisons un système linéaire qui conserve les informations sur les fréquences naturelles et sur les gains d'interconnexion du modèle original de Kuramoto. Nous montrons en suite que l'existence de solutions à verrouillage de phase du modèle de Kuramoto est équivalente à l'existence d'un tel système linéaire avec certaines propriétés. Ce système est utilisé pour formuler les conditions d'existence de solutions à verrouillage de phase et de leur stabilité pour des structures particulières de l'interconnexion. Ensuite, cette analyse s'est étendue au cas où des interactions attractives et répulsives sont présentes dans le réseau. Nous considérons cette situation lorsque les gains d'interconnexion peuvent être à la fois positif et négatif. Dans le cadre de réseaux d'oscillateurs de Stuart-Landau, nous présentons une nouvelle transformation de coordonnées du réseau qui permet de réécrire le modèle du réseau en deux parties: une décrivant le comportement de l'oscillateur « moyenne » du réseau et la seconde partie présentant les dynamiques des erreurs de synchronisation par rapport à cet oscillateur « moyenne ». Cette transformation nous permet de caractériser les propriétés du réseau en termes de la stabilité des erreurs de synchronisation et du cycle limite de l'oscillateur « moyenne ». Pour ce faire, nous reformulons ce problème en un problème de stabilité de deux ensembles compacts et nous utilisons des outils issus de la stabilité de Lyapunov pour montrer la stabilité pratique de ces derniers pour des valeurs suffisamment grandes du gain d'interconnexion. / This thesis is devoted to the analysis of synchronization in large networks of heterogeneous nonlinear oscillators using tools and methods issued from control theory. We consider two models of networks; namely, the Kuramoto model which takes into account only phase coordinates of the oscillators and networks composed of nonlinear Stuart-Landau oscillators interconnected by linear coupling. For the Kuramoto model we construct an auxiliary linear system that preserves information on the natural frequencies and interconnection gains of the original Kuramoto model. We show next that existence of phase locked solutions of the Kuramoto model is equivalent to the existence of such a linear system with certain properties. This system is used to formulate conditions that ensure existence of phase-locked solutions and their stability for particular structures of network interconnections. Next, this analysis is extended to the case where both attractive and repulsive interactions are present in the network that is we consider the situation where some of the interconnection gains are allowed to be negative. In the context of networks of Stuart-Landau oscillators, we present a new coordinate transformation of the network which allows to split the network model into two parts, one describing behaviour of an "averaged" network oscillator and the second one, describing dynamics of the synchronization errors relative to this "averaged" oscillator. This transformation allows us to characterize properties of the network in terms of stability of synchronization errors and limit cycle of the "averaged" oscillator. To do so, we recast this problem as a problem of stability of compact sets and use Lyapunov stability tools to ensure practical stability of both sets for sufficiently large values of the coupling strength.

Este trabalho aborda o escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular. A tese que se quer defender, com base em experimentos numéricos, é: A equação de Landau pode ser obtida a partir das equações de Navier-Stokes por uma análise de estabilidade não-linear global. A teoria produz um procedimento bem-definido para determinação dos coeficientes da equação de Landau, permitindo assim a sua interpretação como um modelo simplificado (equações reduzidas de Navier-Stokes) para a predição das forças aplicadas pelo fluido ao cilindro, que podem ser comparados com resultados experimentais. O modelo não-linear se baseia em uma teoria assintótica que, como se sabe, tem sua faixa de validade no espaço de parâmetros determinada a posteriori, por meio da própria comparação com dados de laboratório. Resultados na faixa 46 <= Re <= 80 são apresentados. Descobriu-se, que a faixa de aplicabilidade da teoria como aqui exposta é restrita, não excedendo em muito o valor crítico do número de Reynolds. Argumentos são expostos para justificar esta afirmação e possíveis maneiras de modificar a teoria para estender esta faixa são apresentadas. São reportados, ainda, teoria e resultados sobre um novo tipo de condição de contorno,denominado impedância fluida, que permite reduzir o tamanho do domínio de cálculo necessário para simulação de escoamentos externos, comparativamente à comumente utilizada condição de outflow. Neste caso, abordou-se a faixa 20 <= Re <= 600. / This work adresses the incompressible flow around a circular cylinder. What we want to prove, based on numerical experiments, reads: The Landau equation can be derived from the Navier-Stokes equations by means of a global nonlinear stability analysis. The theory leads to a procedure for calculating numerically the coefficients of these equation, thus permitting their interpretation as a simplified model - reduced Navier-Stokes equation - for the prediction of the forces applied by the fluid on the cylindrical structure, which can be compared against experimental data. The nonlinear model is based on an asymptotic theory which, as is known, has its validity range in the parameter space determined a posteriori. The focus lies in the range 46 <= Re <= 80. It was found that the theorys applicability range as presented here is restricted to a small neighborhood of Rec. This affirmation in justified and possible means of modifying the theory in order to enlarge this range are proposed. Theory and results concerning a new type of boundary condition called fluid impedance are also reported, permitting the reduction of the domain size necessary for simulating external flows, comparatively to the commonly used outflow condition. In this case, the range 20 <= Re <= 600 was considered.

Este trabalho aborda o escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular. A tese que se quer defender, com base em experimentos numéricos, é: A equação de Landau pode ser obtida a partir das equações de Navier-Stokes por uma análise de estabilidade não-linear global. A teoria produz um procedimento bem-definido para determinação dos coeficientes da equação de Landau, permitindo assim a sua interpretação como um modelo simplificado (equações reduzidas de Navier-Stokes) para a predição das forças aplicadas pelo fluido ao cilindro, que podem ser comparados com resultados experimentais. O modelo não-linear se baseia em uma teoria assintótica que, como se sabe, tem sua faixa de validade no espaço de parâmetros determinada a posteriori, por meio da própria comparação com dados de laboratório. Resultados na faixa 46 <= Re <= 80 são apresentados. Descobriu-se, que a faixa de aplicabilidade da teoria como aqui exposta é restrita, não excedendo em muito o valor crítico do número de Reynolds. Argumentos são expostos para justificar esta afirmação e possíveis maneiras de modificar a teoria para estender esta faixa são apresentadas. São reportados, ainda, teoria e resultados sobre um novo tipo de condição de contorno,denominado impedância fluida, que permite reduzir o tamanho do domínio de cálculo necessário para simulação de escoamentos externos, comparativamente à comumente utilizada condição de outflow. Neste caso, abordou-se a faixa 20 <= Re <= 600. / This work adresses the incompressible flow around a circular cylinder. What we want to prove, based on numerical experiments, reads: The Landau equation can be derived from the Navier-Stokes equations by means of a global nonlinear stability analysis. The theory leads to a procedure for calculating numerically the coefficients of these equation, thus permitting their interpretation as a simplified model - reduced Navier-Stokes equation - for the prediction of the forces applied by the fluid on the cylindrical structure, which can be compared against experimental data. The nonlinear model is based on an asymptotic theory which, as is known, has its validity range in the parameter space determined a posteriori. The focus lies in the range 46 <= Re <= 80. It was found that the theorys applicability range as presented here is restricted to a small neighborhood of Rec. This affirmation in justified and possible means of modifying the theory in order to enlarge this range are proposed. Theory and results concerning a new type of boundary condition called fluid impedance are also reported, permitting the reduction of the domain size necessary for simulating external flows, comparatively to the commonly used outflow condition. In this case, the range 20 <= Re <= 600 was considered.

Ce mémoire de thèse présente une approche semi-analytique des différentes solutions solitons spatio-temporelles de l'équation cubique quintique de Ginzburg-Landau complexe étendue à (3+1)D (GL3D).La méthode semi-analytique choisie est celle des coordonnées collectives qui permet d'approcher le champ exact, dont l'expression analytique est inconnue, par une fonction d'essai, qui comporte un nombre limité de paramètres physiques.En appliquant cette procédure à l'équation GL3D, nous obtenons un système d'équations variationnelles qui gouverne l'évolution des paramètres de la balle de lumière. Nous montrons que cette approche des coordonnées collectives est incomparablement plus rapide que la procédure de résolution directe de l'équation GL3D. cette rapidité permet d'obtenir, en un temps record, une cartographie générale des comportements dynamiques des balles de lumière. Cette cartographie révèle une riche variété d'états dynamiques faite de balles de lumière stationnaires, oscillantes et rotatives.Finalement, les résultats de cette thèse prédisent l'existence de plusieurs familles de balles de lumière, et précisent les domaines respectifs de leurs paramètres physiques. Cette prédiction constitue un pas en avant dans les efforts entrepris ces dernières années en vue d'une démonstration expérimentale de ce type d'impulsions. / This thesis presents a semi-analytical approach for the search of (3+1)D spatio-temporal soliton solutions of the complex cubic-quintic Ginzburg-Landau equation (GL3D).We use a semi-analytical method called collective coordinate approach, to obtain an approximate profile of the unknown pulse field. This ansatz function is chosen to be a function of a finite number of parameters describing the light pulse.By applying this collective corrdinate procedure to the GL3D equation, we obtain a system of variational equations which give the evolution of the light bullet parameters as a function of the propagation distance. We show that the collective coordinate approach is uncomparably faster than the direct numerical simulation of the propagation equation. This permits us to obtain, efficiently, a global mapping of the dynamical behavior of light bullets, which unveils a rich variety of dynamical states comprising stationary, pulsating and rotating light bullets.Finally the existence of several types of light bullets is predicted in specific domains of the equation parameters. Altogether, this theoretical and numerical work may be a useful tool next to the efforts undertaken these last years observing light bullets experimentally.

Nous présentons une étude de la dynamique de la lumière et des mesures des caractéristiques non-linéaires optiques dans le disulfure de carbone.Dans la première partie, nous calculons dans le cadre d’un modèle classique des expressions des susceptibilités non-linéaires jusqu’au cinquième ordre, en tenant compte des corrections de champ local. Nous formulons différentes hypothèses que nous confirmons ou infirmons par la mesure des indices d’absorption et de réfraction non-linéaires. Celles-ci sont obtenues en combinant deux méthodes de caractérisation des non-linéarités au sein d’un système 4fd’imagerie. L’analyse des données expérimentales utilise une méthode nouvellement développée, qui consiste à inverser numériquement, par la méthode de Newton, les solutions analytiques des équations différentielles qui décrivent l’évolution du faisceau.Dans la deuxième partie, nous observons la filamentation d’un faisceau laser à la longueur d’onde de 532 nm et en régime picoseconde. Puis nous procédons à la mesure de l’indice de réfraction non-linéaire effectif du troisième ordre n2,eff en fonction de l’intensité incidente. Par un ajustement de la courbe de saturation de l’effet Kerr,nous développons un nouveau modèle. La résolution numérique de celui-ci reproduit la filamentation observée.La dernière partie est consacrée à l’étude de la dynamique des solitons dissipatifs au sein de milieux à gains et pertes non-linéaires. La résolution numérique de l’équation complexe de Ginzburg-Landau cubique-quintique est réalisée suivant différentes configurations :soliton fondamental, dipôle, quadrupôle,vortex carré et rhombique. / We present a study of light dynamics and measurements of the nonlinear optical characteristics of carbon disulphide. In the first part, we calculate using the classical model, the nonlinear susceptibilities up to the fifth order taking into account local field corrections. We express different assumptions that we confirm or refute by measuring the nonlinear absorption coefficient and the nonlinear refractive index. The measurements are performed by means of two nonlinear characterization methods combined with an imaging 4f system. We analyse the experimental data using a newly developed method which numerically inverts the analytical solutions of the differential equations which describe the evolution of the beam, using Newton’s method. In the second part, we observe light filamentation at wavelength 532 nm, in the picoseconds regime. Then we measure the effective third order nonlinear refractive index n2,eff versus the incident intensity. By fitting the curve of the Kerr effect saturation, we develop a new model. Numerically solving this model, allows us to reproducethe experimentally observed filamentation. The last part is dedicated to the study of dissipative solitons dynamics. The complex Ginzburg-Landau equation with cubic-quintic nonlineraties is numerically solved in various configurations : soliton fundamental dipole, quadrupole, vortex and square rhombic.

Ausgedehnte dissipative Systeme können fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht instabil gegenüber Oszillationen bzw. Wellen oder raumzeitlichem Chaos werden. Die komplexe Ginzburg-Landau Gleichung (CGLE) stellt ein universelles Modell zur Beschreibung dieser raumzeitlichen Strukturen dar. Diese Arbeit ist der theoretischen Analyse komplexer Muster gewidmet. Mittels numerischer Bifurkations- und Stabilitätsanalyse werden Instabilitäten einfacher Muster identifiziert und neuartige Lösungen der CGLE bestimmt. Modulierte Amplitudenwellen (MAW) und Super-Spiralwellen sind Beispiele solcher komplexer Muster. MAWs können in hydrodynamischen Experimenten und Super-Spiralwellen in der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion beobachtet werden. Der Grenzübergang von Phasen- zu Defektchaos wird durch den Existenzbereich der MAWs erklärt. Mittels der selben numerischen Methoden wird Bursting vom Fold-Hopf-Typ in einem Modell der Kalziumsignalübertragung in Zellen identifiziert.

Made available in DSpace on 2016-03-15T19:37:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paulo Guilherme Komninos.pdf: 1970255 bytes, checksum: df0cedf278c145259aed73c5d3775f90 (MD5) Previous issue date: 2011-02-21 / This work presents a study based on the numerical analysis of Erbium-doped fiber lasers using the technique of passive mode-locking for the laser working in pulsed regime. The equation describing the dynamics of a laser cavity is known as Ginzburg-Landau Equation, that in this work is solved numerically by the Split-Step Fourier Method. By this method, an algorithm was developed which was incorporated into the MATLAB environment so taht numerical calculations were made. The method was validated by comparing the results generated by the program (temporal pulse width due to the gain of the cavity with and without dispersion and nonlinearity) with the results published in literature. After validation of the method an experimental results were reproduced of an Erbium-doped fiber laser using thin films of carbon nanotubes as saturable absorbers. The laser generates a bandwidth of 5.7 nm for a cavity with a total length of 9 m. This experimental result was used as a calibration parameter in the initial simulations. Just by varying the length of the cavity in the simulation, results very close to the experiment were obtained. These results have helped in understanding some of the experimental variables. / Neste trabalho é apresentado um estudo baseado em análise numérica de lasers à fibra dopada com Érbio utilizando a técnica de acoplamento passivo de modos para que o mesmo opere em regime pulsado. A equação que descreve a dinâmica de uma cavidade laser é conhecida como Equação de Ginzburg-Landau, que neste trabalho é resolvida numericamente pelo Método Split-Step Fourier. Por este método, foi desenvolvido um algoritmo que foi incorporado ao ambiente MATLAB para serem feitos os cálculos numéricos. O método foi validado comparando os resultados gerados pelo programa (largura temporal do pulso devido ao ganho da cavidade com e sem dispersão e não-linearidade) com os resultados publicados na literatura. Após a validação do método, foram reproduzidos resultados experimentais de um laser a fibra dopada com Érbio usando como absorvedor saturável filmes finos de nanotubos de carbono. O laser gera uma largura de banda de 5,7 nm para uma cavidade de comprimento total de 9 m. Este resultado experimental foi utilizado como parâmetro de calibração inicial nas simulações. Apenas variando o comprimento da cavidade na simulação, foram obtidos resultados bem próximos ao do experimento. Esses resultados ajudaram na compreensão de algumas variáveis do experimento.

Ausgedehnte dissipative Systeme können fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht instabil gegenüber Oszillationen bzw. Wellen oder raumzeitlichem Chaos werden. Die komplexe Ginzburg-Landau Gleichung (CGLE) stellt ein universelles Modell zur Beschreibung dieser raumzeitlichen Strukturen dar. Diese Arbeit ist der theoretischen Analyse komplexer Muster gewidmet. Mittels numerischer Bifurkations- und Stabilitätsanalyse werden Instabilitäten einfacher Muster identifiziert und neuartige Lösungen der CGLE bestimmt. Modulierte Amplitudenwellen (MAW) und Super-Spiralwellen sind Beispiele solcher komplexer Muster. MAWs können in hydrodynamischen Experimenten und Super-Spiralwellen in der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion beobachtet werden. Der Grenzübergang von Phasen- zu Defektchaos wird durch den Existenzbereich der MAWs erklärt. Mittels der selben numerischen Methoden wird Bursting vom Fold-Hopf-Typ in einem Modell der Kalziumsignalübertragung in Zellen identifiziert.

Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. / This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes. / The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.