Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profi ssional em Matemática em Rede Nacional, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-20T20:38:38Z No. of bitstreams: 1 2014_GlaucoAndreMachado.pdf: 1775143 bytes, checksum: db72009c0df8998f21901a1fff64ab05 (MD5) / Rejected by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br), reason: Ana, o arquivo não pertence aos metadados descritos. Por favor, verificar. Obrigada! Jacqueline on 2015-05-15T15:23:07Z (GMT) / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-15T15:35:10Z No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Este trabalho tem como objetivo demonstrar a irracionalidade de vários números que envolvem raízes não exatas e representar números racionais e raízes quadradas não exatas na forma de uma fração contínua, além de apresentar exercícios envolvendo esses temas e que podem ser utilizados pelo professor do ensino básico em sala de aula. Haverá demonstrações de irracionalidade de números da forma (veja fórmulas no arquivo), utilizando alguns conhecimentos de nível superior, provaremos a irracionalidade das Expressões (veja fórmulas no arquivo) e da constante de Euler e. Além disso, serão apresentadas técnicas que permitem gerar outros números irracionais que envolvam raízes não exatas, através de resultados provenientes do estudo dos polinômios. Veremos também, que existem métodos iterativos que permitem escrever números racionais e raízes quadradas não exatas como uma fração contínua. Neste segundo caso, tal representação pode ser uma fração contínua simples ou não, que permite aproximar o valor da raiz quadrada o quanto quisermos, através de cálculos simples, que podem facilmente ser efetuados por alunos de ensino fundamental e médio. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main goal of this work is to demonstrate the irrationality of several numbers involving non-exact roots and how to represent rational numbers and non-exact square roots in the form of continued fractions. In addition, we present exercises involving these topics, which can be used by secondary school teachers in their classroom. The irrationality of numbers in the form (veja fórmulas no arquivo) will be demonstrated and, using university-level Mathematics, we will prove the irrationality of the expressions (veja fórmulas no arquivo) and of the Euler constant e. Moveover, we will present techniques allowing the construction of other irrational numbers involving non-exact roots related to results obtained in the study of polynomials. We will also see that there are iterative methods that allow us to write rational numbers and non-exact square roots as continued fractions. In the latter case, such representation may be simple or not and it allows us to approximate the value of the square root as much as we wish, using simple calculations, which can be easily done by primary and/or secondary students.

Se da un recuento histórico del último Teorema de Fermat, desde sus orígenes en ternas pitagóricas, el planteamiento de Fermat en el año 1621 sobre la no existencia de números enteros con xn + yn = zn para n > 2, los intentos de demostrarlo a lo largo de la historia, y el logro de A. Wiles al demostrarlo en el año 1994.

Quando tomamos o valor absoluto usual e o completamento de Q em relação à métrica induzida por ele, o resultado é o corpo IR dos números reais; fazendo o mesmo processo com qualquer outro valor absoluto definido em Q, obtemos um dos corpos p-ádicos QP. O propósito deste trabalho é explorar a convergência de séries em QP e em IR, construindo algumas séries de números racionais com propriedades de convergência surpreendentes. Provamos também que é possível construir uma série de números racionais que converge em qualquer completamento de Q para um valor pré-fixado de Q e de R. / When we consider the completion of Q with respect to the usual absolute value we obtain the field of the real numbers R But if we do the same with respect to any other absolute value of Q we obtain the field of the p -adie numbers QP, where p is a prime. In this work we consider the convergence of series in QP and in lR and construct series of racional numbers with amazing convergence properties. We also prove that it is possible to obtain a series of rational numbers that converges in all completions of Q even if we prescribe its sum in each completion.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar a prova de um teorema de James Ax e Simon B. Kochen relacionada com uma conjectura de Artin. A demonstração apresentada usa essencialmente Teoria de Modelos e Teoria de Valorizações. O teorema nos diz que para cada grau dεn* existe uma cota nd tal que, para todo primo p>=nd, cada polinômio homogêneo sobre Qp de grau d em mais de d² variáveis possui uma raiz não trivial no corpo de números p-ádicos Qp. A solução encontrada por Ax e Kochen para a conjectura de Artin é um dos mais importantes exemplos de aplicação de Teoria de Modelos - um ramo da Lógica Matemática - à Álgebra, neste caso, à Teoria de Números. / The present work has objective to present a proof of a theorem due to James Ax and Simon B. Kochen related to an Artin's conjecture. The demonstration shown uses essencially Model Theory and Valuation Theory. The theorem tell us that for each degree dεn* exists a bound nd such that, for all prime p>=nd, each homogeneous polynomial over Qp of degree d in more than d² variables has a non-trivial root in the field of p-adic numbers Qp. The solution found by Ax and Kochen for the Artin's conjecture is one of the most important examples of application of Model Theory - a branche of Mathematical Logic - to Algebra, in this case, to Number Theory.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Submitted by Etelvina Domingos (etelvina.domingos@ufpe.br) on 2015-03-06T19:36:23Z No. of bitstreams: 2 fabio_pereira_lima.pdf: 3336336 bytes, checksum: c5b05c14e17b2bf72e2cfc7d668894b7 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-06T19:36:23Z (GMT). No. of bitstreams: 2 fabio_pereira_lima.pdf: 3336336 bytes, checksum: c5b05c14e17b2bf72e2cfc7d668894b7 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Previous issue date: 2012 / CNPq / Nesta dissertação, faremos uma construção geométrica de soluções de alguns problemas enumerativos, utilizando como base a teoria da deformação e alguns resultados conhecidos da geometria enumerativa para P2. Com tais ferramentas, calcularemos certos números característicos para retas, cônicas, cúbicas reversas e elípticas em P3.

Submitted by Etelvina Domingos (etelvina.domingos@ufpe.br) on 2015-03-10T16:45:51Z No. of bitstreams: 2 fabio_pereira_lima.pdf: 3336336 bytes, checksum: c5b05c14e17b2bf72e2cfc7d668894b7 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-10T16:45:51Z (GMT). No. of bitstreams: 2 fabio_pereira_lima.pdf: 3336336 bytes, checksum: c5b05c14e17b2bf72e2cfc7d668894b7 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Previous issue date: 2012 / CNPq / Nesta dissertação, faremos uma construção geométrica de soluções de alguns problemas enumerativos, utilizando como base a teoria da deformação e alguns resultados conhecidos da geometria enumerativa para P2. Com tais ferramentas, calcularemos certos números característicos para retas, cônicas, cúbicas reversas e elípticas em P3.

Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2018-10-19T18:57:09Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1436117 bytes, checksum: 865539eae3fd2b36ae03f460c3d5e6d5 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-19T18:57:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1436117 bytes, checksum: 865539eae3fd2b36ae03f460c3d5e6d5 (MD5) Previous issue date: 2018-06-29 / O Ensino da Matemática, de acordo com a realidade brasileira, requer uma atenção especial aos conteúdos básicos. Segundo Boulos (2001), “[...]a compreensão de determinadas disciplinas fica prejudicada pela falta de conhecimentos básicos[...]”. Considerando essa idéia, buscou-se, neste trabalho, abordar o estudo dos números racionais no ensino fundamental, destacando, numa linguagem simples, a definição, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão e suas propriedades. Para tanto, o trabalho foi organizado e elaborado em etapas: aplicação de um questionário-diagnóstico a alunos do 5º ano; apresentação dos resultados obtidos; promo ̧cão de oficina de números racionais, por meio do software Geogebra; análise dos resultados da oficina; entrevistas semi-estruturadas com professores de Matemática e sua análise; exposição da abordagem do conjunto dos números racionais em seis livros didáticos e as considerações finais. / The teaching of mathematics, according to the Brazilian reality, requires special attention to the basic contents. According to Boulos (2001) , “[...]the comprehension of certain disciplines is hindered by the lack of basic knowledge[...]”. Considering this idea, this work seeks to approach the study of rational numbers in elementary school, highlighting, in a simple language, the definition of the rational numbers, adding, subtracting, multiplying, dividing and their proprieties. The work has been developed through the stages: an application of a diagnostic-questionnaire on 5th grade students; study of the results; a Workshop of rational numbers, utilizing the Geogebra software; analysis of the results after the application of the workshop; a simple interview with math teachers, about teaching of rational numbers; exposition of the way in which the set of rational numbers is presented in learning books; and final considerations. / Lattes não encontrado.

Orientador: Antonio Jose Engler / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-07-23T04:17:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carvalho_EdsonDonizetede_M.pdf: 1652304 bytes, checksum: b1728435cc6db63fbfebbe9103f5eb8f (MD5) Previous issue date: 1997 / Resumo: No Capítulo 1, vimos os tipo de valorizações de um corpo (arquimediana e não-arquimediana) com destaques para a valorização exponêncial p-ádica e obtemos os corpos dos racionais p-ádicos através do completamento de Q por sequências de Cauchy p-ádicas. No capítulo 2, mostramos que o conjunto de valores, discriminante, e dimensão são invariantes na classe de equivalência de uma forma quadrática e que toda forma quadrática se decompõe como uma soma de formas quadráticas totalmente isotrópica, hiperbólica e anisotrópica. No capítulo 3 usamos o Símbolo de Legendre e a Lei de Reciprocidade Quadrática para determinarmos quando.um elemento de um corpo finito é um quadrado e mostramos que toda forma quadrática sobre corpos finitos com dimensão maior ou igual a 2 é universal e se a dimensco for maior ou igual a 3 será isotrópica. No capítulo 4 mostramos que toda forma quadrática sobre Qp com dimensão maior ou igual a 5 é isotrópica e vimos que condições devemos ter para que uma forma .quadrática independente de sua dimensão seja isotrópica e represente um elemento qualquer no corpo dos racionais p-ádicos. Já no capítulo 5, vimos que discutir. a isotropia de uma forma quadrática sobre Q equivale a verificar se esta mesma forma quadrática vista sobre os completamentos p-ádicos, para todo p(incluindo p = 8) é isotropia, do mesmo modo para um elemento racional seja representado por uma forma quadrática sobre Q, este elemento terá que ser representado por essa mesma forma quadrática visto nos completamentos p-ádicos. E para que duas formas quadráticas sejam equivalentes nos racionais, estas terão que ser equivalentes em cada completamento dos racionais p-ádicos. Por fim, fizemos algumas aplicações do que vimos em nosso trabalho. / Abstract: Not informed / Mestrado / Mestre em Matemática