Mirror symmetry has been a significant area of research for geometry and physics for over two decades. Berglund and Hubsch proposed that for a certain family of singularities W, the so called "transposed" singularity WT should be the mirror partner of W. cite{BH} The techniques for constructing the orbifold LG models to test this conjecture were developed by FJR in cite{FJR} with a cohomological field theory generalized from the study of r-spin curves. The duality of LG A- and B-models became more elaborate when Krawitz cite{Krawitz} generalized the Intriligator-Vafa orbifold B-model to include contributions from more than one sector.This thesis presents a program written in Maple for explicitly computing bases for both LG A- and B-model rings, as well as the correlators for A-models to the extent of current knowledge. Included is a list of observations and conjectures drawn from computations done in the program.

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Der Laplace-Operator auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf kompakte Riemannsche Orbifolds und das Spektrum des so gewonnenen Operators besteht ausschließlich aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Feststellung, dass das Spektrum Informationen über die Geometrie einer Mannigfaltigkeit (oder, allgemeiner, einer Orbifold) enthält, begründete ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Es ist eine offene Frage der sogenannten Spektralgeometrie, ob eine Mannigfaltigkeit und eine singuläre Orbifold isospektral sein (d.h., dasselbe Spektrum mitsamt den Vielfachheiten der Eigenwerte besitzen) können. Angesichts diverser Obstruktionen zur Existenz eines solchen Beispiels für die bekannten Beispiele isospektraler guter Orbifolds, soll diese Arbeit die Spektralgeometrie schlechter Orbifolds erhellen. Zu diesem Zweck geben wir die ersten Beispiele für isospektrale Metriken auf schlechten Orbifolds an. Diese basieren auf bestimmten gewichteten projektiven Räumen, auf denen wir mittels einer Verallgemeinerung von Schüths Version der Torus-Methode nicht-trivial isospektrale Metriken konstruieren. / The Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally generalizes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operator consists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that the spectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more generally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open question of so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can be isospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigenvalues). Given the various obstructions to the existence of such an example for the known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shed light on the spectral geometry of bad orbifolds by giving the first examples of isospectral Riemannian metrics on bad orbifolds. In our case these are particular fixed weighted projective spaces equipped with non-trivially isospectral metrics obtained by a generalization of Schüth''s version of the torus method.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6351.pdf: 10847045 bytes, checksum: 84e1c67621ad67fd0b4c6eaa4342b371 (MD5) Previous issue date: 2014-10-22 / Financiadora de Estudos e Projetos / The purpose of this work is to study the realizability problem of branched coverings between closed, connected and orientable surfaces. For each covering, there exists a set of naturally associated data called branch datum that should satisfy the Riemann-Hurwitz formula. A classical problem (for possibly non-orientable surfaces) asks whether for a branch datum satisfying the condition of Riemann-Hurwitz exists a branched cover between surfaces having it as branch datum. The correct answer is: not always. When a branch datum satisfies the necessary conditions to come from a branched covering, we call it a candidate branched covers ; if indeed it comes from a branched cover we call it realizable and, if not, we call it exceptional. In fact, it is known that exceptions can occur only if the covered surface is the sphere or the projective plane, but the general solution is still unknown. Among the various tools used to attack the problem we will work directly with two of them: the orbifolds and dessins d'enfant. / O objetivo deste trabalho é estudar o problema de realizabilidade de recobrimentos ramificados entre duas superfícies orientáveis, fechadas e conexas. Para cada recobrimento existe um conjunto de dados naturalmente associado chamado dados de ramificação que devem satisfazer a fórmula de Riemann-Hurwitz. Um problema clássico (para superfícies possivelmente não-orientáveis) questiona se, para um dado de ramificação satisfazendo a condição de Riemann-Hurwitz, existe um recobrimento ramificado entre superfícies tendo-o como dado de ramificação. A resposta correta é: nem sempre. Quando um dado de ramificação satisfaz as condições necessárias para vir de um recobrimento ramificado, o chamamos de um candidato a recobrimento ramificado; se de fato ele vier de um recobrimento ramificado o chamamos realizável e, caso contrário, excepcional. De fato, é sabido que exceções podem ocorrer somente se a superfície recoberta é a esfera ou o plano projetivo, mas a solução geral permanece desconhecida. Dentre as diversas ferramentas utilizadas para atacar o problema trabalharemos diretamente com duas delas: os orbifolds e os dessins d'enfant.

<p>Existence of closed geodesics on compact manifolds was first proved by Lyusternik and Fet in the 1950s using Morse theory, and the corresponding problem for orbifolds was studied by Guruprasad and Haefliger, who proved existence of a closed geodesic of positive length in numerous cases. In this thesis, we develop an alternative approach to the problem of existence of closed geodesics on compact orbifolds by studying the geometry of group actions. We give an independent and elementary proof that recovers and extends the results of Guruprasad and Haefliger for developable orbifolds. We show that every compact orbifold of dimension 2, 3, 5 or 7 admits a closed geodesic of positive length, and we give an inductive argument that reduces the existence problem to the case of a compact developable orbifold of even dimension whose singular locus is zero-dimensional and whose orbifold fundamental group is infinite torsion and of odd exponent. Stronger results are obtained under curvature assumptions. For instance, one can show that infinite torsion groups do not act geometrically on simply connected manifolds of nonpositive or nonnegative curvature, and we apply this to prove existence of closed geodesics for compact orbifolds of nonpositive or nonnegative curvature. In the general case, the problem of existence of closed geodesics on compact orbifolds is seen to be intimately related to the group-theoretic question of finite presentability of infinite torsion groups, and we explore these and other properties of the orbifold fundamental group in the last chapter.</p> / Doctor of Philosophy (PhD)

Cette thèse est consacrée à l'étude des théories conformes des champs (CFTs) bidimensionelles et à leur interprétation géométrique, dans le cadre de la théorie bosonique des cordes. Après un premier chapitre introductif, nous construisons des théories conformes ayant pour espaces-cibles des quotients généraux de groupes compacts par des sous-groupes abéliens finis. Plusieurs choix de champs de fond antisymétriques sont possibles, correspondant du côté de la CFT à la torsion discrète. Dans le troisième chapitre, nous ajoutons des cordes ouvertes à ces constructions; nous étudions les états de bord, leur interprétation géométrique en termes de D-branes et montrons comment celles-ci sont stabilisées par le flux du champ de jauge. Le quatrième chapitre développe l'analyse de basse énergie, par le calcul à deux boucles de la fonction beta du champ de jauge, menant à des corrections à l'action de Born-Infeld. Il inclut aussi des resultats sur l'action de BI non-abélienne à cet ordre. Le dernier chapitre contient les conclusions et perspectives.

Cette thèse traite des applications de la Théorie des Cordes aux problèmes de la cosmologie et de la phénoménologie. En particulier, nous étudions des problèmes liés à la description de l'état initial de l'Univers, en utilisant les méthodes perturbatives de la Théorie des Cordes. Après une présentation des outils nécessaires, nous présentons une nouvelle symétrie de dégénérescence spectrale entre les états massifs bosoniques et fermioniques (appelée symétrie MSDS), se trouvant aux points particuliers de l'espace des modules. Nous étudions les déformations marginales des vides MSDS et mettons en évidence leur interprétation thermique, et leur lien avec la résolution des divergences de Hagedorn de la thermodynamique des cordes. L'évolution cosmologique d'un vide thermique bidimensionnel est présentée. On démontre que la prise en compte des tous les degrés de liberté au niveau des cordes mène à l'absence des singularités gravitationnelles, dans un traitement entièrement perturbatif.

We describe a correspondence between two different links associated to the same K3 orbifold. This duality is produced when two elements, one inside and the other on the boundary of the Kähler cone, are identified. We call this correspondence ∂-duality. We also discuss the consequences of ∂-duality at the level of metrics. / Describimos una correspondencia entre dos enlaces asociados a un mismo espacio K3 que soporta a lo más, singularidades cíclicas de tipo orbifold. Esta dualidad se hace evidente cuando dos elementos, uno en el interior y el otro en la frontera del cono de Kähler, son identificados. Denominamos a esta correspondencia ∂-dualidad. También discutimos las consecuencias de ∂-dualidad al nivel de estructuras riemaniannas.

In this thesis, compactifications of F-theory on six dimensional symmetric toroidalorbifolds are explored. These orbifold geometries have been mathematically classified and it is natural to ask what the physical implications of string theorycompactifications on those geometries are. Since compactifications of string theory to six dimensions describe a sweet spot in terms of developed methods andrich model-building possibilities, it is interesting to investigate the landscape ofthese theories opposed to the swampland of only apparently consistent quantumtheories of gravity. Additionally, superconformal field theories can exist in at mostsix dimensions. These emerge naturally in the considered F-theory constructions. The present work explores effects of compactifications on such orbifolds buildingon the work of [arXiv:1905.00116v1 [hep-th]]. It constitutes a step towards extendingthe geometric classification of these orbifolds to a classification of the physical models. Beyond [arXiv:1905.00116v1 [hep-th]], roto-translations have severe effects on thegeometry and thus the field theory and the spectrum. These effects are discussedin this thesis and include, amongst others, twisted affine folding of gauge groups, the emergence of superconformal points away from intersecting branes as well assuperconformal sectors related to the multiple fibre. / In dieser Thesis werden Kompaktifizierungen von F-Theorie auf sechs dimensionalen symmetrischen, toroidalen Orbifaltigkeiten untersucht. Da diese Orbifaltigkeiten mathematisch klassifiziert wurden, stellt sich auf natürliche Weisedie Frage nach den physikalischen Implikationen von Kompaktifizierungen vonString Theorie auf diesen. In Kompaktifizierungen von String Theorie zu sechs Dimensionen balancieren sich der Fortschritt der Methoden und die Möglichkeitenphysikalische Theorien zu modellieren optimal. Daher ist es wichtig das "Landscape" dieser Theorien zu untersuchen, im Gegensatz zu dem so genannten "Swampland" von vermeintlich konsistenten Quantentheorien der Gravitation. Darüber hinaus stellt sich heraus, dass superkonforme Feldtheorien höchstens insechs Dimensionen existieren können. Die vorliegende Arbeit erkundet die Effekte von Kompaktifizierungen auf solchen Orbifaltigkeiten aufbauend auf der Arbeit von [arXiv:1905.00116v1 [hep-th]]. Sie stellt einen wichtigen Schritt dar auf dem Weg zu einer Ausweitung der geometrischen Klassifikation dieser Orbifaltigkeiten zu einer Klassifikation der physikalischen Modelle. Über [arXiv:1905.00116v1 [hep-th]] hinaus resultieren Roto-Translationen in Effekten auf die Feldtheorie sowie deren Spektrum. Diese Effekte werden in dieser Thesis diskutiert. Beispiele reichen von getwisteten affinen Faltungen von Eichgruppen, zu dem Auftreten von superkonformen Punkten ohne sich schneidende Branen und superkonforme Sektoren in Verbindung mit dem "mehrfach Faser"-Phänomen. / <p>This thesis was conducted under the regulations of Heidelberg University under the joint supervision of Professor Luca Amendola (University of Heidelberg) and Assistant Professor Magdalena Larfors (Uppsala University) during a one-year ERASMUS-exchange.</p>

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Spektralinvarianten von Polygonen und geschlossenen Orbiflächen konstanter Gaußkrümmung. Unsere Methode ist es jeweils den Wärmeleitungskern und die asymptotische Entwicklung der Wärmespur zu untersuchen. Als erstes untersuchen wir hyperbolische Polygone, d.h. relativ kompakte Gebiete in der hyperbolischen Ebene mit stückweise geodätischem Rand. Wir berechnen die asymptotische Entwicklung der Wärmespur bezüglich des Dirichlet-Laplace Operators eines beliebigen hyperbolischen Polygons, und wir erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Analoge Resultate für euklidische und sphärische Polygone waren vorher bekannt. Wir vereinheitlichen diese Resultate und leiten die Wärmeinvarianten für beliebige Polygone her, d.h. für relativ kompakte Gebiete mit stückweise geodätischem Rand in einer vollständigen Riemann'schen Mannigfaltigkeit konstanter Gaußkrümmung. Es stellt sich heraus, dass die Wärmeinvarianten viele Informationen über ein Polygon liefern, falls die Krümmung nicht verschwindet. Zum Beispiel sind dann die Multimenge aller echten Winkel (d.h. derjenigen Winkel die ungleich Pi sind) und die Euler-Charakteristik eines Polygons Spektralinvarianten. Außerdem berechnen wir die asymptotische Entwicklung der Wärmespur von geschlossenen Riemann'schen Orbiflächen konstanter Krümmung und erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Falls die Krümmung nicht verschwindet, so kann man interessante Informationen aus den Wärmeinvarianten über die Topologie und die singuläre Menge einer Orbifläche ermitteln. / In this thesis we deal with spectral invariants for polygons and closed orbisurfaces of constant Gaussian curvature. In each case our method is to study the heat kernel and the asymptotic expansion of the heat trace. First, we investigate hyperbolic polygons, i.e. relatively compact domains in the hyperbolic plane with piecewise geodesic boundary. We compute the asymptotic expansion of the heat trace associated to the Dirichlet Laplacian of any hyperbolic polygon, and we obtain explicit formulas for all heat invariants. Analogous results for Euclidean and spherical polygons were known before. We unify these results and deduce the heat invariants for arbitrary polygons, i.e. for relatively compact domains with piecewise geodesic boundary contained in a complete Riemannian manifold of constant Gaussian curvature. It turns out that the heat invariants provide much information about a polygon, if the curvature does not vanish. For example, then the multiset of all real angles (i.e. those which are not equal to pi) and the Euler characteristic of a polygon are spectral invariants. Furthermore, we compute the asymptotic expansion of the heat trace for any closed Riemannian orbisurface of constant curvature, and obtain explicit formulas for all heat invariants. If the curvature does not vanish, then it is possible to detect interesting information about the topology and the singular set of an orbisurface from the heat invariants.