La quantification et la propagation des incertitudes dans les modèles physiques apparaissent comme des voies essentielles vers l'amélioration de la prédiction de leur réponse. Le développement d'outils de modélisation des incertitudes et d'estimation de leur impact sur la réponse d'un modèle a constitué un axe de recherche privilégié dans de nombreux domaines scientifiques. Cette dernière décennie, un intérêt croissant a été porté à des méthodes numériques basées sur une vision fonctionnelle des incertitudes. Ces méthodes, couramment baptisées ``méthodes spectrales stochastiques'', sont issues d'un mariage fructueux de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités.<br /><br />Reposant sur des bases mathématiques fortes, les méthodes spectrales de type Galerkin semblent constituer une voie prometteuse pour l'obtention de prédictions numériques fiables de la réponse de modèles régis par des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Plusieurs inconvénients freinent cependant l'utilisation de ces techniques et leur transfert vers des applications de grande taille : le temps de calcul, les capacités de stockage mémoire requises et le caractère ``intrusif'', nécessitant une bonne connaissance des équations régissant le modèle et l'élaboration de solveurs spécifiques à une classe de problèmes donnée. Un premier volet de mes travaux de recherche a consisté à proposer une stratégie de résolution alternative tentant de lever ces inconvénients. L'approche proposée, baptisée méthode de décomposition spectrale généralisée, s'apparente à une technique de réduction de modèle a priori. Elle consiste à rechercher une décomposition spectrale optimale de la solution sur une base réduite de fonctions, sans connaître la solution a priori. <br /><br />Un deuxième volet de mes activités a porté sur le développement d'une méthode de résolution d'EDPS pour le cas où l'aléa porte sur la géométrie. Dans le cadre des approches spectrales stochastiques, le traitement d'aléa sur l'opérateur et le second membre est en effet un aspect aujourd'hui bien maîtrisé. Par contre, le traitement de géométrie aléatoire reste un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications. Mes travaux ont consisté à proposer une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. L'avantage principal de cette approche est qu'elle permet de traiter le cas de géométries aléatoires complexes, tout en évitant les problèmes liés au maillage et à la construction d'espaces d'approximation conformes.<br /><br />Ces deux premiers volets ne concernent que l'étape de prédiction numérique, ou de propagation des incertitudes. Mes activités de recherche apportent également quelques contributions à l'étape amont de quantification des incertitudes à partir de mesures ou d'observations. Elles s'insèrent dans le cadre de récentes techniques de représentation fonctionnelle des incertitudes. Mes contributions ont notamment porté sur le développement d'algorithmes efficaces pour le calcul de ces représentations. En particulier, ces travaux ont permis la mise au point d'une méthode d'identification de géométrie aléatoire à partir d'images, fournissant une description des aléas géométriques adaptée à la simulation numérique. Une autre contribution porte sur l'identification de lois multi-modales par une technique de représentation fonctionnelle adaptée.

Nous nous intéressons d'abord à l'équation aux dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en dimension 1 avec une seule singularité. C'est une équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de type logarithmique ou en puissance négative $x^{-\alpha}$, à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des solutions en utilisant les solutions d'équations approchées aux non linéarités Lipschitz. La présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide des mesures de Revuz associées et, grâce à une formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont identiquement nulles lorsque alpha est plus grand ou égal à 3. Dans un deuxième temps, on considère la même équation mais avec deux singularités logarithmiques en +1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations approchées aux non linéarités polynomiales pour montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est ergodique. Enfin, on étudie l'équation déterministe : des simulations numériques basées sur une méthode d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces et des états stationnaires requiert une attention particulière. On s'intéressera également aux bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien sur des domaines généraux. Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre en évidence les instants de contact avec les singularités, les évolutions stochastiques en temps long et les changements d'états stationnaires.

L'étude de la propagation de la lumière dans les fibres optiques monomodes requiert la prise en compte de plusieurs phénomènes compliqués tels que la dispersion modale de polarisation et l'effet Kerr. Il s'est avéré que l'évolution de l'enveloppe lentement variable du champ électrique est bien décrite par un système couplé d'équations de Schrödinger non linéaires à coefficients aléatoires : l'équation de Manakov PMD. Cette équation fait intervenir différentes échelles dont le ratio est donné par un petit paramètre. La première partie de ce travail consiste à étudier le comportement asymptotique de la solution de l'équation de Manakov PMD lorsque ce petit paramètre tend vers zéro. En généralisant la théorie de l'Approximation-Diffusion au cadre de la dimension infinie, on a montré que la dynamique asymptotique est donnée par une équation aux dérivées partielles stochastiques dirigée par un mouvement brownien de dimension trois. Dans une seconde partie, nous proposons un schéma de différences finies de type Crank Nicolson pour cette équation pour lequel nous obtenons un ordre de convergence en probabilité d'ordre 1/2. La discrétisation du bruit doit être implicite afin d'obtenir un schéma conservatif et stable. Enfin la dernière partie est relative à la simulation numérique de la dispersion modale de polarisation et à ses effets sur la propagation et la collision de solitons de Manakov. Dans ce cadre, on propose une méthode de réduction de variance valable pour les équations aux dérivées partielles stochastiques.

Ce travail, à la frontière de l’analyse et des probabilités, s’intéresse à l’étude de systèmes différentiels a priori mal posés. Nous cherchons, grâce à des techniques issues de la théorie des chemins rugueux et de l’étude trajectorielle des processus stochastiques, à donner un sens à de tels systèmes puis à les résoudre, tout en montrant que les notions proposées ici étendent bien les notions classiques de solutions. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier traite des systèmes différentiels ordinaires perturbés additivement par des processus irréguliers éventuellement stochastiques ainsi que des effets de régularisation de tels processus. Le deuxième chapitre concerne l’équation de transport linéaire perturbée multiplicativement par des chemins rugueux ; enfin, le dernier chapitre s’intéresse à une équation de la chaleur non linéaire perturbée par un bruit blanc espace-temps, l’équation de quantisation stochastique phi4 en dimension 3. / In this work we investigate a priori ill-posed differential systems from an analytic and probabilistic point of view. Thanks to technics inspired by the rough path theory and pathwise study of stochastic processes, we want to define those ill-posed systems and then study them. The first chapter of this thesis is related to ordinary differential equations perturbed by some irregular (stochastic) processes and the effects induced by the regularization of such processes. The second chapter deals with the linear transport equation multiplicatively perturbed by a rough path. Finally, in the last chapter we investigate the stochastic quantization equation Phi4 in three dimensions.

Cette thèse a pour objet la simulation d'une zone de mélange turbulente issue de l'instabilité de Richtmyer-Meshkov à l'aide d'un modèle à fonction de densité de probabilité (PDF). Nous analysons plus particulièrement la prise en charge par le modèle PDF du transport de l'énergie cinétique turbulente dans la zone de mélange.Dans cette optique, nous commençons par mettre en avant le lien existant entre les statistiques en un point de l'écoulement et ses conditions initiales aux grandes échelles. Ce lien s'exprime à travers le principe de permanence des grandes échelles, et permet d'établir des prédictions pour certaines grandeurs de la zone de mélange, telles que son taux de croissance ou son anisotropie.Nous dérivons ensuite un modèle PDF de Langevin capable de restituer cette dépendance aux conditions initiales. Ce modèle est ensuite validé en le comparant à des résultats issus de simulations aux grandes échelles (LES).Enfin, une analyse asymptotique du modèle proposé permet d'éclairer notre compréhension du transport turbulent. Un régime de diffusion est mis en évidence, et l'expression du coefficient de diffusion associé à ce régime atteste l'influence de la permanence des grandes échelles sur le transport turbulent.Tout au long de cette thèse, nous nous sommes appuyés sur des résultats issus de simulations de Monte Carlo du modèle de Langevin. A cet effet, nous avons développé une méthode spécifique eulérienne et à l'avons comparé à des alternatives lagrangiennes. / The aim of the thesis is to simulate a turbulent mixing zone resulting from the Richtmyer-Meshkov instability using a probability density function (PDF) model. An emphasis is put on the analysis of the turbulent kinetic energy transport.To this end, we first highlight the link existing between the one-point statistics of the flow and its initial conditions at large scales. This link is expressed through the principle of permanence of large eddies, and allows to establish predictions for quantities of the mixing zone, such as its growth rate or its anisotropy.We then derive a Langevin PDF model which is able to reproduce this dependency of the statistics on the initial conditions. This model is then validated by comparing it against large eddy simulations (LES).Finally, an asymptotic analysis of the derived model helps to improve our understanding of the turbulent transport. A diffusion regime is identified, and the expression of the diffusion coefficient associated with this regime confirms the influence of the permanence of large eddies on the turbulent transport.Throughout this thesis, our numerical results were based on Monte Carlo simulations for the Langevin model. In this regard, we proceeded to the development of a specific Eulerian method and its comparison with Lagrangian counterparts.

Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solution / This thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

Ce travail présente quelques résultats concernant le comportement en temps fini et en temps long de méthodes numériques pour des équations stochastiques. On s'intéresse d'abord aux équations différentielles stochastiques de Langevin et de Langevin amorti. On montre un résultat concernant l'analyse d'erreur faible rétrograde de ses équations par des schémas numériques implicites. En particulier, on montre que l'erreur entre le générateur associé au schéma numérique et la solution d'une équation de Kolmogorov modifiée est d'ordre élevé par rapport au pas de discrétisation. On montre aussi que la dynamique associée au schéma numérique est exponentiellement mélangeante. Dans un deuxième temps, on étudie le comportement en temps long d'une discrétisation en temps et en espace d'une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif, qui possède une unique mesure invariante . On considère une discrétisation en temps par un schéma d'Euler et en espace par une méthode des éléments finis. On montre que la moyenne, par rapport aux lois invariantes (qui n'est pas forcément unique) associées à l'approximation, par des fonctions tests suffisamment régulières est proche de la quantité correspondante pour . Plus précisément, on étudie la vitesse de convergence par rapport aux différents paramètres de discrétisation. Enfin, on s'intéresse à une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif dont le terme non-linéaire est un polynôme. On étudie la convergence au sens faible d'une approximation en temps par un schéma de splitting implicite.

L’objectif de cette thèse est l’étude d’un schéma numérique pour l’approximation des solutions d’équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR). Durant les deux dernières décennies, plusieurs méthodes ont été proposées afin de permettre la résolution numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades standards. Dans cette thèse, on propose une extension de l’une de ces méthodes au cas doublement stochastique. Notre méthode numérique nous permet d’attaquer une large gamme d’équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) nonlinéaires. Ceci est possible par le biais de leur représentation probabiliste en termes d’EDDSRs. Dans la dernière partie, nous étudions une nouvelle méthode des particules dans le cadre des études de protection en neutroniques. / The purpose of this thesis is to study a numerical method for backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs in short). In the last two decades, several methods were proposed to approximate solutions of standard backward stochastic differential equations. In this thesis, we propose an extension of one of these methods to the doubly stochastic framework. Our numerical method allows us to tackle a large class of nonlinear stochastic partial differential equations (SPDEs in short), thanks to their probabilistic interpretation. In the last part, we study a new particle method in the context of shielding studies.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective. / The objective of this thesis is to study the probabilistic representation (Feynman-Kac for- mula) of different classes ofStochastic Nonlinear PDEs (semilinear, fully nonlinear, reflected in a domain) by means of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs). This thesis contains four different parts. We deal in the first part with the second order BDS- DEs (2BDSDEs). We show the existence and uniqueness of solutions of 2BDSDEs using quasi sure stochastic control technics. The main motivation of this study is the probabilistic representation for solution of fully nonlinear SPDEs. First, under regularity assumptions on the coefficients, we give a Feynman-Kac formula for classical solution of fully nonlinear SPDEs and we generalize the work of Soner, Touzi and Zhang (2010-2012) for deterministic fully nonlinear PDE. Then, under weaker assumptions on the coefficients, we prove the probabilistic representation for stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs. In the second part, we study the Sobolev solution of obstacle problem for partial integro-differentialequations (PIDEs). Specifically, we show the Feynman-Kac formula for PIDEs via reflected backward stochastic differentialequations with jumps (BSDEs). Specifically, we establish the existence and uniqueness of the solution of the obstacle problem, which is regarded as a pair consisting of the solution and the measure of reflection. The approach is based on stochastic flow technics developed in Bally and Matoussi (2001) but the proofs are more technical. In the third part, we discuss the existence and uniqueness for RBDSDEs in a convex domain D without any regularity condition on the boundary. In addition, using the approach based on the technics of stochastic flow we provide the probabilistic interpretation of Sobolev solution of a class of reflected SPDEs in a convex domain via RBDSDEs. Finally, we are interested in the numerical solution of BDSDEs with random terminal time. The main motivation is to give a probabilistic representation of Sobolev solution of semilinear SPDEs with Dirichlet null condition. In this part, we study the strong approximation of this class of BDSDEs when the random terminal time is the first exit time of an SDE from a cylindrical domain. Thus, we give bounds for the discrete-time approximation error.. We conclude this part with numerical tests showing that this approach is effective.