The discourse presented here is aimed at examining the justification of applications of current analysis to real world problems.

This work focusses on analysing the stability of the MSFR – a molten salt reactor with a fast neutron spectrum. The investigations are based on a model, which was published and studied by the Politecnico di Milano using a linear approach. Since linear methods can only provide stability information to a limited extent, this work continues the conducted investigations by applying nonlinear methods. In order to examine the specified reactor model, the system equations were implemented, adjusted and verified using MATLAB code. With the help of the computational tool MatCont, a so-called fixed-point solution was tracked and its stability monitored during the variation of selected control parameters. It was found that the considered fixed point does not change its stability state and remains stable. Coexisting fixed points or periodic solutions could not be detected. Therefore, the analysed MSFR model is considered to be a stable system, in which the solutions always tend towards a steady state.:1. Introduction 2. Molten Salt Reactor Technology 2.1. Introduction 2.2. Historical Development 2.3. Working Principle of Molten Salt Reactors 2.4. Molten Salt Coolants 2.5. Advantages and Drawbacks 2.6. Classification 2.7. Molten Salt Fast Reactor Design 3. Stability Characteristics of Dynamical Systems 3.1. Introduction 3.2. Dynamical Systems 3.3. Stability Concepts 3.3.1. Introduction 3.3.2. Lagrange Stability (Bounded Stability) 3.3.3. Lyapunov Stability 3.3.4. Poincaré Stability (Orbital Stability) 3.4. Fixed-Point Solutions 3.4.1. Stability Analysis of Fixed-Point Solutions 3.4.2. Bifurcations of Fixed-Point Solutions 3.5. Periodic Solutions 3.5.1. Stability Analysis of Periodic Solutions 3.5.2. Bifurcations of Periodic Solutions 4. Analysed Reactor System 4.1. Introduction 4.2. Specified Reactor Model 4.3. Implementation and Verification of the Linearised System of Equations 4.3.1. Linearised System of Delayed Differential Equations 4.3.2. Comparison with Reference Plots 4.3.3. Adaptation of Parameter Values 4.4. Implementation and Verification of the Nonlinear System of Equations 4.4.1. Nonlinear System of Delayed Differential Equations 4.4.2. Delayed Neutron Precursor Equation Adjustments 4.4.3. Salt Temperature Equation Adjustments 4.4.4. Nonlinear System of Ordinary Differential Equations 4.4.5. Verification of the Nonlinear System of Ordinary Differential Equations 5. Conducted Stability Analyses 5.1. Introduction 5.2. Nonlinear Stability Analysis 5.2.1. Implementation 5.2.2. Results 5.2.3. Interpretation 5.3. Linear Stability Analysis 5.3.1. Comparison Between the Linearised and Nonlinearised MSFR System of Equations 5.3.2. Stability Investigations Using a Linear Criterion 5.4. MatCont Reliability Test Using an MSBR Model 6. Conclusions and Recommendations for Future Studies / Im Fokus dieser Arbeit steht die Stabilitätsanalyse des MSFR – eines Flüssigsalzreaktors mit schnellem Neutronenspektrum. Als Grundlage wurde ein Modell verwendet, das am Politecnico di Milano erstellt und dort mittels linearer Methoden untersucht wurde. Da lineare Betrachtungen nur eingeschränkte Stabilitätsaussagen treffen können, erweitert diese Arbeit die Untersuchungen um die nichtlineare Stabilitätsanalyse. Zur Untersuchung des vorgegebenen Reaktormodells wurden die Systemgleichungen in MATLAB übertragen und verifiziert. Mithilfe der Rechensoftware MatCont wurde eine sogenannten Fixpunkt-Lösung des Modells unter der Variation ausgewählter Parameter verfolgt und deren Stabilität überprüft. Es hat sich gezeigt, dass der betrachtete Fixpunkt seinen Stabilitätszustand dabei nicht verändert und stabil bleibt. Koexistierende Fixpunkte oder periodische Lösungen konnten nicht nachgewiesen werden. Daher gilt das betrachtete MSFR-Modell als ein stabiles System, dessen Lösungen immer auf einen stationären Zustand zulaufen.:1. Introduction 2. Molten Salt Reactor Technology 2.1. Introduction 2.2. Historical Development 2.3. Working Principle of Molten Salt Reactors 2.4. Molten Salt Coolants 2.5. Advantages and Drawbacks 2.6. Classification 2.7. Molten Salt Fast Reactor Design 3. Stability Characteristics of Dynamical Systems 3.1. Introduction 3.2. Dynamical Systems 3.3. Stability Concepts 3.3.1. Introduction 3.3.2. Lagrange Stability (Bounded Stability) 3.3.3. Lyapunov Stability 3.3.4. Poincaré Stability (Orbital Stability) 3.4. Fixed-Point Solutions 3.4.1. Stability Analysis of Fixed-Point Solutions 3.4.2. Bifurcations of Fixed-Point Solutions 3.5. Periodic Solutions 3.5.1. Stability Analysis of Periodic Solutions 3.5.2. Bifurcations of Periodic Solutions 4. Analysed Reactor System 4.1. Introduction 4.2. Specified Reactor Model 4.3. Implementation and Verification of the Linearised System of Equations 4.3.1. Linearised System of Delayed Differential Equations 4.3.2. Comparison with Reference Plots 4.3.3. Adaptation of Parameter Values 4.4. Implementation and Verification of the Nonlinear System of Equations 4.4.1. Nonlinear System of Delayed Differential Equations 4.4.2. Delayed Neutron Precursor Equation Adjustments 4.4.3. Salt Temperature Equation Adjustments 4.4.4. Nonlinear System of Ordinary Differential Equations 4.4.5. Verification of the Nonlinear System of Ordinary Differential Equations 5. Conducted Stability Analyses 5.1. Introduction 5.2. Nonlinear Stability Analysis 5.2.1. Implementation 5.2.2. Results 5.2.3. Interpretation 5.3. Linear Stability Analysis 5.3.1. Comparison Between the Linearised and Nonlinearised MSFR System of Equations 5.3.2. Stability Investigations Using a Linear Criterion 5.4. MatCont Reliability Test Using an MSBR Model 6. Conclusions and Recommendations for Future Studies

We give a short introduction to various concepts related to the theory of p-harmonic functions on Rn, and some modern generalizations of these concepts to general metric spaces. The article Björn-Björn-Lehrbäck [6] serves as the starting point of our discussion. In [6], among other things, estimates of the variational capacity for thin annuli in metric spaces are given under the assumptions of a Poincaré inequality and an annular decay property. Most of the parameters in the various results of the article are proven to be sharp by counterexamples at the end of the article. The main result of this thesis is the verification of the sharpness of a parameter. At the center of our discussion will be a concrete metric subspace of weighted Rn, namely the so-called weighted bow-tie, where the weight function is assumed to be radial. A similar space was used in [6] to verify the sharpness of several parameters. We show that under the assumption that the variational p-capacity is nonzero for any ball centered at the origin, the p-Poincaré inequality holds in Rn if and only if it holds on the corresponding bow-tie Finally, we consider a concrete weight function, show that it is a Muckenhoupt A1 weight, and use this to construct a counterexample establishing the sharpness of the parameter in the above mentioned result from [6].

Le comportement polarimétrique d'un champ électromagnétique diffracté par un cible localisée à l'interface air-sol est analysée pour une onde incidente variant de l'incidence normale à l'incidence rasante.<br />Le champ rétrodiffusé dans le cas monostatique est analysé au moyen de la théorie géométrique de la diffraction (G.T.D) ou la méthode étalon. Dans cette thèse, un modèle de rayon précis a été implémenté. Une attention toute particulière a été portée aux zones de transition, où proches de telles frontières d'ombre, les rayons réfléchis disparaissent et se transforment en rayons rampants sur la cible et sont fortement atténués dans la zone d'ombre. Les études ont montré que les éléments de la matrice de Sinclair [S] et les états de polarisation caractéristiques associés présentent une variation rapide sur la sphère de Poincaré. Les localisations significatives sur la sphère de Poincaré peuvent être exploitées afin d'extraire l'information sur les paramètres géométriques ou les propriétés géophysiques de l'environnement.

Qu'est-ce qu'un cas particulier ? Comment un mathématicien peut-il dire qu'un phénomène est «exceptionnel» et ne se produit pas «en général» ? Ces questions sont abordées dans cette thèse sous un angle historique, à partir d'un corpus de textes de Poincaré constitué autour de trois pôles: son étude des points singuliers des équations différentielles (1881), son travail sur le théorème (1889, 1890, 1891), et son mémoire sur les géodésiques des surfaces convexes (1905). Je me suis intéressée à ce que Poincaré désigne comme cas particuliers, comme exceptions, aux moyens qu'il met en oeuvre pour les étudier et les caractériser, à la place qu'il leur donne.<br /><br />La nature de cette problématique m'a amenée à développer une méthode particulière de travail historique, centrée sur une exploitation systématique des textes en tant que textes, et non simplement comme véhiculant des résultats mathématiques. J'ai examiné les formes textuelles élaborées pour énoncer et démontrer les résultats visés, la terminologie employée, les rapports établis par l'auteur entre différents résultats. Cette analyse minutieuse des textes apporte un nouvel éclairage sur des sources qui avaient, pour certaines, déjà fait l'objet d'une étude historique. De plus, en permettant de décrire des méthodes de travail de Poincaré touchant à la question du général, elle fait apparaître certains traits caractéristiques de sa démarche de mathématicien.

Dans cette thèse nous nous intéressons à des inégalités fonctionnelles comme les inégalités de Poincaré, Sobolev logarithmique, Sobolev, et celles appelées inégalités de transport. Dans un premier temps, nous étudions les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique pour des modèles de mécanique statistique. Cette étude nous permet de donner une nouvelle classe de phases telle que les mesures de Gibbs associées satisfassent à ces deux inégalités. Nous étudions dans un second temps, les inégalités de Sobolev logarithmique et de Sobolev par le biais des équations de Hamilton-Jacobi. Nous montrons, de la même façon que Gross en 1975 pour les semi-groupes de diffusion, l'équivalence entre l'inégalité de Sobolev logarithmique et l'hypercontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Cette équivalence permet de montrer, par une nouvelle méthode que celle utilisée par Otto et Villani, que l'inégalité de Sobolev logarithmique implique une inégalité de transport quadratique. De la même manière que Varopoulos en 1985 pour les semi-groupes de diffusion, nous donnons le lien entre l'inégalité de Sobolev et l'ultracontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Pour finir nous étudions les inégalités de transport dans un cadre général. Cette étude permet d'une part de donner le lien entre des inégalités de Sobolev logarithmiques modifiées et des inégalités de transport particulières et d'autre part de donner un exemple d'inégalité de transport quadratique pour une mesure en dimension infinie, la mesure de Wiener.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité robuste de lois de commande de systèmes non linéaires. La première partie s'intéresse aux systèmes non linéaires entrée-sortie linéarisés et découplés par bouclage statique. Nous rappelons la définition de l'immersion d'un système entrée-sortie et nous distinguons deux cas: l'immersion est localement bijective, les résultats de stabilité et de robustesse se ramènent au cas linéaire là où la loi de bouclage ne présente pas de singularité ; l'immersion n'est pas bijective. Dans ce cas, la loi de bouclage a rendu une partie de la dynamique inobservable, la dynamique des zéros. Nous donnons une définition de la stabilité moins restrictive que la stabilité asymptotique, la K-stabilité, et nous donnons deux conditions nécessaires de K-stabilité, l'une étant de nature topologique et utilisant la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sous-variété asymptotique inobservable. La seconde partie est consacrée à l'étude de la linéarisation totale des systèmes non linéaires entrée-état par bouclage dynamique. Nous montrons d'abord que pour les systèmes mono-entrée, la linéarisation par bouclage dynamique est équivalente à la linéarisation par bouclage statique. Nous donnons ensuite une condition nécessaire triviale de linéarisation par bouclage dynamique. Nous montrons que cette condition est suffisante pour les systèmes ayant une dimension de plus que de com- mande. Puis nous donnons des conditions suffisantes de linéarisation totale par bouclage dynamique pour les systèmes non linéaires multi-entrée. Des exemples, dont un tiré de l'aéronautique, nous montrent comment mettre en œuvre ces conditions.

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Esta dissertação traz ideias para a inserção de novos conteúdos na matemática escolar. Ela trata da exploração de geometrias não-euclidianas, através de dois ambientes de geometria dinâmica, o "Spherical Easel” e o "Disco de Poincaré". O primeiro é um software livre e o segundo foi desenvolvido utilizando-se o recurso de macro-construção do GeoGebra. Na concepção das atividades tratamos as idéias que correspondem ao mundo não-euclidiano fazendo comparações com aquelas que fazem parte da geometria euclidiana e para cada atividade há um comentário que explica a sua intenção de aprendizagem. É a partir de considerações teóricas sobre a natureza da geometria e sua evolução histórica, bem como sobre o processo de aprendizagem da geometria, que é feita a apresentação da proposta. / This dissertation brings ideas to the inclusion of new contents in school mathematics. They are related to the exploitation of non-Euclidean geometries through two dynamic geometry environments, the "Spherical Easel" and the "Poincaré Disk". The first one is a free software and the second one was developed using the GeoGebra macro-construction. In the design of the activities the approach of ideas that correspond to non-euclidian worlds was made through comparison with the euclidian world and for each activity there is a comment that explain its learning objective. The proposal is supported by theoretical considerations about the nature of geometry and its historical evolution, as well as about the geometry learning process.