El objetivo fundamental de este trabajo ha sido el estudio del sistema fundamental de paralelos de un cuerpo convexo (conjunto compacto y convexo) en el espacio euclídeo n-dimensional. Se ha llevado a cabo siguiendo tres líneas diferentes: el estudio del polinomio de Steiner y el polinomio alternado Steiner desde el punto de vista algebraico de sus raíces y la conjetura de Matheron; el estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales asociadas al cuerpo con respecto al parámetro de definición del sistema completo de paralelos y, por último, el estudio de las quermassintegrales del cuerpo desde el punto de vista analítico proporcionado por la identificación del cuerpo convexo con su función soporte, las propiedades de ésta cuando el cuerpo es suficientemente suave y la desigualdad de Brunn-Minkowski. / The aim of this work consists on studying the full system of parallel bodies of a convex body (compact and convex set) in the n-dimensional Euclidean space. It has been carried out following three different lines of work: the study of the Steiner polynomial and the alternating Steiner polynomial from the algebraic point of view of its roots; the study of the differentiability of the quermassintegrals associated to the convex body with respect to the parameter that defines the full system of parallel bodies and finally, the study of the quermassintegrals from the analytical point of view provided by the identification of a convex body with its support function, the properties of this function when the body is smooth enough and the Brunn-Minkowski inequality

La somme romanesque que représente À la recherche du temps perdu se constitue au prix d’une « recherche » qui est à prendre au pied de la lettre, et qui instaure le sujet connaissant en savant-chercheur face à son objet de savoir. Proust fait en effet du « savoir » la condition même du talent, et fait entreprendre à son héros une exploration qui se présente en priorité comme étant une quête de savoirs. Ce travail se situe dans le sillage de l’épistémocritique qui étudie l’inscription dans le texte littéraire des savoirs en général, tout en insistant sur les savoirs qui relèvent de la science. Notre but est de dégager la posture épistémique qui caractérise le narrateur de la Recherche face aux divers savoirs qu’il récolte au cours de ses observations. Le parcours cognitif du narrateur est examiné suivant les quatre grandes étapes de sa recherche, que nous redéfinissons en termes de paradigmes : le paradigme de l’Exploration, qui définit une « épistémologie de l’observateur » ; le paradigme de la Communication, qui définit une « épistémologie de l’homme social » et une « épistémologie de l’homme moderne » ; le paradigme de l’Introspection, qui prépare à l’élaboration d’une « épistémologie du personnage intérieur » ; et enfin, le paradigme de la Vocation, qui rassemble les réponses trouvées par le narrateur à la plupart des questionnements qui auront jalonné son parcours cognitif. Ce dernier paradigme se présente sous la forme d’une « épistémologie de la création », d’une « épistémologie du réel » et d’une « épistémologie du hasard ». Car en dépit d’une démarche qui apparaît soumise aux médiations culturelles, la recherche du héros proustien se présente comme une « pensée de l’imprévisible » : fortement déterminée par la recherche cognitive du protagoniste, elle demeure pourtant irréductible à cette seule recherche. Nous dégageons, pour terminer, le statut réservé à la science et aux savoirs positifs en regard de la découverte de la vocation, mais aussi par rapport à l’élaboration d’une théorie de la création littéraire : ces deux grands domaines du savoir sont-ils considérés par Proust comme inconciliables avec une priorité évidente de l’un sur l’autre ou, au contraire, participent-ils tous deux d’une manière égale à la connaissance et à la création artistique ? / The comprehensive novelistic survey presented by À la recherche du temps perdu is worth a research to be taken literally and establishes the knowledgeable subject as a scholar-researcher against his object of knowledge. Proust makes of “knowledge” the condition of talent and engages his hero in an exploration that presents itself as a priority for being a quest for knowledge. The present essay follows in the wake of Epistemocritique, a discipline that studies the inscription of knowledge in the literary text in general, with a specific focus on knowledge related to science. Our aim is to bring forward the epistemic position that characterizes the narrator of À la recherche du temps perdu as he acquires various forms of knowledge in the course of his observations. The narrator’s cognitive path is examined with regard to the four main pillars of his quest, which we redefine in terms of paradigms: the paradigm of exploration, which defines an “epistemology of the observer”; the paradigm of communication, which defines an “epistemology of the social being”; the paradigm of Introspection which prepares for the elaboration of an “epistemology of the internal character”; and finally, the paradigm of vocation, which combines the answers to most of the questions that have marked the narrator’s cognitive path. This last paradigm presents itself as an “epistemology of creation”, an “epistemology of reality”, and an “epistemology of chance”. For, in spite of an approach that appears to be subject to cultural interventions, the quest by Proust’s main character appears as a thought of the unpredictable. Although strongly determined by the cognitive quest of the protagonist, it nevertheless remains irreducible to this sole quest. In conclusion, we emphasize the status reserved to science and to positive knowledge from the perspective of the discovery of vocation, but also in view of the elaboration of a theory of literary creation: does Proust consider these two areas of knowledge as irreconcilable, with one having an evident priority over the other, or, to the contrary, does he considers them as equal factors in knowledge and artistic creation?

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Capture-évolution-éjection de particules par des systèmes binaires (étoile-planète, étoile binaire, étoile-trou noir supermassif, trou noir binaire, ...). Dans une première partie, en utilisant une généralisation de l'application de Kepler, nous décrivons, au travers du cas de 1P/Halley, la dynamique chaotique des comètes dans le système solaire. Le système binaire, alors considéré, est composé du Soleil et de Jupiter. L'application symplectique utilisée permet de rendre compte des différentes caractéristiques de la dynamique : trajectoires chaotiques, îlots invariants de KAM associés aux résonances avec le mouvement orbital de Jupiter,... Nous avons déterminé de façon exacte et semi-analytique l'énergie échangée (fonction kick) entre le système solaire et la comète de Halley à chaque passage au périhélie. Cette fonction kick est la somme des contributions des problèmes à trois corps Soleil-planète-comète associés aux 8 planètes du système solaire. Nous avons montré que chacune de ces contributions peut être décomposée en un terme keplerien associé au potentiel gravitationnel de la planète et un terme dipolaire dû au mouvement du soleil autour du centre de masse du système solaire. Dans une deuxième partie, nous avons utilisé la généralisation de l'application de Kepler pour étudier la capture de particules de matière noire au sein des systèmes binaires. La section efficace de capture a été calculée et montre que la capture à longue portée est bien plus efficace que la capture due aux rencontres proches. Nous montrons également l'importance de la vitesse de rotation du système binaire dans le processus de capture. Notamment, un système binaire en rotation ultrarapide accumulera en son sein une densité de matière jusqu'à 10^4 fois celle du flot de matière le traversant. Dans la dernière partie, en intégrant les équations du mouvement du problème à trois corps restreint plan, nous avons étudié l'éjection des particules capturées par un système binaire. Dans le cas d'un système binaire dont les deux corps sont de masses comparables, alors que la majorité des particules sont éjectées immédiatement, nous montrons, sur les sections de Poincaré, que la trace des particules restant indéfiniment aux abords du système binaire forme une structure fractale caractéristique d'un répulseur étrange associé à un système chaotique ouvert. Cette structure fractale, également présente dans l'espace réel, a une forme de spirale à deux bras partageant des similitudes avec les structures spiralées des galaxies comme la nôtre. / This work is devoted to the study of the restricted 3-body problem and particularly to the capture-evolution-ejection process of particles by binary systems (star-planet, binary star, star-supermassive black hole, binary black hole, ...). First, using a generalized Kepler map, we describe, through the case of 1P/Halley, the chaotic dynamics of comets in the Solar System. The here considered binary system is the couple Sun-Jupiter. The symplectic application we use allows us to depict the main characteristics of the dynamics: chaotic trajectories, KAM islands associated to resonances with Jupiter orbital motion, ... We determine exactly and semi-analytically the exchange of energy (kick function) between the Solar System and 1P/Halley at its passage at perihelion. This kick function is the sum of the contributions of 3-body problems Sun-planet-comet associated to the eight planets. We show that each one of these contributions can be split in a keplerian term associated to the planet gravitational potential and a dipolar term due to the Sun movement around Solar System center of mass. We also use the generalized Kepler map to study the capture of dark matter particles by binary systems. We derive the capture cross section showing that long range capture is far more efficient than close encounter induced capture. We show the importance of the rotation velocity of the binary in the capture process. Particularly, a binary system with an ultrafast rotation velocity accumulates a density of captured matter up to 10^4 times the density of the incoming flow of matter. Finally, by direct integration of the planar restricted 3-body problem equations of motion, we study the ejection of particles initially captured by a binary system. In the case of a binary with two components of comparable masses, although almost all the particles are immediately ejected, we show, on Poincaré sections, that the trace of remaining particles in the vicinity of the binary form a fractal structure associated to a strange repeller associated to chaotic open systems. This fractal structure, also present in real space, has a shape of two arm spiral sharing similarities with spiral structures observed in galaxies such as the Milky Way.

On associe à chaque variété algébrique définie sur R un complexe de cochaînes filtré, qui calcule la cohomologie à supports compacts et coefficients dans Z_2 de ses points réels. Ce complexe filtré est additif pour les inclusions fermées et acyclique pour la résolution des singularités, et est unique à quasi-isomorphisme filtré près. Il est représenté par la filtration duale de la filtration géométrique sur les chaînes semi-algébriques à supports fermés définie par McCrory and Parusiński, et induit une suite spectrale qui calcule la filtration par le poids sur la cohomologie à supports compacts. Cette suite spectrale est un invariant naturel qui contient les nombres de Betti virtuels. On montre que le produit cartésien de deux variétés nous permet de comparer le produit de leurs complexe de poids et suite spectrale respectifs avec ceux du produit, et on prouve que les produits cap et cup en cohomologie et homologie sont filtrés par rapport à ces filtrations par le poids réelles. / We associate to each algebraic variety defined over R a filtered cochain complex, which computes the cohomology with compact supports and Z_2-coefficients of the set of its real points. This filtered complex is additive for closed inclusions and acyclic for resolution of singularities, and is unique up to filtered quasi-isomorphism. It is represented by the dual filtration of the geometric filtration on semialgebraic chains with closed supports defined by McCrory and Parusiński, and leads to a spectral sequence which computes the weight filtration on cohomology with compact supports. This spectral sequence is a natural invariant which contains the additive virtual Betti numbers. We then show that the cross product of two varieties allows us to compare the product of their respective weight complexes and spectral sequences with those of their product, and prove that the cup and cap products in cohomology and homology are filtered with respect to the real weight filtrations.

Suite aux travaux de Zbigniew Szafraniec et Nicolas Dutertre, je me suis intéressée aux calculs de caractéristiques d'Euler de certains espaces semi-algébriques. En particulier, ceux de laforme : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, où $epsilon=(epsilon_1,...,epsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomiale et $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ où $F:R^nrightarrowR^k$ et $k+lleq n$. Une fois le cas lisse traité, on intersecte ces ensembles avec ${ fgeq 0}$ ou ${ fleq 0}$, où $f$ est polynomiale telle que $f^{-1}(0)$ admette un nombre fini de singularités. J'énonce alors un théorème reliant ces caractéristiques au degré d'applications faisant intervenir les fonctions $f$, $F$ et $G$. Pour finir, on s'intéresse au cas où l'ensemble $W$ possède un lieu critique compact.Dans une autre partie, je travaille sur l'indice radial, indice défini sur des variétés singulières. J'énonce un résultat faisant le lien entre l'indice radial d'un champ de vecteurs V en une singularité avec l'indice radial de son opposé -V. Finalement, je relie l'indice radial à un indice d'intersection. / After the works of Zbigniew Szafraniec and Nicolas Dutertre, we are interested in computing Euler characteristics of some particular semialgebraic sets. In particular, the ones of the form : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, where $varepsilon=(varepsilon_1,...,varepsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomial and $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ where $F:R^nrightarrowR^k$ and $k+lleq n$. Once the smooth case is treated, we intersect these sets with ${ fgeq 0}$ or ${ fleq 0}$, where $f$ is polynomial such that $f^{-1}(0)$ contains a finite number of singularities. Then we state a theorem that makes a link between these caracteristics and some degrees of mappings involving the functions $f$, $F$ and $G$. Finally, we study the case where $W$ has a compact singular set.In another part, I work with the radial index, an index defined for singular manifolds. I have a result making a link between the radial index of a vector field V and its opposite -V at a singularity. Finally, I relate that radial index to an intersection index.

Cette thèse porte sur l’étude mathématique des interactions entre la lumière et certains types de nanoparticules.À l’échelle du nanomètre, des particules métalliques comme l’or ou l’argent subissent un phénomène de résonance lorsque leurs électrons libres interagissent avec un champ électromagnétique. Cette interaction produit une augmentation du champs électrique proche et lointain, leur permettant d’améliorer la luminosité et la directivité de la lumière, confinant des champs électromagnétiques dans des directions avantageuses. Ce phénomène, appelé "résonances plasmoniques pour des nanoparticules" ouvre une porte sur une large gamme d’applications, des nouvelles techniques d’imagerie médicale à des panneaux solaires efficaces. En utilisant des techniques issues des potentiels de couches et de la théorie de la perturbation,nous proposons une étude de la dispersion d’ondes électromagnétiques par une et plusieurs nanoparticules plasmoniques, dans le cadre quasi-statique, Helmholtz et Maxwell. Nous étudions ensuite certaines applications tel que la génération de chaleur, les métasurfaces et l’imagerie super-résolue. / This thesis deals with the mathematical study of the interactions between light and certain types of nanoparticles. At the nanometer scale, metal particles such as gold or silver undergo a resonance phenomenon when their free electrons interact with an electromagnetic field. This interaction results in an enhancement of the near and far electric field, enabling them to improve the brightness and the directivity of the light, confining electromagnetic fields in advantageous directions. This phenomenon, called "plasmonic resonances for nanoparticles", opens a door to a wide range of applications, from new medical imaging techniques to efficient solar panels. Using layer potentials techniques and perturbation theory, we proposea study of the scattering of electromagnetic waves by one and several plasmonic nanoparticles in the quasi-static, Helmholtz and Maxwell framework. We then study some applications such as heat generation, metasurfaces and super-resolution.

Cette thèse est consacrée aux méthodes symboliques de résolution locale des systèmes différentiels linéaires à coefficients dans K = C((x)), le corps des séries de Laurent, sur un corps effectif C. Plus précisément, nous nous intéressons aux algorithmes effectifs de réduction formelle. Au cours de la réduction, nous sommes amenés à introduire des extensions algébriques du corps de coefficients K (extensions algébriques de C, ramifications de la variable x) afin d’obtenir une structure plus fine. Du point de vue algorithmique, il est préférable de retarder autant que possible l’introduction de ces extensions. Dans ce but, nous développons un nouvel algorithme de réduction formelle qui utilise l’anneau des endomorphismes du système, appelé « eigenring », afin de se ramener au cas d’un système indécomposable sur K. En utilisant la classification formelle donnée par Balser-Jurkat-Lutz, nous déduisons la structure de l’eigenring d’un système indécomposable. Ces résultats théoriques nous permettent de construire une décomposition sur le corps de base K qui sépare les différentes parties exponentielles du système et permet ainsi d’isoler dans des sous-systèmes, indécomposables sur K, les différentes extensions de corps qui peuvent apparaître afin de les traiter séparément. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l’algorithme de Miyake pour la réduction formelle. Celle-ci est basée sur le calcul du poids et d’une suite de Volevic de la matrice de valuation du système. Nous donnons des interprétations en théorie de graphe et en algèbre tropicale du poids et suites de Volevic, et obtenons ainsi des méthodes de calculs efficaces sur le plan pratique, à l’aide de la programmation linéaire. Ceci complète une étape fondamentale dans l’algorithme de réduction de Miyake. Ces différents algorithmes sont implémentés sous forme de librairies pour le logiciel de calcul formel Maple. Enfin, nous présentons une discussion sur la performance de l’algorithme de réduction avec l’eigenring ainsi qu’une comparaison en terme de temps de calcul entre notre implémentation de l’algorithme de réduction de Miyake par la programmation linéaire et ceux de Barkatou et Pflügel. / This thesis is devoted to symbolic methods for local resolution of linear differential systems with coefficients in K = C((x)), the field of Laurent series, on an effective field C. More specifically, we are interested in effective algorithms for formal reduction. During the reduction, we are led to introduce algebraic extensions of the field of coefficients K (algebraic extensions of C, ramification of the variable x) in order to obtain a finer structure. From an algorithmic point of view, it is preferable to delay as much as possible the introduction of these extensions. To this end, we developed a new algorithm for formal reduction that uses the ring of endomorphisms of the system, called "eigenring". Using the formal classification given by Balser-Jurkat-Lutz, we deduce the structure of the eigenring of an indecomposable system. These theoretical results allow us to construct a decomposition on the base field K that separates the different exponential parts of the system and thus allows us to isolate, in indecomposable subsystems in K, the different algebraic extensions that can appear in order to treat them separately. In a second part, we are interested in Miyake’s algorithm for formal reduction. This algorithm is based on the computation of the Volevic weight and numbers of the valuation matrix of the system. We provide interpretations in graph theory and tropical algebra of the Volevic weight and numbers, and thus obtain practically efficient methods using linear programming. This completes a fundamental step in the Miyake reduction algorithm. These different algorithms are implemented as libraries for the computer algebra software Maple. Finally, we present a discussion on the performance of the reduction algorithm using the eigenring as well as a comparison in terms of timing between our implementation of Miyake’s reduction algorithm by linear programming and the algorithms of Barkatou and Pflügel.

Die Arbeit untersucht einen überraschenden Zusammenhang zwischen Halbflüssen von holomorphen Selbstabbildungen auf einfach zusammenhängenden Gebieten und Halbgruppen, die von Poincaré-Steklov Operatoren erzeugt werden. Mithilfe von Erzeuger von Kompositionshalbgruppen auf Banachräumen von analytischen Funktionen werden insbesondere Dirichlet-zu-Neumann und Dirichlet-zu-Robin Operatoren konstruiert. Dieser Zugang eröffnet einen neuen Ansatz für das Studium partiellen Differentialgleichungen, die mit solchen Operatoren assoziiert sind. / We study a surprising connection between semiflows of holomorphic selfmaps of a simply connected domain and semigroups generated by Poincaré-Steklov operators. In particular, by means of generators of semigroups of composition operators on Banach spaces of analytic functions, we construct Dirichlet-to-Neumann and Dirichlet-to-Robin operators. This approach gives new insights to the theory of partial differential equations associated with such operators.

Dans cette thèse nous analysons la place logique que les principes ont occupée à la fin du XIXe et au début du XXe siècle dans la construction des théories relativistes. Après une présentation de caractère général et historique (chapitres 1-3) dans laquelle nous rappelons le statut des principes dans la tradition classique et dans les travaux de Newton, et dans laquelle nous tentons de montrer comment la théorie de la thermodynamique et les théories de la lumière ont pu remettre en cause cette tradition, le corpus de la thèse peut être divisé en deux grandes parties, une première (chapitres 4-6) consacrée à la relativité restreinte, et une deuxième (chapitres 7-9) consacrée à la théorie de la relativité générale. Le chapitre 1 est consacré à rappeler ce que sont les principes dans la tradition classique, d’Aristote à Galilée et Newton. Dans le deuxième chapitre nous évoquons la formulation des deux principes de la thermodynamique et nous montrons en quoi ils s’éloignent de la mécanique classique et peuvent être considérés comme deux principes d’un nouveau type. Dans le troisième chapitre nous présentons un panorama des théories physiques à la fin du XIXe siècle, afin de replacer dans leur contexte les réflexions qui ont conduit à la formulation de la théorie de la relativité restreinte. Les chapitres quatre et cinq sont consacrés au principe de relativité. Dans le chapitre quatre nous l’abordons de façon géométrique, en mettant en évidence les différences entre espace géométrique et espace physique et les problèmes liés à l’espace absolu. Au chapitre cinq nous analysons de plus près la formulation du principe de relativité dans les travaux de Poincaré de 1904-1905. Le chapitre six est consacré à la présentation de la relativité restreinte faite par Einstein la même année 1905. Les chapitres sept, huit et neuf sont consacrés à la relativité générale et aux principes qu’Einstein pose à sa base. Dans le chapitre sept nous analysons le principe d’équivalence et la première période de formulation de la théorie de la relativité générale (1907-1912). Le chapitre 8 reprend le thème de la géométrie et montre comment des considérations générales sur la non-validité de la géométrie euclidienne ont mis Einstein sur la voie de la théorie généralisée de la gravitation. Le chapitre 9 aborde un moment délicat de la construction de la théorie :les années 1913-1915, pendant lesquelles Einstein abandonne l’idée de covariance générale et essaie d’établir les équations de la théorie. Nous analysons les principes qui le guident dans ses recherches et ceux qu’il abandonne (même temporairement), pour montrer enfin comment Einstein est arrivé à la formulation de la théorie de la relativité générale. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished