Tidigare studier indikerar att elever uppvisar bristande kunskaper inom matematik och att många elever har problem med platsvärde. Forskning belyser vikten av att elever får kunskaper om att talsorterna har olika värde beroende på dess position. Syftet med den här uppsatsen är att undersöka vad elever baserar sina resonemang på när de löser matematiska problem inom positionssystemet. Vilka resonemang för eleverna och vilka begreppsbilder uppvisar de? Genom en kvalitativ metod där sex elever enskilt har observerats med hjälp av videokamera har vi gjort två delstudier. Resultatet visar att eleverna använder sig av algoritmer och kreativa resonemang utifrån individuella belägg i sina argumentationer och att elevernas begreppsbilder i många fall brister då de inte har en full förståelse för definitioner. De sammanlagda resultaten från de båda studierna indikerar att i de fall eleverna inte skapar resonemang baserade i matematiska egenskaper, uppvisar de i sin argumentation en begränsad begreppsbild.

Tidigare studier inom elevers matematiska resonemang visar att de imitativa resonemangen dominerar inom matematisk problemlösning. Syftet med denna kvalitativa studie är att se vad för matematiska resonemang elever i årskurs 4 för inom området ”likheter” och ”lika med”. Undersökningen visade att eleverna använde kreativa matematiska resonemang i 19 problemsituationer av totalt 32. Det uppkom ett resonemang som inte finns med i det ramverk som studien utgår ifrån. De resterande 12 problemsituationerna var rent imitativa resonemang. Det visade sig att elever använde sig av kreativt matematiska resonemang i större utsträckning än de imitativa resonemangen. Vid de problemsituationer som var av kreativt resonerande löste eleverna problemsituationerna på ett korrekt sätt medan de situationer som eleverna löste uppgifterna med ett imitativt resonemang blev samtliga slutsatser felaktiga.

Tidigare forskning har uppmärksammat elevers svårigheter med bråk samt bråkräkning och omfattande felanalyser har gjorts. Dock beskriver inte dessa felanalyser bakgrunden till elevernas strategival eller de slutsatser som dragits vid uppgiftslösning. Utifrån detta är syftet med den här uppsatsen att studera de resonemang som elever för när de löser uppgifter som innefattar division av bråk. Vilka argument grundar sig val av strategi på samt de lösningar som nås? Är argumenten förankrade i bråkens inre matematiska egenskaper? Den metod som använts är kvalitativ där tre videoobservationer har gjorts av elever när de, under en labbsituation, enskilt löst uppgifter som innefattat division av bråk. Resultaten visar att ett kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR) påträffas sällan medan ett imitativt resonemang (IR) där lösaren grundar sin argumentation på en känd algoritm är desto vanligare. I de situationer då elevens resonemang befann sig nära KMR saknades ofta förmågan att grunda slutsatsen på komponenternas inre matematiska egenskaper.

Internationell forskning visar att svenska elever presterar sämre i matematik i jämförelse med genomsnittet av elever i andra länder, där en förklaring tycks vara att eleverna inte har en full förståelse för begreppet lika med vid ekvationslösning. En annan förklaringsmodell kan vara att elevers resonemang tenderar att vara imitativa istället för baserade på matematisk grund. Kreativa resonemang däremot, som behövs för att skapa duktiga problemlösare, kräver att eleven verkligen använder den matematiska grunden. Denna studie undersöker elevers matematiska resonemang vid lösning av problem baserade på begreppet lika med. Elever i årskurs 2 har genom kvalitativ metod studerats med hjälp av videoobservationer när de enskilt i en laborationsliknande situation löst problemuppgifter om lika med. Resultaten visar på en ovanligt stor mängd kreativa resonemang. Tidigare studier avseende elevers matematiska resonemang har gjorts på äldre elever, vilket kan vara en av förklaringarna till detta avvikande resultat.

Syftet med denna kvalitativa studie är att beskriva variationen av strategier som elever använder sig av vid behandling av diskreta mängder inom tal i bråkform, då uppgifterna är av varierad art och där objekten är ordnade såväl som oordnade. För att erhålla ett brett underlag genomfördes uppgiftsdiagnoser, på 78 elever i årskurs sex, vilka utifrån elevernas svar och anteckningar analyserades för att identifiera förekommande strategier. Analysen resulterade i elva skilda strategier inom fyra övergripande kategorier: heltalstillämpning av tal i bråkform, formation av helhet, formation av enhet och operation på och med tal i bråkform. De ingående strategierna i kategorin heltalstillämpning av tal i bråkform nyttjar bråkuttryck som heltal på så vis att de ingående talen antingen utgör ett antal objekt eller ses som föremål för en operation. Inom formation av helhet ingår strategier inom vilka eleverna på olika sätt delar upp helheten utifrån nämnarens storlek medan strategierna inom formation av enhet har det gemensamt att eleverna utifrån sin förförståelse grupperar de ingående objekten i enheter. I vissa fall samlar eleverna objekten i större grupper medan elever i andra fall ser till varje enskilt objekt. Slutligen innefattar kategorin operation på och med tal i bråkform strategier som använder sig av aritmetiska resonemang. Utmärkande för  och centralt i de identifierade strategierna är genomgående förståelsen för bråkbegreppets innebörd. Utifrån kunskap om den variation av strategier som elever använder hoppas vi att lärare kan få en större förståelse för de resonemang som elever för och att undervisningen därigenom utformas för att möta alla elevers individuella förutsättningar och behov av stöd.

Trots alla rapporter om sjunkande resultat i matematikämnet i den svenska skolan så finns det lärare vars elever har en hög uppfyllelse av målen i läroplan och kursplan. Denna studie ägnas åt att genom observationer och intervjuer av en handfull matematiklärare urskilja mönster och gemensamma drag hos dessa. Studien visar att det finns vissa gemensamma drag hos de lärare som bedriver framgångsrik matematikundervisning. För det första finns det ett tydigt mål med undervisningen. Det andra är att de alla tar på sig ledarskapet i klassrummet och ansvaret för undervisningen samtidigt som eleverna involveras i planeringen, både direkt och indirekt. Vidare så betonar lärarna fördelarna med en intressant och rolig undervisning. Det ska vara roligt och intressant att gå i skolan eftersom det gynnar inlärningen. De framhåller alla vikten av att hela tiden ha en dialog med eleverna, att det måste finnas ett samarbete mellan läraren och eleven/eleverna. Att ställa frågor, snarare än att ge svar, är ännu ett gemensamt drag hos de observerade lärarna. Lektionerna präglas i hög grad av att lärarna ställer frågor och följdfrågor till eleverna. Matematisk kunskap ses som viktig av lärarna och de vill erbjuda en undervisning som leder till ett livslångt lärande. Fokus i undervisningen ligger på inte på process utan på förståelse.

<p>Abstract</p><p>Introduction: It has during the latest years occurred several large business scandals both abroad and in Sweden where auditors have been involved. The need for stabile conditions and well functioning professional codes of ethics for companies, especially auditing firms have been growing during the latest years. FAR has seen it as their task to define the meaning of the Swedish term ”god revisorssed”. This is specified through FAR’s nine professional codes of ethics, which came out in a new edition in 2003. The opinions about what is considered as high moral and ethical reasoning often goes apart. In previous studies it has been shown that these opinions have been affected by different factors, such as age, gender and size of the auditing firm. With this background it is interesting to examine auditor’s ethical reasoning with help of the FAR professional codes of ethics.</p><p>Purpose: The purpose of this study is to examine and explain auditors’ ethical reasoning, and also investigate which factors that affect ethical reasoning.</p><p>Method: In this study a quantitative method is used to get a broad study where general connections can be found. The data used is primary data from a survey. The survey consists of three ethical dilemmas which the respondents have to take a standpoint to and grade. The respondents also answered some general short questions about their background. The results are presented with help of mean calculations and other methods of descriptive statistics, and an interpretation of the respondents’ comments.</p><p>Results: From the means that have been calculated for the three dilemmas, it is possible to draw the conclusion that the auditors in this study are relatively ethical. It is not enough to only study the mean values to determine if the auditors are ethical or not. To get a fairer point of view it is better to read the comments given by the respondents. It is by these comments that it is possible to examine how the auditors reason about ethical dilemmas. The results also show that the auditors reason different about the different professional codes of ethics. In comparison with the factors: gender, age, ethical education, experience and size of the firm with ability to ethical reasoning, a statistical connection could not be found.</p> / <p>Sammanfattning</p><p>Inledning: Det har under de senaste åren förekommit flera stora företagsskandaler både utomlands och i Sverige där revisorer varit inblandade. För företag och då särskilt för revisionsbyråer är behovet stort av stabila förutsätt-ningar för väl fungerande och allmänt accepterade yrkesetik. FAR har sett det som sin uppgift att precisera innebörden av den lagstadgade termen god revisorssed. Detta preciseras genom FARs nio yrkesetiska regler som utkom i ny utgåva 2003. Åsikterna går ofta isär om vad som an-ses vara god etik och moral. Det har visat sig i tidigare studier att dessa åsikter kan påverkas av faktorer som till exempel kön, ålder och storlek på byrån. Med bakgrund av detta uppkom intresset för att med hjälp av FARs yrkesetiska regler undersöka revisorers förmåga till etiskt resone-mang.</p><p>Syfte: Syftet med den här uppsatsen är att undersöka och förklara hur revisorer resonerar kring etik samt att utreda vilka faktorer som påverkar det etiska resonemanget.</p><p>Metod: I den här studien används en kvantitativ metod för att få en bred studie där generella samband kan hittas. Den data som använts är primärdata i form av en enkätundersökning. Enkäten består av tre etiska dilemman som respondenterna ska ta ställning till och poängsätta, samt kortfrågor av generell karaktär. Resultaten presenteras med hjälp av uträkning av medelvärden och andra beskrivande statistiska instrument samt tolkning av respondenternas kommentarer.</p><p>Resultat: Utifrån de medelvärden som räknats fram för de tre dilemmana går det att dra slutsatsen att revisorerna som deltagit i enkätundersökningen är relativt etiska. Det är dock inte tillräckligt att bara titta på medelvärdena för att kunna avgöra ifall revisorer är etiska. Det kan ge en mer rättvisande bild att också titta på de kommentarer som revisorerna i vissa fall har givit. Det är först då, som det är möjligt att se hur revisorn verkligen tänker kring dilemmana. Resultaten visar också att revisorerna resonerar olika kring de olika yrkesetiska reglerna. Vid en jämförelse mellan etiskt re-sonemang och faktorerna kön, ålder, etikutbildning, erfarenhet samt storlek på byrån går det inte att finna några statistiskt säkerställda sam-band.</p>

<p>Mitt syfte med arbetet var att ta reda på hur elever tänker och lär när de löser olika matematikuppgifter. För att få svar på mina frågeställningar har jag valt att använda mig av litteraturstudier och empiriska studier. Jag har valt att utgå från elevernas resonemang i mina tolkningar av hur elever tänker och lär. </p><p>Ett resultat av min undersökning är att elevens sociala samspel med andra elever och lärare har stor betydelse för elevens lärande. Mitt resultat har stöd i Vygotskys begrepp ´den närmaste utvecklingszonen´.</p>

Since mathematical tasks are central to the teaching of mathematics, it is crucial to extend our knowledge of the characteristic features of tasks that are conducive to student development of problem-solving and reasoning abilities as well as conceptual understanding.   The aim of the dissertation is to investigate how different types of mathematical tasks affect student learning and choice of learning strategies. This is done through a twofold approach: 1) to test the hypothesis that tasks affording students the opportunity and responsibility for constructing knowledge are more effective learning tools than tasks for which the solution is presented, and 2) to analyse the educational message embedded in the teacher’s formulation of the mathematical tasks on the Internet.   The main conclusion is that the type of task students engage with is important for their learning of new things. The participants who were engaged in creating their own solutions were less successful during practice but performed better on the tests in comparison with the participants who were involved in solving the tasks with a given method. The results of the sub-studies indicate that in a learning situation consisting of repeated practice of a solution method, the results are closely related to the students’ cognitive ability. The investigation shows that tasks inviting the opportunity to be solved through creative reasoning, to a certain extent serve a compensatory function in relation to students’ cognitive resources. This means that the participants need not put in so much effort in the test situation if they have practiced creative reasoning.   One conclusion to be drawn from the study of the educational message in Internet documents, when it comes to teachers’ formulation of tasks, is that there are many teachers who design tasks that encourage young students’ creative reasoning. However, the educational message in the documents shows that the teachers demand relatively little of the students in the majority of the tasks. The result indicates that there is some uncertainty about how to formulate and use tasks to support the older student’s mathematical development. The way the tasks are formulated indicates a lack of discursive tools to clarify the intended educational situation. Thus, the qualities in the tasks are hidden resources. / Det övergripande syftet med avhandlingen är att undersöka hur olika typer av matematikuppgifter påverkar elevers möjligheter till lärande och val av lärandestrategi. Resultaten visar att i en lärandesituation som består av upprepad träning av en lösningsmetod är elevernas resultat starkt beroende av deras kognitiva förmåga. Uppgifter som ger eleverna möjligheter att lösa dem med kreativa resonemang verkar i viss mån kompensatoriskt i förhållande till elevers kognitiva resurser. Testdeltagare som tränat via kreativa resonemang har en lägre kognitiv belastning. Studien av lärarkonstruerade uppgifter på internet visar exempel på uppgifter som upplevs som användbara i undervisningen. Uppgiftskonstruktörerna tenderar att ställa förhållandevis låga krav på eleverna i merparten av uppgifterna. Resultatet tyder även på en osäkerhet inför hur uppgifter skall kommuniceras för att stötta elevers matematiska utveckling. De kvalitéer som finns i uppgifterna kommer därför i skymundan. Matematikuppgifter är centrala i matematikundervisningen. Det är därför viktigt att öka kunskapen om matematikuppgifter och hur dessa kan bidra till elevers möjligheter att utveckla sin matematiska kompetens. Väl utformade matematikuppgifter kan bidra till att minska elevers utantillärande.

Lärare är personen som planerar, genomför och utvärderar undervisning. Eftersom att elevers matematiska resonemang, enligt aktuella styrdokument, ska utvecklas i undervisningen har läraren en given roll som påverkar hur eleven ges möjlighet att utveckla resonemangskompetens. Hur lärare uppfattar matematiska resonemang blir därmed en nyckelkomponent i vad som sker i undervisningen. Kan elevers förmåga att resonera påverkas om lärare uppfattar matematiska resonemang på skilda sätt? I denna studie diskuteras aktuell forskning om matematiska resonemang och dess betydelse i undervisningen. Två lärare har intervjuats och deras utsagor jämförs med den aktuella forskningen. Dessa kvalitativa intervjuer i relation till forskningen har visat sig öppna dörren för mer omfattande forskning inom detta ämnesområde då intressanta slutsatser har dragits, utan att dessa har generaliserats. I resultaten har det framkommit att elevers förmåga att resonera påverkas i en hög utsträckning av lärarens val att antingen ge elever en redan fungerande strategi eller att låta eleverna själva kämpa med en uppgift. Av intervjumaterialet med två lärare har det framkommit att frågeställningen varför saknas helt medan frågeställningen hur är vanligt förekommande. I denna studie har lärarnas utlåtanden blivit intressanta då forskning har visat att om elevers förmåga att argumentera för egna strategival ska utvecklas är frågeställningen varför avgörande. Därmed påverkar lärares uppfattningar om matematiska resonemang elevers förmåga att föra matematiska resonemang. / <p>Matematik</p>