Att resonera matematiskt handlar om att argumentera för och kunna reflektera kring samt motivera sina matematiska beslut. Detta är av särskild vikt i nya situationer som vid lösning av problemuppgifter som per definition inte ska kunna lösas med på förhand kända metoder. Studier har visat att äldre elever förlitar sig på inlärda procedurer när de löser problemuppgifter - trots att dessa ofta inte fungerar. De resonemang som eleverna då för är imitativa resonemang - eleverna imiterar kända lösningsmetoder utan att reflektera över deras lämplighet. Motsatsen till dessa är kreativa matematiska resonemang (KMR) som går ut på att eleven skapar en ny lösningsmetod. Den här sortens resonemang har positiva effekter på lärande. Denna studie syftade till att ta reda på hur elever i årskurs 1 resonerar vid lösning av problemuppgifter. Empiriinsamlingen skedde via observationer och intervjuer med elever. Resultatet visade att elever i årskurs 1 för både imitativa och kreativa matematiska resonemang men att KMR är vanligare. När elever i årskurs 1 resonerar imitativt kännetecknas det av att det ofta bygger på ytliga egenskaper vilket innebär att något i uppgiften känns igen och kan kopplas till en viss strategi. När de i stället för KMR kännetecknas det av att det ofta föregås av initiala misslyckanden eller felsteg i resonemangsprocessen. När eleverna tillåts bearbeta dessa misstag, ibland med minimal eller helt utan vägledning kan det leda till KMR som främjar deras lärande. I och med detta går det att konstatera att undervisning av även de allra yngsta eleverna bör inkludera relativt självständig lösning av problemuppgifter med betoning på resonemang för att eleverna ska lära sig att resonera och behålla sin villighet att föra KMR.

Problemlösning är enligt Skolverket (2017) kärnan i matematik och kan leda till att eleverna får en större förståelse för matematiken de utför. Rapporter och forskning visar att matematikundervisningen till stor del utgår från enskilt arbete i läromedel, vilket inte alltid främjar elevers inlärning i problemlösning. Stora matematiker som Brousseau (1997) och Schoenfeld (1991) hävdar att utformningen av matematiska uppgifter har stor betydelse för elevers lärande, och framförallt när eleverna erbjuds uppgifter som låter dem praktisera egna lösningsmetoder. En av Sveriges stora matematiker är Lithner, han benämner uppgifter av denna karaktär som det kreativt resonemang och menar att elevers lärande i matematik utvecklas om de får arbeta med uppgifter av denna karaktär. Syftet med denna studie är att undersöka i vilken utsträckning och vilken sorts problemlösningsuppgifter som finns i “Mera favorit matematik 1B”. Detta genom att besvara frågeställningarna “Hur stor andel av det totala antalet uppgifter i “Mera favorit matematik 1B” kan kategoriseras som problemlösningsuppgifter?” Och “Hur stor andel av problemösningsuppgifterna i “Mera favorit matematik 1B”, kan kategoriseras som det kreativa respektive imitativa resonemanget?” För att besvara frågeställningarna har inledningsvis en kvantitativ innehållsanalys baserad på Skolverkets (2017) och Häggbloms (2013) definition av problemlösningsuppgifter genomförts. I ett andra skede har en kvalitativ innehållsanalys baserad på Lithners (2008) ramverk genomförts på identifierade problemlösningsuppgifter. Resultatet visar att “Mera favorit matematik 1B” innehåller 17,35% problemlösningsuppgifter och att 52,12% av de uppgifterna kräver ett kreativt resonemang och resterande 47,88% bygger på ett imitativt resonemang. Ett förslag på fortsatt forskning är en komparativ studie av hur problemlösning kan undervisas genom enbart matematikbok jämfört med hur problemlösning undervisas vid en kombination av matematikbok och lärarhandledning.

Användande av läroböcker dominerar i matematikundervisningen i svenska klassrum och lärare följer ofta innehåll och ordning som det presenteras i läroböcker. Problemlösningsförmågan är en central del inom matematiken som eleverna ska utveckla genom undervisningen. Syftet med denna studie är att undersöka möjligheterna att utveckla problemlösningsförmågan genom arbete i läroboken. Detta genomförs genom att analysera tre vanligt förekommande läroböcker i matematikundervisningen, med avseende på förekomst av problemlösningsuppgifter i läroböckerna utifrån ett etablerat analysverktyg. Resultatet indikerar att det finns få uppgifter som kan betraktas som ett problem samt att dessa uppgifter finns i slutet av kapitlen. Slutsatsen är att eleverna får en liten möjlighet att utveckla problemlösningsförmågan genom de analyserade läroböckerna som artefakt.

I denna studie har vi genom elevobservationer undersökt elevers olika typer av resonemang då de arbetar med kooperativt lärande i sin matematikundervisning. Eleverna som observerats går i årskurs 1. Syftet med studien är ta reda på hur elevers möjlighet till kreativa resonemang kan gynnas av att de arbetar kooperativt. Studiens underlag har samlats in genom observation av tre lektioner med kooperativt lärande samt efterföljande intervju med läraren. Studiens resultat visar att kooperativt lärande skapar goda förutsättningar för kreativa resonemang, men att klassrumsklimat, uppgiftens utformning samt lärarens feedback även spelar roll.

Många studier bekräftar att det är viktigt att man utvecklar elevernas resonemangsförmågamen få beskriver hur lärare kan utveckla resonemangsförmågan. Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare introducerar och arbetar för att utveckla elevernas resonemangsförmåga samt hur olika resonemang kan kategoriseras. För att kunna undersöka detta har vi använt oss av kategorierna algoritmiska resonemang (AR) och kreativa matematiska resonemang (KMR). Vi använder teorier om feedback på uppgiftsnivå och processnivå för att se hur feedback påverkar elevernas resonemang. Vi har genomfört fem semistrukturerade intervjuer med verksamma lärare i årskurs F-3 för att undersöka hur de arbetar med att utveckla elevernas resonemangsförmåga i matematik. Resultatet av vår studie visar att lärare har olika uppfattningar av vad resonemang vilket kan bero på att de saknar verktyg för att se olika resonemangstyper. Vid introduktionen av arbetet med att utveckla resonemangsförmågan beskriver lärarna främst hur de arbetar för att bygga upp ett tryggt klassrumsklimat, inte hur de arbetar med just resonemangsförmågan. Lärarna vi intervjuade ger ofta feedback på uppgiftsnivå vilket leder till att fokus hamnar på svaret istället för på processen. Vi ser att lärarna kan utveckla sin feedback till processnivå genom att ställa frågor till eleverna som berör processen vilket hjälper dem att nå KMR. Vår slutsats är att lärarna med enkla medel i antingen uppgiftsskapande eller stöttning skulle kunna leda eleverna mot KMR.

Studiens syfte är att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösningsförmåga i årskurserna 1–3. Syftet är vidare att få ökad kunskap om vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang. Forskning visar att arbetet med problemlösning är en viktig faktor för att utveckla elevers förmåga att resonera och lösa problem. En problemlösande matematikundervisning har visat sig ge goda effekter på elevers matematiska förståelse. Trots detta visar forskning att ett vanligt arbetssätt i matematikundervisningen är att låta elever arbeta med rutinuppgifter. Ett effektivt sätt för att elever ska utveckla sin förmåga att resonera och lösa problem är att ge elever förutsättningar att använda kreativa matematiska resonemang (CMR) istället för imitativa resonemang (IR). För att kunna undersöka elevers förutsättningar att använda CMR i arbetet med problemlösning har kategorierna CMR och IR använts som studiens teoretiska ramverk. För att besvara studiens frågeställning har fyra grundlärare verksamma i åk 1–3 observerats och intervjuats. Resultatet av studien visar att endast en av fyra lärare ger elever förutsättningar att i full utsträckning använda CMR. De tre resterande lärarna gör detta i en begränsad utsträckning. Studien visar, i enighet med forskning, att läraren har en avgörande roll i arbetet med problemlösning där lärarens didaktiska val har stor betydelse för elevers förutsättningar att använda CMR.

Den här studien syftar till att undersöka vilka matematiska resonemang som framträder när elever löser uppgifter i grupp. Det resultat som framkommit baseras utifrån fallstudie där elevers användning av matematiska resonemang har observerats i två klassrum. I studiens resultat visade det sig att imitativa matematiska resonemang framträdde när de löste uppgifter i grupp. Det visade sig även att kreativt matematiskt resonemang användes, men endast vid ett fåtal tillfällen. Slutsatsen utifrån studiens resultat är att uppgifter som främjar kreativa matematiska resonemang borde få en given plats i undervisningen, utan att imitativa resonemang försvinner. När det kommer till studiens resultat och dess relevans för vårt yrke så är det viktigt att skapa en medvetenhet kring matematiska resonemang och att ge elever möjlighet till att använda såväl imitativa som kreativa resonemang. Vidare forskning utifrån studiens resultat kan vara att undersöka öppna uppgifters påverkan på imitativa och kreativa resonemang.

Syftet med denna studie är att undersöka hur lärare ser på förmågan att föra och följa matematiska resonemang och hur lärares matematikundervisning kan organiseras för att möjliggöra för elever att främja denna förmåga. Vi har använt oss av ett ramverk beskrivet av Herbert m.fl. (2015) om lågstatielärares uppfattning om matematiska resonemang. Vi har även utformat ett eget ramverk baserat på vad forskning visar främjar elevers matematiska resoenamngsförmåga och utifrån det genomfört en deduktiv innehållsanalys. Genom semisturkturerade intervjuer har 12 lärare i årskurs 2-3 gett sin syn på matematiska resonemang och hur de organiserar undervisningen för att främja elevers matematiska resonemangsförmåga. Resultatet visar att lärare ser resoneamng som svårdefinerat men att de ändå bedriver en undervisning som möjliggör för eleverna att främja denna förmåga. Vidare visade resultatet att undervisningen lärarna bedrev visade på djupare uppfattning av matematiska resonemang än vad de själva uttryckte. Däremot ser de flesta lärare att matematikboken inte ger eleverna möjlighter till matematiska resonemang. Några lärare lyfter materialet Sluta räkna-serien av Ulla Öberg som särskilt gynnsamt för att utveckla elevers matematiska resonemangsförmåga. Det som dominerar lärarnas undervisning i arbetet med matematiska resonemang är problemlösning, öppna uppgifter, arbete i par eller grupp samt arbete med konkret material. / The aim of this study is to examine how teachers view the ability to make and follow mathematical reasoning and how teachers' mathematical lessons can be organized to enable students to develop this ability. We have used the framework described by Herbert et al. (2015) for primary teachers' perceptions of mathematical reasoning. We have also created our own framework based on what research shows fosters students' matehematical reasoning ability and based on this made a deductive content analysis. Through semi-structured interviews 12 teachers in grades 2-3 gave their views on mathematical reasoning and how they organize their lessons to foster students' mathematical reasoning ability. The results show that teachers view reasoning as hard to define but that they still conduct lessons that make it possible for students to foster this ability. Furtthermore, the results show that the lessons the teachers conduct show a higher perception of mathematical reasoning than what they themselves express. Most of the teachers express that the mathematical textbook does not give students the possibility for mathematical reasoning. Some teachers mention the material Sluta räkna-serien by Ulla Öberg as especially effective to foster students' mathematical reasoning ability. What dominates the teachers' lessons when working with mathematical reasoning are problem solving, open tasks, working in pairs or groups and working with concrete material.

The thesis consists of four articles and this summarizing part. All parts have focused on bringing some insights into how to design a didactical situation including dynamic software (GeoGebra) to support students’ mathematical problem solving and creative reasoning as means for learning. The four included articles are: I. Granberg, C., & Olsson, J. (2015). ICT-supported problem solving and collaborative creative reasoning: Exploring linear functions using dynamic mathematics software. The Journal of Mathematical Behavior, 37, 48-62. II. Olsson, J. (2017). The Contribution of Reasoning to the Utilization of Feedback from Software When Solving Mathematical Problems. International Journal of Science and Mathematics Education, 1-21. III. Olsson, J. Relations between task design and students’ utilization of GeoGebra. Mathematical Thinking and Learning. (Under review) IV. Olsson, J., & Granberg, C. Dynamic software, problem solving with or without guidelines, and learning outcome. Technology, Knowledge and Learning. (Under review) Background A common way of teaching mathematics is to provide students with solution methods, for example strategies and algorithms that, if followed correctly, will solve specific tasks. However, questions have been raised whether these teaching methods will support students to develop general mathematical competencies, such as problem solving skills, ability to reason and acquire mathematical knowledge. To merely follow provided methods students might develop strategies of memorizing procedures usable to solve specific tasks rather than drawing general conclusions. If students instead of being provided with algorithms, are given the responsibility to construct solution methods, they may produce arguments for why the method will solve the task. There is research suggesting that if those arguments are based on mathematics they are more likely to develop problem solving and reasoning-skill, and learn the included mathematics better. In such didactic situations, where students construct solutions, it is important that students have instructions and tasks that frame the activity and clarify goals without revealing solution methods. Furthermore, the environment must be responsive. That is, students need to receive responses on their actions. If students have an idea on how to solve (parts of) the given problem they need to test their method and receive feedback to verify or falsify ideas and/or hypotheses. Such activities could be supported by dynamic software. Dynamic software such as GeoGebra provides features that support students to quickly and easily create mathematical objects that GeoGebra will display as visual representations like algebraic expressions and corresponding graphs. These representations are dynamically linked, if anything is changed in one representation the other representations will be altered accordingly, circumstances that could be used to explore and investigate different aspects and relations of these objects. The first three studies included in the thesis investigate in what way GeoGebra supports creative reasoning and collaboration. These studies focus questions about how students apply feedback from GeoGebra to support their reasoning and how students utilize the potentials of GeoGebra to construct solutions during problem solving. The fourth study examine students’ learning outcome from solving tasks by constructing their methods. Methods A didactical situation was designed to engage students in problem solving and reasoning supported by GeoGebra. That is, the given problems were not accompanied with any guidelines how to solve the task and the students were supposed to construct their own methods supported by GeoGebra. The students were working in pairs and their activities and dialogues were recorded and used as data to analyse their engagement in reasoning and problem solving together with their use of GeoGebra. This design was used in all four studies. A second didactical situation, differing only with respect of providing students with guidelines how to solve the task was designed. These didactical situations were used to compare students’ use of GeoGebra, their engagement in problem solving and reasoning (study III) and students’ learning outcome (study IV) whether the students solved the task with or without guidelines. In the fourth study a quantitative method was applied. The data from study IV consisted of students’ results during training (whether they managed to solve the task or not), their results on the post-test, and their grades. Statistical analysis where applied. Results The results of the first three studies show qualitative aspects of students solving of task with assistance of GeoGebra. GeoGebra was shown to support collaboration, creative mathematical reasoning, and problem solving by providing students with a shared working space and feedback on their actions. Students used GeoGebra to test their ideas by formulating and submitting input according to their questions and hypotheses. GeoGebra’ s output was then used as feedback to answer questions and verify/falsify hypotheses. These interactions with GeoGebra were used to move the constructing of solutions forward. However, the way students engage in problem solving and reasoning, and using GeoGebra to do so, is dependent on whether they were provided with guidelines or not. Study III and IV showed that merely the students who solved unguided tasks utilized the potential of GeoGebra to explore and investigate the given task. Furthermore, the unguided students engaged to a larger extent in problem solving and creative reasoning and they expressed a greater understanding of their solutions. Finally study IV showed that the students who managed to solve the unguided task outperformed, on posttest the students who successfully solved the guided task. Conclusions The aim of this thesis was to bring some insights into how to design a didactical situation, including dynamic software (GeoGebra), to support students' mathematical problem solving and creative reasoning as means for learning. Taking the results of the four studies included in this thesis as a starting point, one conclusion is that a didactical design that engage students to construct solutions by creative reasoning supported by GeoGebra may enhance their learning of mathematics. Furthermore, the mere presence of GeoGebra will not ensure that students will utilize its potential for exploration and analysis of mathematical concepts and relations during problem solving. The design of the given tasks will affect if this will happen or not. The instructions of the task should include clear goals and frames for the activity, but no guidelines for how to construct the solution. It was also found that when students reasoning included predictive argumentation for the outcomes of operations carried out by the software, they could better utilize the potential of GeoGebra than if they just, for example, submitted an algebraic representation of a linear function and then focused on interpreting the graphical output. / Det övergripande syftet med avhandlingen har varit att nå insikter i hur man kan designa en didaktisk situation inklusive en dynamisk programvara (GeoGebra) för att stödja elevernas lärande genom matematisk problemlösning och kreativt resonemang. En bärande idé har varit att elever som själva konstruerar lösningsmetoder till problembaserade uppgifter lär sig matematik bättre än elever som får en metod att följa. Resultaten visar att GeoGebra är ett stöd vid konstruerandet av lösningsmetoder och att elever då också resonerar kreativt. Det vill säga, de skapar en för dem en ny resonemangssekvens som innehåller en lösningsmetod som stöds av argument förankrade i matematik. Idén med att elever på egen hand konstruerar lösningen på uppgifter har även belysts genom att jämföra med elever som löser uppgifter där de får vägledning till lösningsmetoden. Resultaten visar att elever som får en lösningsmetod inte resonerar kreativt, de utnyttjar inte GeoGebras potential att stödja ett undersökande arbetssätt, och de lär sig mindre av den matematik som ingår i uppgifterna. Denna avhandling består av 4 artiklar och en kappa. De fyra artiklarna är: I. Granberg, C., & Olsson, J. (2015). ICT-supported problem solving and collaborative creative reasoning: Exploring linear functions using dynamic mathematics software. The Journal of Mathematical Behavior, 37, 48-62. II. Olsson, J. (2017). The Contribution of Reasoning to the Utilization of Feedback from Software When Solving Mathematical Problems. International Journal of Science and Mathematics Education, 1-21. III. Olsson, J. Relations between task design and students’ utilization of GeoGebra. Mathematical Thinking and Learning. (Under review) IV. Olsson, J., & Granberg, C. Dynamic software, problem solving with or without guidelines, and learning outcome. Technology, Knowledge and Learning. (Under review) Artikel 2 och 3 är jag ensam författare till. Det innebär att jag designat studien, planerat och genomfört datainsamling, analyserat data och formulerat slutsatser, samt skrivit texten och korresponderat med tidskrifter. Artikel 1 och 4 har jag skrivit i samarbete med Carina Granberg. Vi bedömer att arbetet med artikel 1 fördelats lika. Allt skrivarbete har fortgått genom åtskilliga granskningar av varandras utkast och diskussioner om slutgiltiga formuleringar. I arbetet med artikel 4 har jag haft huvudansvaret för designen av studien och planering för datainsamlingen. Skrivarbetet har genomförts på samma sätt som i arbetet med artikel 1.

Med utgångspunkt i en av matematikämnets förmågor, resonemangsförmågan, redogör denna studie för vilken typ av uppgifter inom området algebra som ger elever i årskurs 4-6 en möjlighet att få visa sin resonemangsförmåga, och vad läraren kan göra för att främja detta i arbetet med uppgifterna. Denna frågeställning besvaras genom en systematisk litteraturstudie som utgår ifrån vad tidigare forskning kommit fram till om ämnet. Resultatet visar att det finns flera gemensamma komponenter i de uppgifter som kan visa elevernas resonemangsförmåga. Den mest frekvent återkommande, och starkast framhållna, av dessa komponenter är kopplingen till problemlösningsuppgifter. När uppgifterna är ett problem – vilket i sammanhanget betyder att eleverna på förhand inte vet vilken strategi eller metod som ska användas för att lösa uppgiften – får eleverna en möjlighet att kunna resonera sig fram till en lösning. Det hela kan dock problematiseras av att om eleverna blir vana med att arbeta med samma typ av problemlösningsuppgifter blir uppgifterna inte längre ett problem för eleven. Deras resonemang blir därmed mera imitativa och elevens förkunskaper om hur uppgifterna brukar lösas är det som istället får störst inflytande över resonemanget. / <p>Matematik</p>