Denna studie är en kartläggning av empiriskt visade begreppsbilder av komplexa tal, genom en systematisk litteraturstudie av matematikdidaktisk forskningslitteratur. Litteraturen togs fram genom både ett strategiskt urval och ett snöbollsurval. Det konstaterades tidigt att det förekom en stor brist av matematikdidaktisk forskning inom området komplexa tal. Totalt hittades fyra texter: två forskningsartiklar, en doktorsuppsats och ett konferensbidrag. Texterna baserades på bland annat intervjuer, observationer och enkätundersökningar. Åtta begreppsbilder hittades i kartläggningen: komplexa tal är ett matematiskt trick, ett tvådimensionellt tal, ett symboliskt uttryck, ett obegripligt mysterium, egentligen inget tal, har en storleksordning, komplexa rötters natur ifrågasätts och imaginära enheten uppfattas som en enhetsvektor. Det diskuteras i arbetet huruvida det går att avgöra om en begreppsbild är "nära" en formell begreppsdefinition, och det söks eventuella förklaringar och lösningar till vissa missförstånd kring komplexa tal. Bland annat bör lärare eventuellt utveckla elevers talförståelse, förmåga att visualisera komplexa tal, samt erbjuda tydligare användningsområden för komplexa tal. Lärare kan med detta arbete identifiera elevers eventuella begreppsbilder och missuppfattningar som stöd för bedömning av elevers begreppsförmåga. Kartläggningen gör inget anspråk på att vara heltäckande, och vidare studier kring begreppsbilder av komplexa tal efterfrågas. Även fler studier om komplexa tal i allmänhet behövs.

I denna uppsats undersöker och analyserar jag gränsvärdesbegreppets framställning i svenskaläroböcker för gymnasieskolan. Utifrån Tall och Vinners (1991) termer begreppsbild och begreppsdefinition samt Lakoff och Núñez (2000) kognitiva idéutvecklingsteori studerar jag vilkaförutsättningar för förståelse som ges utifrån läroboksinnehållet. I uppsatsen studeras även de styrdokument som legat till grund för dagens läroböcker och i dessa noteras hur gränsvärdesbegreppet har fått allt mindre utrymme i undervisningen sedan 1970-talet men att begreppet åter nämns i den nyagymnasiereformen Gy11. I min undersökning av läroböcker konstateras att skillnaden visserligen ärstor på hur mycket plats gränsvärdesbegreppet får i litteraturen men det kan konstateras att flera avdagens läroböcker har en otillräcklig framställning för att elever skall ges en ordentlig möjlighet att utifrån dessa skaffa sig förståelse för begreppet.

Detta är en systematisk litteraturstudie med syfte att undersöka elevers begreppsbilder av bråktal. Ett urval på sex studier gjorda på området presenteras och analyseras enligt Sfards (1991) ramverk för begreppsbilder. Resultatet visar på förekomsten av både den operationella begreppsbilden och den strukturella begreppsbilden bland eleverna samt att den strukturella begreppsbilden av bråk för de flesta eleverna är svår att nå, varför den operationella begreppsbilden förekommer i mycket större utsträckning. / This report presents a systematic literature review focusing on students’ conception of fractions. A selection of six relevant research studies are presented and analysed using Sfad’s (1991) framework of mathematicalconceptions. The result shows that students conceive fractions both operationally and structurally, and that inaddition the structural image of fractions is challenging from most students. Hence, the operational image of fractions is much more prevailing in students.

Studien är en litteraturöversikt där standard- och icke-standardekvationers påverkan på elevers begreppsbilder samt hur frekvent dessa exponeras i läroböcker framställs. Elevers begreppsbilder av likhetstecknet diskuteras i relation till Sfards teoretiska ramverk för att kunna resonera om hur elevers begreppsbilder vidareutvecklas. Resultaten belyses med exempel kopplade till litteraturen.Det har visat sig att elever ofta har en operationell syn på likhetstecknet. Elever ser likhetstecknet som en ”uppmaning att göra någonting”. Icke-standardekvationer med operationer i både V.L. och H.L. (t.ex. 2 + 3 = __ + 1) har visat sig reducera elevers operationella begreppsbild likhetstecknet och istället förstärka en strukturell begreppsbild av det. Däremot förekommer sådana uppgifter sällan i läroböcker medan standardekvationer (t.ex. 2 + 3 = __) förekommer mer frekvent. Därför är det av vikt att lärare reflekterar över vilka uppgifter som exponeras för eleverna samt kompletterar undervisningen med ytterligare icke-standardekvationer utöver de som förekommer i läroböckerna om dessa är få.

Tidigare studier indikerar att elever uppvisar bristande kunskaper inom matematik och att många elever har problem med platsvärde. Forskning belyser vikten av att elever får kunskaper om att talsorterna har olika värde beroende på dess position. Syftet med den här uppsatsen är att undersöka vad elever baserar sina resonemang på när de löser matematiska problem inom positionssystemet. Vilka resonemang för eleverna och vilka begreppsbilder uppvisar de? Genom en kvalitativ metod där sex elever enskilt har observerats med hjälp av videokamera har vi gjort två delstudier. Resultatet visar att eleverna använder sig av algoritmer och kreativa resonemang utifrån individuella belägg i sina argumentationer och att elevernas begreppsbilder i många fall brister då de inte har en full förståelse för definitioner. De sammanlagda resultaten från de båda studierna indikerar att i de fall eleverna inte skapar resonemang baserade i matematiska egenskaper, uppvisar de i sin argumentation en begränsad begreppsbild.

Detta är en studie av hur gymnasieelever uppfattar begreppet derivata. Studien inriktar sig på att undersöka vilken roll derivatans definition och derivatans grafiska representation har i elevernas förståelse och hur deras begreppsförståelse ser ut inom dessa två representationer. Data samlades in via två frågeformulär som besvarades av 17 elever. Dessa analyserades utifrån Tall och Vinners (1981) definition av begreppsbild samt med en modell av elevers förståelse av derivata som är framtagen av Zandieh (2000). Resultat och analys pekar på att den grafiska representationen har en framträdande roll i elevernas begreppsbild och de uppvisar även en större förståelse för denna representation. Derivatans definition antar främst rollen som en metod för att beräkna derivatan. Även om resultatet medför denna typ av generella slutsatser så visar analys av enskilda elevsvar även på stora individuella skillnader, både kring representationernas betydelse men också i vilken grad eleverna har tagit till sig begreppet. / This is a study of how high school students perceive the derivative concept. The role of the formal definition and the graphical representation in the student’s understanding will be in focus, and, also the conceptual understanding of these two representations. Data was collected from 17 students who answered two questionnaires. The analysis was based on the definition of concept image from Tall and Vinner (1981) and a framework of students’ understanding of derivative from Zandieh (2000). Result and analysis indicate that the graphical representation has a prominent role in the student’s concept image and there is also a higher understanding among this representation. The formal definition works more as a method for computing the derivative. Although it is possible to make this kind of general conclusions, analysis from individual student responses shows large individual differences, both among the importance of the representations but also to what extent the students capture the concept.

Detta examensarbete är en kvalitativ empirisk studie av högstadieelevers bilder av bråktal, baserad på intervjuer med två fokusgrupper. Totalt har nio elever i årskurs 7 och 9 deltagit i studien. Resultatet presenteras utifrån olika teman funna genom en innehållsanalys, samt utifrån bråkets fem ansikten (Löwing och Kilborn, 2002) och den duala begreppsbilden (Sfard, 1991). I studien visas att eleverna i stor utsträckning relaterar bråktal till procent. Därtill representerar eleverna huvudsakligen bråktal med en uppdelad cirkel. Resultaten exemplifieras med intervjuexcerpter samt elevernas anteckningar och bilder.Studien bygger även vidare på ett tidigare examensarbete där en litteraturstudie gjordes på samma tema (Wahlström, 2018).

Syftet med denna studie är att undersöka lärarnas upplevelse av elevers missuppfattningar vid inlärning av bråk och sannolikhet samt om det är möjligt att minska missuppfattandet med hjälp av kategorisering av dessa. Genom att fråga matematiklärare om de upplever att eleverna de undervisar ofta har missuppfattningar och om samma missuppfattningar är återkommande, kan vi få en bild av vilka delar av de matematiska begreppen som kan uppfattas svåra av eleverna. De missuppfattningar som tenderar att återkomma kan komma att behöva mer fokus på förklaring. Studien genomfördes genom en surveyundersökning i enkätform som publicerades i grupper som samlar matematiklärare på sociala medier, samt skickades till matematiklärare via mail. Det resulterade i 41 enkätsvar som analyserades genom beskrivande statistik i kombination med en induktiv innehållsanalys. Studien visar att orsaken till att missuppfattningar kopplade till matematiska begrepp kan bero på ett för stort fokus på procedurinriktad undervisning i de tidigare skolåren. Detta upplever lärarna medför att eleverna inte har tillräcklig begreppsförståelse när de börjar på gymnasiet. Det vanligaste åtgärdsförslaget är kopplat till undervisningsstrategier med mer sociokulturella inslag i undervisningen. De allra flesta av studiens deltagare upplever att begreppsförståelse är viktigt och utgör en förutsättning för att klara av både problemlösning och mer avancerad matematik. För att skapa förståelse för matematiska begrepp är det nyttigt för lärare att känna till vanliga missuppfattningar. Kategorisering av missuppfattningar kan därför vara till nytta för lärarna i undervisningen, som ett stöd i lektionsplanering och som ett pedagogiskt verktyg för att utveckla elevernas matematiska kunskaper. / The purpose of this study is to investigate the teachers' experience of students' misconceptions when learning fractions and probability, and whether it is possible to reduce misconceptions by categorizing them. By asking mathematics teachers if they feel that the students they teach often have misconceptions and if the same misconceptions are repeated, we can get a picture of which parts of the mathematical concepts may be perceived as difficult by the students. The misconceptions that tend to recur may need more focus on explanation. The study was carried out through a survey in questionnaire form that was published in groups that bring together mathematics teachers on social media and was also sent to mathematics teachers via email. This resulted in 41 survey responses that were analysed through descriptive statistics in combination with an inductive content analysis. The study shows that the reason for misconceptions connected to mathematical concepts may be due to too much focus on procedure-oriented teaching in the earlier school years. The teachers feel that this means that the students do not have sufficient conceptual understanding when they start high school. The most common proposed measure is linked to teaching strategies with more socio-cultural elements in the teaching. The vast majority of the study's participants feel that conceptual understanding is important and constitutes an essentiality for being able to cope with both problem solving and mathematics at more advanced levels. In order to create an understanding of mathematical concepts, it is useful for teachers to know about common misconceptions. Categorization of misconceptions can therefore be useful for teachers in teaching, as a support in lesson planning and as a pedagogical tool to develop students' mathematical knowledge.

När en person ser en skiftnyckel är det inte säkert att personen ser något som är bra att ha när man ska skruva en mutter. Beroende på vad personen vanligtvis använder skiftnyckeln till och vilket problem som personen just då står inför kommer personen att se olika saker. Är det en spik som ska spikas ner kanske personen ser skiftnyckeln som ett alternativ till en hammare. Är det en sten som ska bändas upp kanske skiftnyckeln kan användas som en hävstång. Att ett redskap kan beskrivas på många olika vis och användas till många olika ändamål stämmer även för matematiska redskap. Genom att undersöka vad elever ser när de tänker på bråk och vad de tänker när de räknar med bråk kan läraren anpassa undervisningen för attoptimera elevernas inlärning. Med hjälp av intervjuer där elever besvarar bråkrelaterade uppgifter ger detta arbete en bildav vilka representationsformer eleverna har rörande bråk. Genom uppdelning i operationell och strukturell begreppsbild ger resultatet en fingervisning om vilka begreppsbilder eleverna har samt hur och när de används. Frågeställning Huvudfrågorna som detta arbete försöker svara på är: • Vilka begreppsbilder av matematiska bråk besitter eleverna? • Finns det en systematik i när eleverna använder olika begreppsbilder? En begränsning med detta arbete är att endast tre elever valde att delta. Eleverna var från tre olika skolor i två olika kommuner. Gemensamt för informanterna var att de använde en bildligt beskrivande och strukturell begreppsbild när de beskrev vad bråk är. När frågorna övergick till att göra matematiska beräkningar lämnade alla informanter bilderna och övergick till att använda inlärda och automatiserade processer, operationella begreppsbilder. Processer som de i många fall inte kunde förklara varför de fungerade, eleverna visste bara att de fungerade. Ett stickspår i undersökningen var introducerandet av ”bråk som ett antal av en enhet”. Detta tankesätt var nytt för eleverna men alla förstod tanken och lyckades lösa vissa uppgifter både snabbare och säkrare med hjälp utav den. Denna studie är kvalitativ och visar endast på hur de svarande eleverna ser på bråkräkning. Hur andra elever tänker och räknar på bråk besvaras inte. / When a person sees a wrench, the person might not understand the benefit of it as a tool to tighten a screw-nut. Depending on what the person normally uses the wrench for and the problem the person is facing at the time. The wrench provides different solutions for the person. If it is a nail that needs to be attached, the wrench can be used as a hammer. If it is a rock that needs to be pried up, the wrench can be used as a lever. A tool can be described in many different ways regarding the way it should or could be used and this also applies to mathematical tools. By examining students relation to fractions andhow they think about THEM the teacher can adapt the teaching to optimize the learning. With guidance from the interviews where students answered fraction-related tasks, this report provides a picture of what type of representation the students have regarding fractions. By dividing into operational and structural conceptual image, the result gives an indication of which conceptual images the students have and how and when they are used. Question The main questions that this report tries to answer are: • Which conceptual images of mathematical fractions do the students have? • Is there a system by which a student uses different types of conceptual images? One limitation with this study is that only tree students participated. Common to the respondents was that they used a pictorial descriptive, a structual conceptual image trying to describe what fractions are. When the questions turned to mathematical calculations, all respondents left the images and switched to using learned and automated processes, operational conceptual images. Processes that , they could not explain , why they worked but the students only knew that they worked. One sidebar in the survey was the introduction of ”fractions as a number of a unit”. This way of thinking was new to the students but they all understood the idea and managed to solve certain tasks both faster, and safer with the help of it. This study is qualitative and only shows how the responding students view fractions. How other students think and count fractions is not answered.

The purpose of this paper is to create increased understanding of how pupils learn statistics. This includes gaining insight into pupils' use of their own experience and group experience to help to get a better understanding of statistical problem solving. The study's research questions are about how pupils learn to work with data in tables and diagram and how pupils learn to work with measures. The theoretical framework consists of two approaches to studying learning. One approach is based on pupils’ cognitive conditions, called set-befores, and the pupils' previous experiences, called met-befores. The second starting point is the pragmatic mindset that focuses on the language game – how pupils learn during meetings between pupils and between pupils and teachers. The survey was conducted by using structured observations of pupils' statistical problem solving and the discourse that went on in the classroom. The one teacher and the teacher's pupils were observed during six sessions with small groups of Year 7 pupils, who in turn were part of two larger groups. The result showed that pupils were able to identify, understand and interpret statistical data by seeing patterns, similarities and differences. The participants' learning was affected by the language they used. Pupils were able to recreate images using reflective thought experiments during the meetings. The discussions helped the participants to get started with their thoughts and to give those thoughts some structure in developing and understanding the relationships between different diagrams. The teacher and the group helped the pupils to learn to interpret data while working. It made it easier if pupils to used the correct words when pupils had to argue. Proper use of words from the statistical register, when pupils worked with measures of center, also helped the pupils to develop cognitively. The pupils who could use the statistical register also became easier understood and respected by the group. / Syftet med denna uppsats är att skapa en ökad förståelse för hur eleverna löser statistiska uppgifter och lär sig statistik. I detta ingår det även att få insikt i elevers användning av sina erfarenheter och gruppens erfarenhet till hjälp för att få bättre förståelse för statistisk problemlösning. Studiens forskningsfrågor handlar om: Hur elever lär sig att arbeta med data i tabeller och diagram samt hur elever lär sig att arbeta med lägesmått. Det teoretiska ramverket består av två synsätt på lärande. Ett synsätt utgår från elevernas kognitiva förutsättningar, set-befores, samt elevernas tidigare erfarenheter, met-befores. Den andra utgångspunkten är det pragmatiska tankesättet som fokuserar på språkspelet. Hur eleverna lär sig under möten mellan eleverna samt mellan elever och lärare. Undersökningen genomfördes genom att använda strukturerade observationsstudier av elevernas statistiska problemlösning och de diskurser som pågick i klassrummet. Observationerna utgick från en lärare och den lärarens elever vilka observerades under sex lektionspass med smågrupper av årskurs 7 elever, vilka i sin tur ingick i två större grupper. Resultatet visar att eleverna kunde identifiera, förstå och tolka statistiskuppgifter genom att se mönster, likheter och olikheter. Deltagarnas lärande påverkades av språket och språkspelet som pågick. Eleverna kunde återskapa bilder med hjälp av reflekterande tankeexperiment under mötena. Mötena hjälpte deltagarna att komma igång med sina tankar och få struktur över dem samt utvecklas och förstå relationerna mellan olika diagram. Läraren och gruppen hjälpte eleverna att lära sig tolka data under arbetet. Det underlättade att använda rätt ord och statistikregister när eleverna behövde argumentera. Korrekt användning av ord från statistikregistret, exempelvis när eleverna arbetade med lägesmått, hjälpte även eleverna att utvecklas kognitivt. De elever som kunde använda statistikregistret blev också lättare förstådda och de respekterades av gruppen.