Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-graduação em Matemática e Computação Científica / Made available in DSpace on 2012-10-22T09:33:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 225839.pdf: 394780 bytes, checksum: 15714dd9f26ee31fcbf768b2e526e5d8 (MD5) / Nesta disserta¸c#ao n´os estudamos propriedades gerais de operadores lineares em espacos de Hilbert e aplicacoes. Em particular, o problema de existencia e unicidade de extensoes autoadjuntas de um operador linear e considerado. Varios exemplos importantes sao trabalhados em detalhe: os operadores de multiplicacao e os operadores diferenciais de Laplace e Schrodinger.

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:26:53Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-07-27. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:45:05Z : No. of bitstreams: 1 000848282.pdf: 636772 bytes, checksum: 5cce337d62dc9c9febd4fbe947aab2c6 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / A teoria de defeitos integráveis em teoria de campos em 1+1 dimensões, foi introduzida pela escola de York [16, 17, 22], utilizando transformações de Bäcklund para descrever o defeito. Nesta dissertação estudamos o modelo de Schrödinger não linear na presença de um defeito integrável. Estudamos tanto o modelo discreto [29] como o modelo contínuo dentro dos formalismos lagrangiano [23] e da matrizr [7]. Construímos também o formalismo hamiltoniano para o modelo de Schrödinger não linear na presença de um defeito integrável. Discutimos e relacionamos os formalismos lagrangiano, hamiltoniano e da matriz r / The theory of integrable defects in 1+1 field theory, was introduced by the school of York [16, 17, 22], employing B¨acklund transformation in order to describe the defect. In this dissertation we have studied the nonlinear Schrödinger model in the presence of an integrable defect. We study both, the discrete model [29] as the continuous model within the lagrangian [23] andr matrix [7] formalisms. Also we built the hamiltonian formalism for nonlinear Schrödinger model in the presence of an integrable defect. We discuss and relate the lagrangian, hamiltonian and r matrix formalisms

Dissertação (mestrado)–Universidade de Brasília, Programa de Pós-Graduação em Ciência de Materiais, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-25T17:32:14Z No. of bitstreams: 1 2014_MarceloBrandaoMonteirodosSantos.pdf: 925373 bytes, checksum: 6e6756083a9498314c7cf79b37d8492b (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-05-25T18:45:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_MarceloBrandaoMonteirodosSantos.pdf: 925373 bytes, checksum: 6e6756083a9498314c7cf79b37d8492b (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-25T18:45:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_MarceloBrandaoMonteirodosSantos.pdf: 925373 bytes, checksum: 6e6756083a9498314c7cf79b37d8492b (MD5) / Inicialmente projetadas para processamento de gráficos, as placas gráficas (GPUs) evoluíram para processadores paralelos de propósito geral de alto desempenho. Usando unidades de processamento gráfico (GPUs), da NVIDIA, adaptamos métodos (algoritmos) computacionais de linguagem C para linguagem CUDA. Resolvemos a equação de Schrödinger pelo método de diferenças finitas, usando o método da Bissecção com sequência de Sturm para um poço quântico simétrico de heteroestruturas de GaAs/AlGaAs com a finalidade de acelerar a busca do autovalores. Comparamos o tempo gasto entre os algoritmos usando a GPU, a CPU e a rotina DSTEBZ da biblioteca Lapack. Dividimos o problema em duas fases, a de isolamento, calculada na CPU, e a de extração, calculada na GPU, na fase de extração o método em GPU foi cerca de quatro vezes mais rápido que o método na CPU. O método híbrido, isolamento na CPU e extração na GPU foi cerca de quarenta e seis vezes mais rápido que a rotina DSTEBZ. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Initially designed for graphics processing, the (GPU) graphics cards have evolved into general purpose parallel processors for high performance. Using graphics processing units (GPUs), NVIDIA, adapt computing methods (algorithms) C language for CUDA language. We solve the Schrödinger equation by the finite difference method, using the Bisection method with Sturm sequence for a symmetric quantum well heterostructures of GaAs / AlGaAs. In order to accelerate the search for eigenvalues. We compared the time spent between algorithms using the GPU, CPU and DSTEBZ routine LAPACK library. The problem divided into two phases, the insulation calculated in the CPU and extracting calculated in the GPU, in phase extraction method GPU was about four times faster than the method in the CPU. The hybrid method, isolating on the CPU and extraction on the GPU was about forty-six times faster than DSTEBZ routine.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2017-08-18T16:30:32Z No. of bitstreams: 1 2017_AlirezaKhatib.pdf: 605280 bytes, checksum: 4b06421f0c43b2ace967137ee0b31ca0 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2017-09-25T13:10:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_AlirezaKhatib.pdf: 605280 bytes, checksum: 4b06421f0c43b2ace967137ee0b31ca0 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-25T13:10:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_AlirezaKhatib.pdf: 605280 bytes, checksum: 4b06421f0c43b2ace967137ee0b31ca0 (MD5) Previous issue date: 2017-09-25 / Estamos interessados na existência de uma solução positiva para duas classes de equaçãoes não lineares de Schrödinger em domínios exteriores: (veja a fórmula no resumo original) onde N ≥ 2; RN n é um domínio limitado regular, mas não há restrição sobre o seu tamanho, nem qualquer hipótese de simetria e também (veja a fórmula no resumo original) onde N≥3; RN n é um domínio limitado regular, e como acima não há restrição sobre o seu tamanho, nem qualquer hipótese de simetria. Nosso objetivo no primeiro capítulo é mostrar a existência de uma solução positiva do problema (PV ) onde o nível mínimo de energia não pode ser obtido. Usando uma nova abordagem desenvolvida recentemente por Évéquoz e Weth [31], Clapp e Maia [24] e Maia e Pellacci [37] uma solução positiva é encontrada, estendendo os resultados de existência obtidos nos artigos clássicos de Benci e Cerami [9] e Bahri e Lions [6], para não-linearidades gerais não homogêneas, superlineares ou assintoticamente lineares no infinito em um domínio exterior. O estudo de ondas solitárias de equações de Schrödinger não lineares ou equações não lineares de Klein-Gordon é modelado por (PV ) com = RN. Da mesma forma, problemas de fronteira de limite exterior podem estar associados a modelos de fluxos de estado estacionário na dinâmica de fluidos (ver [32]) e ao problema eletrostáatico de capacitores (veja [27], Volume 1, Capítulo II), por exemplo. Nossa contribuição principal no primeiro capítulo foi estender o resultado de Bahri e Lions [6] para f não homogêneas, sem hipótese de simetria em V ou . Além disso, permitimos que a função não linear f seja uma função menos suave, apenas em C1, melhorando as hipóteses em [24] e [37] onde esta foi considerada em C3 por razões técnicas (veja o Lemma 3.3 em [24]). O método que empregamos para resolver (PV ) tem muitas ideias em comum com [24, 37]. Do mesmo modo, o trabalho de [31] forneceu algumas ferramentas úteis e informações para estimativas, mesmo que seu problema seja para f super-linear em todo RN e usa a variedade de Nehari generalizada. Segundo o nosso conhecimento, os resultados que apresentamos aqui são novos e estendem os trabalhos anteriores encontrados na literatura para uma classe de problemas em domínios exteriores. Consideramos o problema elíptico -Δu + V (x)u = f(u) ; u 2 H1 0() (PV ) onde N ≥ 2, RN n _ BK(0) a bola do raio K e centro na origem em RN; de fato RN n é limitado, @ é regular e u 2 H1 0() e V é um potencial que satisfaça as condições: (V1) V 2 C0() , infx2 V (x) > 0 e lim jxj!+1 V (x) = V1; (V2) V (x) _ V1 + Cejxj, onde C > 0 e > 2 p V1. As condições que consideramos na não linearidade f são as seguintes: (veja a fórmula no resumo original) A função s 7! f(s)=s é crescente em s 2 (0;+1); Teorema A: Sob hipóteses (V1) (V2), (f1) (f5) e (U), o problema (PV ) tem uma solução positiva u em H1 0(). No segundo capítulo, procuramos uma solução positiva para o problema (P) onde um nível mínimo de energia não pode ser atingido. Aqui, estudamos não linearidades não homogêneas gerais, com condição de crescimento em f de potência dupla, que se comporta como uma potência subcrítica up no infinito e uma potência supercrítica uq perto da origem, onde p < 2_ < q, em qualquer domínio exterior. Usando as ideias introduzidas em [24, 25, 37], estendemos os resultados de V. Benci e A. Micheletti [12] removendo qualquer suposição no tamanho da abertura RN n . Neste capitulo o método utilizado para encontrar uma solução de (P) como um ponto crítico do funcional associado à equação, restrito à variedade de Nehari do funcional, é bastante natural por causa da geometria deste funcional devido ao crescimento superquadrático dos termos não lineares. Entretanto, a novidade em nossa aproximação é encontrada principalmente em alguns resultados técnicos delicados, como as estimativas exatas sobre o decaimento da solução de nivel minimo de energia do problema em RN e suas implicações na interação de duas cópias distintas e distantes desses solitões. Por outro lado, um novo resultado de compacidade numa nova versão do Lema de Lions, que nos permite contornar as dificuldades criadas por um domínio não simétrico ilimitado e abraçar um problema muito geral. / We obtain necessary and sufficient conditions for a curve in two sphere to be a shortening curve flow soliton. From this result, we describe the geometry of the solitons in a twodimensional sphere. In addition, we visualize some examples of such curves. We prove that, a hypersurface in a space form is an initial condition for a solution of the mean curvature flow by parallel hypersurfaces if, and only if, it is isoparametric. We apply this theorem to obtain solutions of the mean curvature flow starting from isoparametric hypersurfaces of space forms. In this work, we consider two problems. First we establish the existence of a positive solution for semilinear elliptic equation in an exterior domain {−∆u+V (x )=F(u),∈Ω u H (PV ) u H0 1 (Ω) where N ≥ 2, R N \Ω is regular bounded domain but there is no restriction on its size, nor any symmetry assumption. The nonlinear term f is a non homogeneous, asymptotically linear or superlinear function at infinity. Moreover, the potential V is a positive function, not necessarily symmetric. The existence of a solution is established in situations where this problem does not have a ground state. In the second problem we consider the Null Mass nonlinear field equation ¿ −∆u=F(u) ,∈Ω u>0, u∨¿ϬΩ=0, ¿ where R N \ Ω is regular bounded domain and like as above there is no restriction on its size, nor any symmetry assumption. The nonlinear term f is general non- { −∆u+V (x )=F(u),∈Ω u H0 1 (Ω) homogeneous non-linearities with double-power growth condition. The existence of bound state solu- tion is established in situations where this problem does not have a ground state.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, 2015. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2015-11-20T15:59:18Z No. of bitstreams: 1 2015_JoséCarlosdeOliveiraJunior.pdf: 585340 bytes, checksum: c3c6b263a9844a065ed6941adcc707b8 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-05-12T21:17:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_JoséCarlosdeOliveiraJunior.pdf: 585340 bytes, checksum: c3c6b263a9844a065ed6941adcc707b8 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-12T21:17:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_JoséCarlosdeOliveiraJunior.pdf: 585340 bytes, checksum: c3c6b263a9844a065ed6941adcc707b8 (MD5) / Neste trabalho, consideramos o problema autônomo {(-∆u+V(x)u=f(u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ em que N≥3, a função V é não periódica, radialmente simétrica e muda de sinal e a não linearidade f é assintoticamente linear. Além disso, impomos que V possui um limite positivo no infinito e que o espectro do operador L≔-∆+V tem ínfimo negativo. Sob essas condições, baseando-se em interações entre soluções transladadas do problema no infinito associado, é possível mostrar que tal problema satisfaz a geometria do teorema de linking clássico e garantir a existência de uma solução fraca não trivial. Em seguida, estabelecemos a existência de uma solução não trivial para o problema não autônomo {(-∆u+V(x)u=f(x,u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ sob hipóteses similares ao problema anterior, admitindo também que f(x,u)=f(|x|,u) dentre outras condições. Aplicamos novamente o teorema de linking para garantir que tal problema possui uma solução não trivial. Por fim, provamos que o problema quasilinear {(-∆u+V(x)u-u∆(u^2)=g(x,u) em R^3,@u∈H^1 (R^3)\\{0},)┤ em que o potencial V muda de sinal, podendo ser não limitado inferiormente, e a não linearidade g(x,u), quando |x|→∞, possui um certo tipo de monotonicidade, possui uma solução não trivial. A existência de tal solução é provada por meio de uma mudança de variável que transforma o problema num problema semilinear, nos permitindo, assim, empregar o teorema do passo da montanha combinado com o lema splitting. / In this work, we consider the autonomous problem {(-∆u+V(x)u=f(u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ where N≥3, V is a non-periodic radially symmetric function that changes sign and the nonlinearity f is asymptotically linear. Furthermore, we impose that V has a positive limit at infinity and the spectrum of the operator L≔-∆+V has negative infimum. Under these conditions, employing interaction between translated solutions of the problem at infinity, it is possible to show that such problem satisfies the geometry of the classical linking theorem and garantee the existence of a nontrivial weak solution. After that, we establish the existence of a nontrivial weak solution for the nonautonomous problem {(-∆u+V(x)u=f(x,u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ under similar hyphoteses to the previous problem, assuming also that f(x,u)=f(|x|,u) among others conditions. We apply again the classical linking theorem to ensure that such problem possesses a nontrivial weak solution. Finally, we prove that the quasilinear problem {(-∆u+V(x)u-u∆(u^2)=g(x,u) em R^3,@u∈H^1 (R^3)\\{0},)┤ where the potential V changes sign and may be unbounded from below and the nonlinearity g(x,u), as|x|→∞, has a kind of monotonicity, has a nontrivial weak solution. The existence of such solution is proved by means of a change of variables that makes the problem become a semilinear problem and hence allow us apply the mountain pass theorem combined with splitting lemma.

Orientador: Roberto de Almeida Prado / Banca: Marcelo Messias / Banca: Cesar Rogerio de Oliveira / Resumo: Baseando-se em trabalhos recentes da literatura, o presente trabalho tem como objetivo estudar limites dinâmicos para operadores de Schrödinger discretos, unidimensionais, com potenciais Sturmianos (modelos quase-periódicos). Tais limites são obtidos das taxas de propagação do pacote de ondas associado a uma partícula sobre a rede unidimensional Z. Utilizando um método desenvolvido por Damanik e Tcheremchantsev, obtém-se um limite dinâmico superior não-trivial para uma família grande de operadores Sturmianos, associados a números de rotação irracionais. Além disso, apresenta-se um limite inferior global para a dimensão fractal superior do espectro desses operadores, o qual é usado para obter um limite dinâmico inferior para tais operadores Sturmianos associados a números irracionais de densidade limitada. Serão utilizados resultados sobre o traço das matrizes de transferência associadas aos operadores de Schrödinger Sturmianos e também propriedades espectrais destes operadores / Abstract: By following recent papers in the literature, the present work aims to study dynamical bounds for one dimensional discrete Schrödinger operators with Sturmian potentials by bounding the rates of propagation of the wavepacket. By a method developed by Damanik and Tcheremchantsev, is obtained a non trivial upper bound for almost all Sturmian Schrödinger operator associated with irrational numbers. Moreover, it presents a global lower bound for the upper box counting dimension of the spectrum of these operators, which is used to obtain a lower dynamical bound for such Sturmian Schrödinger operators associated with bounded density irrational numbers. Will be used results about the traces of transfer matrices and spectral properties of Sturmian Schrödinger operators / Mestre

Orientador: Roberto de Almeida Prado / Coorientador: Suetônio de Almeida Meira / Banca: Cesar Rogerio de Oliveira / Banca: José Roberto Nogueira / Resumo: Neste trabalho fizemos um levantamento das diferentes versões discretas e contínuas dos argumentos de Gordon, utilizados no estudo espectral de operadores de Schrödinger unidimensionais. Estudamos como aproximações periódicas do potencial (caso contínuo) e ocorrências de estruturas repetitivas do potencial (caso discreto) permitem excluir o espectro pontual de tais operadores. No caso discreto, as aplicações dos argumentos de Gordon fornecem resultados genéricos, q.t.p. (quase toda parte) e uniformes sobre a ausência de espectro pontual para modelos de Schrödinger com potenciais gerados por substituições primitivas e rotações na circunferência. Parte dos resultados obtidos na demonstração desses argumentos podem ser usados para mostrar que o espectro dos operadores tem medida de Lebesgue zero. Consequentemente, com a ocorrência simultânea das propriedades ausência de espectro pontual e espectro com medida zero , obtemos operadores de Schrödinger com espectro puramente singular contínuo. No caso contí- nuo, as aplicações incluem operadores de Schrödinger gerados por potenciais de Gordon com frequências de Liouville, funções Hölder contínuas, funções escada e funções com singularidades locais / Abstract: In this work review di erent versions of discrete and continuous Gordon's arguments, used in the spectral study of one-dimensional Schrödinger operators. We study periodic approximations of the potential (continuous case) and occurrences of repetitive structures of the potential (discrete case) that allow us to exclude the point spectrum of such operators. In the discrete case, the applications of Gordon's arguments supply generic results, almost sure and uniform on the absence of point spectrum for Schrödinger models with potentials generated by primitive substitutions and circle maps. Part of the results obtained in the demonstration of these arguments can be used to show that the spectrum of the operators has zero Lebesgue measure. Consequently, with the properties absence of point spectrum and spectrum with zero measure , we obtain Schrödinger operators with purely singular continuous spectrum. In the continuous case, the applications include Schrödinger operators generated by Gordon potentials with Liouville frequencies, Hölder continuous functions, step functions and functions with power-type singularities / Mestre

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2011. / Submitted by Max Lee da Silva (bruce1415@hotmail.com) on 2011-06-28T13:10:03Z No. of bitstreams: 1 2011_HenriqueRennóZanata.pdf: 475017 bytes, checksum: 0c1d7dc14f0901b1af583bc81ad054b6 (MD5) / Approved for entry into archive by Guilherme Lourenço Machado(gui.admin@gmail.com) on 2011-07-04T13:03:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_HenriqueRennóZanata.pdf: 475017 bytes, checksum: 0c1d7dc14f0901b1af583bc81ad054b6 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-07-04T13:03:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_HenriqueRennóZanata.pdf: 475017 bytes, checksum: 0c1d7dc14f0901b1af583bc81ad054b6 (MD5) / Neste trabalho utilizamos técnicas variacionais e o Teorema do Passo da Montanha na obtenção de soluções para equações de Schrödinger não lineares. O ponto principal dos resultados apresentados é que o potencial pode se anular e, em um dos casos, ser inclusive negativo. Na primeira parte, obtemos uma solução positiva para o problema (P2) Au + b(x)u = f(x, u) , x E Rn, onde f é superlinear e o potencial b pode assumir valores negativos. Na segunda parte consideramos o problema (P3) Au + bh(hx)u = g(hx, u) , x E Rn, onde h > 0 é um parâmetro, g é superlinear e os potenciais bh podem se anular, mas permanecem não negativos. Provamos a existência de uma solução positiva para valores pequenos de h. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we use variational techniques and the Mountain Pass Theorem in order to obtain solutions to nonlinear Schrödinger equations. The main point of the results is that the potential can vanish and, in one of the cases, be even negative. In the first part, we obtain a positive solution to the problem (P2) − u + b(x)u = f(x, u) , x ∈ RN , where f is superlinear and the potential b can take negative values. In the second part we consider the problem (P3) − u + bh(hx)u = g(hx, u) , x ∈ RN , where h > 0 is a parameter, g is superlinear and the potentials bh can vanish, but do not take negative values. We prove the existence of a positive solution for sufficiently small h.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2011. / Submitted by Tania Milca Carvalho Malheiros (tania@bce.unb.br) on 2012-03-22T17:01:15Z No. of bitstreams: 1 2011_AlissonXavierMartins_Parcial.pdf: 252053 bytes, checksum: 88bb88dd4d50fbff47ef2f76e209e027 (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2012-03-22T20:10:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_AlissonXavierMartins_Parcial.pdf: 252053 bytes, checksum: 88bb88dd4d50fbff47ef2f76e209e027 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-03-22T20:10:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_AlissonXavierMartins_Parcial.pdf: 252053 bytes, checksum: 88bb88dd4d50fbff47ef2f76e209e027 (MD5) / O estudo da equação de Schrodinger e de grande importância para compreender os aspectos fundamentais da matéria. A busca por soluções desta equação e de grande interesse tanto do ponto de vista te orico quanto do ponto de vista experimental. Apesar dessa importância, não temos muitas soluções analíticas dessa equação. Nesse contexto, apresentamos nessa dissertação um estudo das simetrias de Lie, simetrias não-classicas e soluções invariantes da equa cão de Schrodinger não-linear. Mostramos que no caso (1+1) dimensional não existe simetria, além das simetrias encontradas via geradores de simetria de Lie e com um gerador de simetria encontramos uma solução invariante para a equação de Schrodinger não-linear. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT / The study of Schrodinger equation is of great importance for understanding the fundamental aspect of matter. The search for solutions of this equation is of great interest both from the standpoint of theoretical and experimental point of view. Despite of importance we have many analytical solutions of this equation. In this context, we present in this thesis a study of Lie symmetries, non-classical symmetries and invariant solutions of the Schrodinger nonlinear equation. We show that if (1+1) dimensional symmetry does not exist beyond the symmetries found with the Lie symmetry generators and a generator of symmetry we nd a invariant solution to the nonlinear Schrodinger equation.

Orientador: Elso Drigo Filho / Banca: Fernando Alves de Melo / Banca: Glaucia Rosângela Peglow Borges de Castro / Resumo: Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição / Abstract: In this work, the bistable potential, through the time independent Schrödinger equation, was solved for a two-level system of the symmetrical one-dimensional double square well and by approximate methods. We also present the solution of the radial equation for the coulombian potential using a ladder operator formalism through the concepts of quantum mechanical supersymmetry and shape invariance. Tunneling at bistable potential is proportional to the difference between the two lowest energy levels. This paper shows the results of this difference obtained for three different approaches to the bistable square well analyzed. The first results are obtained by an analytical solution for the time independent Schrödinger equation. A linear combination of the ground state autofunctions of the individual wells is used together with the variational method in a second approach. Another approach used is the WKB approach. The radial solution of the quantum coulombian problem is determined exactly / analytically through the creation and destruction operators / Mestre