Ce travail est une contribution à l'étude de la limite singulière des équations et des systèmes de Réaction-Diffusion. Ces derniers modélisent des problèmes issus de la physique, de la chimie, de la biologie et des sciences de la technologie. En effet, ce type de problème se présente dans la nature et sont caractérisés par la présence de paramètres qui, lorsqu' ils sont suffisamment grands, donnent lieu généralement à un phénomène appelé couches limites. Cette thèse est composée de cinq chapitres traitant les limites singulières des équations et des systèmes de Réaction Diffusion ainsi que l' existence et l'unicité de solution pour un problème d'obstacle et de quelques EDPs elliptique-parabolique doublement non linéaire avec un opérateur de type Leray Lions. Dans le premier chapitre, nous présentons des résultats théoriques et abstraits sur les limites singulières, où nous traitons aussi la compétition entre deux ou plusieurs opérateurs. Nous appliquons ces résultats dans le contexte des équations aux dérivées partielles et nous étudions le comportement de la solution d'un modèle, lorsque les coefficients de diffusion et/ou de réaction deviennent très grands. Dans les deux chapitres qui suivent, nous considérons un système de réaction diffusion intervenant dans des modèles (macroscopiques) de diffusion dans un milieu hétérogène. Nous présentons d'abord une analyse mathématique (existence et unicité de la solution), ensuite nous étudions le comportement de la solution lorsque le paramètre d'homogénéité devient très grand sur un sous domaine. Le chapitre trois est dédié à l'analyse numérique d'un modèle linéaire, nous prouvons l' existence d'une solution approchée satisfaisant des propriétés de stabilité et de convergence vers la solution du problème continu indépendamment du paramètre d'homogénéité. Le chapitre quatre a pour objet l'étude de l'existence et l'unicité de la solution d'un problème d'obstacle doublement non linéaire avec des contraintes bilatérales, dépendantes de l'espace. Enfin, dans le cinquième chapitre, nous présentons une généralisation des résultats du chapitre trois au cas d'un opérateur de type Leray-Lions et une réaction qui dépend de l'espace.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

De la Deffence, et illustration de la langue françoyse (1549) au tombeau de Ronsard réuni par Binet (1586), la sociabilité littéraire mise en scène dans quelque trois cents recueils d’environ soixante-dix poètes est envisagée comme le support de constructions identitaires à la fois collectives et individuelles. En effet, le foisonnement des pièces de contact valorise l’émulation lettrée et donne de la visibilité à l’émergence d’un « champ poétique » où le positionnement de chacun est fait, tout à la fois, d’identification à des groupes et de différenciation pour défendre un style singulier. L’identité valorisée collectivement est celle de « Poète ». Dans un élan commun et à la suite de Marot, il s’agit de donner tout son prestige à ce « mestier » – dont la visibilité est favorisée par la publication imprimée – ainsi que de convaincre les grands de son utilité politique. L’étiquette fédératrice se subdivise en identités collectives aux contours plus restreints, par exemple autour d’un genre pratiqué (les « Amours »), autour d’une langue (« poëtes françoys »), ou encore autour d’une implantation géographique (les poètes du Clain, les poètes gascons, etc.). Ce morcellement s’accompagne de tentatives de classements de valeur. Cela provoque des mouvements d’humeur (des poètes de province contre le milieu parisien naissant, par exemple), voire des conflits (poètes nouveaux contre poètes vieux, poètes chrétiens contre poètes païens, etc.), ainsi qu’une démultiplication des figures de chefs de file. Dans le même temps, chaque auteur essaie de faire valoir sa singularité, notamment en développant l’ethos du poète solitaire ou du poète mélancolique, et s’attache à ouvrir des voies nouvelles, dans un mouvement collectif de valorisation de l’originalité. Entrent ainsi en tension la structure pyramidale hiérarchique et l’affirmation d’un droit à la différence qui rend inclassable. / From the Deffence, et illustration de la langue françoyse (1549) to Ronsard's tomb texts collected by Binet in 1586, the literary sociability depicted in some three hundred volumes of poetry gathering together about seventy poets is regarded as the mean to construct identities both collective and individual. Indeed the flurry of common topics is at the origin of a literary emulation and makes the emergence of a "poetic field" noticeable; so the position of each poet is both defined with an identification to groups or with a differentiation to defend their proper styles.Being "a poet" is the identity collectively valued. Altogether on Marot's tracks, the point is to make this "craft" prestigious - printed publication makes it visible - and to convince the greats of its political importance. The unifying label is subdivided in collective identities with restricted outlines like a popular topic (the "Amours"), a language ("poëtes françoys") or eventually a location (the poets from the river Clain, the Gascon poets, etc). Therefore this fragmentation leads to an attempt of classification of value. This is at the origin of disagreements (some provincial poets against the emerging Parisian milieu for instance), even conflicts (modern poets against old poets, Christian poets versus pagan poets, etc), as well as an increase of leading figures. Meanwhile each author attempts to defend their own singularities, notably by working on the ethos of the solitary poet or of the melancholic poet and endeavours to open new poetic paths, within a collective movement defending originality. Hence the tension opposing the hierarchical organisation and the assertion of the right to be different and thus unique.

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Dans cette thèse nous étudions la bornitude des transformées de Riesz associées aux opérateurs de Schrödinger avec des potentiels qui admettent des parties négatives.Cette étude a lieu dans un premier temps sur les espaces de Lebesgue Lp(RN, dx), puissur les espaces Lp(M, dx) où M est une variété Riemannienne de type homogène et dans un dernier temps sur les espaces à poids Lp(RN,wdx). Nous considérons également,sur ces espaces à poids, la bornitude du calcul fonctionnel holomorphe associé et la bornitude des puissances négatives de l’opérateur de Schrödinger. / In this thesis we study the boundedness of Riesz transforms associated to Schrödinger operators with potentials having negative parts. First we consider the boundednesson Lp(RN, dx), then on Lp(M, dx) where M is a Riemannian manifold of homogeneous type. Finally we treat the boundedness of Riesz transforms on Lp(RN,wdx). As we consider, on the weighted spaces, the boundedness of the associated holomorphicfunctional calculus and the boundedness of the negative powers of the Schrödinger operator.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Nous donnons un mécanisme de type Calderón-Zygmund concernant la théorie de l’extrapolationpour des opérateurs d’intégrale singulière sur les espaces de tentes. Pour des opérateursde régularité maximale sur les espaces de tentes, nous donnons des résultats optimaux enexploitant la structure des opérateurs intégraux de convolution et en utilisant des estimationsde la décroissance hors-diagonale du semi-groupe ou de la famille résolvante sous-jacente.Nous appliquons des techniques précédentes d’analyse harmonique et fonctionnelle pourestimer sur les espaces de tentes certains opérateurs d’intégrale évolutionnelle, nées de l’étudedes problèmes aux limites elliptiques et des systèmes non-autonomes du premier ordre. / We give a Calderón-Zygmund type machinery concerning the extrapolation theory for thesingular integral operators on tent spaces. For maximal regularity operators on tent space, wegive some optimal results by exploiting the structure of convolution integral operators and byusing the off-diagonal decay estimates of the underlying semigroup or resolvent family.We apply the previous harmonic and functional analysis techniques to estimate on tentspaces certain evolutionary integral operators arisen from the study of boundary value ellipticproblems and first order non-autonomous systems.

En chimiotaxie, le modèle parabolique-parabolique classique de Keller-Segel en dimension d décrit l’évolution en temps de la densité d'une population de cellules et de la concentration d'un attracteur chimique. Cette thèse porte sur l’étude des équations de Keller-Segel parabolique-parabolique par des méthodes probabilistes. Dans ce but, nous construisons une équation différentielle stochastique non linéaire au sens de McKean-Vlasov dont le coefficient dont le coefficient de dérive dépend, de manière singulière, de tout le passé des lois marginales en temps du processus. Ces lois marginales couplées avec une transformation judicieuse permettent d’interpréter les équations de Keller-Segel de manière probabiliste. En ce qui concerne l'approximation particulaire il faut surmonter une difficulté intéressante et, nous semble-t-il, originale et difficile chaque particule interagit avec le passé de toutes les autres par l’intermédiaire d'un noyau espace-temps fortement singulier. En dimension 1, quelles que soient les valeurs des paramètres de modèle, nous prouvons que les équations de Keller-Segel sont bien posées dans tout l'espace et qu'il en est de même pour l’équation différentielle stochastique de McKean-Vlasov correspondante. Ensuite, nous prouvons caractère bien posé du système associé des particules en interaction non markovien et singulière. Nous établissons aussi la propagation du chaos vers une unique limite champ moyen dont les lois marginales en temps résolvent le système Keller-Segel parabolique-parabolique. En dimension 2, des paramètres de modèle trop grands peuvent conduire à une explosion en temps fini de la solution aux équations du Keller-Segel. De fait, nous montrons le caractère bien posé du processus non-linéaire au sens de McKean-Vlasov en imposant des contraintes sur les paramètres et données initiales. Pour obtenir ce résultat, nous combinons des techniques d'analyse d’équations aux dérivées partielles et d'analyse stochastique. Finalement, nous proposons une méthode numérique totalement probabiliste pour approcher les solutions du système Keller-Segel bi-dimensionnel et nous présentons les principaux résultats de nos expérimentations numériques. / The standard d-dimensional parabolic--parabolic Keller--Segel model for chemotaxis describes the time evolution of the density of a cell population and of the concentration of a chemical attractant. This thesis is devoted to the study of the parabolic--parabolic Keller-Segel equations using probabilistic methods. To this aim, we give rise to a non linear stochastic differential equation of McKean-Vlasov type whose drift involves all the past of one dimensional time marginal distributions of the process in a singular way. These marginal distributions coupled with a suitable transformation of them are our probabilistic interpretation of a solution to the Keller Segel model. In terms of approximations by particle systems, an interesting and, to the best of our knowledge, new and challenging difficulty arises: each particle interacts with all the past of the other ones by means of a highly singular space-time kernel. In the one-dimensional case, we prove that the parabolic-parabolic Keller-Segel system in the whole Euclidean space and the corresponding McKean-Vlasov stochastic differential equation are well-posed in well chosen space of solutions for any values of the parameters of the model. Then, we prove the well-posedness of the corresponding singularly interacting and non-Markovian stochastic particle system. Furthermore, we establish its propagation of chaos towards a unique mean-field limit whose time marginal distributions solve the one-dimensional parabolic-parabolic Keller-Segel model. In the two-dimensional case there exists a possibility of a blow-up in finite time for the Keller-Segel system if some parameters of the model are large. Indeed, we prove the well-posedness of the mean field limit under some constraints on the parameters and initial datum. Under these constraints, we prove the well-posedness of the Keller-Segel model in the plane. To obtain this result, we combine PDE analysis and stochastic analysis techniques. Finally, we propose a fully probabilistic numerical method for approximating the two-dimensional Keller-Segel model and survey our main numerical results.

Cette thèse est consacrée à trois différentes équations d’évolution non-linéaires dans le cadre de mécanique des fluides : le système fluide-solide, le système de Boussinesq et un modèle de films liquides. Pour le système fluide-solide, nous étudions l’évolution d’un petit solide en mouvement dans un fluide newtonien incompressible dans le cas où l’obstacle se contracte vers un point. En supposant que la densité du solide tend vers l’infini, nous montrons la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes dans $\mathbb{R}^d$ , avec $d^2$ et 3. Pour le problème de convection, nous travaillons sur l’unicité des solutions ‘mild’ du système de Boussinesq et généralise de plusieurs manières différentes des résultats classiques d’unicité pour les équations de Navier-Stokes. Dans la dernière partie, nous exposons nos contributions à l’étude des interface 2D de films liquides en dimension trois. Nous montrons qu’une variante 2D, non-local, de l’équation de Kuramoto-Sivashinsky admet un attracteur globale compact et obtenons enfin une majoration du nombre d’oscillations spatiales des solutions / This thesis is devoted to three different non-linear evolution equations in fluid mechanics : the fluid-solid system, the Boussinesq system and a falling films model. For the fluid-solid system, we study the evolution of a small moving solid in incompressible viscous fluid in the case the obstacle converges to a point. Assuming that the density of the solid tends to infinity, we prove that the rigid body has no influence on the limit equation by showing the convergence of solutions of the fluid-solid system towards to a solution of the Navier-Stokes equations in the full $\mathbb{R}^d$ , avec $d^2$ et 3. For the convection problem, we provide several uniqueness classes on the velocity and the temperature and generalize some classical uniqueness result for ‘mild’ solutions of the Navier-Stokes equations. We then work on a falling films model in three dimensions (2D interface). We show that a non-local variant of the Kuramoto-Sivashinsky equation admits a compact global attractor and we study the number of spatial oscillations of the solutions

L'objectif de ce travail est de contribuer à la modélisation globale du système veineux jambier entrepris par les Laboratoires Innothera, en étudiant deux de ces aspects singuliers. La première partie porte sur les confluences. A l'aide d'une étude numérique validée expérimentalement nous proposons deux modèles permettant, d'une part de prédire la perte de charge singulière d'une confluence en fonction de sa géométrie et de son régime d'écoulement et, d'autre part, de prendre en compte les effets non newtoniens du sang en introduisant une viscosité dont la valeur dépend du débit. La seconde partie porte sur le remplissage et la vidange d'un tuyau souple. A l'aide d'un banc hydrodynamique nous avons développé une méthode de mesure de loi d'état de ces tuyaux et un modèle rendant compte de la cinématique de leur paroi. Enfin, nous avons réalisé la validation d'un code de simulation numérique permettant de résoudre le problème de l'écoulement d'un fluide dans une conduite déformable.