Cette thèse étudie la convergence en loi des processus empiriques de données à mélange multiple. Son contenu correspond aux articles : Durieu et Tusche (2012), Dehling, Durieu, et Tusche (2012), et Dehiing, Durieu et Tusche (2013). Nous suivons l’approche par approximation introduite dans Dehling, Durieu, et Vo1n (2009) et Dehling and Durieu (2011), qui ont établi des théorèmes limite centraux empiriques pour des variables aléatoires dépendants à valeurs dans R ou RAd, respectivement. En développant leurs techniques, nous généralisons leurs résultats à des espaces arbitraires et à des processus empiriques indexés par des classes de fonctions. De plus, nous étudions des processus empiriques séquentiels. Nos résultats s’appliquent aux chaînes de Markov B-géométriquement ergodiques, aux modèles itératifs lipschitziens, aux systèmes dynamiques présentant un trou spectral pour l’opérateur de Perron-Frobenius associé, ou encore, aux automorphismes du tore. Nous établissons des conditions garantissant la convergence du processus empirique de tels modèles vers un processus gaussien. / The present thesis studies weak convergence of empirical processes of multiple mixing data. It is based on the articles Durieu and Tusche (2012), Dehling, Durieu, and Tusche (2012), and Dehling, Durieu, and Tusche (2013). We follow the approximating class approach introduced by Dehling, Durieu, and Voln (2009)and Dehling and Durieu (2011), who established empirical central limit theorems for dependent R- and R”d-valued random variables, respectively. Extending their technique, we generalize their results to arbitrary state spaces and to empirical processes indexed by classes of functions. Moreover we study sequential empirical processes. Our results apply to B-geometrically ergodic Markov chains, iterative Lipschitz models, dynamical systems with a spectral gap on the Perron—Frobenius operator, and ergodic toms automorphisms. We establish conditions under which the empirical process of such processes converges weakly to a Gaussian process.

Dans la cochlée, la réponse couplée de sa structure et de son fluide interne peut être représentée sous la forme d’une onde dont les caractéristiques varient en fonction de la position longitudinale. La méthode asymptotique Wentzel-Kramers-Brillouin est adaptée à la modélisation de ce type d’onde. Dans un premier temps, cette méthode est reprise. Un modèle numérique est également développé et les résultats des deux méthodes sont comparés. Dans un deuxième temps, la métohde Wentzel-Kramers-Brillouin est améliorée afin de prendre en compte le couplage entre plusieurs ondes. Le couplage d’un mode propagatif avec des modes évanescents est réalisé et validé. Dans la cochlée, la stimulation des cellules cillées résulte d’un mouvement de cisaillement de la membrane tectoriale et de flexion de la membrane basilaire. Le couplage entre ces deux modes de déformation est encore peu connu et offre une perspective intéressante. Dans un troisième temps, une nouvelle méthode couplant la méthode Wentzel-Kramesr Brillouin et une méthode numérique est développée et validée afin de déterminer des modes transverses de propagation. Cette méthode est appliquée à la mécanique cochléaire et un mode de flexion de la membrane basilaire et un mode relatif à un mouvement de cisaillement de la membrane tectoriale sont déterminés. Enfin, une expérience inspirée des cochlées artificielles est conçue et réalisée. La propagation d’ondes est observée et la tonotopie est mesurée et comparée aux modèles. Afin de limiter la réflexion des ondes et de faciliter la mesure, une combinaison originale du trou noir acoustique avec une lame de largeur variable est utilisée. / The cochlea is the organ of hearing for humans and mammals. It is often modelled as an inhomogeneous waveguide. A travelling wave propagates along the fluid structure coupled waveguide. The mechanical impedance of the structure is varying and provides a frequency place relation. The asymptotic method Wentzel-Kramers-Brillouin allows to solve for the basilar membrane vibration. The evanescents modes are taken into account to provide a better representation compared to the numerical models. As a second step, the finite elements method is used to solve for the transversal modes while the WKB Approximation deals with the longitudinal propagation. The first flexural mode of the basilar membrane is shown. The second propagative mode reveals a shearing motion of the tectorial membrane which can help stimulating the hair cells. An over-size artificial cochlea is designed and built. Thanks to an acoustic black hole, used as a anechoic end, travelling waves are observed on this device. Reflected waves are attenuated and the interferences with incident waves reduced. Mode coupling could be applied not only to evanescent modes but also to propagatives ones. Perspectives for the adaptation of the WKB method to fluid structure inhomogeneous waveguides, and particularly to the immersed acoustic black hole, seem to be very promising.

Le sujet de ma thèse est l’étude de la diffraction par des trous sub-longueur percés dans des films métalliques, ainsi que la compréhension du rôle des plasmons de surface (SPs) dans la diffraction en champ lointain. Nous avons construit un goniomètre « fait maison » de haute qualité. Une série de trous unique percés dans un film opaque et variant continûment de k • r >> 1 à k • r << 1 ont été explorées. Ici, k est le vecteur d'onde de l'onde incidente et r est le rayon du trou. Les résultats expérimentaux indiquent que la diffraction de la lumière par un trou unique peut être séparée en quatre régimes, dépendant de la polarisation incidente. Une expression analytique simple révèle pour la première fois, l’implication de deux facteurs compétitifs: l'un lié aux plasmons de surface, et l'autre provenant du couplage du champ aux modes de guide d'onde de l'ouverture. Lorsque le trou est entouré par des corrugations concentriques (structure d'oeil de boeuf), et est illuminé avec les rainures sur le côté de sortie, l'effet de collimation est observé: la diffraction en champ lointain est confinée dans un très petit angle solide. L’influence des paramètres géométrique sur la figure de diffraction de l’œil de bœuf a été étudié et des motifs de diffraction dont la largeur est inférieure à 1 ° dans le champ lointain ont été atteints. Un autre mode de surface (CWs), différent des SPs, a été étudié sur des films de tungstène. Il a été démontré que les CWs permettent également d’obtenir un effet de collimation. À titre de comparaison, nous avons montré que la transmission exaltée est bien plus faible pour les CWs que pour les SPs sur nanostructures. / The theme of my thesis is to investigate the diffraction behavior of subwavelength holes in metal films, and to understand the surface plasmons’ (SPs) role in aperture far-field diffraction. We have built a home-made goniometer setup with high-level quality. A series of single hole continuously ranging from k•r>>1 to k•r<<1 in a flat opaque film were explored, where k is the wavevector of the incident wave and r is the radius of the hole. The experimental results indicated that the diffraction of single hole can be classified into four regimes, depending on the input polarization. A simple analytical expression reveals for the first time the subtle interplay of two competing factors: one related to surface plasmon excitation and the other originating in the coupling of the field to the waveguide mode of the aperture. When the hole is surrounded by concentric grooves (bull’s eye structure) and is illuminated with the grooves on the output side, the beaming effect occurs: far-field diffraction is confined in very small solid angle. The effects of geometrical parameters on bull’s eye diffraction have been studied and the diffraction patterns with the width less than 1° in the far field have been achieved. Another surface waves (CWs) different from SPs on tungsten films were studied. It was demonstrated that the CWs have beaming effect as well. By comparison we showed that CWs display much weaker enhancement in transmission than SPs through nanostructures.

En application, on souhaite générer des nombres aléatoires avec une loi précise (méthode de Monte Carlo par chaines de Markov - MCMC (Markov Chaine Monte Carlo)). La méthode consiste à trouver une diffusion qui a la loi invariante souhaitée et à montrer la convergence de cette diffusion vers son équilibre avec une vitesse exponentielle. L’exposant de cette convergence est le trou spectral du générateur. Il a été montré par Chii-Ruey Hwang, Shu-Yin Hwang-Ma, et Shuenn-Jyi Sheu qu’on peut agrandir le trou spectral, en rajoutant un terme non-symétrique au générateur auto-adjoint (souvent utilisé en MCMC). Ceci correspond à passer d’une diffusion réversible (en detailed balance) à une diffusion non réversible. Un moyen de construire une diffusion non-réversible avec la même mesure invariante est de rajouter un flot incompressible à la dynamique de la diffusion réversible.Dans cette thèse, nous étudions le comportement de la diffusion lorsqu’on accélère le flot sous-jacent en multipliant le champ des vecteurs qui le décrit par une grande constante. P. Constantin, A.Kisekev, L.Ryzhik et A.Zlatoš (2008) ont montré que si le flot était faiblement mélangeant alors l’accélération du flot suffisait pour faire converger la diffusion vers son équilibre en un temps fini. Dans ce travail, on explicite la vitesse de ce phénomène sous une condition de corrélation du flot. L’article de B. Franke, C.-R.Hwang, H.-M. Pai et S.-J. Sheu (2010) donne l’expression asymptotique du trou spectral lorsque le flot sous-jacent est accéléré vers l’infini. Ici aussi, on s’intéresse à la vitesse avec laquelle le phénomène se manifeste. Dans un premier temps, nous étudions le cas particulier d’une diffusion du type Ornstein-Uhlenbeck qui est perturbée par un flot préservant la mesure gaussienne. Dans ce cas, grâce à un résultat de G. Metafune, D. Pallara et E. Priola (2002), nous pouvons réduire l’étude du spectre du générateur à des valeurs propres d’une famille de matrices. Nous étudions ce problème avec des méthodes de développement limité des valeurs propres. Ce problème est résolu explicitement dans cette thèse et nous donnons aussi une borne pour le rayon de convergence du développement. Nous généralisons ensuite cette méthode dans le cas d’une diffusion générale de façon formelle. Ces résultats peuvent être utiles pour avoir une première idée sur les vitesses de convergence du trou spectral décrites dans l’article de Franke et al. (2010). / In application, we would like to generate random numbers with a precise law MCMC (Markov Chaine Monte Carlo). The method consists in finding a diffusion which has the desired invariant law and in showing the convergence of this diffusion towards its equilibrium with an exponential rate. The exponent of this convergence is the spectral gap of the generator. It was shown by C.-R. Hwang, S.-Y. Hwang-Ma and S.-J. Sheu that the spectral gap can grow up by adding a non-symmetric term to the self-adjoint generator.This corresponds to passing from a reversible diffusion to a non-reversible diffusion. A means of constructing a non-reversible diffusion with the same invariant measure is to add an incompressible flow to the dynamics of the reversible diffusion.In this thesis, we study the behavior of diffusion when the flow is accelerated by multiplying the field of the vectors which describes it by a large constant. In 2008, P. Constantin, A. Kisekev, L. Ryzhik and A. Zlatoˇs have shown that if the flow was weakly mixing then the acceleration of the flow was sufficient to converge the diffusion towards its equilibrium after finite time. In this work, the speed of this phenomenon is explained under a condition of correlation of the flow. The article by B. Franke, C.-R.Hwang, H.-M. Pai and S.-J.Sheu (2010) gives the asymptotic expression of the spectral gap when the large constant goes to infinity. Here we are also interested in the speed with which the phenomenon manifests itself. First, we study the special case of an Ornstein-Uhlenbeck diffusion which is perturbed by a flow preserving the Gaussian measure. In this case, thanks to a result of G. Metafune, D. Pallara and E. Priola (2002), we can reduce the study of the generator spectrum to eigenvalues of a family of matrices. We study this problem with methods of limited development of eigenvalues. This problem is solved explicitly in this thesis and we also give a boundary for the convergence radius of the development. We then generalize this method in the case of a general diffusion in a formal way. These results may be useful to have a first idea on the speeds of convergence of the spectral gap described in the article by Franke et al. (2010).

Au sein des territoires du nord-ouest européen, la Belgique et son Bassin mosan ont livré ces 150 dernières années une somme prodigieuse de témoins des populations humaines et animales paléolithiques. Alors que ces vestiges laissent supposer le caractère attractif de la région lors de la dernière glaciation du Pléistocène (115-10 ka BP), ces communautés d’ongulés et leurs prédateurs— humains et grands Carnivores — ont dû toutefois s’adapter à de nombreuses variations environnementales tant millénaires que saisonnières. Cependant, en raison de l’ancienneté de nombreuses fouilles en Vallée mosane et de la complexité des remplissages en grotte, les relations entretenues entre les sociétés humaines et leur écosystème demeurent encore peu connues.Cette étude propose, grâce à une approche archéozoologique, taphonomique et cémentochronologique inédite pour la région, d’explorer le potentiel de ces riches collections pour tenter de cerner dans quel cadre écologique se sont déroulées les implantations humaines sur ce territoire pourtant très prisé par de nombreux autres grands prédateurs, en particulier l’Hyène des cavernes (Crocuta crocuta spelaea). En identifiant les relations entretenues entre les sociétés humaines et les populations fauniques (proies, autres Carnivores), l’objectif est de comprendre dans quelles mesures les comportements de chaque guilde ont pu s’influencer dans leurs stratégies respectives de gestion de l’espace et des ressources, et de considérer ces données à la lumière des grands changements biologiques (remplacement des Néandertaliens par les Hommes Anatomiquement Modernes (HAM)), culturels (passage du Paléolithique moyen au Paléolithique supérieur) et écologiques (disparition de nombreux grands mammifères) qui ont eu lieu à la fin du Pléistocène supérieur. A n de poursuivre cet objectif, les trois assemblages mixtes anthropique/carnivore du Tiène des Maulins (Belgique), du Trou Magrite (Belgique) et d’Hénin-sur-Cojeul (France), ainsi qu’un exceptionnel repaire natal d’hyènes à la Caverne Marie-Jeanne (Belgique) ont été étudiés. Au total, plus de 75 000 pièces ont fait l’objet d’une analyse et leurs données ont été confrontées à celles d’une sélection d’autres sites régionaux majeurs issus de la littérature. Les di érentes pistes explorées nous renseignent à plusieurs niveaux. Tout d’abord, les études archéozoologiques et taphonomiques ont mené à une meilleure caractérisation de la niche écologique des humains et celle de leurs principaux compétiteurs au sein de cette région, et ont livré les indices de relations variées existant entre les deux communautés. Ensuite, l’accent mis sur les données saisonnières, notamment grâce à des analyses cémentochronologiques, a permis de proposer l’existence d’un partitionnement saisonnier de leurs territoires de chasse :alors que l’Hyène montre un fort investissement au sud du territoire tout au long de l’année malgré des pressions écologiques saisonnières importantes, les groupes humains semblent quant à eux avoir e ectué la plupart de leurs incursions dans les vallées karstiques du Sud de la Belgique durant les saisons froides, probablement en vue de récupérer des peaux de bonne qualité et réaliser des stocks de graisse et de viande. Ce fort degré de planification spatiotemporelle semble être va- lable tant pour les populations néandertaliennes que les premiers HAM, suggérant la pérennité des réponses comportementales au sein de cet environnement contraignant. Enfin, un essai statistique mené sur les datations disponibles suggère que les populations de grands Carnivores et d’humains augmentent de concert autour de la transition Paléolithique moyen-Paléolithique supérieur autour du Bassin mosan. Cependant, notre étude ne permet pas de vérifier l’hypothèse d’une augmentation des pressions écologiques entre compétiteurs à cette période, qui connaît pourtant le remplacement des Néandertaliens par les premiers HAM.Ces données offrent un nouveau regard sur les conditions de vie et les comportements des Paléolithiques autour de la Vallée mosane belge, et ouvrent la voie à une meilleure connaissance des adaptations et des dynamiques spatiotemporelles des communautés humaines et animales du Pléistocène supérieur au sein de l’Europe du Nord-Ouest. / Doctorat en Histoire, histoire de l'art et archéologie / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le réchauffement régional de l'ouest de la Péninsule Antarctique (WAP) combiné à la diminution attendue de glace de mer et à l'apparition printanière du trou d'ozone pourrait modifier la composition et la structure de la communauté microbienne. De plus, ces variations environnementales pourraient modifier le potentiel de la WAP en tant que puits de CO2. Dans ce contexte, cette thèse visait à évaluer les effets combinés du changement climatique sur la production primaire et sur la composition et la structure de la communauté microbienne de la WAP. Cette thèse visait également à évaluer le rôle de la structure, de la composition, de la production primaire et de la respiration de la communauté microbienne sur les échanges de CO2 entre l'atmosphère et l'océan. Cette étude a premièrement permis de décrire les variations de l'étendue de glace de mer, de l'épaisseur de la couche d'ozone et de la température de surface de l'eau dans la WAP au cours des 30 dernières années (1972-2007) et notamment d'observer le retrait de plus en plus précoce de la glace de mer en relation avec le réchauffement des eaux de la WAP. L'évolution de ces paramètres environnementaux offre une nouvelle fenêtre temporelle de production primaire. Ainsi, cette étude a permis de montrer que la production primaire annuelle a augmenté de 1997 à 2007, et ceci, en relation avec l'anomalie de glace de l'hiver précédent. En effet, la production primaire journalière était négativement et positivement corrélée avec, respectivement, l'étendue de glace de mer et la température de l'eau de septembre à novembre et de février à mars, suggérant que le réchauffement régional de la WAP favorise plus de production primaire durant le printemps et l'automne. En revanche, le retrait précoce de la glace de mer en coïncidence avec l'apparition printanière du trou d'ozone a provoqué l'augmentation de la photoinhibition au printemps (avec 11,6 ± 2,8 % de la production primaire journalière en moyenne). En conséquence, le changement climatique régional de la WAP a, à la fois, un effet positif et un effet négatif sur la production primaire. Cette étude a également permis de décrire la dynamique de la communauté microbienne marine dans l'archipel de Melchior (dans la WAP) de l'automne au printemps 2006. En raison des conditions environnementales extrêmes, l'abondance et la biomasse de la communauté microbienne étaient faibles durant l'automne et l'hiver et dominées par les petites cellules (< 2 µm) et donc par un réseau trophique microbien. En effet, la biomasse phytoplanctonique était faible durant l'automne et l'hiver (avec une concentration moyenne en chlorophylle a, Chl-a, de 0,3 et 0,13 µg l-1, respectivement). La biomasse phytoplanctonique a augmenté au printemps (avec un maximum de Chl-a de 1,13 µg l-1), mais, en dépit des conditions de croissance favorables, est restée faible et le phytoplancton était toujours dominé par de petites cellules (2-20 µm) et donc par le réseau trophique microbien ou multivore. De plus, la disparition précoce de glace de mer durant le printemps 2006 a exposé les eaux de la WAP à de fortes radiations ultraviolettes B (RUVB, 280-320 nm), qui ont eu un effet négatif sur la communauté microbienne des eaux de surface. Cette étude a également mis en évidence la relation existante entre les échanges CO2 et d'O2 entre l'atmosphère et l'océan dans la WAP et la biomasse, la composition, la production primaire et la respiration de la communauté microbienne. Il existait tout d'abord une relation positive entre la concentration en Chl-a et la proportion de diatomées dans la communauté phytoplanctonique. De plus, il existait une corrélation négative significative entre la Chl-a et le ΔpCO2. La production primaire nette de la communauté (NCP) était principalement contrôlée par la production primaire et était négativement et positivement reliée avec le ΔpCO2 et le pourcentage de saturation de l'O2, respectivement, suggérant que la production primaire joue un rôle majeur dans les échanges de CO2 et d'O2 entre l'atmosphère et l'océan dans la WAP. Par ailleurs, le ΔpCO2 moyen au cours des trois années étudiées était de -20,04 ± 44,3 µatm, menant à un puits de CO2 potentiel durant l'été et l'automne dans la région. Le sud de la WAP était un puits potentiel de CO2 (-43,60 ± 39,06 µatm) durant l'automne alors que le nord de la WAP était principalement une source potentielle de CO2 durant l'été ou l'automne (-4,96 ± 37,6 et 21,71 ± 22,39 µatm, respectivement). Les plus fortes concentrations en Chl-a mesurées dans le sud de la WAP pourraient expliquer cette distribution spatiale. / Regional warming in the western Antarctic Peninsula (WAP), along with the expected decrease in sea-ice cover and the seasonal ozone layer breakdown could modify the composition and the structure of the microbial community. In addition, these environmental changes could modify the potential of the WAP as a CO2 sink. In this context, this thesis aimed at evaluating the combined effects of regional climatic changes on the primary production and the composition and structure of the microbial community in the WAP. In a second time, this thesis aimed at evaluating the role of the microbial community structure, composition, primary production and respiration on air-sea CO2 gas exchanges.First, the variations in sea-ice cover, stratospheric ozone layer thickness and sea surface temperature over the last 30 years (1972-2007) were described. Related to the warming of WAP waters, the retreat of sea-ice was happening earlier each decade in the WAP. The observed changes in these environmental parameters offer a new temporal window for primary production. Indeed, the annual primary production increased from 1997 to 2007, in relation with the sea-ice cover anomaly for the previous winter. In addition, daily primary production was negatively and positively correlated to, respectively, sea-ice cover and sea-water temperature from September to November and from February to March, suggesting that regional warming favoured more primary production during spring and fall. On the contrary, the early retreat of sea-ice in spring, in coincidence with the spring ozone layer breakdown, led to an increase in photoinhibition (with an average of 11.6 ± 2.8 % of the daily primary production being photoinhibited). Therefore, regional climatic changes in the WAP had both a positive and a negative impact on primary production.The microbial community variability was also described in the Melchior Archipelago (in the WAP) from fall to spring 2006. Because of the extreme environmental conditions, the microbial community abundance and biomass were low in fall and winter and the community was dominated by small cells (< 2 µm), hence by a microbial food-web. Indeed, phytoplanktonic biomass was low during fall and winter (with respective chlorophyll a concentration, Chl-a, of 0.3 and 0.13 µg l-1). Phytoplankton biomass increased in spring (with a maximum Chl-a of 1.13 µg l-1) but, despite favourable growth conditions, phytoplankton was still dominated by small cells (2-20 µm), hence by a microbial or multivorous food-web. In addition, the early retreat of sea-ice in the spring 2006 exposed the WAP waters to strong ultraviolet B radiations (UVBR, 280-320 nm) that had a negative impact on the microbial community in surface waters.Finally, the relationship between air-sea CO2 and O2 exchanges in the WAP with the phytoplankton community biomass and composition and with the microbial community primary production and respiration was described. A positive relationship existed between Chl-a and the proportion of diatoms in the phytoplankton community. In addition, a negative relationship existed between Chl-a and ΔpCO2. The net community production (NCP) was mainly controlled by primary production and was negatively and positively related to ΔpCO2 and the %O2 saturation, respectively, suggesting that primary production was the main driver of air-sea CO2 and O2 gas exchanges in the WAP. In addition, the average ΔpCO2 for the summers and falls 2002 to 2004 was -20.04 ± 44.3 µatm, leading to a potential CO2 sink during this period in the WAP. The southern WAP was a potential CO2 sink (-43.60 ± 39.06 µatm) during fall while the northern part of the Peninsula was mainly a potential CO2 source during summer and fall (-4.96 ± 37.6 and 21.71 ± 22.39 µatm, respectively). The higher Chl-a concentrations measured in the southern WAP may explain this spatial distribution.

Cette thèse est consacrée à la dynamique globale d’un fluide évoluant dans le domaine de communication extérieur d’un espace-temps de Schwarzschild. Dans le premier chapitre, on formule le problème de Cauchy pour le modèle d’Euler relativiste dans la classe des solutions à la variation bornée contenant des ondes de choc. On propose ensuite une version de la méthode de Glimm fondée sur les solutions stationnaires globales hors du trou noir et le problème de Riemann généralisé et on démontre un théorème d’existence globale en temps pour les écoulements de fluides faiblement réguliers. Dans le deuxième chapitre, on considère le modèle de Burgers relativiste. Nous introduisons une version de la variation totale qui est décroissante en temps pour les solutions générales du problème de Cauchy. Nous avons aussi utilisé les caractéristiques généralisées pour démontrer la stabilité nonlinéaire d’une solution stationnaire par morceaux. Dans le troisième chapitre, nous pr étudions plusieurs méthodes numériques basées sur la géométrie de Schwarzschild et nous étudions numériquement la stabilité nonlinéaire des solutions stationnaires et le comportement asymptotique des solutions générales. Les schémas propos ́es fournissent un outils numérique capable de préserver exactement les équilibres et nous permettent d’analyser l’evolution de fluides en présence d’effets géométriques. Dans le quatrième chapitre, nous présentons un modèle non-relativiste préservant certains effets du trou noir de Schwarzschild. / This thesis is devoted to fluid dynamics evolving in the domain of outer communication of a Schwarzschild black hole. In the first chapter, we formulate the initial value problem of the relativistic Euler model within a class of weak solutions with bounded variation, possibly containing shock waves. We then introduce a version of the random choice method founded on the global steady state solutions and the generalized Riemann problem and we establish a global-in-time existence theory for the initial value problem within the proposed class of weakly regular fluid flows. In the second chapter, we consider the relativistic Burgers model. We have introduced a version of the total variation which is decreasing with respect to time in the Cauchy problem. We also use the generalized characteristics to prove the nonlinear stability of a piecewise steady state solution. In the third chapter, we present some numerical methods based on the Schwarzschild geometry and study numerically the nonlinear stability of steady state solutions and the asymptotic behavior of a general solutions. The proposed schemes provide a numerical tool capable to preserve exactly the equilibria and allow us to analyse the evolution of fluids with the geometry effects.

Dans cette thèse, je m'intéresse à diverses propriétés de rigidité des algèbres de von Neumann. Dans le Chapitre 1, je démontre la solidité relative des produits croisés issus d'actions Bernoulli de type quelconque. Ce résultat repose sur la théorie de la déformation/rigidité de Popa et généralise un théorème de Chifan et Ioana en type II. Comme conséquence, dès que le groupe qui agit est non-moyennable, ces produits croisés sont premiers (n'admettent pas de décomposition non triviale en produit tensoriel de deux facteurs) et la relation d'équivalence associée est solide. Le Chapitre 2 a pour thème les facteurs pleins et les phénomènes de trous spectraux. Je montre notamment que tout facteur plein de type $III$ vérifie une propriété de trou spectral similaire à celle obtenue par Connes dans le cas II_1. Le trou spectral permet d'analyser plus finement la structure de ces facteurs et de leur groupe d'automorphismes. Je généralise ainsi un théorème de Jones en donnant une condition suffisante pour qu'un produit croisé soit plein. Cette condition est de plus nécessaire dans le cas où le groupe qui agit est abélien. Ceci permet de caractériser complètement les facteurs de type III_1 dont le cœur est plein. Dans un travail en collaboration avec C. Houdayer et P. Verraedt, nous montrons aussi qu'un produit tensoriel de deux facteurs pleins est encore plein et nous calculons ses invariants de Connes. Nous obtenons aussi un théorème d'unique décomposition McDuff qui généralise un résultat de Popa dans le cas II_1.Dans le Chapitre 3, je m'intéresse aux facteurs McDuff, i.e. qui ont la propriété d'absorber tensoriellement le facteur hyperfini, ainsi qu'à leur analogue en théorie ergodique, les relations d'équivalences stables. Je donne notamment une nouvelle caractérisation de cette propriété de stabilité qui repose sur un argument de maximalité. Cette caractérisation de type "trou spectral", plus fine que celle connue jusqu'alors, permet de démontrer le résultat de rigidité suivant: un produit direct de deux relations d'équivalences est stable si et seulement si l'une des deux est stable. Le problème similaire pour les facteurs McDuff reste ouvert, mais je donne quelques résultats partiels. / In this dissertation, I study several rigidity properties of von Neumann algebras. In Chapter 1, we prove the relative solidity of Bernoulli crossed products of arbitrary type. This result is based on Popa's deformation/rigidity and generalizes a theorem of Chifan and Ioana in the tracial case. As a consequence, when the acting group is non-amenable, the crossed product is prime (cannot be decomposed nontrivially as a tensor product of two factors) and the associated equivalence relation is solid.In Chapter 2, we study full factors in relation with the spectral gap property. The main result is a spectral gap characterization of full type III factors which is similar to Connes' characterization in the tracial case. This allows us to better understand the structure of these factors and their automorphism group. We generalize a theorem of Jones by giving a sufficient condition for a crossed product to be full. This condition is necessary when the group is abelian. In particular, we obtain a complete characterization of the type III_1 whose core is full. In a joint work with C. Houdayer and P. Verraedt, we show that a tensor product of two full factors is also full and we compute its Connes invariants. We also prove a unique McDuff decomposition theorem that generalizes a result of Popa in the II_1 case. In Chapter 3, we study McDuff factors, i.e. those factors that can absorb tensorially the hyperfinite factor, as well as their counterpart in ergodic theory, the so-called stable equivalence relations. We obtain a new "spectral gap like" characterization of these properties, based on a maximality argument. With this refined characterization, we are able to prove the following rigidity result: a direct product of two stable equivalence relations is stable if and only if one of them is already stable. The analoguous problem on McDuff factors remains open, but we do give some partial results.

Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé. / We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.

Dans ce manuscrit, nous présentons un mise en place et calcul d'un observable physique dans le cadre de la Gravité Quantique à Boucles covariante, pour un processus physique mettant en jeu la gravité quantique de façon non-perturbatif. Nous considerons la transition d'une région de trou noir à une région de trou blanc, traitée comme une transition de géométrie assimilable à un effet de tunnel gravitationnel. L'observable physique est le temps caractéristique dans lequel ce processus se déroule.Nous commençons par une dérivation formelle de haut--en--bas, allant de l'action de Hilbert-Einstein au ansatz qui définit les amplitudes de l'approche covariante de la GQB. Nous prenons ensuite le chemin de bas--en--haut, aboutissant à l'image d'une intégrale de chemin du type somme-de-géométries qui émerge à la limite semi-classique, et discutons son lien étroite avec une intégrale de chemin basé sur l'action de Regge. En suite, nous expliquons comment construire des paquets d'ondes décrivant des géométries spatiales quantiques, plongées dans un espace-temps quantique de signature Lorentzienne.Nous montrons que lors de la mise en œuvre de ces outils, nous avons une estimation simple des amplitudes décrivant des transitions de géométrie de façon probabiliste. Nous construisons un mise en place basée sur l'espace-temps Haggard-Rovelli, où une approche d'intégrale de chemin peut être appliquée naturellement. Nous procédons à une dérivation d'une expression explicite, analytiquement bien--définie et finie, pour une amplitude de transition décrivant ce processus. Nous utilisons ensuite l'approximation semi-classique pour estimer le temps caractéristique du phénomène. / In this manuscript we present a calculation from covariant Loop Quantum Gravity, of a physical observable in a non-perturbative quantum gravitational physical process. The process regards the transition of a trapped region to an anti--trapped region and is treated as a quantum geometry transition akin to gravitational tunneling. The physical observable is the characteristic timescale in which the process takes place. We start with a top--to--bottom formal derivation of the ansatz defining the amplitudes for covariant LQG, starting from the Hilbert-Einstein action. We then take the bottom--to--top path, starting from the EPRL ansatz, to the sum--over--geometries path integral emerging in the semi-classical limit, and discuss its close relation to the naive path integral over the Regge action. We proceed to the construction of wave--packets describing quantum spacelike three-geometries that include a notion of embedding in a Lorentzian spacetime. We derive a simple estimation for the amplitudes describing geometry transition and show that a probabilistic description for such phenomena emerges, with the probability of the phenomena to take place being in general non-vanishing.The Haggard-Rovelli spacetime, modelling the spacetime surrounding the geometry transition region for a black to white hole process, is formulated. We then use the semi--classical approximation to give a general estimation of amplitudes describing the process. We conclude that the transition is predicted to be allowed by LQG, with a crossing time that is linear in the mass. The probability for the process to take place is suppressed but non-zero.