Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Luis Fernando Mello / Banca: João Carlos Ferreira Costa / Resumo: Nesta dissertação estudamos critérios para determinar a existência, a não existência e a unicidade de ciclos limites de campos de vetores planares. Mais especificamente, estudamos equações de Lienard Äx + f(x; _ x) _ x + g(x) = 0; onde f e g satisfazem determinadas hip¶oteses. Em particular estudamos a equa»c~ao de van der Pol Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; a qual é conhecida da teoria dos circuitos elétricos. Provamos a existência e a unicidade de ciclos limites para estas equações. Por fim estudamos a equação de van der Pol com o parâmetro" " 1 e o fenômeno canard que ocorre ao considerarmos um parâmetro adicional ®: As técnicas utilizadas s~ao as usuais de Análise Assintótica. / Abstract: In this work we study the existence, the non existence and the uniqueness of limit cycles of planar vector felds. More specifically, we study Lienard equations Äx+f(x; _ x) _ x+g(x) = 0; where f and g satisfy some hypothesis. In particular we study the van der Pol equation Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; which is knew of the circuit theory. We prove the existence and the uniqueness of limit cycles for these equations. In the last part we study the van der Pol equation with the parameter " " 1 and the canard phenomenon which appears when we consider an additional parameter ®: The techniques employed are the usual in the Asymptotic Analysis. / Mestre

Ce travail de thèse porte principalement sur l'utilisation du calcul moulien et de la technique d'arborification introduits par Jean Ecalle dans les années 70 et leurs applications à l'étude des systèmes dynamiques discrets ou continus.L'une des contributions est une étude systématique des conditions sous lesquelles l'arborification permet de restaurer la convergence de séries formelles via l'introduction d'une notion d'invariance d'un moule sous arborication. Ces résultats permettent de donner une preuve détaillée du théorème de Brjuno de linéarisation analytique des champs de vecteurs telle qu'elle est proposée par Jean Ecalle dans son article "Singularités non abordables par la géométrie". Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Dominique Manchon (Université de Clermont Ferrand) et Jacky Cresson.La puissance du calcul moulien est ensuite illustrée par la résolution presque complète de la conjecture de Jarque-Villadelprat sur les centres isochrones Hamiltoniens. Cette conjecture stipule qu'il n'existe pas de champs de vecteurs polynomiaux du plan de degré pair qui soit hamiltonien. L'examen de la structure algébrique de la correction, introduite dans les années 90 par G. Gallavotti et généralisée ensuite par Jean Ecalle et Bruno Vallet, et son calcul explicite via le calcul moulien, nous ont permis d'obtenir des conditions explicites d'obstructions à l'isochronisme. L'aspect algébrique et combinatoire de ces objets et méthodes conduisent naturellement à une classication des conditions de centre via une notion de complexité. L'arborication quand à elle permet l'unification de nombreuses approches et une simplication de divers travaux, notamment ceux de J.C.Butcher autour de la structure algébrique des méthodes de Runge-Kutta qui a induit ce que les numériciens appellent des B-séries. En étudiant la structure algébrique de l'opérateur de substitution associé à un difféomorphisme, en particulier celui relié à une méthode de Runge-Kutta et celui associé à la solution de l'équation diérentielle sous-jacente, on présente le codage de Butcher comme une traduction particulière de l'arborification directe de l'opérateur de substitution. Notons que ce phénomène est large et permet d'inclure les travaux plus récents sur l'approche par trajectoires rugueuses des solutions d'équations différentielles stochastiques.Une seconde partie de la thèse concerne la recherche des groupes de symétries de Lie des tissus du plan en suivant une approche d'Alain Hénaut (Université de Bordeaux). Ce travail nous a permis de préciser la relation entre la dimension de ces groupes de symétries et le caractère linéarisable ou hexagonale des tissus du plan. Dans le cas des arrangements de droites, on obtient ainsi une relation profonde entre le module de dérivations de Saito associé à l'arrangement et le groupe de symétrie du tissu associé. / This thesis work mainly focuses on the use of the mould calculus and the technic of arborification which had been introduced both by J.Ecalle in the seventies and theirs applications to the study of continuous or discrete systems.One of the contributions is the systematic study of conditions under which the arborification allows to reestablish the convergence of formal series via introduction of a notion of invariance of mould under arborification. These results allow to give a detailed proof of Brjuno Theorem of analytic linearizability of vector fields as it is proposed by J.Ecalle in his article "Singularité non abordable par la géométrie". These results were obtained jointly with Dominique Manchon (University of Clermont Ferrand) and Jacky Cresson.The power of the mould calculus is then illustrated by an almost complete resolution of the Jarque-Villadelprat's conjecture about Hamiltonian Isochronous centers. This conjecture states that there is not existing polynomial vector fields in the plane of odd degree which are Hamiltonian. The study of the algebraic structure of the correction, introduced in the nineties by G.Gallavotti and then generalized by J.Ecalle and B.Vallet and its explicit computation via mould calculus, enables us to obtain explicit conditions of obstruction to isochronicity. The algebraic and combinatoric aspect of these objects and methods brings naturally to the classification of center conditions through a notion of complexity. The arborification allows to the unification of different approaches and a simplicification of different works, especially those of J.C.Butcher about algebraic structures of Runge-kutta methods, who had introduced that is called B-series by numerical mathematicians. Studying the algebraic structure of the substitution operator associated to a diffeomorphism, especially the one related to a Runge-Kutta method and the one which is associated to the solution of the underlying differential equations, we present the Butcher's encoding as a special translation of a direct arborification of the substitution automorphism. We can conclude that this phenomenon is wide and allows to include more recent studies on the approach by rough path of stochastic differential equations.A second part of this thesis involves the research of Lie group of symmetries of planar webs following Hénaut's approach (University of Bordeaux).This work allows to precise the relation between the dimension of the groups of symmetries and the linearizability or hexagonal character of planar webs. In the the case of line arrangement, we obtain a depthful relation between the modulus of derivations of Saito associated to the line arrangement and the group of symmetries of the associated web.

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2018-06-29T19:22:20Z No. of bitstreams: 2 Tese- Alaciy José Gomes - 2016.pdf: 5745946 bytes, checksum: d980380f3722151dde3e85c3a179ecf8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-07-03T15:20:24Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese- Alaciy José Gomes - 2016.pdf: 5745946 bytes, checksum: d980380f3722151dde3e85c3a179ecf8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-03T15:20:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese- Alaciy José Gomes - 2016.pdf: 5745946 bytes, checksum: d980380f3722151dde3e85c3a179ecf8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-05-13 / In this work we first consider regular vector fields : R3 􀀀! R3 and its orthogonal distribution of planes. We present a characterization of the normal curvature associated to and the system of implicit differential equations 2(D (dr); dr; ) + h rot( ); i hdr; dri = 0; hdr; i = 0; which define two one-dimensional singular and orthogonal foliations, which we call by principal foliations and whose leaves are the principal lines of the distribution . Next we describe the configurations of the principal foliations in a neighborhood of the generic singular points that constitutes a regular curve in R3, which are denoted by Darbouxian umbilic partially points and semi-Darbouxian. We proceed by studying the stability of the closed principal lines and we also present a Kupka- Smale genericity result. To conclude, we study the structure of the singularities of the principal foliations in a neighborhood of a singular hyperbolic point of the vector field . / Neste trabalho consideramos inicialmente campos de vetores regulares : R3 􀀀! R3 e sua distribuições ortogonais de planos . Apresentamos uma caracterização da curvatura normal associada a e do sistema de equações diferenciais implícitas, 2(D (dr); dr; ) + h rot( ); i hdr; dri = 0; hdr; i = 0; que definem duas folheações unidimensionais singulares e ortogonais, denominadas de folheações principais e cujas folhas são as linhas principais da distribuição . A seguir descrevemos as configurações das folheações principais, numa vizinhança dos pontos singulares genéricos que constituem uma curva regular em R3, denominados de pontos parcialmente umbílicos Darbouxianos e semi-Darbouxianos. Depois estudamos a estabilidade das linhas principais fechadas e apresentamos também um resultado de genericidade do tipo Kupka-Smale. Na parte final, estudamos a estrutura dos pontos singulares das folheações principais na vizinhança de um ponto singular hiperbólico do campo de vetores .

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T14:10:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Martins_RicardoMiranda_M.pdf: 921623 bytes, checksum: 8098f5c4875b6b586865b92ec6e474a0 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: A semelhança entre sistemas reversíveis e Hamiltonianos foi detectada nos primórdios do século passado por Birkhoff. Neste trabalho realizamos uma análise geométrica-qualitativa da dinâmica de um campo de vetores reversível em torno de um ponto de equilíbrio elíptico em R4. Especificamente, estudamos quando um campo reversível com tal tipo de equilíbrio é "equivalente" a um sistema Hamiltoniano. Como resultado, obtemos que tal sistema é Hamiltoniano, a menos de uma seqüência de mudanças de coordenadas e reescalonamentos do tempo. Prosseguindo a análise, impomos outra simetria ao campo e passamos a considerar sistemas bireversíveis. Classificamos completamente as possíveis simetrias que tornam um sistema bireversível por involuções gerando um grupo isomorfo a D4. Para tais sistemas, obtemos resultados um pouco mais fortes que os obtidos para sistemas reversíveis / Abstract: The similarity between reversible and Hamiltonian systems has been detected at the beginning of the past century by Birkhoff. In this project, we describe a geometrical-qualitative analysis of the dynamics of a reversible vector field around a elliptical singularity in R4. Specifically, we study when such a reversible vector field is "equivalent" to a Hamiltonian system. As a result, we obtain that such systems are always Hamiltonian, up to a sequence of changes of coordinates and time rescaling. Imposing another symmetry to the vector field, we work with bireversible systems. We completely classify all the possible symmetries which makes such systems bireversible by involutions generating a group isomorphic to D4. For these systems, we have obtained stronger results than in the reversible case / Mestrado / Sistemas Dinamicos / Mestre em Matemática

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Kamila - A coexistencia de quatro ciclos limite.pdf: 385468 bytes, checksum: 7bfc558e3fb5ab2755c2afa480f819c8 (MD5) Previous issue date: 2012-07-30 / In this work we study continuous, symmetric and piecewise linear vector fields on R3, we investigate the existence of limit cycles using the closing equations method. More specifically, we study a two parameters family of this vector fields and we show the coexistence of four limit cycles and too, its realization on Chua s circuit. / Neste trabalho estudamos campos vetoriais seccionalmente lineares, contínuos e simétricos, com três zonas em R3, investigamos a existência de ciclos limite utilizando o método das closing equations. Mais especificamente, estudamos uma família a dois parâmetros e mostramos a coexistência de quatro ciclos limites para esta família e também sua realização no circuito de Chua.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-05-19T12:02:56Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-05-19T12:04:25Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-19T12:04:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2016-02-05 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work the first-order Averaging theory will be studied. This theory replaces the problem of finding and quantifying limit cycles of a vector field by the problem of finding positive zeros of a function. We present the classical Averaging method (done for C 2 smooth vector fields) and we apply it to some special cases of quadratic polynomial vector fields in R3. Afterwards, we show a generalization of the Averaging method proposed in [3], which uses Brouwer degree theory in order to extend the method to continuous vector field, in other words, the differentiability of a vector field is no longer required. Finally, we will study the Averaging theory for piecewise smooth vector fields, presented in [14] using the regularization technique for piecewise smooth vector fields, see [22]. Also we will apply it to a class of polynomial vector field defined by parts, known as Kukles fields, see [16]. / Neste trabalho a teoria do Averaging de primeira ordem será estudada. Teoria essa que consiste em transferir o problema de encontrar e quantificar os ciclos limites de um determinado campo de vetores para o problema de encontrar zeros positivos de uma determinada função. Apresentaremos o método do Averaging clássico para campos de vetores suaves, o qual assume que o referido campo é, no mínimo, de classe C 2 e aplicaremos o método em alguns campos de vetores polinomiais quadráticos em R3 particulares. Em seguida, apresentaremos uma generalização do método do Averaging, proposto em [3], que utiliza a teoria do grau topológico de Brouwer para que esse seja válido para campos de vetores somente contínuos, ou seja, nesse contexto, a diferenciabilidade não é necessária. Por fim, estudaremos a teoria do Averaging para campos de vetores suaves por partes, apresentada em [14] que utiliza a técnica de regularização de campos de vetores suaves por partes, veja [22], e o aplicaremos a uma classe de campos de vetores polinomiais por partes, denominada campos Kukles estudada em [16].

Neste trabalho calculamos a classe de Euler de uma folheação umbílica em um ambiente com forma de curvatura apropriada. Combinamos o teorema de Hopf-Milnor e o número de Euler de uma folheação, definido por Connes, para mostrar como a geometria da folheação influencia na topologia da variedade folheada, bem como na topologia da folheação. Além disso, exibimos uma lista de invariantes topológicos para campos vetoriais unitários em hipersuperfícies fechadas do espaço Euclidiano, e mostramos como estes invariantes podem ser empregados como obstruções a certas folheações com geometria prescrita. / In this work we compute the Euler class of an umbilic foliation on a manifold with suitable curvature form. We combine the Hopf-Milnor theorem and the Euler number of a foliation, defined by Connes, in order to show how the geometry of the foliation influences the topology of the foliated space as well as the topology of the foliation. Besides, we exhibit a list of topological invariants for unit vector fields on closed Euclidean hypersurfaces, and show how these invariants may be employed as obstructions to certain foliations with prescribed geometry.

Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em um aberto do plano. Treves provou que se L é localmente resolúvel então L é localmente integrável. Para campos planares hipoelíticos, vale uma propriedade adicional, a saber, toda integral primeira (restrita a um aberto suficientemente pequeno) é uma aplicação injetiva (e aberta); isto, por sua vez, implica que toda solução da equação homogênea Lu = 0 é localmente da forma u = h 0 Z, com h holomorfa, sendo Z uma integral primeira do campo. O problema central de interesse desta dissertação é a questão global correspondente, ou seja, a exisatência de integrais primeiras globais injetoras e a representação dde soluções globais por composições da integral primeira com uma função holomorfa / Let L be a nonsingular complex vector field defined on an open subset of the plane. Treves proved that if L is locally solvable then L is locally integrable. For hypoelliptic planar vector fields an additional property holds, namely, every first integral (restricted to a sufficiently small open set) is an injective (and open) mapping; this, on its turn, implies that each solution of the homogeneous equation Lu = 0 is locally of the form u = h Z, where h is holomorphic and Z is a first integral of the vector eld. The central problem of interest in this work is the corresponding global question, that is, the existence of global, injective first integrals and the representation of global solutions as compositions of the first integral with a holomorphic function

Este trabalho trata de problemas de contorno definidos no plano. O problema central desta tese é chamado Problema de Riemann-Hilbert, o qual pode ser descrito como segue. Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em uma vizinhança do fecho de um aberto simplesmente conexo do plano com fronteira suave. O Problema de Riemann-Hilbert para o campo L consiste em obter uma solução para a equação Lu = F(x, y, u) no aberto em estudo, sendo dada uma função F mensurável. Pede-se também que a solução tenha extensão contínua até a fronteira e que satisfaça lá uma condição adicional; trabalha-se aqui no contexto das funções Hölder contínuas. Foram obtidos resultados para o problema acima no caso em que L pertence a uma classe de campos hipocomplexos. O caso clássico conhecido é quando o campo vetorial é o operador de Cauchy-Riemann, ou, mais geralmente, quando é um campo elítico. / This work deals with boundary problems in the plane. The central problem in this thesis is the so-called Riemann-Hilbert problem, which may be described as follows. Let L be a non-singular complex vector field defined on a neighborhood of the closure of a simply connected open subset of the plane having smooth boundary. The Riemann-Hilbert problem for the vector field L consists in finding a solution to the equation Lu = F(x, y, u) on the open set under study, where the given function F is measurable. It is also required that the solution have a continuous extension up to the boundary and satisfy an additional condition there. Results were obtained for the above problem when L belongs to a class of hypocomplex vector fields. The well-known classical case is the one in which the vector field under study is the Cauchy-Riemann operator, or more generally when it is an elliptic vector field.

Neste trabalho apresentamos uma versão do Teorema de Poincaré-Bendixson para campos vetoriais contínuos na garrafa de Klein. Como conseqüência, mostramos que a garrafa de Klein não possui campo vetorial contínuo com trajetória injetiva recorrente / We present a version of the Poincaré-Bendixson Theorem on the Klein bottle for continuous vector fields. As a consequence, we obtain the fact that the Klein bottle does not admit continuous vector fields having a recurrent injective trajectory