Les circuits intégrés des puces électroniques sont gravés sur des films minces semi-conducteurs fabriqués par hétéro-épitaxie. Nous nous intéressons aux instabilités morphologiques qui peuvent apparaître au cours de la croissance de ces films.<br /><br />Du point de vue de la modélisation, les problèmes rencontrés en croissance cristalline sont essentiellement des problèmes de mouvement d'interfaces. Nous abordons le cas particulier du mouvement par courbure moyenne, ainsi que son approximation par la méthode de champ de phase via l'équation d'Allen-Cahn. La discrétisation par éléments finis que nous proposons permet de couvrir de nombreuses variantes de l'équation : conservation du volume, termes de forçage, anisotropie.<br /><br />Nous menons ensuite l'étude numérique d'un modèle variationnel de l'instabilité de Grinfeld. Celui-ci combine croissance cristalline et interactions élastiques, en couplant une équation d'Allen-Cahn à un système d'élasticité linéarisée pour le film. Une extension du modèle permet de prendre en compte le comportement élastique du substrat.<br /><br />Nous proposons, par ailleurs, un modèle de champ de phase pour l'étude de l'instabilité liée à la mise en paquet de marches en surface du film. L'étude numérique de ce modèle s'appuie sur un algorithme inspiré des techniques de recuit simulé. Celui-ci permet d'envisager la méthode de champ de phase comme un outil d'optimisation globale.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations aux dérivées fractionnaires et leurs applications au traitement d'images. Une attention particulière a été apportée à un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires. En particulier, nous avons étudié les propriétés qualitatives des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles fractionnaires qui explosent en temps fini. L'existence des solutions locales pour le système, le profil des solutions qui explosent en temps fini sont présentés. Nous étudierons le problème inverse pour l'équation de diffusion linéaire en une dimension et en deux dimensions. Nous sommes intéressés par trouver un terme source inconnu d'une équation de diffusion non locale. Les conditions aux limites considérées sont non locales et le problème spectral est non auto-adjoint. L'existence et l'unicité de la solution du problème inverse sont présentées.D'autre part, nous proposons un modèle basé sur l'équation de la chaleur linéaire avec une dérivée fractionnaire en temps pour le débruitage d'images numériques. L'approche utilise une technique de pixel par pixel, ce qui détermine la nature du filtre. En contraste avec certain modèles basés sur les équations aux dérivées partielles pour le débruitage de l'image, le modèle proposé est bien posé et le schéma numérique est convergent. Une amélioration de notre modèle proposé est suggéré.

Dans cette thèse, nous étudions des rétroactions visant à stabiliser des systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures quantiques non-destructives (QND), ainsi que la stabilité des filtres quantiques à temps continu. Cette thèse comporte deux parties. Dans une première partie, nous généralisons les méthodes mathématiques sous-jacentes à une rétroaction quantique en temps discret testée expérimentalement au Laboratoire Kastler Brossel (LKB) de l'École Normale Supérieure (ENS) de Paris. Plus précisément,nous contribuons à un algorithme de contrôle qui a été utilisé lors de cette expérience récente de rétroaction quantique. L'expérience consiste en la préparation et la stabilisation à la demande d'états nombres de photons (états de Fock) d'un champ de micro-ondes au sein d'une cavité supraconductrice. Pour cela, nous concevons des filtres à temps-réel permettant d'estimer les états quantiques malgré des imperfections et des retards de mesure, et nous proposons une loi de rétroaction assurant la stabilisation d'un état cible prédéterminé. Cette rétroaction de stabilisation est obtenue grâce à des méthodes Lyapunov stochastique et elle repose sur un filtre estimant l'état quantique. Nous prouvons qu'une telle stratégie de contrôle se généralise à d'autres systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures QND. Dans une seconde partie, nous considérons une extension du résultat obtenu pour des filtres quantiques en temps discret au cas des filtres en temps continu. Dans ce but, nous démontrons la stabilité d'un filtre quantique associé à l'équation maîtresse stochastique usuelle découlant par un processus de Wiener. La stabilité signifie ici que la "distance"entre l'état physique et le filtre quantique associé décroit en moyenne. Cette partie étudie également la conception d'un filtre optimal en temps continu en présence d'imperfections de mesure. Pour ce faire, nous étendons la méthode utilisée précédemment pour construire les filtres quantiques en temps discret tolérants aux imperfections de mesure. Enfin,nous obtenons heuristiquement des filtres optimaux généraux en temps continu, dont la dynamique est décrite par des équations maîtresses stochastiques découlant à la fois par processus de Poisson et Wiener. Nous conjecturons que ces filtres optimaux sont stables.

Ce travail s'inscrit principalement dans le domaine de synthèse d'observateurs pour des synthèses non linéaires. D'une part le développement d'une nouvelle méthodologie de synthèse est proposée et d'autre part des résultats supplémentaires pour les observateurs à horizon glissant sont donnés. La première partie est plus directement dédiée aux rappels des notions de base d'observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ainsi qu'à la description des principales techniques de synthèse d'observateurs. De cette étude, il a été possible d'énoncer les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Dans une deuxième partie et grâce à l'étude des différentes techniques de synthèse, une nouvelle méthodologie de synthèse d'observateur pour des systèmes non linéaires a été développée. Cette méthodologie divise un systhème en [n] problèmes d'optimisation scalaires, dénommés problèmes élémentaires, qui peuvent être résolus en parallèle en utilisant un solveur numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi sclaire que pour de systèmes de grand ordre peut être très interessant de l'appliquer. La dernière partie est concentrée sur les observateurs à horizon glissant plus classiques et de traiter le cas où les hypothèses de régularité uniforme globale ne sont pas supposées. la description technique correspondante est donné à travers des définitions du rayon de régularité et du rayon d'observabilité.

Le problème de l'initiation de l'explosion de vapeur est abordé ici en étudiant la fragmentation thermique (faibles perturbations en pression) d'une goutte chaude entourée d'un film de vapeur stable. La fragmentation semble consécutive à des contacts locaux entre la goutte et le réfrigérant. Néanmoins, le mécanisme exact qui déforme la goutte suite à ces contacts est incertain. Après une étude des ordres de grandeur mis en jeu, nous nous apercevons qu'un contact peut fragmenter la goutte en un temps très bref. Nous adoptons alors une approche consistant à utiliser comme critère d'explosion la simple réalisation d'un contact. Afin de valider cette approche, nous cherchons à retrouver les variations expérimentales des seuils d'explosion en fonction de la pression ambiante et en fonction de la température du réfrigérant. Le modèle retrouve les variations expérimentales, les seuils sont retrouvés avec une certaine incertitude. Le contact est obtenu par deux mécanismes rapprochant les liquides : une compression globale du film de vapeur due à la perturbation et une amplification des défauts de l'interface entre le réfrigérant et la vapeur. Il est apparu que c'est le mécanisme de compression globale qui explique principalement les variations expérimentales. Suite à ces résultats, nous avons effectué des extrapolations du modèle afin de nous approcher des conditions dans lesquelles une explosion de vapeur peut se produire industriellement (c'est à dire dans les réacteurs nucléaires à eau pressurisée).

La méthode classique de traitement des données aérogravimétriques par filtrage fréquentiel ne prend pas en compte les propriétés statistiques des mesures, telles les corrélations, et ne permet pas une estimation aisée des erreurs sur le champ de gravité. Nous avons donc développé une nouvelle méthode de réduction par inversion régularisée au sens des moindres carrés, basée sur la transformation de l'équation différentielle du gravimètre en équation intégrale, qui permet cette estimation. Nous avons appliqué cette nouvelle méthode avec succès à la modélisation du champ de gravité dans le domaine des moyennes longueurs d'ondes sur la partie Sud-Ouest des Alpes avec une précision interne de 3 mGal. Les données utilisées ont été acquises avec un gravimètre « LaCoste & Romberg modèle Air/Sea » lors d'un levé gravimétrique aéroporté réalisé en 1998 dans le cadre du programme national de recherche « GéoFrance 3D ».

Le travail de la thèse concerne la modélisation et l'analyse <br />mathématique du transport d'électrons confinés dans une nanostructure<br />dans le but d'implémenter des simulations numériques. Dans de tels<br />dispositifs nanométriques, les ordres de grandeurs ne jouent pas le<br />même rôle dans chaque direction. Les électrons peuvent être<br />extrêmement confinés dans une ou plusieurs directions. Un modèle <br />quantique est nécessaire pour décrire le confinement. Dans la<br />direction non confinée, le transport est supposé de nature classique. <br />Nous proposons alors un système couplé quantique/classique. <br />Les collisions intervenant lors du transport induisent un régime<br />diffusif des porteurs de charges. Le modèle diffusif est obtenu grâce<br />à une limite de diffusion d'un modèle cinétique. L'analyse<br />mathématique de cette limite de diffusion et du modèle diffusif couplé<br />sont présentées. Une simulation numérique du transport dans un<br />nanotransistor est obtenue avec ce modèle.

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière nécessite l'évaluation d'intégrales comportant un intégrand singulier. Un calcul fiable et précis de ces intégrales peut dans certains cas se révéler à la fois crucial et difficile. La méthode que nous proposons consiste en une réduction récursive de la dimension du domaine d'intégration et aboutit à une représentation de l'intégrale sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales mono-dimensionnelles dont l'intégrand est régulier et qui peuvent s'évaluer numériquement mais aussi explicitement. L'équation de Helmholtz 3-D sert d'équation modèle mais ces résultats peuvent être utilisés pour les équations de Laplace et de Maxwell 3-D. L'intégrand est décomposé en une partie homogène et une partie régulière ; cette dernière peut être traitée par les méthodes usuelles d'intégration numérique. Pour la discrétisation du domaine, des triangles plans sont utilisés ; par conséquent, nous évaluons des intégrales sur le produit de deux triangles. La technique que nous avons développée nécessite de distinguer entre diverses configurations géométriques ; c'est pourquoi nous traitons séparément le cas de triangles coplanaires, dans des plans sécants ou parallèles. Divers prolongements significatifs de la méthode sont présentés : son extension à l'électromagnétisme, l'évaluation de l'intégrale du noyau de Green complet pour les coefficients d'auto-influence, et le calcul de la partie finie d'intégrales hypersingulières.

Ce travail présente un développement et une analyse des approches numériques déterministes et probabilistes efficaces pour les équations aux dérivées partielles avec des coefficients et données aléatoires. On s'intéresse au problème d'écoulement stationnaire avec des données aléatoires. Une méthode de projection dans le cas unidimensionnel est présentée, permettant de calculer efficacement la moyenne de la solution. Nous utilisons la méthode de collocation anisotrope des grilles clairsemées. D'abord, un indicateur de l'erreur satisfaisant une borne supérieure de l'erreur est introduit, il permet de calculer les poids d'anisotropie de la méthode. Ensuite, nous démontrons une amélioration de l'erreur a priori de la méthode. Elle confirme l'efficacité de la méthode en comparaison avec celle de Monte Carlo et elle sera utilisée pour accélérer la méthode par l'extrapolation de Richardson. Nous présentons aussi une analyse numérique d'une méthode probabiliste pour quantifier la migration d'un contaminant dans un milieu aléatoire. Nous considérons le problème d'écoulement couplé avec l'équation d'advection-diffusion, où on s'intéresse à la moyenne de l'extension et de la dispersion du soluté. Le modèle d'écoulement est discrétisé par une méthode des éléments finis mixtes, la concentration du soluté est une densité d'une solution d'une équation différentielle stochastique, qui sera discrétisée par un schéma d'Euler. Enfin, nous présentons une formule explicite de la dispersion et des estimations de l'erreur a priori optimales.

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d'énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire.