Notre recherche porte sur l'activité du professeur : il s'agit précisément d'analyser les pratiques d'enseignement des systèmes d'équations et de la mise en équations en Troisième. Nous adoptons un nouveau regard prenant appui sur l'utilisation conjointe de deux des principaux champs théoriques en didactique des mathématiques : ce travail montre la complémentarité d'outils de la théorie anthropologique et de la théorie des situations, ainsi que la richesse d'articulations entre ces outils dans l'étude de l'activité du professeur. Selon l'approche anthropologique, l'enseignant est soumis aux contraintes résultant d'assujettissements à diverses institutions. Pour déterminer ces contraintes dites externes, nous étudions l'évolution de la transposition didactique de 1902 à 1999 : une analyse écologique de manuels nous permet de dégager divers systèmes de contraintes institutionnelles pesant sur l'enseignement des systèmes et de la mise en équations. En complément, un questionnaire atteste que d'anciens rapports institutionnels à ces deux objets, sont des alternatives envisagées par les professeurs ; cependant cette diversité de choix, reste conforme au rapport contemporain. Au sein de l'espace de liberté ainsi toujours laissé au sujet de l'institution, les régulations de la relation didactique soumettent le professeur à de nouvelles contraintes. En référence à la théorie des situations, nous étudions ces contraintes dites internes, selon une problématique économique. Nous analysons en termes de variables et de structuration du milieu, l'enseignement prévu et réalisé par un professeur de Troisième particulier lors de l'introduction des systèmes d'équations. En articulation avec les résultats de l'étude écologique précédente, l'utilisation de ces nouveaux outils didactiques nous permet d'interroger : ses choix, les connaissances didactiques et mathématiques qui sous-tendent ses choix, et l'influence de contraintes externes ou internes sur ses décisions en ou hors classe.

Les travaux de cette thèse concernent la simulation numérique de la propagation acoustique dans un fluide en écoulement, en régime périodique établi. Le modèle retenu est l'équation de Galbrun, qui modélise la propagation linéaire d'ondes en présence d'un écoulement de fluide parfait en évolution adiabatique et porte sur le déplacement lagrangien. L'analyse mathématique montre qu'une méthode d'éléments finis nodaux ne permet pas, en général, d'approcher la solution de l'équation, les résultats étant alors fortement pollués par des modes numériques "parasites". Dans la première partie de la thèse, nous proposons une méthode de régularisation de l'équation pour laquelle nous prouvons la convergence d'une approximation par éléments finis nodaux pour des problèmes de diffraction dans un conduit en présence d'écoulements subsoniques uniforme ou cisaillé. La deuxième partie du document est consacrée à la construction et l'étude de couches absorbantes parfaitement adaptées, dites PML, pour le rayonnement d'une source localisée en présence d'un écoulement uniforme et dans un conduit. Nous traitons successivement le cas d'une source irrotationnelle, qui conduit à un problème scalaire, et celui d'une source quelconque. Un principe d'absorption limite est établi dans le cas général et nous démontrons un résultat de convergence exponentielle de la méthode de PML en fonction de la longueur des couches. Des résultats numériques illustrant ces approches sont présentés.

Ce travail s'inscrit dans la problématique de la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques présents dans les machines électriques. Il comporte deux parties. La première partie présente une méthode permettant de ramener, par un raisonnement physique adapté au comportement électromagnétique et à la géométrie de la machine, le problème complet des équations aux dérivées partielles de la magnétostatique, à un problème unidimensionnel. C'est ce que nous avons appelé la méthode de découpage en secteurs qui, tout en demeurant une méthode approchée, tient compte "en moyenne" de la géométrie du domaine et présente l'avantage d'une très grande rapidité d'exécution. La seconde partie porte sur l'analyse de la distribution de la densité de courant dans un conducteur massif de forme quelconque, noyé dans une encoche. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour résoudre l'équation d'Helmholtz afin de déterminer numériquement les fonctions propres du Laplacien sur le domaine considéré. Il en résulte une méthode de détermination d'un circuit équivalent valable quels que soient les formes des courants et les profils des barres.

Afin d'étudier l'influence des fluctuations sur différents phénomènes physiques liés aux collisions entre ions lourds, une équation de Langevin a été obtenue à partir d'un modèle microscopique. Les paramètres entrant dans cette équation sont entièrement déterminés à partir de grandeurs microscopiques caractérisant la matière nucléaire. Cette équation a été appliquée à des phénomènes physiques aux énergies intermédiaires. Une première partie concerne les mouvements collectifs de faible amplitude, à savoir les résonnances géantes. Les effets de mémoire dans le terme decollisions de l'équation de Boltzmann ont été étudiés. Une approche formelle à l'influencedes fluctuations sur plusieurs modes couplés est aussi proposée. Une deuxième partie concerne les mouvements collectifs de grande amplitude où une étude détaillée de la fission thermique est faite . Le taux de fission est calculé et confronté aux résultats expérimentaux. Enfin, un travail préliminaire sur la multifragmentation est proposé.

Le but de la thèse est de relier entre les propriétés de diffusion des variétés riemanniennes et leur géométrie. On veut plonger une famille de variétés riemanniennes dont la métrique est dépendante d'un paramètre t dans un espace de Hilbert par ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t)) telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G.P.S et donne beaucoup d'informations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de la chaleur non linéaire sur (M, g(t)) telle que g(t) soit de volume constant. Finalement, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'avérait vraie, on pourrait plonger (M, g(t)) dans un espace de Hilbert à l'aide de P.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'identités qu'on observe à l'interface entre le domaine des modèles intégrables en physique statistique et la combinatoire. L'histoire a commencé quand Mills, Robbins et Rumsey étudiaient des Matrices à Signes Alternants (ASM). En 1982, ils proposèrent une formule d'énumération. Pendant qu'ils cherchaient une preuve de cette formule ils découvrirent l'existence d'autres objets comptés par la même formule : les Partitions Planes Totalement Symétriques Auto-Complémentaires (TSSCPP). C'est seulement quelques années plus tard que Zeilberger fut capable de prouver cette égalité, prouvant que les deux objets sont comptés par la même formule. La même année, Kuperberg utilise l'intégrabilité quantique (notion venue de la physique statistique) pour donner une preuve plus simple. En 2001, Razumov et Stroganov conjecturèrent une intrigante relation entre les ASM et l'état fondamental du modèle de spins XXZ (pour Delta=-1/2), lui aussi intégrable. Cette conjecture a été démontrée en 2010 par Cantini et Sportiello. L'objectif principal de ce manuscrit est de comprendre le rôle de l'intégrabilité dans cette histoire, notamment le rôle joué par l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov quantique. Grâce à cette équation nous avons été capables de démontrer plusieurs conjectures combinatoires, dont une version raffinée de l'équalité entre le nombre des TSSCPP et des ASM proposée en 1986 par Mills, Robbins et Rumsey et certains propriétés des composantes du vecteur fondamental du modèle XXZ. Est présentée aussi une série de nouvelles conjectures concernant l'état fondamental.

Les électrolytes changent considérablement les solubilités mutuelles des mélanges eau-hydrocarbures et la représentation des propriétés thermodynamiques devient alors plus délicate. Les modèles d'équilibre de phases qui sont capables de décrire de tels mélanges sont habituellement de type hétérogène. La thèse proposée ici utilise des méthodes issues de la thermodynamique statistique pour développer une équation d'état, permettant de tenir compte des différentes interactions existantes (non-électrolyte, électrolyte). Nous avons utilisé une équation de type CPA (Cubic Plus Association) que nous avons combinée avec des termes spécifiques aux ions: MSA (Mean Spherical Approximation), le terme de Born et le terme de solvatation de Planche et Renon (SR2). La première partie de ce travail a été réalisée pour tester la capacité du modèle (CPA-E) à représenter les propriétés thermodynamiques (densité, coefficient d'activité et coefficient osmotique) de solutions électrolytiques simples tels que des solutions aqueuses de NaCI et de CaClz. Il a été ensuite, étendu en température, ainsi qu'à d'autres sels. Après cela, nous avons étudié les mélanges ternaires (eau-hydrocarbure-sel, eau-hydrocarbure-méthanol, eau-méthanol-sel), l'objectif étant de pouvoir traiter un système complet: eau-hydrocarbure-méthanol-sels.

Mes travaux de recherche s'inscrivent dans l'imagerie sismique des premiers kilomètres du sous-sol, en particulier dans le domaine pétrolier. Il s'agit de reconstruire les propriétés de la sub-surface, par exemple la vitesse de propagation des ondes de compression, à partir d'enregistrements en surface de déplacements ou de variations de la pression liés au passage d'un train d'ondes acoustiques ou élastiques. Je me suis attaché, dans ce domaine, à regarder différemment les données sismiques. Les enregistrements sismiques dépendent de la position de source et d'un ensemble de récepteurs, ainsi que du temps d'enregistrement. Ils sont couramment analysés trace par trace, par exemple pour filtrer les données ou bien pour les migrer, c'est-à-dire retrouver en profondeur les perturbations du milieu, typiquement avec des migrations de type Kirchhoff. Dans le cas de la migration dite "reverse-time migration", les points de tir sont vus comme un ensemble : l'information de tous les récepteurs est rétro-propagée depuis la surface jusqu'en profondeur, également pour retrouver les propriétés du milieu. Je propose de considérer des groupes de traces adjacentes, autour d'une fenêtre en temps, et d'examiner différents algorithmes d'imagerie sous cet aspect. L'aspect cohérence locale est justifié dans le domaine pétrolier par les acquisitions actuelles qui sont de plus en plus denses, et aussi par la notion de zone de Fresnel. La cohérence latérale des signaux sismiques est traitée sous deux angles. Le premier donne une vision très épurée : les événements localement cohérents sont décrits en 2D par la position de la trace centrale, une position dans la trace, et une pente qui indique la cohérence. Je montre qu'à partir de ce type d'approche, il est possible de retrouver les grandes longueurs d'onde du modèle de vitesse par analyse de vitesse dans le domaine migré. J'ai pu aussi établir le lien entre cette méthode d'analyse de vitesse et la tomographie de pente. Le second angle d'attaque prend en compte la signature des données sismiques, et en particulier la bande passante limitée. Les applications sont alors beaucoup plus nombreuses : migration, analyse de vitesse, sensibilité de l'image migrée par rapport au modèle de vitesse, et d'autres tâches liées au pré-traitement comme le débruitage, la prédiction des multiples, ... Dans chacun des cas, j'analyse les avantages et limitations de l'utilisation de la cohérence locale. Il s'avère que le choix du code de décomposition en événements locaux (``curvelets'', ...) est étroitement lié à l'application qui en est faite : si l'objectif est de comprimer les données sismiques, alors les curvelets ne sont pas adaptées. S'il s'agit au contraire de savoir comment l'image migrée dépend du choix du modèle de vitesse pris pour la migration, alors les curvelets ont beaucoup d'avantages. Plus particulièrement, les curvelets offrent la flexibilité de la décomposition des données, très utile pour la suppression des bruits cohérents. De plus, elles diagonalisent presque l'opérateur de démigration/migration qui donne la sensibilité de l'image migrée par rapport au choix du modèle de vitesse. Enfin, elles permettent d'exploiter l'aspect multi-échelle des données, avec des applications sur la suppression de l'aliasing. Je montre aussi qu'il est possible de développer d'autres schémas de décomposition et de reconstruction, comme par exemple les ``circlets''. Dans les perspectives de recherche, je tiens à dépasser le cadre asymptotique hautes fréquences dans lequel les curvelets trouvent un cadre naturel. Je propose en particulier une nouvelle formulation du problème d'inversion des formes d'onde (DFWI, Differential Full WaveForm Inversion). Cette méthode se veut générale pour retrouver les propriétés du sous-sol et permettre une optimisation locale, tout en s'affranchissant de la détermination d'un modèle de départ très proche de la solution. Cette idée doit être approfondie. Elle exploite la cohérence locale des données sismiques et suppose que le signal est bien échantillonné en temps et en espace. Les applications sont très nombreuses et touchent le domaine pétrolier, la géotechnique, la sismologie globale et régionale.

La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

Lorsqu'un gaz bosonique ultrafroid est fortement confiné selon une direction de l'espace, les degrés de liberté correspondants sont « gelés » et le gaz devient effectivement bidimensionnel. Le sujet principal de ce manuscrit de thèse est la production de ces gaz quasi-bidimensionnels avec un nouveau dispositif expérimental ainsi que leur étude subséquente. Le manuscrit se divise en deux parties dont la première est consacrée à la description du dispositif expérimental et des techniques qui nous permettent la production des gaz de Bose ultrafroids. Le cas particulier de la production (pour laquelle on se sert d'une lame de phase holographique) et l'étude des gaz de Bose quasi-bidimensionnels est discuté en détail dans la deuxième partie. Le but original des expériences décrites ici était de mesurer l'équation d'état du gaz de Bose quasi-bidimensionnel. Il s'est avéré que la méthode de l'imagerie par absorption, appliquée sur un tel gaz, donne naissance à des effets inattendus. Nous donnons une caractérisation détaillée ainsi que des éléments d'explication possibles de ces effets.