Nous étudions l’analyse asymptotique en relativité générale sous deux aspects: le peeling et le scattering (diffusion) conforme. Le peeling est construit pour les champs scalaires linéaire et non-linéaires et pour les champs de Dirac en espace-temps de Kerr (qui est non-stationnaire et à symétrie simplement axiale), généralisant les travaux de L. Mason et J-P. Nicolas (2009, 2012). La méthode des champs de vecteurs (estimations d’énergie géométriques) et la technique de compactification conforme sont développées. Elles nous permettent de formuler les définitions du peeling à tous ordres et d’obtenir les données initiales optimales qui assurent ces comportements. Une théorie de la diffusion conforme pour les équations de champs sans masse de spîn n/2 dans l’espace-temps de Minkowski est construite.En effectuant les compactifications conformes (complète et partielle), l’espace-temps est complété en ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces isotropes représentant respectivement les points limites passés et futurs des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s’obtient en résolvant le problème de Cauchy pour l’équation rééchelonnée et en considérant les traces des solutions sur ces bords. L’inversibilité des opérateurs de trace, qui associent le comportement asymptotique passé ou futur aux données initiales, s’obtient en résolvant le problème de Goursat sur le bord conforme. L’opérateur de diffusion conforme est alors obtenu par composition de l’opérateur de trace futur avec l’inverse de l’opérateur de trace passé. / This work explores two aspects of asymptotic analysis in general relativity: peeling and conformal scattering.On the one hand, the peeling is constructed for linear and nonlinear scalar fields as well as Dirac fields on Kerr spacetime, which is non-stationary and merely axially symmetric. This generalizes the work of L. Mason and J-P. Nicolas (2009, 2012). The vector field method (geometric energy estimates) and the conformal technique are developed. They allow us to formulate the definition of the peeling at all orders and to obtain the optimal space of initial data which guarantees these behaviours. On the other hand, a conformal scattering theory for the spin-n/2 zero rest-mass equations on Minkowski spacetime is constructed. Using the conformal compactifications (full and partial), the spacetime is completed with two null hypersurfaces representing respectively the past and future end points of null geodesics. The asymptotic behaviour of fields is then obtained by solving the Cauchy problem for the rescaled equation and considering the traces of the solutions on these hypersurfaces. The invertibility of the trace operators, that to the initial data associate the future or past asymptotic behaviours, is obtained by solving the Goursat problem on the conformal boundary. The conformal scattering operator is then obtained by composing the future trace operator with the inverse of the past trace operator.

L'objectif de cette thèse est de contribuer à l'optimisation de problèmes dynamiques en présence de retard. Le point de vue qui nous intéressera est celui de Pontryagin qui dans son ouvrage publié en 1962 a donné les conditions nécessaires d'existence de solutions pour ce type de problème. Warga dans son ouvrage publié en 1972 a fait un catalogue des solutions possible, Li et al. ont étudié le cas de contrôle périodique. Notre méthode de démonstration est directement inspirée de la démonstration de P. Michel du cas des systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires. La principale difficulté pour cette approche est l'utilisation de la résolvante de l'équation différentielle fonctionnelle linéarisée de l'équation différentielle fonctionnelle d'évolution qui gouverne le système. Nous traitons aussi de condition d'Euler-Lagrange dans le cadre d'un problème de calcul variationnel avec retard. / In this thesis, we have attempted to contribute to the optimization of dynamical problems with delay in state space. We are specifically interested in the viewpoint of Pontryagin who outlined in his book published in 1962 the necessary conditions required for solving such problems. In his work published in 1972, Warga catalogued the possible solutions. Li and al. analyzed the case of periodic control. We will treat an optimal control problem governed by a Delay Functional Differential Equation. Our method is close to the one of P. Michel on dynamical system governed by Ordinary Differential Equations. The main problem ariving out in this approach is the use of the resolvent of the Delay Functional Differential Equation. We also consider with Euler-Lagrange condition in the framework of variational problems with delay.

Cette thèse porte sur l’étude des propriétés qualitatives des solutions des équations des ondes et de la chaleur semi-linéaires. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Les deux premiers concernent l’existence et la description de dynamiques explosives de concentration en temps fini de l’état stationnaire à symétrie radiale dans le régime dit énergie surcritique ; en outre, pour l’équation des ondes la stabilité de ces phénomènes est étudiée dans le cas radial, et pour l’équation de la chaleur le cas plus général d’un domaine borné avec conditions de Dirichlet au bord est considéré. Le troisième porte sur la classification des dynamiques possibles près de l’état stationnaire radial pour l’équation de la chaleur dans le régime dit énergie critique, trois scénarios ayant lieu : la stabilisation, l’instabilité par explosion auto-similaire à profil explosif constant en espace, et l’instabilité par dissipation vers la solution nulle. Enfin, le quatrième a pour objet l’existence et la stabilité de profils explosifs auto-similaires non constants en espace pour l’équation de la chaleur dans le cas énergie surcritique / This thesis is devoted to the study of qualitative properties for solutions to the semilinear heat and wave equations. The results that are described are the following. The first two concern the existence and description of blow-up dynamics in which the radially symmetric stationary state is concentrated in finite time in the so-called energy supercritical regime; in addition, for the wave equation the stability of these phenomena is studied in the radial case, and for the heat equation the more general case of a bounded domain with Dirichlet condition at the boundary is considered. The third one deals with the classification of the possible dynamics near the radial stationary state for the heat equation in the so-called energy critical regime, where three scenarii occur: stabilization, instability by blow-up with the constant in space blow-up profile, and instability by dissipation to the null solution. Eventually, in the forth result we investigate the existence and the stability of self-similar blow-up profiles that are not constant in space, for the heat equation in the energy supercritical case

Cette thèse est une contribution à la résolution numérique d'une loi de conservation hyperbolique résultante d'un couplage entre les équations de Saint-Venant, associée à la modélisation des écoulements en eaux peu profondes, et l'équation de transport-diffusion d'un polluant non actif. Le modèle mathématique utilisé est bi-dimensionnel, intégrant des termes de friction, de diffusion, des tensions de surface et un terme tenant compte la variation de la bathymétrie. Nous présentons un modèle numérique basé sur un schéma volumes finis bidimensionnel d'ordres deux, conservatif et consistant, sur un maillage non structuré adaptatif. Ce modèle préserve la positivité de la hauteur d'eau et l'état stationnaire associé au lac au repos, il permet de capturer avec précision les ondes de chocs. Dans le temps une extension à l'ordre deux est garantie en utilisant un schéma de Runge-Kutta ce qui permettra de prendre en compte les différentes vitesses de propagation de l'information présentes dans les différents problèmes traités. Nous appliquons le modèle numérique développé sur plusieurs problèmes. Entre autre, la simulation d'une propagation d'une onde de crue, écoulement autour d'une singularité géométrique, écoulement sur des fonds variables et présentant des fronts raides. Et en fin, L'étude numérique s'achève par une application du modèle pour la simulation du transport de polluant dans une géométrie réelle avec une bathymétrie fortement variable telle que présente la baie de Tanger.

L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement cinématique des mécanismes bouclés de corps rigides. Le modèle mathématique d'un tel mécanisme est l'équation de fermeture f (q1,..., qm) = e où q1,...,qm sont des coordonnées articulaires et f est une fonction analytique à valeur dans un groupe de Lie. L'étude des propriétés cinématiques se ramène à celle de l'ensemble des configurations admissibles f-1 ( e ) qui est une sous-variété dans le cas régulier où f est une subimmersion. Par contre, l'étude est beaucoup plus difficile lorsque f possède des singularités. On utilise comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes de Lie pour le groupe des déplacements et la structure de Δ - module de son algèbre de Lie, ceci permet une écriture simple et condensée des équations de la cinématique et facilite leur traitement symbolique. Nous avons montré que l'analyse au deuxième ordre de l'équation de fermeture est suffisante pour les mécanismes 6R paradoxaux. Un algorithme d'évaluation du rang d'un ensemble de champs antisymétriques (équiprojectifs) est développé et est utilisé pour étudier les processus de génération des sous algèbres de Lie. Nous avons proposé également des méthodes de cinématique inverse pour des mécanismes spatiaux, ces méthodes permettent de résoudre l'équation de fermeture indépendamment d'un choix des coordonnées et d'obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de résolution : notamment, la méthode simplifie considérablement la procédure de résolution pour les mécanismes 6R spatiaux.

Dans cette thèse nous apportons deux contributions importantes par l'outil de l'abstraction mathématique : - La première contribution concerne la mécanique et plus précisément la modélisation dynamique des systèmes articulés. L'abstraction mathématique par la théorie des groupes et algèbres de Lie coordonnée avec un usage judicieux de la notion des nombres duaux permet d'élaborer un langage très commode où les modèles géométriques et dynamiques des systèmes mécaniques poly-articulés s'expriment sous une forme syntaxique relativement simple (malgré la complexité du système). De nouvelles méthodes pour la description des configurations des systèmes multicorps et un algorithme récurrent original (et très efficace) sont alors développés grâce à ce langage. - La seconde contribution concerne le domaine informatique en calcul formel. Elle est basée sur le typage algébrique, les techniques de réécriture et la génération automatique des codes (programmation assistée par ordinateur). Les problèmes soulevés nécessitent de nouvelles architectures de systèmes de calcul formel. Dans cet ordre d'idées, un prototype de système de calcul formel (SURVEYOR) basé sur la réécriture typée et une extension (MEDUSA MF77) du système Maple ont été réalisés. Un outil informatique pour la génération automatique des codes Fortran et Maple des schémas de calcul optimisés relatifs à notre formulation dynamique est développé à l'aide du système MEDUSA MF77. Plusieurs applications en calcul symbolique et en robotique sont, par ailleurs, présentées en annexes sous forme de réalisations informatiques des aspects théoriques traités.

Ce travail se compose de deux parties indépendantes. La première est consacrée à l'étude de la méthode du décalage, dite aussi méthode du Shift, pour le calcul d'espérances mathématiques en dimension grande ou infinie. Pour l'essentiel, la méthode du décalage est la mise en oeuvre informatique du théorème ergodique ponctuel de Birkhoff pour l'opérateur de décalage (à gauche ou, à défaut, à droite). La deuxième partie s'attache au problème de l'approximation des mesures invariantes pour les chaînes de Markov.

Les amplificateurs optiques à semi-conducteurs (SOA) sont des composants multifonctionnels utilisables dans des applications de plus en plus variées, notamment dans les réseaux multiplexés en longueur d'onde. Ce travail est consacré à la modélisation large-bande du comportement statique et dynamique des SOA. Le terme large-bande couvre une large plage de variation de la longueur d'onde des signaux optiques incidents, de leur puissance, ainsi qu'une large plage de variation du courant d'alimentation électrique des SOA. Cette modélisation large-bande a été validée pour plusieurs SOA, à la fois pour le gain, l'émission spontanée ampliée (ASE) et le facteur de bruit (NF). Notre modélisation s'est de plus avérée cascadable puisqu'elle a permis de simuler le comportement de deux SOA en série. Notre modélisation a ensuite été étendue à la prise en compte de l'ondulation du gain et de l'ASE, à la prise en compte de l'état de polarisation des signaux et de l'ASE, du mélange à quatre ondes (FWM), des SOA à gain bloqué (GC-SOA) et à celle des SOA à gain élargi par l'insertion d'un filtre coupe-bande. Nous nous sommes aussi attachés à la modélisation dynamique du comportement des SOA en prenant en compte la compression du gain. Nous avons pour cela développé une écriture sous forme de retard complexe de l'équation de propagation facilement intégrable. Notre modèle permet ainsi de simuler le comportement des SOA jusqu'au régime picoseconde. Enn, nous avons mis en place la prise en compte des formats de modulation complexes an de pouvoir insérer notre modèle dans un environnement système.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.

Cette thèse porte sur la rhéologie des pâtes granulaires. L'image classique pour les pâtes granulaires est qu'il y a une transition d'un écoulement frictionnel vers un écoulement lubrifié lors de l'augmentation du taux de cisaillement. Nous montrons qu'il existe en réalité une transition d'un écoulement localisé vers un écoulement non-localisé. Le paramètre pertinent caractérisant cette transition est le nombre de Leighton, qui est le rapport entre les forces lubrifiée et frictionnelle. Ce nombre définit un taux de cisaillement critique au-dessous duquel aucun écoulement stationnaire sans localisation ne peut exister. Par ailleurs, en menant à la fois des expériences en IRM et des expériences de rhéologie classique, nous définissons une viscosité pour les pâtes granulaires. Il faut pour cela tenir compte de la migration des particules vers les zones faiblement cisaillées lors de l'écoulement, migration qui engendre un profil de concentration des particules. La viscosité est donnée par une loi constitutive constituée de trois équations : l'équation de la courbe d'écoulement, l'équation de Krieger-Dougherty, et le rapport entre contrainte de cisaillement et première différence de contraintes normales. Enfin, nous étudions des suspensions rhéoépaississantes de fécule de maïs qui présentent également une transition d'un régime localisé vers un régime non-localisé autour d'un seuil de rhéoépaississement.