Växande geometriska mönster ses som ett redskap för att få elever från ett aritmetiskt till ett algebraiskt tänk om mönster successivt ersätts med tal och bokstavsbeteckningar. TIMSS- rapporten från 2015 redovisar att svenska elever i årskurs 8 har dåliga resultat inom algebra och geometri men samtidigt är aritmetik ett av de starkaste områdena. Syftet är därför att undersöka vilka teorier om lärande av växande geometriska mönster som finns samt vilka arbetssätt och metoder som används i undervisning om växande geometriska mönster. Studien är en litteraturstudie, där vetenskapligt material analyseras utifrån forskningsfrågor. I denna studie består materialet av tidskriftsartiklar, konferensbidrag och en avhandling.   Resultatet visar på två skilda teorier angående hur undervisning om växande geometriska mönster ska bedrivas, hierarkisk och dynamisk undervisning. Den hierarkiska teorins ståndpunkt är att kunskap byggs från grunden och att gå från det enkla till det komplexa för att elever ska lära sig generalisera. Tvärtemot anser förespråkare för en dynamisk undervisning att elever bör tvingas generalisera redan från början. Resultatet visar också att elever har lättare att generalisera och se samband mellan formel och mönster om de får lära sig analysera det växande geometriska mönstrets delar och samband mellan figurer redan från början.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This dissertation presents a reconstruction of John Venn s (1834-1923) logical theory in Symbolic Logic (1881; 1894). In his work, Venn presents an algebra of logic, and faces a number of philosophical problems underlying this symbolic logic. Firstly, Venn needs to consider the relation between symbolic logic and traditional logic, i.e., Syllogistic. Secondly, Venn needs to consider the relation between symbolic logic and Mathematics. In treating these issues, Venn will have to reflect upon a number of philosophical notions concerning the nature of symbolic knowledge. The objective of this dissertation is to present Venn s treatment to the concept of symbolic knowledge. Throughout the research, it is shown that according to Venn s point of view the algebra of logic is a formal generalization of Syllogistic. Such formal generalization is possible due to the ecthetic function algebraic symbols perform in logical representation. Furthermore, according to Venn, the logic represented by his algebraic symbolism can be precisely differentiated from Mathematics. Such differencing is possible due to the reflection upon the different modes in which algebraic symbolism performs the subrogative function of symbolic knowledge. This dissertation achieves twofold results. On the one hand, it achieves a historiographically important result, for it permits the determination of the locus of Venn s work among the efforts of logical symbolization in the Nineteenth century. On the other, it achieves a philosophical result insofar it permits, through the analysis of a historical case, to clarify key-notions of symbolic knowledge. Venn is more recognized for the creation of Venn diagrams than for his work in the algebra of logic, however, Venn doesn t elaborate much any systematic reflection upon the nature of graphic knowledge. Nevertheless, the research of Venn s work in the algebra of logic provides results concerning the nature of Venn diagrams, which are here presented as a secondary issue. / Esta dissertação apresenta uma reconstrução da teoria lógica de John Venn (1834- 1923) em Symbolic Logic (1881; 1894). Em sua obra, Venn apresenta uma álgebra da lógica, e enfrenta uma série de problemas filosóficos subjacentes a essa lógica simbólica. Em primeiro lugar, Venn precisa considerar a relação entre a lógica simbólica e a lógica tradicional, i.e., a silogística. Em segundo lugar, Venn precisa considerar a relação entre a lógica simbólica e a matemática. No tratamento dessas questões, Venn precisará refletir sobre uma série de noções filosóficas acerca da natureza do conhecimento simbólico. O objetivo dessa dissertação é apresentar o tratamento oferecido por Venn ao conceito de conhecimento simbólico. No desenvolvimento da pesquisa, verifica-se que, na opinião de Venn, sua álgebra da lógica é uma generalização formal da silogística. Tal processo de generalização formal é possível graças à função ectética que os símbolos algébricos cumprem na representação lógica. Além disso, verifica-se que, de acordo com Venn, a lógica representada pelo seu simbolismo algébrico pode ser precisamente diferenciada da matemática. Tal diferenciação é possível graças à reflexão sobre os diferentes modos em que o simbolismo algébrico cumpre a função subrogativa do conhecimento simbólico. Essa dissertação alcança, por fim, um duplo resultado. Por um lado, obtém-se um resultado de valor historiográfico, pois permite determinar o lugar do trabalho de Venn entre os esforços de simbolização da lógica do século XIX. Além disso, alcança também um resultado filosófico na medida em que permite, através de análise de um caso histórico, clarificar noções-chave do conhecimento simbólico. Venn é mais conhecido pela criação dos diagramas de Venn do que por seu trabalho em álgebra da lógica, contudo Venn pouco oferece em termos de reflexão sistemática sobre o tema filosófico da natureza do conhecimento gráfico. Apesar disso, o estudo do trabalho de Venn em álgebra da lógica oferece resultados sobre a natureza dos diagramas de Venn, resultados esses que são aqui apresentados como produto secundário da investigação.

This thesis consists of four papers on the topics of free loop spaces, Koszul duality and A∞-algebras.  In Paper I we consider a definition of differential operators for noncommutative algebras. This definition is inspired by the connections between differential operators of commutative algebras, L∞-algebras and BV-algebras. We show that the definition is reasonable by establishing results that are analoguous to results in the commutative case. As a by-product of this definition we also obtain definitions for noncommutative versions of Gerstenhaber and BV-algebras.  In Paper II we calculate the free loop space homology of (n-1)-connected manifolds of dimension of at least 3n-2. The Chas-Sullivan loop product and the loop bracket are calculated. Over a field of characteristic zero the BV-operator is determined as well. Explicit expressions for the Betti numbers are also established, showing that they grow exponentially.  In Paper III we restrict our coefficients to a field of characteristic 2. We study the Dyer-Lashof operations that exist on free loop space homology in this case. Explicit calculations are carried out for manifolds that are connected sums of products of spheres.  In Paper IV we extend the Koszul duality methods used in Paper II by incorporating A∞-algebras and A∞-coalgebras. This extension of Koszul duality enables us to compute free loop space homology of manifolds that are not necessarily formal and coformal. As an example we carry out the computations for a non-formal simply connected 7-manifold. / Denna avhandling består av fyra artiklar inom ämnena fria öglerum, Koszuldualitet och A∞-algebror. I Artikel I behandlar vi en definition av differentialoperatorer för ickekommutativa algebror. Denna definition är inspirerad av kopplingar mellan differentialoperatorer för kommutativa algebror, L∞-algebror och BV-algebror. Vi visar att definitionen är rimlig genom att etablera resultat som är analoga med resultat i det kommutativa fallet. Som en biprodukt får vi också definitioner för ickekommutativa varianter av Gerstenhaber och BV-algebror. I Artikel II beräknar vi den fria öglerumshomologin av (n-1)-sammanhängande mångfalder av dimension minst 3n-2. Chas-Sullivans ögleprodukt och öglehake beräknas. Över en kropp av karakteristik noll beräknas även BV-operatorn. Explicita uttryck för Bettitalen fastställs också, vilka visar att de växer exponentiellt. I Artikel III begränsar vi koefficienterna till en kropp av karakteristik 2. Vi studerar Dyer- Lashofoperationer som existerar på den fria öglerumshomologin i detta fall. Explicita beräkningar görs för mångfalder som är sammanhängande summor av produkter av sfärer. I Artikel IV utvidgar vi Koszuldualitetmetoden som används i Artikel II genom att inkorporera A∞-algebror och A∞-koalgebror. Denna utvidgning av Koszuldualitet gör det möjligt att beräkna fri öglerumshomologi för mångfalder som inte nödvändigtvis är formella och koformella. Som ett exempel utför vi beräkningar för en ickeformell enkelt sammanhängande 7-mångfald. / <p>At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 3: Manuscript. Paper 4: Manuscript.</p>

This thesis consists of four papers about the intersection between semigroup theory, category theory and representation theory. We say that a representation of a semigroup by a matrix semigroup is effective if it is injective and define the effective dimension of a semigroup S as the minimal n such that S has an effective representation by square matrices of size n. A multisemigroup is a generalization of a semigroup where the multiplication is set-valued, but still associative. A 2-category consists of objects, 1-morphisms and 2-morphisms. A finitary 2-category has finite dimensional vector spaces as objects and linear maps as morphisms. This setting permits the notion of indecomposable 1-morphisms, which turn out to form a multisemigroup. Paper I computes the effective dimension Hecke-Kiselman monoids of type A. Hecke-Kiselman monoids are defined by generators and relations, where the generators are vertices and the relations depend on arrows in a given quiver. Paper II computes the effective dimension of path semigroups and truncated path semigroups. A path semigroup is defined as the set of all paths in a quiver, with concatenation as multiplication. It is said to be truncated if we introduce the relation that all paths of length N are zero. Paper III defines the notion of a multisemigroup with multiplicities and discusses how it better captures the structure of a 2-category, compared to a multisemigroup (without multiplicities). Paper IV gives an example of a family of 2-categories in which the multisemigroup with multiplicities is not a semigroup, but where the multiplicities are either 0 or 1. We describe these multisemigroups combinatorially.

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar algebraiska uttryck och ekvationer i två läromedel för årskurs 6: Koll på Matematik 6A och Mattedirekt borgen 6A. Studiens syfte är att studera algebraiska uttryck och ekvationer utifrån variationsteorins fusion, kontrast och generalisering. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att kunna undersöka varför flera elever upplever området som svårt och abstrakt. Två frågeställningar togs fram för granskning: Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel? Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer? Resultatet visar att läromedlen har likheter och skillnader i sin presentation av algebraiska uttryck och ekvationer. Ett läromedel ger större utrymme för variabelns värde i olika ekvationer och behandlar även decimaler. Ett annat läromedel har större variation av olika variabler och behandlar aldrig decimaler. En variation kan även utläsas i kontrast, fusion och generalisering. Kontrast presenteras genom att visa flera felaktiga exempel för att visa vad något inte är. Dessutom genom jämförelse av två olika räknesätt för att kunna se samband, karaktärsdrag och skilja dem åt. Generalisering syns genom att visa samma figurer men uttrycka dem på olika sätt. Fusion uttryckts genom att variera innehållet från vad som tidigare varit känt för eleven. Slutsatsen är att läromedlen skapar goda förutsättningar för eleverna att upptäcka kritiska aspekter inom algebraiska uttryck och ekvationer.

In this thesis we investigate the moduli space M3[2] of curves of genus 3 equipped with a symplectic level 2 structure. In particular, we are interested in the cohomology of this space. We obtain cohomological information by decomposing M3[2] into a disjoint union of two natural subspaces, Q[2] and H3[2], and then making S7- resp. S8-equivariantpoint counts of each of these spaces separately. / Målet med denna uppsats är att undersöka modulirummet M3[2] av kurvor av genus 3 med symplektisk nivå 2 struktur. Mer specifikt vill vi hitta informationom kohomologin av detta rum. För att uppnå detta delar vi först upp M[2] i en disjunkt union av två naturliga delrum, Q[2] och H3[2], och räknar därefter punkterna av dessa rum S7- respektive S8-ekvivariant.

Syftet med studien är att redovisa vilka inre och yttre faktorer som bidrar till elevers motivation i matematikämnet. Studien utgår från ett elevperspektiv i årskurs 6 med en avgränsning till algebra och ekvationer. Studien har sin teoretiska utgångspunkt i Self-determination theory (SDT) där ett kompletterande ramverk skapats utifrån fem motivationsvariabler som syftar till att mäta elevers motivation. Som insamlingsmetod används både intervjuer och observationer och utgår därmed från ett elevperspektiv. Observationerna genomfördes på två olika skolor i årskurs 6 och totalt deltog fyra elever från vardera skola i intervjuerna. Resultatet av studien visade bland annat att elevers motivation påverkas av både inre och yttre faktorer där exempelvis lärarens roll, betyg och elevers målsättning spelade en betydande roll. Samtliga elever ansåg dessutom att motivation är en viktig egenskap att erhålla sig för att lyckas och för att utveckla sina kunskaper inom matematikens algebra

Skolverket (2018a) har ett obligatoriskt kartläggningsmaterial för förskoleklass som heter Hitta matematiken. Kartläggningsmaterialet syftar till att kartlägga elevers matematikkunskaper, där mönster utgör en del. I studien har enbart undervisning om mönster studerats. Studien grundar sig i en tidigare systematisk litteraturstudie som behandlar sambandet mellan mönster och algebra. Studiens syfte är att undersöka hur lärare i förskoleklass respektive årskurs 2 utformar sin undervisning om mönster. Vidare syftar studien till att undersöka vilken form av progression som sker. För att kunna besvara forskningsfrågorna har tio lärare intervjuats där intervjusvaren senare har analyserats och tematiserats. Studiens teoretiska utgångspunkt är det sociokulturella perspektivet. Analysen av resultatet indikerar att lärare utformar sin undervisning på olika sätt i förskoleklass och årskurs 2. I förskoleklass utformas undervisningen främst med laborativt material och stationsarbete medan lärare i årskurs 2 ofta utgår från läroboken och använder laborativt material som komplement. Gällande progressionen av arbetet om mönster från förskoleklass till årskurs 2 visar studiens resultat att beroende på hur lärarna utformar undervisningen sker progressionen exempelvis genom mönster i talföljder eller algebra på olika sätt.

Hur elever utvecklar algebraiska resonemang är inte så välförstått, vilket i kombination med svenska elevers låga resultat vid algebraiska uppgifter på internationella mätningar utgör en problematik. Denna problematik syftar studien att minska genom att undersöka förstaklasselevers kollektiva algebraiska resonemang om funktioner, för att identifiera vilka typer av algebraiskt tänkande som ges uttryck. För att undersöka detta observerades nio grupper av förstaklasselever i deras möte med tre uppgifter om funktioner som sedan kodades efter resonemang, argument, algebraiska aspekter, generalisering, och funktionellt tänkande. Resultatet visar att förstaklasselever är kapabla att resonera kring algebra och närma sig intern säkerhet på sina svar. Elevernas resonemang visade också tecken på alla algebraiska aspekter, relaterande och sökande men inte utökande generaliseringar, och alla kategorier av funktionellt tänkande. Den rekursiva kategorin av funktionellt tänkande kopplades endast till den första uppgiften, vilken var av en dynamisk karaktär vilket är intressant för verksamma lärare då det har implikationen att introducera funktioner med två objekt som variabler.

Syftet med denna uppsats är att studera kopplingar mellan Fibonaccitalen och matristeori. Det matematiska innehållet utgår till största delen från artikeln A contribution to the connections between Fibonacci numbers and matrix theory, skriven av Miriam Farber och Abraham Berman. Texten innehåller även litet biografi över den kände matematikern Leonardo Fibonacci som skrev ned Fibonaccitalen i form av ett klassiskt samhällsproblem, utan att veta om om deras oändliga egenskaper. Relationen mellan Fibonaccitalen och matristeori studeras i olika sammanhang.