L’imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMd) est une technique non-invasive permettant d’accéder à l'information structurelle des tissus biologiques à travers l’étude du mouvement de diffusion des molécules d’eau dans les tissus. Ses applications sont nombreuses en neurologie pour le diagnostic de certaines anomalies cérébrales. Cependant, en raison du mouvement cardiaque, l’utilisation de cette technique pour accéder à l’architecture du cœur in vivo représente un grand défi. Le mouvement cardiaque a été identifié comme une des sources majeures de perte du signal mesuré en IRM de diffusion. A cause de la sensibilité au mouvement, il est difficile d’évaluer dans quelle mesure les caractéristiques de diffusion obtenues à partir de l’IRM de diffusion reflètent les propriétés réelles des tissus cardiaques. Dans ce cadre, la modélisation et la simulation numérique du signal d’IRM de diffusion offrent une approche alternative pour aborder le problème. L’objectif de cette thèse est d’étudier numériquement l’influence du mouvement cardiaque sur les images de diffusion et de s’intéresser à la question d’atténuation de l’effet du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion. Le premier chapitre est consacré à l’introduction du principe physique de l'imagerie par résonance magnétique(IRM). Le deuxième chapitre présente le principe de l’IRM de diffusion et résume l’état de l’art des différents modèles proposés dans la littérature pour modéliser le signal d’IRM de diffusion. Dans le troisième chapitre un modèle modifié de l’équation de Bloch-Torrey dans un domaine qui se déforme au cours du temps est introduit et étudié. Ce modèle représente une généralisation de l’équation de Bloch-Torrey utilisée dans la modélisation du signal d’IRM de diffusion dans le cas sans mouvement. Dans le quatrième chapitre, l’influence du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion est étudiée numériquement en utilisant le modèle de Bloch-Torrey modifié et un champ de mouvement analytique imitant une déformation réaliste du cœur. L’étude numérique présentée, permet de quantifier l’effet du mouvement sur la mesure de diffusion en fonction du type de la séquence de codage de diffusion utilisée, de classer ces séquences en terme de sensibilité au mouvement cardiaque et d’identifier une fenêtre temporelle par rapport au cycle cardiaque où l’influence du mouvement est réduite. Enfin, dans le cinquième chapitre, une méthode de correction de mouvement est présentée afin de minimiser l’effet du mouvement cardiaque sur les images de diffusion. Cette méthode s’appuie sur un développement singulier du modèle de Bloch-Torrey modifié pour obtenir un modèle asymptotique qui permet de résoudre le problème inverse de récupération puis correction de la diffusion influencée par le mouvement cardiaque. / Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is a non-invasive technique allowing access to the structural information of the biological tissues through the study of the diffusion motion of water molecules in tissues. Its applications are numerous in neurology, especially for the diagnosis of certain brain abnormalities, and for the study of the human cerebral white matter. However, due to the cardiac motion, the use of this technique to study the architecture of the in vivo human heart represents a great challenge. Cardiac motion has been identified as a major source of signal loss. Because of the sensitivity to motion, it is difficult to assess to what extent the diffusion characteristics obtained from diffusion MRI reflect the real properties of the cardiac tissue. In this context, modelling and numerical simulation of the diffusion MRI signal offer an alternative approach to address the problem. The objective of this thesis is to study numerically the influence of cardiac motion on the diffusion images and to focus on the issue of attenuation of the cardiac motion effect on the diffusion MRI signal. The first chapter of this thesis is devoted to the introduction of the physical principle of nuclear magnetic resonance (NMR) and image reconstruction techniques in MRI. The second chapter presents the principle of diffusion MRI and summarizes the state of the art of the various models proposed in the litera- ture to model the diffusion MRI signal. In the third chapter a modified model of the Bloch-Torrey equation in a domain that deforms over time is introduced and studied. This model represents a generalization of the Bloch-Torrey equation used to model the diffusion MRI signal in the case of static organs. In the fourth chapter, the influence of cardiac motion on the diffusion MRI signal is investigated numerically by using the modified Bloch-Torrey equation and an analytical motion model mimicking a realistic deformation of the heart. The numerical study reported here, can quantify the effect of motion on the diffusion measurement depending on the type of the diffusion coding sequence. The results obtained allow us to classify the diffusion encoding sequences in terms of sensitivity to the cardiac motion and identify for each sequence a temporal window in the cardiac cycle in which the influence of motion is reduced. Finally, in the fifth chapter, a motion correction method is presented to minimize the effect of cardiac motion on the diffusion images. This method is based on a singular development of the modified Bloch-Torrey model in order to obtain an asymptotic model of ordinary differential equation that gives a relationship between the true diffusion and the diffusion reconstructed in the presence of motion. This relationship is then used to solve the inverse problem of recovery and correction of the diffusion influenced by the cardiac motion.

Nous avons étudié un système différentiel régi par deux dynamiques : l'une de type variété centrale et l'autre de type oscillation rapide périodique. Nous avons cherché à obtenir des informations sur le comportement qualitatif du système et à l'approcher. Nous avons démontré l'existence d'une dynamique asymptotique rapidement oscillante et nous l'avons utilisée pour approcher le système. Ensuite, nous avons appliqué ces résultats à l'étude d'un système écologique d'interaction proie-prédateur. De plus, nous avons utilisé la théorie des B-séries pour obtenir des développements formels à tout ordre des quantités liées à la dynamique asymptotique. Enfin, nous avons approché le système pour tout temps par la composée d'un changement de variable et de la solution d'un système différentiel partiellement découplé. / We have studied a differential system ruled by two dynamics : a center manifold dynamics and a periodic highly oscillating dynamics. We wanted to find informations about the qualitative behaviour of the system, and to approximate it. We have proved the existence of a highly oscillating asymptotic dynamics, and we have used it approximate the system. Then, we have applied this results to an ecological system of prey-predator interaction. Moreover, we have used the B-series theory to obtain formal expansions of the quantities related to the center manifold. Lastly, we have approximated the system for all time by the composition of a change of variable and of the solution of a partially decoupled differential system.

Dans le cadre de la réduction des émissions polluantes et de la consommation des véhicules à moteur thermique, les constructeurs cherchent à diminuer la cylindrée et la vitesse de rotation des moteurs de chaines cinématiques. Ces évolutions conduisent, du fait du principe même du moteur à pistons, à une augmentation significative des irrégularités de rotation de celui-ci. Depuis quelques années, le système à pendule est apparu dans les groupes moto-propulseurs automobiles. Il agit à la manière d’un batteur, accordé sur l’ordre d’allumage du moteur thermique, et permet ainsi une réduction des vibrations. Cependant, les fortes non-linéarités intrinsèques aux pendules provoquent un désaccord du système à grande amplitude synonyme de perte de performances. Cette thèse a pour but d’améliorer la compréhension et le comportement du système en interaction avec la chaîne de traction automobile. En renfort des traditionnelles méthodes d’intégrations temporelles, le système non linéaire est résolu par la méthode asymptotique numérique couplée à la méthode de l’équilibrage harmonique. Une méthode originale de continuation d’antirésonance est également proposée ainsi que des règles de conception issues de développements analytiques. La validation par l’expérience montre une amélioration significative des performances du système. / In the context of the reduction of polluting emissions and fuel consumption of thermal engines of vehicles, automotive manufacturers try to reduce cylinder capacity and engine speed of rotation. These evolutions lead to significant increase of irregularities of rotation. The so-called centrifugal pendulum vibration absorber is a recent solution of mitigation of torsional vibrations in automotive powertrains. It acts as a mass damper tuned on the firing order of the engine and allows reduction of vibrations. However, strong non-linearities intrinsic to pendular systems cause a detuning of the device at large amplitude of motion resulting in a loss of performances. This thesis aims to improve the understanding and the behavior of the system in interaction with an automotive driveline. In support of classic time integration procedures, the nonlinear system is solved through the asymptotic numerical method coupled to the harmonic balance method. In addition, an original continuation of antiresonance method is proposed as well as some design rules derived from analytical developments. Experimental validation shows a significant enhancement of performances of the system.

Au cours des dernières années, la branche de la statistique consacrée à l'étude de variables fonctionnelles a connu un réel essor tant en terme de développements théoriques que de diversification des domaines d'application. Nous nous intéressons plus particulièrement dans ce mémoire à des modèles de régression dans lesquels la variable réponse est réelle tandis que la variable explicative est fonctionnelle, c'est à dire à valeurs dans un espace de dimension infinie. Les résultats que nous énonçons sont liés aux propriétés asymptotiques de l'estimateur à noyau généralisé au cas d'une variable explicative fonctionnelle. Nous supposons pour commencer que l'échantillon que nous étudions est constitué de variables α-mélangeantes et que le modèle de régression est de nature nonparamétrique. Nous établissons la normalité asymptotique de notre estimateur et donnons l'expression explicite des termes asymptotiquement dominants du biais et de la variance. Une conséquence directe de ce résultat est la construction d'intervalles de confiance asymptotiques ponctuels dont nous étudions les propriétés aux travers de simulations et que nous appliquons sur des données liées à l'étude du courant marin El Niño. On établit également à partir du résultat de normalité asymptotique et d'un résultat d'uniforme intégrabilité l'expression explicite des termes asymptotiquement dominants des moments centrés et des erreurs Lp de notre estimateur. Nous considérons ensuite le problème des tests de structure en régression sur variable fonctionnelle et supposons maintenant que l'échantillon est composé de variables indépendantes. Nous construisons une statistique de test basée sur la comparaison de l'estimateur à noyau et d'un estimateur plus particulier dépendant de l'hypothèse nulle à tester. Nous obtenons la normalité asymptotique de notre statistique de test sous l'hypothèse nulle ainsi que sa divergence sous l'alternative. Les conditions générales sous lesquelles notre résultat est établi permettent l'utilisation de notre statistique pour construire des tests de structure innovants permettant de tester si l'opérateur de régression est de forme linéaire, à indice simple, . . . Différentes procédures de rééchantillonnage sont proposées et comparées au travers de diverses simulations. Nos méthodes sont enfin appliquées dans le cadre de tests de non effet à deux jeux de données spectrométriques.

Les systèmes quantiques d'interactions répétées sont des modèles à la fois simples et flexibles qui apparaîssent de façon naturelle dans plusieurs domaines, dont notamment l'optique quantique et la théorie des bruits quantiques. Dans cette thèse, on s'est intéressé à leur étude perturbative. On a généralisé un théorème dû a Attal et Joye [Attal and Joye, Weak Coupling and Continuous Limits for Repeated Quantum Interactions, J. Stat. Phys., 126, (2007)] sur l'existence de limite de van Hove pour ces systèmes au cadre des algèbres de von Neumann quelconques. Ensuite, on a montré que si le système de référence est de dimension fini, alors l'existence d'un état asymptotique unique pour la limite de van Hove implique la convergence vers un état asymptotique périodique unique pour le système de référence, pourvu que le paramètre de perturbation soit suffisamment petit. De plus, le terme d'ordre zéro du développement en puissances du paramètre de perturbation de cet état asymptotique périodique coïncide avec l'état asymptotique de la limite de van Hove, sauf pour la différence d'échelle temporelle qui doit être prise en compte (donnant lieu à la periodicité). Ce résultat est important pour la justification physique de l'utilisation du formalisme thermodynamique dans le régime de couplage faible développé dans [Lebowitz and Spohn, Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978)].

Nous étudions des méthodes de prévision pour les processus à longue mémoire. Ils sont supposés stationnaires du second ordre, linéaires, causals et inversibles. Nous supposons tout d'abord que l'on connaît la loi du processus mais que l'on ne dispose que d'un nombre fini d'observations pour le prédire. Nous proposons alors deux prédicteurs linéaires : celui de Wiener-Kolmogorov tronqué et celui construit par projection sur le passé fini observé. Nous étudions leur comportement lorsque le nombre d'observations disponibles tend vers l'infini. Dans un deuxième temps nous ne supposons plus la loi du processus connue, il nous faut alors estimer les fonctions de prévision obtenues dans la première partie. Pour le prédicteur de Wiener-Kolmogorov tronqué, nous utilisons une approche paramétrique en estimant les coefficients du prédicteur grâce à l'estimateur de Whittle calculé sur une série indépendante de la série à prédire. Pour le prédicteur obtenu par projection, on estime les coefficients du prédicteur en remplaçant dans les équations de Yule-Walker les covariances par les covariances empiriques calculé sur une série indépendante ou sur la série à prédire. Pour les deux prédicteurs, on estime les erreurs quadratiques due à l'estimation des coefficients et on prouve leurs normalités asymptotiques.

Nous considérons le problème de l'estimation d'une fonction inconnue en un point fixe à l'aide de données régies par des modèles de régression ou de diffusion. Pour définir le risque associé à l'emploi d'un estimateur et ainsi mesurer la qualité de celui-ci, nous utilisons la fonction de perte liée à l'erreur absolue. Le travail de cette thèse suit l'approche minimax dont l'objectif est de trouver une borne inférieure asymptotique du risque minimax puis de construire un estimateur, dit asymptotiquement efficace, dont le risque maximal atteint asymptotiquement cette borne.<br />Pour un modèle de régression non paramétrique et hétéroscédastique, où l'écart-type du bruit dépend à la fois du régresseur et de la fonction de régression supposée appartenir à une classe höldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction de régression est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes höldériennes. Enfin, pour un modèle de diffusion où la dérive appartient à un voisinage höldérien faible centré en une fonction lipschitzienne, nous présentons la construction d'un estimateur à noyau asymptotiquement efficace.

Ce mémoire présente plusieurs résultats d'analyse spectrale, qui s'appuient pour la plupart sur le principe variationnel du min-max. L'objectif principal est d'établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrôdinger . Cette formule, emblématique de l'analyse semi-classique , établit une correspondance entre la fonction de comptage du spectre et le volume dans l'espace des phases des trajectoires du système classique sous-jacent. Les cas considérés concernent des opérateurs pour lesquels ce volume est infini, de sorte qu'il est nécessaire de trouver une alternative à cette formule. Il est fait également mention d'un problème classique de bouteille magnétique , qui est à la source des travaux ultérieurs.

L'objet de l'étude est double. Dans un premier temps, on s'intéresse<br />à la classification des symétries du phénomène de couplage piézoélectrique<br />linéaire; on se focalise ensuite sur la dérivation de modèles de plaques,<br />toujours dans le cadre de la piézoélectricité linéarisée. On obtient ainsi<br />des résultats qui permettent de présenter des propriétés de solides<br />piézoélectriques relatives au matériau, à la structure ainsi qu'à leurs<br />interactions.<br /><br />Les trois premiers Chapitres concernent les symétries. On rappelle d'abord<br />que ces dernières peuvent être de différentes natures. Ensuite, les outils<br />qui permettent de les appréhender et de les lier entre elles sont présentées.<br />Les divers outils utilisés conduisent alors au principal résultat de la<br />première partie : la classification des symétries du phénomène de couplage<br />piézoélectrique linéaire en quinze familles distinctes.<br /><br />Dans les deux derniers Chapitres, on obtient des modèles de plaques<br />linéairement piézoélectriques à l'aide d'une méthode mathématique rigoureuse<br />consistant à étudier le comportement d'un solide tridimensionnel lorsque son<br />épaisseur, vue comme un paramètre, tend vers zéro. Dans le cas statique, il<br />apparaît deux modèles différents. Ils dépendent en fait du type de chargement<br />électrique et sont reliés aux cas pour lesquels les plaques piézoélectriques<br />sont utilisés comme capteurs ou comme actionneurs. Les cinématiques limites<br />sont précisées et les deux lois de comportement sont explicitement fournies<br />pour tous les types de matériau constitutif. Dans le cas dynamique, on montre<br />que c'est l'ordre de grandeur du rapport entre l'épaisseur et la densité de<br />la plaque qui joue un rôle déterminant.

Les travaux présentés dans cette thèse concerne l'équation de Schrödinger avec puissance simple comme non-linéarité. Dans une première partie, on étudie des solutions globales en temps possédant un état de diffusion dans un espace de Sobolev à poids. Puisque le groupe de Schrödinger n'est pas une isométrie sur cet espace, on cherche à savoir si de telles solutions convergent vers leur état de diffusion. La réciproque est également étudiée. Dans une deuxième partie, on montre que la vitesse maximale de décroissance en temps des solutions est celle des solutions du problème linéaire associé. Une troisième partie traite de conditions suffisantes et de conditions nécessaires pour l'existence globale en temps de solutions dans le cas surcritique. Dans une quatrième partie, on simplifie la démonstration du résultat de Kenji Nakanishi qui montre que dans le cas dissipatif et sous des hypothèses adéquates sur la non-linéarité, on peut établir une théorie de la diffusion dans l'espace d'énergie en petite dimension d'espace. La simplification consiste à ne pas utiliser les espaces de Besov, puisque le résultat se produit dans l'espace d'énergie. Dans une dernière partie, on regarde la régularité de certaines solutions auto-similaires.