Ce travail est consacré au problème d'estimation non paramétrique dans des modèles de régression en temps continu. On considère le problème d'estimation d'une fonction inconnue S supposée périodique. Cette estimation est basée sur des observations générées par un processus stochastique; ces observations peuvent être en temps continu ou discret. Pour ce faire, nous construisons une série d'estimateurs par projection et nous approchons la fonction inconnue S par une série de Fourier finie. Dans cette thèse, nous considérons le problème d'estimation dans le cadre adaptatif, c'est-à-dire le cas où la régularité de la fonction S est inconnue. Pour ce problème, nous développons une nouvelle méthode d'adaptation basée sur la procédure de sélection de modèle proposée par Konev et Pergamenshchikov (2012). Tout d'abord, cette procédure nous donne une famille d'estimateurs ; après nous choisissons le meilleur estimateur possible en minimisant une fonction coût. Nous donnons également une inégalité d'Oracle pour le risque de nos estimateurs et nous donnons la vitesse de convergence minimax. / This thesis is devoted to the problem of non parametric estimation for continuous-time regression models. We consider the problem of estimating an unknown periodoc function S. This estimation is based on observations generated by a stochastic process; these observations may be in continuous or discrete time. To this end, we construct a series of estimators by projection and thus we approximate the unknown function S by a finite Fourier series. In this thesis we consider the estimation problem in the adaptive setting, i.e. in situation when the regularity of the fonction S is unknown. In this way, we develop a new adaptive method based on the model selection procedure proposed by Konev and Pergamenshchikov (2012). Firstly, this procedure give us a family of estimators, then we choose the best possible one by minimizing a cost function. We give also an oracle inequality for the risk of our estimators and we give the minimax convergence rate.

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels. / This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.

Le travail de cette thèse se place dans un contexte de modélisation et de simulation numérique du transport d'électrons dans un nano-composant. Ce transport est décrit en mécanique quantique à l'aide de systèmes de Schrödinger-Poisson. La majeure partie du travail se concentre sur le cas de la diode à effet tunnel résonnant (RTD) dont les puits quantiques donnent lieu à des résonances de l'Hamiltonien mis en jeu.<br />Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.<br />Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.<br />En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d<=3, avec un potentiel extérieur décrivant un puits quantique. L'Hamiltonien du système est composé de contributions -- le puits du potentiel extérieur plus un terme non linéaire répulsif -- qui s'étendent sur des échelles de longueurs différentes dont le rapport est donné en fonction du paramètre semi-classique h destiné à tendre vers 0. Avec une fonction de distribution en énergie qui force les particules à rester dans le puits quantique, la limite h tend vers 0 dans le système non linéaire conduit à différents comportements asymptotiques dont l'analyse nécessite une renormalisation spectrale et dépendant de la dimension d'espace d=1, 2 ou 3.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'objectif principal de cette thèse concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions globales de quelques équations, et systèmes couplés des équations, d'évolutions non linéaires avec différents types d'amortissements et des conditions sur le bord. Sous la condition basique que la non linéarité est analytique, on prouve que les énergies associées vérifient des inégalités de type Lojasiewicz et on obtient des résultats de convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Pour tous les modèles étudiés dans cette thèse, on s'intéresse aux questions d'existence et d'unicité des solutions bornées à images relativement compactes dans leur espace d'énergie naturelles. Cette thèse est constituée de trois parties principales. Dans la première partie on prouve un résultat de convergence général avec l'estimation du taux de décroissance des solutions bornées d'une équation d'évolution abstraite non autonome avec dissipation linéaire. Le résultat permet de retrouver et généraliser de manière naturelle des résultats connus mais aussi il s'applique à une classe très générale des équations et des systèmes couplés avec divers types de couplages et avec diverses conditions sur le bord. La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations du second ordre avec dissipation non linéaire et des conditions dynamiques classiques sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on montre la convergence vers un équilibre. Finalement, on s'intéresse à des équations d'évolution dégénérées de type hyperbolique-parabolique avec des conditions dynamiques de type mémoire sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on prouve la convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Le premier chapitre de cette thèse consiste en une introduction préliminaire développant non seulement l'histoire des recherches reliées à nos modèles et leurs résultats décrits dans la littérature, mais aussi en présentant les énoncés de nos résultats obtenus avec les idées des démonstrations. On y discute la complexité de la problématique et l'on y présente la justification de l'étude / The main goal of this thesis is the study of the asymptotic behavior of global solutions to some nonlinear evolutions equations and coupled systems with different types of dissipation and boundary conditions. Under the assumption that the non-linear term is real analytic, we construct an appropriate Lyapunov energy and we use the Lojasiewicz-Simon inequality to show the convergence, and the convergence, and the convergence rate, of global weak solutions to single steady states. For all models studied in this thesis, we are in addition interested in the questions of the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range in the natural energy space. This thesis consists of three main parts. In the first part, we present a unified approach to study the asymptotic behavior and the decay rate to a steady state of bounded weak solutions for an abstract non-autonomous nonlinear equation with linear dissipation. This result allows us to find and to generalize, in a natural way, known results but it applies to a quite general class of equations and coupled systems with different kinds of coupling and various boundary conditions. The second part is devoted to the study of a nonautonomous semilinear second order equation with nonlinear dissipation and a dynamical boundary condition. We prove the existence and uniqueness of global, bounded, weak solutions having relatively compact range in the natural energy space and we show that every weak solution converges to equilibrium. Finally, we consider a nonautonomous, semilinear, hyperbolic-parabolic equation subject to a dynamical boundary condition of memory type. We prove the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range and we show the convergence of global weak solutions to single steady states. We prove also an estimate for the convergence rate. The first chapter of this thesis consist of a preliminary introduction developing not only the story of researches linked to our models and the results described in the literature, but presenting also our main results as well the ideas of their proofs. There we discuss the complexity of our problems and we present a justification for our studies

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published

A la frontière entre l'atmosphère neutre et l'espace, le plasma ionosphérique est le siège de réactions d'ionisation complexes. Le champ magnétique terrestre et les champs électriques induits causent des fluctuations spatiales et temporelles de la concentration électronique. Ces irrégularités ionosphériques entrainent des variations rapides de l'amplitude et de la phase des signaux radioélectriques les traversant, notamment aux hautes latitudes. Ce phénomène est appelé scintillation ionosphérique et il est particulièrement craint par la communauté utilisatrice d'applications GNSS qui nécessite une disponibilité et une intégrité optimales des signaux. Le travail présenté dans cette thèse propose une modélisation complète, à 3 axes d'anisotropie, de la scintillation ionosphérique. Ce modèle est basé sur une approche numérique 3D et 2D, de type écrans de phase, et sur la résolution analytique des équations de propagation, en 3D et en 2D. Ces dérivations originales des variances et des spectres de log-amplitude et de phase ont mis en relief les limites de validité d'un modèle numérique 2D. L'étude de sensibilité menée sur les variances et les spectres ouvre également des perspectives d'inversion des données GNSS pour remonter aux caractéristiques du milieu ionosphérique. / The ionospheric plasma is located at the border between neutral atmosphere and outer space and many complex ionization reactions occur inside this turbulent medium. The Earth magnetic field and induced electric fields cause rapid fluctuations of electron density, both spatially and temporarily. When crossing this turbulent layer, RF signals show fast variations of amplitude and phase, especially at high latitudes. This phenomenon is called ionospheric scintillation and it is particularly feared by air navigation using GNSS services, since it degrades the availability and the integrity of signals. This PhD dissertation presents a complete modeling of the effects of ionospheric scintillation, with 3 anisotropy axes. It is based on a numerical approach using the multiple phase screens technique, both in 3D and 2D schemes, and on the analytical resolution of electromagnetic propagation equation, also both in 3D and 2D configurations. The limits of use of a 2D numerical scheme have been outlined by these original formulations of phase and log-amplitude variances and spectra. This complete modeling associated with a sensitivity study on these variances and spectra opens up interesting perspectives on data inversion, in order to better estimate the physical characteristics of the ionospheric medium.

L’objectif de cette thèse est la modélisation, l’analyse mathématique et la simulation numérique de quelques modèles de transmission du VIH-SIDA dans une population sexuellement active donnée en général et en particulier dans celle du Mali. Nous proposons de modèles basés sur les connaissances actuelles de la transmission du virus du VIH. A cet effet, nous présentons trois modèles : un modèle comportemental en épidémiologie, un modèle qui incorpore le rôle des campagnes de sensibilisation en santé publique et un modèle de co-circulation de deux formes recombinantes du VIH-1. Dans le premier modèle, des résultats d’existence et d’unicité de la solution d’un problème parabolique semi-linéaire décrivant l’évolution d’une population soumise à l’infection du VIH sont présentés. La population est divisée en individus dont le risque comportemental est faible et en individus dont les comportement sont très risqués et qui interagissent entre eux. Une variable continue représentant ce risque comportemental est introduit. Le comportement asymptotique en temps du problème est étudié. Certains résultats numériques concernant la répartition de la population selon la variable représentant le risque comportemental sont présentés dans le cas de l’infection du VIH-SIDA au Mali. Dans les deux derniers modèles, nous obtenons une analyse complète de la stabilité de ces modèles à l’aide des techniques de Lyapunov suivant la valeur du taux de reproduction de base . Nous proposons une méthode alternative au taux de reproduction de base qui permet de confiner l’évolution de la maladie dans des limites fixées. Nous illustrons ces modèles par des simulations numériques. Ces dernières sont faites à partir de nos modèles confrontés aux données du Mali concernant la propagation du VIH-SIDA. / The objective of this thesis is the modeling, mathematical analysis and numerical simulation of a few models of transmission of the HIV-AIDS in a sexually active population given in general and in particular in that of Mali. We propose models based on the epidemiology currently known from the transmission of the HIV virus. Thus, we present three models of the transmission of HIV: a individual behavior and epidemiological model, a model that incorporates the role of public health education program on HIV and a mathematical model for the co-circulating into two circulating recombinants forms of HIV-1. In the first model, Somé results of existence and uniqueness of solution of a semilinear,parabolic problem describing the evolution of a population subjected to a disease are presented. The population is divided into individuals whose behavioral risk is low and in individuals whose behavior are very risky and that interact between them. A continuous variable representing a behavioral risk is introduced. The asymptotic in time of the problem is studied, and the existence of a non zero stationary state is proved. Somé numerical results concerning the distribution of the population according to the variable representing a behavioral risk are presented within the disease of the HIV-AIDS in Mali. In the last two models, we obtain a thorough analysis of the stability of these models using the Lyapunov techniques according to the value of the basic reproduction ratio,R0. We propose an alternative method to the basic reproductive rate R0 which allows to confine the evolution of the disease in the fixed limits. Numerical simulations are done to illustrate the behaviour of the model, using data collected in the literature regarding the spread of HIV in Mali.

L’imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMd) est une technique non-invasive permettant d’accéder à l'information structurelle des tissus biologiques à travers l’étude du mouvement de diffusion des molécules d’eau dans les tissus. Ses applications sont nombreuses en neurologie pour le diagnostic de certaines anomalies cérébrales. Cependant, en raison du mouvement cardiaque, l’utilisation de cette technique pour accéder à l’architecture du cœur in vivo représente un grand défi. Le mouvement cardiaque a été identifié comme une des sources majeures de perte du signal mesuré en IRM de diffusion. A cause de la sensibilité au mouvement, il est difficile d’évaluer dans quelle mesure les caractéristiques de diffusion obtenues à partir de l’IRM de diffusion reflètent les propriétés réelles des tissus cardiaques. Dans ce cadre, la modélisation et la simulation numérique du signal d’IRM de diffusion offrent une approche alternative pour aborder le problème. L’objectif de cette thèse est d’étudier numériquement l’influence du mouvement cardiaque sur les images de diffusion et de s’intéresser à la question d’atténuation de l’effet du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion. Le premier chapitre est consacré à l’introduction du principe physique de l'imagerie par résonance magnétique(IRM). Le deuxième chapitre présente le principe de l’IRM de diffusion et résume l’état de l’art des différents modèles proposés dans la littérature pour modéliser le signal d’IRM de diffusion. Dans le troisième chapitre un modèle modifié de l’équation de Bloch-Torrey dans un domaine qui se déforme au cours du temps est introduit et étudié. Ce modèle représente une généralisation de l’équation de Bloch-Torrey utilisée dans la modélisation du signal d’IRM de diffusion dans le cas sans mouvement. Dans le quatrième chapitre, l’influence du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion est étudiée numériquement en utilisant le modèle de Bloch-Torrey modifié et un champ de mouvement analytique imitant une déformation réaliste du cœur. L’étude numérique présentée, permet de quantifier l’effet du mouvement sur la mesure de diffusion en fonction du type de la séquence de codage de diffusion utilisée, de classer ces séquences en terme de sensibilité au mouvement cardiaque et d’identifier une fenêtre temporelle par rapport au cycle cardiaque où l’influence du mouvement est réduite. Enfin, dans le cinquième chapitre, une méthode de correction de mouvement est présentée afin de minimiser l’effet du mouvement cardiaque sur les images de diffusion. Cette méthode s’appuie sur un développement singulier du modèle de Bloch-Torrey modifié pour obtenir un modèle asymptotique qui permet de résoudre le problème inverse de récupération puis correction de la diffusion influencée par le mouvement cardiaque. / Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is a non-invasive technique allowing access to the structural information of the biological tissues through the study of the diffusion motion of water molecules in tissues. Its applications are numerous in neurology, especially for the diagnosis of certain brain abnormalities, and for the study of the human cerebral white matter. However, due to the cardiac motion, the use of this technique to study the architecture of the in vivo human heart represents a great challenge. Cardiac motion has been identified as a major source of signal loss. Because of the sensitivity to motion, it is difficult to assess to what extent the diffusion characteristics obtained from diffusion MRI reflect the real properties of the cardiac tissue. In this context, modelling and numerical simulation of the diffusion MRI signal offer an alternative approach to address the problem. The objective of this thesis is to study numerically the influence of cardiac motion on the diffusion images and to focus on the issue of attenuation of the cardiac motion effect on the diffusion MRI signal. The first chapter of this thesis is devoted to the introduction of the physical principle of nuclear magnetic resonance (NMR) and image reconstruction techniques in MRI. The second chapter presents the principle of diffusion MRI and summarizes the state of the art of the various models proposed in the litera- ture to model the diffusion MRI signal. In the third chapter a modified model of the Bloch-Torrey equation in a domain that deforms over time is introduced and studied. This model represents a generalization of the Bloch-Torrey equation used to model the diffusion MRI signal in the case of static organs. In the fourth chapter, the influence of cardiac motion on the diffusion MRI signal is investigated numerically by using the modified Bloch-Torrey equation and an analytical motion model mimicking a realistic deformation of the heart. The numerical study reported here, can quantify the effect of motion on the diffusion measurement depending on the type of the diffusion coding sequence. The results obtained allow us to classify the diffusion encoding sequences in terms of sensitivity to the cardiac motion and identify for each sequence a temporal window in the cardiac cycle in which the influence of motion is reduced. Finally, in the fifth chapter, a motion correction method is presented to minimize the effect of cardiac motion on the diffusion images. This method is based on a singular development of the modified Bloch-Torrey model in order to obtain an asymptotic model of ordinary differential equation that gives a relationship between the true diffusion and the diffusion reconstructed in the presence of motion. This relationship is then used to solve the inverse problem of recovery and correction of the diffusion influenced by the cardiac motion.