京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第24384号 / 理博第4883号 / 新制||理||1699(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 尾髙 悠志, 教授 入谷 寛, 教授 森脇 淳 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Une méthode d’analyse des topographies résiduelles, obtenues par essais de nanoindentation Berkovich sur trois échantillons de nickel polycristallins cubiques à faces entrées (CFC), a été développée dans cette thèse. L’objectif de la méthode est d’évaluer la richesse de l’information contenue dans les empreintes pour l’identification de tout ou partie des paramètres d’une loi de plasticité monocristalline. La création d’une base de données de topographies résiduelles, mesurées par microscopie à force atomique (AFM), constitue la partie expérimentale du travail. Les distributions et dimensions de bourrelets montrent une grande sensibilité à l’orientation relative indenteur/grain et au taux d’écrouissage. Les topographies obtenues s’avèrent être de véritables « empreintes digitales » du mécanisme de plasticité à l’échelle du grain. L’élaboration sous le code ZéBuLon d’un modèle éléments finis (EF) 3D de l’essai de nanoindentation Berkovich, intégrant la loi de Méric-Cailletaud, permet de retrouver les observations expérimentales. Une étude numérique confirme la sensibilité de la topographie à l’orientation relative indenteur/grain et aux paramètres plastiques, notamment aux coefficients de la matrice d’interaction des dislocations présentes sur les systèmes de glissement. Afin d’évaluer la richesse du contenu informatif des empreintes, un indice d’identifiabilité est proposé. Son calcul est basé sur la multi-colinéarité des vecteurs de sensibilité des topographies résiduelles aux paramètres de la loi. Il permet de quantifier, en fonction des données topographiques prises en compte, le caractère mal posé du problème d’identification paramétrique. Les résultats obtenus montrent que l’identification de quatre à cinq paramètres de la loi de Méric-Cailletaud est envisageable en exploitant seulement deux empreintes. Ces travaux ouvrent la voie à l’identification du comportement à l’échelle du cristal, guidée par l’identifiabilité paramétrique. / In this thesis, a method is developed to analyse the residual topographies obtained by Berkovich nanoindentation tests on three face-centered cubic (FCC) polycrystalline nickel samples. The purpose is to measure the information richness of imprints for identifying all or part of parameters of a single crystal plasticity law. The experimental part consists in creating a residual topography database by atomic force microscopy (AFM) measurements on the samples. Pile-up distributions and sizes are largely sensitive to the indenter/grain relative orientation and the hardening rate. The topographies are true “fingerprints” of the plasticity mechanism at the grain scale. A 3D finite element (FE) modelling of nanoindentation test is developed using the code ZeBuLon and making use of the Méric-Cailletaud law. Numerical results show a good agreement with experimental observations and are largely sensitive to the indenter/grain relative orientation and the plastic parameters, including the interaction matrix coefficient specifying the interaction between dislocations on different slip systems. To measure the imprint information content, an identifiability index is proposed. Its calculation is based on the multicollinearity among the sensitivity vectors of topographies to the law parameters. According to the considered topographies, it measures if the numerical model updating problem is ill-posed. The results show that four to five parameters of the Méric-Cailletaud law can be identified by considering two topographies. This work paves the way for identifying the material behaviour at the grain scale using parametric identifiability

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

Es wird untersucht, inwieweit das Konzept des effektiv geformten Indenters zur Bestimmung der Fließgrenze massiver Materialien unterschiedlicher Duktilität zuverlässig einsetzbar ist. Dazu werden neun verschiedene Stahlproben sowie BK7-Glas zunächst hinsichtlich ihrer Duktilität charakterisiert. Dies erfolgt anhand des dimensionslosen Parameters Elastizitätsmodul zu Fließgrenze (E/Y). Die Bestimmung des E-Moduls erfolgt mittels akustischer Oberflächenwellen. Die Fließgrenze wird durch makroskopische Druckversuche ermittelt. Anschließend wird das Konzept des effektiv geformten Indenters auf die verschiedenen Materialien angewandt und es wird verglichen, inwieweit die somit erhaltenen Werte für die Fließgrenze mit dem Referenzwert übereinstimmen.

Cette thèse s'appuie sur et reflète l'interaction entre la théorie des modèles et la géométrie de Berkovich. En utilisant les méthodes de Hrushovski et Loeser, nous montrerons que plusieurs phénomènes topologiques concernant des analytifications de variétés sont contrôlés par certains complexes simpliciaux contenus dans les analytifications. Ce travail comporte les résultats suivants. Soit $k$ un corps algébriquement clos et complet pour une valuation non-archimédienne non-triviale à valeurs réelles. 1) Soit $\phi : C' \to C$ un morphisme fini entre deux courbes projectives, lisses et irréductibles. Le morphisme $\phi$ induit un morphisme $\phi^{an} : C'^{an} \to C^{an}$ entre les deux analytifications. Nous construisons une paire de rétractions par déformations qui sont compatible pour le morphisme $\phi^{an}$. Les images des déformations $\Upsilon_{C'^{an}}$, $\Upsilon_{C^{an}$ sont des sous-espaces fermés de $C'^{an}$ and $C^{an}$ et homéomorphes à des graphes finis. Ce type de sous-espace est appelé \emph{squelette}. En outre, les espaces analytiques $C'^{an} \smallsetminus \Upsilon_{C'^{an}}$ et $C^{an} \smallsetminus \Upsilon_{C^{an}}$ se décomposent en une union disjointe de copies de disques unités de Berkovich. Un squelette $\Upsilon \subset C^{an}$ peut-être décomposé en un ensemble des sommets et un ensemble d'arêtes et on peut définir son genre $g(\Upsilon)$.Nous montrons que $g(\Upsilon)$ est un invariant bien défini de la courbe $C$. On appelle cet invariant $g^{an}(C)$. Le morphisme $\phi^{an}$ induira un morphisme $\Upsilon_{C'^{an}} \to \Upsilon_{C^{an}}$ entre les deux squelettes. Nous montrons que le genre du squelette $\Upsilon_{C'^{an}}$ peut être calculé en utilisant certains invariants associés aux points de $\Upsilon_{C^{an}}$. 2) Soit $\phi$ un endomorphisme fini de $\mathbb{P}^1_k$. Soit $x \in \mathbb{P}^1_k(k)$ et $f(x)$ le rayon de la plus grande boule de Berkovich de centre $x$, sur laquelle le morphisme $\phi^{an}$ est une fibration topologique. Nous voyons que la fonction $f : \mathbb{P}_k^1(k) \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ est contrôlée par un graphe fini et non-vide contenu dans $\mathbb{P}^{1,an}_k$. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d'un morphisme fini $\phi : V' \to V$ entre deux variétés intégrales, projectives avec $V$ normale. / This thesis is a reflection of the interaction between Berkovich geometry and model theory. Using the results of Hrushovski and Loeser, we show that several interesting topological phenomena that concern the analytifications of varieties are governed by certain finite simplicial complexes embedded in them. Our work consists of the following two sets of results. Let k be an algebraically closed non-Archimedean non trivially real valued field which is complete with respect to its valuation. 1) Let $\phi : C' \to C$ be a finite morphism between smooth projective irreducible $k$-curves.The morphism $\phi$ induces a morphism $\phi^{an} : C'^{an} \to C^{an}$ between the Berkovich analytifications of the curves. We construct a pair of deformation retractions of $C'^{an}$ and $C^{an}$ which are compatible with the morphism $\phi^{\mathrm{an}}$ andwhose images $\Upsilon_{C'^{an}}$, $\Upsilon_{C^{an}}$ are closed subspaces of $C'^{an}$, $C^{an}$ that are homeomorphic to finite metric graphs. We refer to such closed subspaces as skeleta.In addition, the subspaces $\Upsilon_{C'^{an}}$ and $\Upsilon_{C^{an}}$ are such that their complements in their respective analytifications decompose into the disjoint union of isomorphic copies of Berkovich open balls. The skeleta can be seen as the union of vertices and edges, thus allowing us to define their genus. The genus of a skeleton in a curve $C$ is in fact an invariant of the curve which we call $g^{an}(C)$. The pair of compatible deformation retractions forces the morphism $\phi^{an}$ to restrict to a map $\Upsilon_{C'^{an}} \to \Upsilon_{C^{an}}$. We study how the genus of $\Upsilon_{C'^{an}}$ can be calculated using the morphism $\phi^{an}_{|\Upsilon_{C'^{an}}$ and invariants defined on $\Upsilon_{C^{an}}$. 2) Let $\phi$ be a finite endomorphism of $\mathbb{P}^1_k$. Given a closed point $x \in \mathbb{P}^1_k$, we are interested in the radius $f(x)$ of the largest Berkovich open ball centered at $x$ over which the morphism $\phi^{\mathrm{an}}$ is a topological fibration. Interestingly, the function $f : \mathbb{P}_k^1(k) \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ admits a strong tameness property in that it is controlled by a non-empty finite graph contained in $\mathbb{P}^{1,an}_k$. We show that this result can be generalized to the case of finite morphisms $\phi : V' \to V$ between integral projective $k$-varieties where $V$ is normal.

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres. <br /><br />La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.<br /><br />Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.

Les dernières années ont vu émerger différents points de vue sur les espaces analytiques p-adiques. Ce texte est consacré spécifiquement à celui qu'a introduit Vladimir G. Berkovich à la fin des années quatre-vingt, et qui s'est révélé l'un des plus féconds. Nous en aborderons divers aspects. Dans la première partie du manuscrit, nous dépasserons le cadre p-adique pour nous intéresser aux espaces analytiques globaux : ceux qui sont définis sur Z ou les anneaux d'entiers de corps de nombres. Nous prouverons qu'ils jouissent, au moins localement, de propriétés analogues à celles des espaces analytiques complexes classiques. Par la suite, nous nous tournerons vers les espaces p-adiques pour étudier leur topologie et démontrer plusieurs résultats de modération. Finalement, nous présenterons quelques applications aux équations différentielles p-adiques sur les courbes analytiques et expliquerons notamment pourquoi leur comportement est contrôlé par un graphe localement fini.

Es wird untersucht, inwieweit das Konzept des effektiv geformten Indenters zur Bestimmung der Fließgrenze massiver Materialien unterschiedlicher Duktilität zuverlässig einsetzbar ist. Dazu werden neun verschiedene Stahlproben sowie BK7-Glas zunächst hinsichtlich ihrer Duktilität charakterisiert. Dies erfolgt anhand des dimensionslosen Parameters Elastizitätsmodul zu Fließgrenze (E/Y). Die Bestimmung des E-Moduls erfolgt mittels akustischer Oberflächenwellen. Die Fließgrenze wird durch makroskopische Druckversuche ermittelt. Anschließend wird das Konzept des effektiv geformten Indenters auf die verschiedenen Materialien angewandt und es wird verglichen, inwieweit die somit erhaltenen Werte für die Fließgrenze mit dem Referenzwert übereinstimmen.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la déformation, à l'échelle microscopique, de la phase MAX Ti2AlN, synthétisée par métallurgie des poudres. Ce travail se divise en trois parties : une première dans laquelle l'accent a été mis sur l'hystérèse mécanique des phases MAX via des essais cyclés, en nanoindentation sphérique et compression ex-situ de micro-piliers, sur des grains d'orientations différentes déterminées par l'EBSD. Dans la deuxième nous nous sommes intéressés à la déformation de micropiliers via des essais de compression cyclés in-situ couplés à la micro-diffraction Laue. L'objectif a été d'analyser les taches diffraction au cours de la déformation du pilier afin de mettre en évidence les mécanismes de déformation élémentaires mis en jeu et d'observer les structures finales via des images MEB post-mortem des piliers. Enfin, une dernière dans laquelle l'objectif a été l'étude des mécanismes de déformation en température à l'échelle microscopique via des essais de nano-indentation allant jusqu'à 800°C. La caractérisation des lignes de glissement en surface et des configurations microstructurales sous l'empreinte a été réalisée par AFM et MET respectivement. Toutes les données recueillies par ces divers essais aux petites échelles, ont permis d'affiner notre compréhension des mécanismes de déformation du monocristal de phase MAX, notamment vis à vis des modèles usuellement proposés dans la littérature. / The thesis's goal is to study the deformation, at microscopic scale, of the MAX phase Ti2AlN synthesized by powder metallurgy. This work is divided into three parts: in the first part, the interest has been put on the hysteretic behavior of the MAX phases via cyclic mechanical solicitations, during spherical indentation tests and ex-situ compression of micro-pillars, on differently orientated grains beforehand determined by EBSD. In the second part, we were interested into the micro-pillar's deformation via insitu cyclic compression tests coupled with Laue micro-diffraction. The goal was to analyse the evolution diffraction lines during the pillar's deformation in order to highlight the elementary deformation mechanisms and to observe the finale structures via the post-mortem SEM imaging of the pillars. Finally, a last part was devoted to study the deformation mechanisms in temperature at microscopic scale via nano-indentation tests up to 800°C. The characterization of the slip lines on the surface has been revealed by AFM and that of t he microstructural configurations (dislocations) under the indent has been done by TEM. All data collected by these various tests at the small scales have refined our understanding of the deformation mechanisms of crystal MAX phase, particularly with respect to the models usually proposed in the literature.