Dans cette thèse on s’intéresse à la modélisation de la dépendance entre les risques en assurance non-vie, plus particulièrement dans le cadre des méthodes de provisionnement et en tarification. On expose le contexte actuel et les enjeux liés à la modélisation de la dépendance et l’importance d’une telle approche avec l’avènement des nouvelles normes et exigences des organismes réglementaires quant à la solvabilité des compagnies d’assurances générales. Récemment, Shi et Frees (2011) suggère d’incorporer la dépendance entre deux lignes d’affaires à travers une copule bivariée qui capture la dépendance entre deux cellules équivalentes de deux triangles de développement. Nous proposons deux approches différentes pour généraliser ce modèle. La première est basée sur les copules archimédiennes hiérarchiques, et la deuxième sur les effets aléatoires et la famille de distributions bivariées Sarmanov. Nous nous intéressons dans un premier temps, au Chapitre 2, à un modèle utilisant la classe des copules archimédiennes hiérarchiques, plus précisément la famille des copules partiellement imbriquées, afin d’inclure la dépendance à l’intérieur et entre deux lignes d’affaires à travers les effets calendaires. Par la suite, on considère un modèle alternatif, issu d’une autre classe de la famille des copules archimédiennes hiérarchiques, celle des copules totalement imbriquées, afin de modéliser la dépendance entre plus de deux lignes d’affaires. Une approche avec agrégation des risques basée sur un modèle formé d’une arborescence de copules bivariées y est également explorée. Une particularité importante de l’approche décrite au Chapitre 3 est que l’inférence au niveau de la dépendance se fait à travers les rangs des résidus, afin de pallier un éventuel risque de mauvaise spécification des lois marginales et de la copule régissant la dépendance. Comme deuxième approche, on s’intéresse également à la modélisation de la dépendance à travers des effets aléatoires. Pour ce faire, on considère la famille de distributions bivariées Sarmanov qui permet une modélisation flexible à l’intérieur et entre les lignes d’affaires, à travers les effets d’années de calendrier, années d’accident et périodes de développement. Des expressions fermées de la distribution jointe, ainsi qu’une illustration empirique avec des triangles de développement sont présentées au Chapitre 4. Aussi, nous proposons un modèle avec effets aléatoires dynamiques, où l’on donne plus de poids aux années les plus récentes, et utilisons l’information de la ligne corrélée afin d’effectuer une meilleure prédiction du risque. Cette dernière approche sera étudiée au Chapitre 5, à travers une application numérique sur les nombres de réclamations, illustrant l’utilité d’un tel modèle dans le cadre de la tarification. On conclut cette thèse par un rappel sur les contributions scientifiques de cette thèse, tout en proposant des angles d’ouvertures et des possibilités d’extension de ces travaux. / The objective of this thesis is to propose innovative hierarchical approaches to model dependence within and between risks in non-life insurance in general, and in a loss reserving context in particular. One of the most critical problems in property/casualty insurance is to determine an appropriate reserve for incurred but unpaid losses. These provisions generally comprise most of the liabilities of a non-life insurance company. The global provisions are often determined under an assumption of independence between the lines of business. However, most risks are related to each other in practice, and this correlation needs to be taken into account. Recently, Shi and Frees (2011) proposed to include dependence between lines of business in a pairwise manner, through a copula that captures dependence between two equivalent cells of two different runoff triangles. In this thesis, we propose to generalize this model with two different approaches. Firstly, by using hierarchical Archimedean copulas to accommodate correlation within and between lines of business, and secondly by capturing this dependence through random effects. The first approach will be presented in chapters 2 and 3. In chapter 2, we use partially nested Archimedean copulas to capture dependence within and between two lines of business, through calendar year effects. In chapter 3, we use fully nested Archimedean copulas, to accommodate dependence between more than two lines of business. A copula-based risk aggregation model is also proposed to accommodate dependence. The inference for the dependence structure is performed with a rank-based methodology to bring more robustness to the estimation. In chapter 4, we introduce the Sarmanov family of bivariate distributions to a loss reserving context, and show that its flexibility proves to be very useful for modeling dependence between loss triangles. This dependence is captured by random effects, through calendar years, accident years or development periods. Closed-form expressions are given, and a real life illustration is shown again. In chapter 5, we use the Sarmanov family of bivariate distributions in a dynamic framework, where the random effects are considered evolutionary and evolve over time, to update the information and allow more weight to more recent claims. Hence, we propose an innovative way to jointly model the dependence between risks and over time with an illustration in a ratemaking context. Finally, a brief conclusion recalls the main contributions of this thesis and provides insights into future research and possible extensions to the proposed works.

Le domaine de l’assurance est basé sur la loi des grands nombres, un théorème stipulant que les caractéristiques statistiques d’un échantillon aléatoire suffisamment grand convergent vers les caractéristiques de la population complète. Les compagnies d’assurance se basent sur ce principe afin d’évaluer le risque associé aux évènements assurés. Cependant, l’introduction d’une relation de dépendance entre les éléments de l’échantillon aléatoire peut changer drastiquement le profil de risque d’un échantillon par rapport à la population entière. Il est donc crucial de considérer l’effet de la dépendance lorsqu’on agrège des risques d’assurance, d’où l’intérêt porté à la modélisation de la dépendance en science actuarielle. Dans ce mémoire, on s’intéresse à la modélisation de la dépendance à l’intérieur d’un portefeuille de risques dans le cas où une variable aléatoire (v.a.) mélange introduit de la dépendance entre les différents risques. Après avoir introduit l’utilisation des mélanges exponentiels dans la modélisation du risque en actuariat, on démontre comment cette construction par mélange nous permet de définir les copules Archimédiennes, un outil puissant pour la modélisation de la dépendance. Dans un premier temps, on démontre comment il est possible d’approximer une copule Archimédienne construite par mélange continu par une copule construite par mélange discret. Puis, nous dérivons des expressions explicites pour certaines mesures d’intérêt du risque agrégé. Nous développons une méthode de calcul analytique pour évaluer la distribution d’une somme de risques aléatoires d’un portefeuille sujet à une telle structure de dépendance. On applique enfin ces résultats à des problèmes d’agrégation, d’allocation du capital et de théorie de la ruine. Finalement, une extension est faite aux copules Archimédiennes hiérarchiques, une généralisation de la dépendance par mélange commun où il existe de la dépendance entre les risques à plus d’un niveau. / The law of large numbers, which states that statistical characteristics of a random sample will converge to the characteristics of the whole population, is the foundation of the insurance industry. Insurance companies rely on this principle to evaluate the risk of insured events. However, when we introduce dependencies between each component of the random sample, it may drastically affect the overall risk profile of the sample in comparison to the whole population. This is why it is essential to consider the effect of dependency when aggregating insurance risks from which stems the interest given to dependence modeling in actuarial science. In this thesis, we study dependence modeling in a portfolio of risks for which a mixture random variable (rv) introduces dependency. After introducing the use of exponential mixtures in actuarial risk modeling, we show how this mixture construction can define Archimedean copulas, a powerful tool for dependence modeling. First, we demonstrate how an Archimedean copula constructed via a continuous mixture can be approximated with a copula constructed by discrete mixture. Then, we derive explicit expressions for a few quantities related to the aggregated risk. The common mixture representation of Archimedean copulas is then at the basis of a computational strategy proposed to compute the distribution of the sum of risks in a general setup. Such results are then used to investigate risk models with respect to aggregation, capital allocation and ruin problems. Finally, we discuss an extension to nested Archimedean copulas, a general case of dependency via common mixture including different levels of dependency. / Résumé en espagnol

Le terme « copula » utilisé dans le moteur de recherche Google produisait 1 130 000 résultats en janvier 2007. Dans ce mémoire, nous cherchons à analyser cet intérêt phénoménal pour les copules. Notre démarche est à la fois qualitative en terme d'analyse de l'évolution des domaines de recherche et quantitative en terme de production d'articles. Une attention particulière est apportée à la statistique, où s'est d'abord développée la théorie, et à la finance qui semble être devenue un domaine privilégié d'application. L'analyse s'appuie sur une base de données exhaustive de 871 documents de travail et articles qui nous permet d'identifier les principaux champs de recherche, les auteurs les plus prolifiques, ainsi que les revues qui publient le plus d'articles. Nous constatons que l'utilisation des copules en finance ne semble pas démesurée et qu'elle s'appuie solidement sur les travaux séminaux de Paul Embrechts et de ses collaborateurs. / The term "copula" used in the search engine Google produced 1,310,000 results in January 2007. In this Master's thesis, we seek to analyze this phenomenal interest for copulas. Our approach is at the same time qualitative in terms of analysis of the evolution and quantitative in terms of production of articles. Special attention is given to Statistics where the theory was initially developed, and to Finance which seems to have become a privileged field of application. The analysis is based on an exhaustive database of 871 working papers and articles printed in scientific journals which allows us to describe the evolution of the number of publications and identify the most popular fields of research, the most prolific authors, as well as the journals that published the largest number of articles. We note that the use of copulas in finance does not seem disproportionate and that it is firmly based on the seminal work of Paul Embrechts and his collaborators.

Cette thèse contribue à l'analyse de durées de vie bivarices. Elle s'appuie sur quatre articles, rédigés en collaboration avec Christian Genest (directeur), Thierry Duchesne (codirecteur) ou d'autres collaborateurs (Lajmi Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). Le premier article, soumis à Insurance : Mathematics and Economies en novembre dernier, propose deux nouveaux tests d'adéquation d'un modèle de copules pour une paire (X, Y) de durées de vie. Leur performance est comparée à celle de six tests omnibus par voie de simulation. Le second article, à paraître dans Computational Statistics and Data Analysis, propose de nouveaux estimateurs du tau de Kendall entre les variables X et, Y, lorsque seule la seconde est sujette à censure. Une étude de Monte-Carlo montre que parce qu'ils exploitent l'information conditionnelle entre les variables, ces nouveaux estimateurs sont plus performants que ceux couramment utilisés dans ce contexte. Le troisième article, en cours de révision pour Lifetime Data Analysis, propose un estimateur de type Horvitz Thompson pour T(X,Y) lorsque les deux variables sont sujettes à censure. On démontre qu'au contraire des estimateurs existants, celui-ci demeure convergent même quand r / 0. Le quatrième article, soumis à Statistics in Medicine, présente un critère de sélection de modèle lorsque la paire (X, Y) n'est observable que dans la région Y > X et que Y est sujette à censure à droite, La procédure compare une estimation paramétrique à une estimation non paramétrique de la version tronquée du tau de Kendall. / This thesis contributes to bivariate survival data analysis. It is based on four papers, written jointly with Christian Genest (supervisor), Thierry Duchesne (co-supervisor) or other collaborators (Lajrni Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). The first paper, submitted to Insurance : Mathematics and Economies last November, proposes two new statistics for goodness-of-fit testing of a copula model for a pair (X, Y) of lifetimes. Their performance is compared to that of six omnibus tests through simulation. The second paper, which is due to appear in Computational Statistics and Data Analysis, proposes new estimators of Kendall's tau between variables X and Y when only the second is subject to censoring. A Monte Carlo study shows that because tliey take into account the conditional information between the variables, thèse new estimators perforai better than those currently used in this context. The third paper, currently under revision for Lifetirne Data Analysis, proposes a Horvitz Thompson type estimator for T(X, Y) when both variables are subject to censoring. It is shown that by opposition to existing estimators, this one remains consistent even when r/() . The fourth paper, submitted to Statistics in Medicine, présents a model sélection criterion when the pair (X, Y) can only be observed in the région Y > X and Y is subject to right censoring. The procédure compares a parametric estimate to a nonparametric estimate of the fruneafed version of Kendall's tau.

Cette thèse étudie les propriétés des copules appartenant à la famille khi-carré. Il s’agit d’une généralisation des copules normales multidimensionnelles obtenue en élevant au carré les composantes d’un vecteur de variables aléatoires normales. Ces copules sont indicées par une matrice de corrélation et par un paramètre de forme. Cette thèse montre comment cette famille de copules peut être utilisée pour faire de l’interpolation spatiale et pour modéliser des données multidimensionnelles. Dans un premier temps, l’utilité de cette classe de structures de dépendance est démontrée par le biais d’une application en statistique spatiale. Un problème important dans ce contexte est de prévoir la valeur d’un champ aléatoire stationnaire en une position où il n’a pas été observé. Cette thèse montre comment construire de telles prévisions à l’aide de modèles spatiaux basés sur les copules. L’accent est mis sur l’utilisation de la famille des copules khi-carré dans ce contexte. Il faut d’abord supposer que la matrice de corrélation a une forme paramétrique standard, telle celle de Matérn, indicée par un paramètre inconnu associé à la force de l’association spatiale. Ce paramètre est d’abord estimé à l’aide d’une pseudo-vraisemblance composite construite à partir des lois bidimensionnelles des données observées. Ensuite, une méthode d’interpolation spatiale utilisant les rangs des observations est suggérée afin d’approximer la meilleure prévision du champ aléatoire à une position non observée. Dans un deuxième temps, les propriétés fondamentales des copules khi-carré sont étudiées en détail. Cette famille de copules permet une grande flexibilité quant à la modélisation de données multidimensionnelles. Dans le cas bivarié, ces copules s’adaptent à de la dépendance autant symétrique qu’asymétrique. En dimension plus grande, le paramètre de forme contrôle le degré d’asymétrie radiale des distributions marginales bidimensionnelles. Des procédures d’estimation de la matrice de corrélation et du paramètre de forme sont comparées dans le cas de répétitions indépendantes et identiquement distribuées. Enfin, des formules de l’espérance conditionnelle pour la meilleure prévision dans un contexte spatiale sont établies. Finalement, des tests d’adéquation basés sur des moments pour la famille des copules khi-carré sont développés. Ces nouveaux tests peuvent être appliqués à un ensemble de données de n’importe quelle dimension. Ces procédures reposent sur deux mesures d’association basées sur les rangs des observations ce qui évite d’avoir à spécifier les lois marginales. Il est démontré que le comportement conjoint de ces deux mesures est asymptotiquement normal. L’efficacité des nouvelles procédures d’adéquation est démontrée via une étude de simulations et est comparée à un test d’adéquation classique basé sur la copule empirique. / This thesis studies the properties of the family of chi-square copulas. This is a generalization of the multidimensional normal copulas obtained by squaring the components of normal random vector. These copulas are indexed by a correlation matrix and by a shape parameter. This thesis shows how this family can be used to perform spatial interpolation and to model multidimensional data. First, the usefulness of this class of dependence structures is demonstrated with an application in spatial statistics. An important problem in that context is to predict the value of a stationary random field at a position where it has not been observed. This thesis shows how to construct such predictions using spatial models based on copulas. One focusses on the use of the family of chi-square copulas in that context. One must first assumes that the correlation matrix has a standard parametric form, such as that of Matérn, indexed by an unknown parameter associated with the force of the spatial association. This parameter is first estimated using a composite pseudo-likelihood constructed from the bivariate distributions of the observed data. Then, a spatial interpolation method using the ranks of the observations is suggested to approximate the best prediction of the random field at an unobserved position under a chi-square copula. In a second work, the fundamental properties of the chi-square copulas are studied in detail. This family allows a lot of flexibility to model multidimensional data. In the bivariate case, this family is adapted to symmetric and asymmetric dependence structures. In larger dimensions, the shape parameter controls the degree of radial asymmetry of the two-dimensional marginal distributions. Parameter estimation procedures of the correlation matrix and of the shape parameter are compared under independent and identically distributed repetitions. Finally, the formulas of the conditional expectation for the best prediction in a spatial context are established. Goodness-of-fit tests for the family of chi-square copulas are then developed. These new tests can be applied to data in any dimension. These procedures are based on two association measures based on the ranks of the observations, which avoids having to specify the marginal distributions. It is shown that the joint behavior of these two measures is asymptotically normal. The efficiency of the new goodness-of-fit procedures is demonstrated through a simulation study and is compared to a classical goodness-of-fit test based on the empirical copula.

Initialement, la théorie du risque supposait l'indépendance entre les différentes variables aléatoires et autres paramètres intervenant dans la modélisation actuarielle. De nos jours, cette hypothèse d'indépendance est souvent relâchée afin de tenir compte de possibles interactions entre les différents éléments des modèles. Dans cette thèse, nous proposons d'introduire des modèles de dépendance pour différents aspects de la théorie du risque. Dans un premier temps, nous suggérons l'emploi des copules comme structure de dépendance. Nous abordons tout d'abord un problème d'allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk pour lequel nous supposons un lien introduit par une copule entre les différents risques. Nous obtenons des formules explicites pour le capital à allouer à l'ensemble du portefeuille ainsi que la contribution de chacun des risques lorsque nous utilisons la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Pour les autres copules, nous fournissons une méthode d'approximation. Au deuxième chapitre, nous considérons le processus aléatoire de la somme des valeurs présentes des sinistres pour lequel les variables aléatoires du montant d'un sinistre et de temps écoulé depuis le sinistre précédent sont liées par une copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous montrons comment obtenir des formes explicites pour les deux premiers moments puis le moment d'ordre m de ce processus. Le troisième chapitre suppose un autre type de dépendance causée par un environnement extérieur. Dans le contexte de l'étude de la probabilité de ruine d'une compagnie de réassurance, nous utilisons un environnement markovien pour modéliser les cycles de souscription. Nous supposons en premier lieu des temps de changement de phases de cycle déterministes puis nous les considérons ensuite influencés en retour par les montants des sinistres. Nous obtenons, à l'aide de la méthode d'erlangisation, une approximation de la probabilité de ruine en temps fini.

Cette thèse porte sur deux aspects de la dépendance entre actifs financiers. La première partie concerne la dépendance entre vecteurs aléatoires. Le premier chapitre consiste en une comparaison d'algorithmes calculant l'application de transport optimal pour le coût quadratique entre deux probabilités sur R^n, éventuellement continues. Ces algorithmes permettent de calculer des couplages ayant une propriété de dépendance extrême, dits couplage de corrélation maximale, qui apparaissent naturellement dans la définition de mesures de risque multivariées. Le second chapitre propose une définition de la dépendance extrême entre vecteurs aléatoires s'appuyant sur la notion de covariogramme ; les couplages extrêmes sont caractérisés comme des couplages de corrélation maximale à modification linéaire d'une des marginales multivariées près. Une méthode numérique permettant de calculer ces couplages est fournie, et des applications au stress-test de dépendance pour l'allocation de portefeuille et la valorisation d'options européennes sur plusieurs sous-jacents sont détaillées. La dernière partie décrit la dépendance spatiale entre deux diffusions markoviennes, couplées à l'aide d'une fonction de corrélation dépendant de l'état des deux diffusions. Une EDP de Kolmogorov forward intégrée fait le lien entre la famille de copules spatiales de la diffusion et la fonction de corrélation. On étudie ensuite le problème de la dépendance spatiale atteignable par deux mouvements Browniens, et nos résultats montrent que certaines copules classiques ne permettent pas de décrire la dépendance stationnaire entre des mouvements Browniens couplés.

Cette thèse traite de la modélisation de prix boursiers par les exponentielles de processus de Lévy. La première partie développe une méthode non-paramétrique stable de calibration de modèles exponentielle-Lévy, c'est-à-dire de reconstruction de ces modèles à partir des prix d'options cotées sur un marché financier. J'étudie les propriétés de convergence et de stabilité de cette méthode de calibration, décris sa réalisation numérique et donne des exemples de son utilisation. L'approche adoptée ici consiste à reformuler le problème de calibration comme celui de trouver un modèle exponentielle-Lévy risque-neutre qui reproduit les prix d'options cotées avec la plus grande précision possible et qui a l'entropie relative minimale par rapport à un processus "a priori" donné. Ce problème est alors résolu en utilisant la méthode de régularisation, provenant de la théorie de problèmes inverses mal posés. L'application de ma méthode de calibration aux données empiriques de prix d'options sur indice permet d'étudier certaines propriétés des mesures de Lévy implicites qui correspondent aux prix de marché. <br /><br />La deuxième partie est consacrée au développement d'une méthode permettant de caractériser les structures de dépendance entre les composantes d'un processus de Lévy multidimensionnel et de construire des modèles exponentielle-Lévy multidimensionnels. Cet objectif est atteint grâce à l'introduction de la notion de copule de Lévy, qui peut être considérée comme l'analogue pour les processus de Lévy de la notion de copule, utilisée en statistique pour modéliser la dépendance entre les variables aléatoires réelles. Les exemples de familles paramétriques de copules de Lévy sont donnés et une méthode de simulation de processus de Lévy multidimensionnels, dont la structure de dépendance est décrite par une copule de Lévy, est proposée.

Ces dernières décennies, nous avons assisté à l'émergence du concept de copule en modélisation statistique. Les copules permettent de faire une analyse séparée des marges et de la structure de dépendance induite par une distribution statistique. Cette séparation facilite l'incorporation de lois non gaussiennes, et en particulier la prise en compte des dépendances non linéaires entre les variables aléatoires. La finance et l'hydrologie sont deux exemples de sciences où les copules sont très utilisées. Cependant, bien qu'il existe beaucoup de familles de copules bivariées, le choix reste limité en plus grande dimension: la construction de copules multivariées/en grande dimension reste un problème ouvert aujourd'hui. Cette thèse présente trois contributions à la modélisation et à l'inférence de copules en grande dimension. Le premier modèle proposé s'écrit comme un produit de copules bivariées, où chaque copule bivariée se combine aux autres via un graphe en arbre. Elle permet de prendre en compte les différents degrés de dépendance entre les différentes paires. La seconde copule est un modèle à facteurs basé sur une classe nonparamétrique de copules bivariées. Elle permet d'obtenir un bon équilibre entre flexibilité et facilité d'utilisation. Cette thèse traite également de l'inférence paramétrique de copules dans le cas général, en établissant les propriétés asymptotiques d'un estimateur des moindres carrés pondérés basé sur les coefficients de dépendance. Les modèles et méthodes proposés sont appliqués sur des données hydrologiques (pluies et débits de rivières). / In the last decades, copulas have been more and more used in statistical modeling. Their popularity owes much to the fact that they allow to separate the analysis of the margins from the analysis of the dependence structure induced by the underlying distribution. This renders easier the modeling of non Gaussian distributions, and, in particular, it allows to take into account non linear dependencies between random variables. Finance and hydrology are two examples of scientific fields where the use of copulas is nowadays standard. However, while many bivariate families exist in the literature, multivariate/high dimensional copulas are much more difficult to construct. This thesis presents three contributions to copula modeling and inference, with an emphasis on high dimensional problems. The first model writes as a product of bivariate copulas and is underlain by a tree structure where each edge represents a bivariate copula. Hence, we are able to model different pairs with different dependence properties. The second one is a factor model built on a nonparametric class of bivariate copulas. It exhibits a good balance between tractability and flexibility. This thesis also deals with the parametric inference of copula models in general. Indeed, the asymptotic properties of a weighted least-squares estimator based on dependence coefficients are established. The models and methods have been applied to hydrological data (flow rates and rain falls).

Les dérivés de crédit ont connu en quelques années un développement fulgurant en finance : les volumes de transactions ont augmenté exponentiellement, de nouveaux produits ont été créés. La récente crise du sub-prime a mis en évidence l'insuffisance des modèles actuels. Le but de cette thèse est de créer de nouveaux modèles mathématiques qui prennent en compte la dynamique de dépendance (« tail dependence ») des marchés. Après une revue de la littérature et des modèles existants, nous nous focalisons sur la modélisation de la « corrélation » (ou plus exactement la dynamique de la structure de dépendance) entre différentes entités dans un portefeuille de crédit (CDO). Dans une première phase, une formulation simple des copules dynamiques est proposée. Ensuite, nous présentons une seconde formulation en utilisant des processus de Lévy à spectre positif (i.e. gamma Ornstein-Uhlenbeck). L'écriture de cette nouvelle famille de copules archimédiennes nous permet d'obtenir une formule asymptotique simple pour la distribution des pertes d'un portefeuille de crédit granulaire. L'une des particularités du modèle proposé est sa capacité de reproduire des dépendances extrêmes comparables aux phénomènes récents de contagion sur les marchés comme la crise du « subprime » aux Etats-Unis. Une application sur l'estimation des prix des tranches de CDOs est aussi présentée. Dans cette thèse, nous proposons également d'utiliser des copules dynamiques pour modéliser des migrations jointes des qualités de crédit afin de prendre en compte les co-migrations extrêmes. En effet, les copules nous permettent d'étendre notre connaissance des processus de migration mono-variable à un cadre multi-variables. Afin de tenir compte de multiples sources de risques systémiques, nous développons des copules dynamiques à plusieurs facteurs. Enfin, nous montrons que la brique élémentaire de structure de dépendance induite par une mesure du temps aléatoire « Time Changed Process » rentre dans le cadre des copules dynamiques.