Ce travail de thèse concerne l’analyse de surfaces faciales en 3D, ainsi que leur traitement, dans le récent cadre de la modalité de reconnaissance de visages en 3D,basé sur des techniques d’appariement. Le traitement de la surface faciale et son analyse constituent une étape importante dans les algorithmes de reconnaissance de visage en 3D. La localisation de points d’intérêt anthropométriques du visage joue par ailleurs un rôle important dans les techniques de localisation du visage, de reconnaissance d’expression, de recalage, etc. Ainsi, leur localisation automatique joue un rôle crucial dans les algorithmes de traitement du visage 3D. Dans ce travail, nous avons mis l’accent sur la localisation précise et invariante en rotation des points d’intérêt, qui seront utilisés plus tard pour la reconnaissance de visages. Ces points d’intérêt sont localisés en combinant les propriétés locales de la surface faciale, exprimées en termes de géométrie différentielle, et un modèle global et générique du visage. Etant donné que la sensibilité des courbures, qui sont des propriétés de géométrie différentielle, au bruit, une des contributions de cette thèse est la modification d’une méthode de calcul de courbures. Cette modification incorpore le bruit de la surface dans la méthode de calcul, et permet de contrôler la progressivité des courbures. Par conséquent, nous pouvons localiser les points d’intérêt de la surface faciale avec précision et fiabilité (100% de bonnes localisation du bout du nez avec une erreur maximale de 8mmpar exemple) y compris en présence de rotations et de bruit. La modification de la méthode de calcul de courbure a été également testée pour différentes résolutions de visage, présentant des valeurs de courbure stables. Enfin, étant donné que donné que l’analyse de courbures mène à de nombreux candidats de points d’intérêt du visage, dont la validation est coûteuse, nous proposons de localiser les points d’intérêt grâce à une méthode d’apprentissage. Cette méthode permet de rejeter précocement des faux candidats avec une grande confiance, accélérant d’autant la localisation des points d’intérêt. La reconnaissance de visages à l’aide de modèles 3D est un sujet relativement nouveau, qui a été propose pour palier aux insuffisantes de la modalité de reconnaissance de visages en 2D. Cependant, les algorithmes de reconnaissance de visage en 3D sont généralement plus complexes. De plus, étant donné que les modèles de visage 3D décrivent la géométrie du visage, ils sont plus sensibles que les images 2Dde texture aux expressions faciales. Notre contribution est de réduire la dimensionnalité des données de départ en appariant les modèles de visage 3D au domaine 2Dà l’aide de méthodes, non rigides, d’appariement conformal. L’existence de modèles2D représentant les visages permet alors d’utiliser les techniques précédemment développées dans le domaine de la reconnaissance de visages en 2D. Dans nos travaux, nous avons utilisé les cartes conformales de visages 3D en conjonction avec l’algorithme2D2 PCA, atteignant le score de 86% en reconnaissance de rang 1 sur la base de données FRGC. L’efficacité de toutes les méthodes a été évaluée sur les bases FRGC et Bosphorus. / This Ph.D thesis work is dedicated to 3D facial surface analysis, processing as well as to the newly proposed 3D face recognition modality, which is based on mapping techniques. Facial surface processing and analysis is one of the most important steps for 3Dface recognition algorithms. Automatic anthropometric facial features localization also plays an important role for face localization, face expression recognition, face registration ect., thus its automatic localization is a crucial step for 3D face processing algorithms. In this work we focused on precise and rotation invariant landmarks localization, which are later used directly for face recognition. The landmarks are localized combining local surface properties expressed in terms of differential geometry tools and global facial generic model, used for face validation. Since curvatures, which are differential geometry properties, are sensitive to surface noise, one of the main contributions of this thesis is a modification of curvatures calculation method. The modification incorporates the surface noise into the calculation method and helps to control smoothness of the curvatures. Therefore the main facial points can be reliably and precisely localized (100% nose tip localization using 8 mm precision)under the influence of rotations and surface noise. The modification of the curvatures calculation method was also tested under different face model resolutions, resulting in stable curvature values. Finally, since curvatures analysis leads to many facial landmark candidates, the validation of which is time consuming, facial landmarks localization based on learning technique was proposed. The learning technique helps to reject incorrect landmark candidates with a high probability, thus accelerating landmarks localization. Face recognition using 3D models is a relatively new subject, which has been proposed to overcome shortcomings of 2D face recognition modality. However, 3Dface recognition algorithms are likely more complicated. Additionally, since 3D face models describe facial surface geometry, they are more sensitive to facial expression changes. Our contribution is reducing dimensionality of the input data by mapping3D facial models on to 2D domain using non-rigid, conformal mapping techniques. Having 2D images which represent facial models, all previously developed 2D face recognition algorithms can be used. In our work, conformal shape images of 3Dfacial surfaces were fed in to 2D2 PCA, achieving more than 86% recognition rate rank-one using the FRGC data set. The effectiveness of all the methods has been evaluated using the FRGC and Bosphorus datasets.

L’un des défis de la science planétaire est la détermination de l’âge des surfaces des différents corps célestes du système solaire, pour comprendre leurs processus de formation et d’évolution. Une approche repose sur l’analyse de la densité et de la taille des cratères d’impact. En raison de l’énorme quantité de données à traiter, des approches automatiques ont été proposées pour détecter les cratères d’impact afin de faciliter ce processus de datation. Ils utilisent généralement les valeurs de couleur des images ou les valeurs d’altitude de "modèles numériques d’élévation" (DEM). Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle approche pour détecter les bords des cratères. L’idée principale est de combiner l’analyse de la courbure avec une classification basée sur un réseau de neurones. Cette approche comporte deux étapes principales : premièrement, chaque sommet du maillage est étiqueté avec la valeur de la courbure minimale; deuxièmement, cette carte de courbure est injectée dans un réseau de neurones pour détecter automatiquement les formes d’intérêt. Les résultats montrent que la détection des formes est plus efficace en utilisant une carte en deux dimensions s’appuyant sur le calcul d’estimateurs différentiels discrets, plutôt qu’en utilisant la valeur de l’élévation en chaque sommet. Cette approche réduit significativement le nombre de faux négatifs par rapport aux approches précédentes basées uniquement sur une information topographique. La validation de la méthode est effectuée sur des DEM de Mars, acquis par un altimètre laser à bord de la sonde spatiale "Mars Global Surveyor" de la NASA et combinés avec une base de données de cratères identifiés manuellement. / One of the challenges of planetary science is the age determination of the surfaces of the different celestial bodies in the solar system, to understand their formation and evolution processes. An approach relies on the analysis of the crater impact density and size. Due to the huge quantity of data to process, automatic approaches have been proposed for automatically detecting impact craters in order to facilitate this dating process. They generally use the color values from images or the elevation values from Digital Elevation Model (DEM). In this PhD thesis, we propose a new approach for detecting craters rims. The main idea is to combine curvature analysis with Neural Network based classification. This approach contains two main steps: first, each vertex of the mesh is labeled with the value of the minimal curvature; second, this curvature map is injected into a neural network to automatically detect the shapes of interest. The results show that detecting forms are more efficient using a two-dimensional map based on the computation of discrete differential estimators, than by the value of the elevation at each vertex. This approach significantly reduces the number of false negatives compared to previous approaches based on topographic information only. The validation of the method is performed on DEMs of Mars, acquired by a laser altimeter aboard NASA’s Mars Global Surveyor spacecraft and combined with a database of manually identified craters.

Visage est l’une des meilleures biométries pour la reconnaissance de l’identité de personnes, car l’identification d’une personne par le visage est l’habitude instinctive humaine, et l’acquisition de données faciales est naturelle, non intrusive et bien acceptée par le public. Contrairement à la reconnaissance de visage par l’image 2D sur l’apparence, la reconnaissance de visage en 3D sur la forme est théoriquement plus stable et plus robuste à la variance d’éclairage, aux petits changements de pose de la tête et aux cosmétiques pour le visage. Spécifiquement, les courbures sont les plus importants attributs géométriques pour décrire la forme géométrique d’une surface. Elles sont bénéfiques à la caractérisation de la forme du visage qui permet de diminuer l’impact des variances environnementales. Cependant, les courbures traditionnelles ne sont définies que sur des surfaces lisses. Il est donc nécessaire de généraliser telles notions sur des surfaces discrètes, par exemple des visages 3D représenté par maillage triangulaire, et d’évaluer leurs performances en reconnaissance de visage 3D. En outre, même si un certain nombre d’algorithmes 3D FR avec une grande précision sont disponibles, le coût d’acquisition de telles données de haute résolution est difficilement acceptable pour les applications pratiques. Une question majeure est donc d’exploiter les algorithmes existants pour la reconnaissance de modèles à faible résolution collecté avec l’aide d’un nombre croissant de caméras consommateur de profondeur (Kinect). Le dernier problème, mais non le moindre, est la menace sur sécurité des systèmes de reconnaissance de visage 3D par les attaques de masque fabriqué. Cette thèse est consacrée à l’étude des attributs géométriques, des mesures de courbure principale, adaptées aux maillages triangulaires, et des schémas de reconnaissance de visage 3D impliquant des telles mesures de courbure principale. En plus, nous proposons aussi un schéma de vérification sur la reconnaissance de visage 3D collecté en comparant des modèles de résolutions hétérogènes équipement aux deux résolutions, et nous évaluons la performance anti-spoofing du système de RF 3D. Finalement, nous proposons une biométrie système complémentaire de reconnaissance veineuse de main basé sur la détection de vivacité et évaluons sa performance. Dans la reconnaissance de visage 3D par la forme géométrique, nous introduisons la généralisation des courbures principales conventionnelles et des directions principales aux cas des surfaces discrètes à maillage triangulaire, et présentons les concepts des mesures de courbure principale correspondants et des vecteurs de courbure principale. Utilisant ces courbures généralisées, nous élaborons deux descriptions de visage 3D et deux schémas de reconnaissance correspondent. Avec le premier descripteur de caractéristiques, appelé Local Principal Curvature Measures Pattern (LPCMP), nous générons trois images spéciales, appelée curvature faces, correspondant à trois mesures de courbure principale et encodons les curvature faces suivant la méthode de Local Binary Pattern. Il peut décrire la surface faciale de façon exhaustive par l’information de forme locale en concaténant un ensemble d’histogrammes calculés à partir de petits patchs dans les visages de courbure. Dans le deuxième système de reconnaissance de visage 3D sans enregistrement, appelée Principal Curvature Measures based meshSIFT descriptor (PCM-meshSIFT), les mesures de courbure principales sont d’abord calculées dans l’espace de l’échelle Gaussienne, et les extrèmes de la Différence de Courbure (DoC) sont définis comme les points de caractéristique. Ensuite, nous utilisons trois mesures de courbure principales et leurs vecteurs de courbure principaux correspondants pour construire trois descripteurs locaux pour chaque point caractéristique, qui sont invariants en rotation. [...] / Face is one of the best biometrics for person recognition related application, because identifying a person by face is human instinctive habit, and facial data acquisition is natural, non-intrusive, and socially well accepted. In contrast to traditional appearance-based 2D face recognition, shape-based 3D face recognition is theoretically more stable and robust to illumination variance, small head pose changes, and facial cosmetics. The curvatures are the most important geometric attributes to describe the shape of a smooth surface. They are beneficial to facial shape characterization which makes it possible to decrease the impact of environmental variances. However, exiting curvature measurements are only defined on smooth surface. It is required to generalize such notions to discrete meshed surface, e.g., 3D face scans, and to evaluate their performance in 3D face recognition. Furthermore, even though a number of 3D FR algorithms with high accuracy are available, they all require high-resolution 3D scans whose acquisition cost is too expensive to prevent them to be implemented in real-life applications. A major question is thus how to leverage the existing 3D FR algorithms and low-resolution 3D face scans which are readily available using an increasing number of depth-consumer cameras, e.g., Kinect. The last but not least problem is the security threat from spoofing attacks on 3D face recognition system. This thesis is dedicated to study the geometric attributes, principal curvature measures, suitable to triangle meshes, and the 3D face recognition schemes involving principal curvature measures. Meanwhile, based on these approaches, we propose a heterogeneous cross-resolution 3D FR scheme, evaluate the anti-spoofing performance of shape-analysis based 3D face recognition system, and design a supplementary hand-dorsa vein recognition system based on liveness detection with discriminative power. In 3D shape-based face recognition, we introduce the generalization of the conventional point-wise principal curvatures and principal directions for fitting triangle mesh case, and present the concepts of principal curvature measures and principal curvature vectors. Based on these generalized curvatures, we design two 3D face descriptions and recognition frameworks. With the first feature description, named as Local Principal Curvature Measures Pattern descriptor (LPCMP), we generate three curvature faces corresponding to three principal curvature measures, and encode the curvature faces following Local Binary Pattern method. It can comprehensively describe the local shape information of 3D facial surface by concatenating a set of histograms calculated from small patches in the encoded curvature faces. In the second registration-free feature description, named as Principal Curvature Measures based meshSIFT descriptor (PCM-meshSIFT), the principal curvature measures are firstly computed in the Gaussian scale space, and the extremum of Difference of Curvautre (DoC) is defined as keypoints. Then we employ three principal curvature measures and their corresponding principal curvature vectors to build three rotation-invariant local 3D shape descriptors for each keypoint, and adopt the sparse representation-based classifier for keypoint matching. The comprehensive experimental results based on FRGCv2 database and Bosphorus database demonstrate that our proposed 3D face recognition scheme are effective for face recognition and robust to poses and occlusions variations. Besides, the combination of the complementary shape-based information described by three principal curvature measures significantly improves the recognition ability of system. To deal with the problem towards heterogeneous cross-resolution 3D FR, we continuous to adopt the PCM-meshSIFT based feature descriptor to perform the related 3D face recognition. [...]

Les travaux présentés dans ce mémoire portent<br />essentiellement sur l'étude d'opérateurs elliptiques<br />non-linéaires sur des variétés Riemanniennes non-compactes.<br />Ils sont motivés par des questions naturelles provenant de la géométrie Riemannienne ou de la<br />relativité générale.<br /> Le point central étant la recherche et l'étude de<br />métriques d'Einstein (Riemanniennes ou Lorentziennes).

Nos travaux ont été motivés par un problème pratique visant à étudier et à développer une méthode générale pour détecter les vaisseaux sanguins à partir de cinéangiographies. Il s'agit donc d'obtenir une bonne modélisation des vaisseaux, i.e. une caractér isation précise de leurs lignes centrales et de leurs diamètres. Une solution à cette problématique consiste à générer un espace multi-échelles qui grâce à ses différents niveaux de détails permet de traiter des artères de diamètres divers. Ces méthodes sont généralement mises en oeuvre en utilisant le formalisme des équations aux dérivées partielles (EDP) et celui de la géométrie différentielle. Les contributions de cette thèse sont multiples. Nous centrons tout d'abord nos travaux théoriques autour des traitements relatif s à la résolution des EDP en considérant ces traitements sous l'angle des méthodes itératives dites de recherche de point fixe. Ensuite, nous résolvons l'équation de la chaleur par une méthode de résolution à pas adaptatif originale, dite lambda-résolution. Ceci nous permet, en contrôlant la vitesse de convergence du processus, d'obtenir un filtre de diffusion isotrope, qui a la particularité de préserver les contours. Nous utilisons alors ce processus à des fins de débruitage et de segmentation d'images en niveaux de gris et couleur. Par ailleurs, nous introduisons une nouvelle EDP de rehaussement d'images, inspirée des filtres de choc et de la morphologie mathématique que nous couplons à l'analyse multi-échelles précédente de manière à obtenir un filtre de restauration d'images. Par la suite, la définition de courbures d'images vectorielles nous permet de proposer à la fois, une nouvelle {sc EDP} de lissage par courbure moyenne et une nouvelle méthode de détection des lignes centrales que nous appliquons sur des images couleur. Finalement, nous présentons une stratégie de détection multi-échelles des lignes centrales et des contours de l'arbre coronarien.

Dans les secteurs industriels, la maîtrise de l’aspect des surfaces est une problématique majeure de la conception jusqu’à la réalisation des produits. En entreprise, l’évaluation de la qualité des surfaces est généralement réalisée par des contrôleurs humains, sauf pour certaines applications spécifiques pour lesquels des systèmes ont pu être mis en œuvre. L’objectif est donc d’aider les fabricants à mieux évaluer l’aspect et d’avancer vers l’automatisation du processus d’inspection qualité des surfaces.D’un point de vue métrologique, la quantification de l’aspect passe par l’acquisition de la fonction de répartition du coefficient de luminance (BRDF) qui fournit une cartographie de la lumière réfléchie à la surface d’un échantillon. Le système visuel humain extrait de cette mesure des facteurs à partir desquels il élabore des attributs de l’aspect : régularité d’une texture, uniformité de la couleur, qualité du brillant, saillance d’une anomalie, etc.En conséquence, notre approche consiste à utiliser les techniques appelées Reflectance Transformation Imaging (RTI) originellement issues du domaine archéologique, pour l’industrie. Elles permettent d’obtenir simultanément une estimation réduite et simplifiée de la BRDF et une estimation des normales à la surface.Un dispositif d’acquisition RTI appelé la Sphère MeSurA permet d’obtenir des données stéréophotométriques (luminances). L’approximation de forme des mesures discrètes de luminances acquises est fournie selon le principe de la Décomposition Modale Discrète (DMD). Une analyse comparative avec les autres modèles montre que la DMD décrit plus fidèlement les réflexions spéculaires, et plus généralement les zones locales de surfaces brillantes.Nous développons une méthode permettant de mesurer la similarité d’aspect en définissant des descripteurs invariants à la rotation obtenus par un changement de paramétrage de la DMD. Nous calculons ainsi des cartes de distance permettant d’extraire les anomalies les plus saillantes. Nous proposons également leur évaluation par des attributs pertinents sur lesquels les contrôleurs pourront se baser pour décider de la conformité d’un produit.De plus, nous mettons l’accent sur des indicateurs directionnels de normales et de courbures à la surface. Ils permettent de séparer efficacement les composantes périodiques et non-périodiques de la surface, et ainsi de caractériser géométriquement les anomalies d’aspect d’une part et d’autre part la signature d’un procédé de fabrication.Les résultats de ces travaux permettent ainsi d’aider les fabricants à maîtriser la qualité d’aspect en accédant à différentes modalités de la surface inspectée, dans un logiciel d’application appelé MsaTool®. / In industry, controlling the surface appearance is an important issue in the product creation, from the conception phases through the manufacturing phase all the way to delivery to the final consumer. The surface quality control is mostly carried out by human controllers, except for specific applications where inspection devices have been designed. Our prime purpose is to help manufacturers for the assessment of the surface finish appearance and move towards automation of the inspection process.From a metrological point of view, the relevant quantity is the Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF) that describes the angular distribution of the reflected light from a surface. The human visual system is able to extract information about these surface reflectance properties, that allow us to construct a mental representation of the stimulus and give meaning to the observations : structural regularity, color uniformity, gloss quality, characteristics of salience, etc.Our approach is based on the use of techniques known as Reflectance Transformation Imaging (RTI), initialy developed to study the surface of cultural heritage artefacts, as industrial measurement instrument. The RTI techniques allow us to obtain both a reduced and simplified BRDF estimation and the normal field to the surface.A RTI acquisition system called MeSurA Sphere provides photometric stereo datasets (radiance values captured under varying illumination). The continuous model of the local reflection of radiances is based on the Discrete Modal Decomposition (DMD). A comparative analysis with other RTI models shows that the DMD is well suited for approximating the complex physical behavior of light reflections and enhance the overall accuracy of appearance reconstruction of shiny reflective surfaces.We developed a method to measure the similarity of surface appearance using rotation invariant descriptors obtained by chan- ging the DMD parameterization. We then calculate distance maps to extract the most salient features leading to an effective separa- tion of surface defects. We identify relevant parameters from which controllers are able to decide on product conformity.We propose orientation-preserving maps of slopes and curvatures for identifying and separating the periodic and aperiodic components of the surface. We are then able to make a geometric characterization of the detected surface defects or of the manu- facturing process signature.The results of this work make possible to help manufacturers in the control of surface appearance using a software called MsaTool® bringing together several modalities of our treatments.

Ce travail de thèse porte sur la modélisation dynamique 3D du rein et le suivi d’une tumeur de cet organe. Il s’inscrit dans le projet KiTT (Kidney Tumor Tracking) qui regroupe des chercheurs issus de plusieurs domaines : la modélisation géométrique, la radiologie et l’urologie. Le cadre de cette thèse suit une tendance de mini-invasivité des gestes chirurgicaux observée ces dernières années (HIFU, coelioscopie). Sa finalité est d’aboutir à un nouveau protocole de destruction de tumeurs rénales totalement non-invasif, par la diffusion d’agents physiques (ondes d’ultrasons) à travers la peau et focalisés sur la tumeur. Devant le mouvement et la déformation que le rein présente au cours du cycle respiratoire, la problématique de ces travaux de recherche est de connaître en permanence la position de la tumeur afin d’ajuster à moyen terme la diffusion des ondes en conséquence. / This Ph.D. thesis deals with the 3D dynamic modeling of the kidney and tracking a tumor of this organ. It is in line with the KiTT project (Kidney Tumor Tracking) which gathers researchers from different fileds: geometric modeling, radiology and urology. This work arised from the tendency of nowadays surgical gestures to be less and less invasive (HIFU, coelioscopy). Its goal is to result in a totally non-invasive protocol of kidney tumors eradication by transmitting ultrasound waves through the skin without breaking in it. As the kidney presents motions and deformations during the breathing phase, the main issue is to know the kidney and tumor positions at any time in order to adjust the waves accordingly.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

La thèse se compose de deux parties.<br /><br />Première partie :<br />thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous<br />apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute<br />dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires<br />générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de<br />l'équation géométrique.<br /><br />Deuxième partie :<br />thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.<br />Nous obtenons le résultat suivant.<br />Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique<br />hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$<br />et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.<br />Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour<br />tout tenseur symétrique $R$ voisin<br />de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$<br />dont la courbure de Ricci vaut $R$.<br />Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image<br />de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété<br />au voisinage de ${\cal R}_0$.<br />Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante<br />en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,<br />et de quelques obstructions.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.