PEREIRA, José Ilhano da Silva. Hipersuperfícies mínimas de R4 com curvatura de Gauss-Kronecker nula. 2017. 44 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-10-02T15:01:31Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 596580 bytes, checksum: 3c2c1a16d4ce273bfb7c246f7926c01a (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Estou devolvendo a Dissertação de JOSÉ ILHANO DA SILVA PEREIRA, pois há alguns erros a serem corrigidos. Os mesmos seguem listados a seguir. 1- FOLHA DE APROVAÇÃO (substitua a folha de aprovação, por outra que não contenha as assinaturas dos membros da banca examinadora) 2- NUMERAÇÃO INDEVIDA (a numeração indevida de página que aparece na folha de aprovação deve ser retirada) 3- RESUMO (retire o recuo de parágrafo presente no resumo e no abstract) 4- PALAVRAS-CHAVE (apenas o primeiro elemento de cada palavra-chave deve começar com letra maiúscula, assim reescreva as palavras-chave como no exemplo a seguir: Hipersuperfícies mínimas) 5- SUMÁRIO (Os títulos dos capítulos principais, que aparecem no sumário e no interior do trabalho, devem estar em caixa alta (letra maiúscula). Ex.: 2 PRELIMINARES 2.1 Tensores 6 – REFERÊNCIAS (retire o conjunto de “citações” à autores que aparece no final das referências bibliográficas, pois elas fogem ao padrão ABNT para a página das referências) Atenciosamente, on 2017-10-04T17:50:58Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-10-23T19:57:28Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-11-01T12:35:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-01T12:35:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_jispereira.pdf: 333124 bytes, checksum: 37989a2f3787d5914a0c0553afd4e89f (MD5) Previous issue date: 2017-08-25 / This work does study the complete minimal hypersurfaces in the Euclidean space R4 , with Gauss-Kronecker curvature identically zero. Our main result is to prove that if f: M3 → R4 is a complete minimal hypersurface with Gauss-Kronecker curvature identically zero, nowhere vanishing second fundamental form and scalar curvature boun-ded from below, then f(M3) splits as a Euclidean product L2 × R , where L2 is a complete minimal surface in R3 with Gaussian curvature bounded from below. Moreover, we show a result about the Gauss-Kronecker curvature of f, without any assumption on the scalar curvature. / Este trabalho tem como objetivo estudar as hipersuperfícies mínimas em R4, com curvatura de Gauss-Kronecker identicamente zero. Como resultado principal provamos que se f : M3 → R4 é uma hipersuperfície mínima com curvatura de Gauss-Kronecker identicamente zero, segunda forma fundamental não se anulando em nenhum ponto e curvatura escalar limitada inferiormente, então f(M3) se decompõe como um produto euclidiano do tipo L2 × R , onde L2 é uma superfície mínima de R3 com curvatura Gaussiana limitada inferiormente. Finalmente, apresentamos um resultado sobre a curvatura de Gauss-Kronecker de f sem nenhuma hipótese sobre a curvatura escalar.

BENJAMIM FILHO, Francisco de Assis. A partial answer to the CPE conjecture, diameter estimates and manifolds with constant energy. 2015. 50 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2015-07-30T16:00:21Z No. of bitstreams: 1 2015_tese_fabenjamimfilho.pdf: 1331915 bytes, checksum: d86d3d6fbbc1ba72cb62c715c153573c (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-07-30T16:01:04Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_tese_fabenjamimfilho.pdf: 1331915 bytes, checksum: d86d3d6fbbc1ba72cb62c715c153573c (MD5) / Made available in DSpace on 2015-07-30T16:01:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_tese_fabenjamimfilho.pdf: 1331915 bytes, checksum: d86d3d6fbbc1ba72cb62c715c153573c (MD5) Previous issue date: 2015 / This thesis is divided into four parts. In the first one we study the critical points of the total scalar curvature functional restricted to the space of metrics with constant scalar curvature and volume one. We shall prove that under certain suitable integral conditions the critical points of such functional are Einstein manifolds proving this way the critical point equation conjecture in this case. In the second part, we will provide an estimate for the first eigenvalue of the Laplacian of a compact manifolds with Ricci curvature bounded from below by a constant. The estimate we obtain improves the corresponding estimate proved by Li and Yau (1980). In the third part, we are interested in to estimate the diameter of minimal hypersurfaces of the sphere. The estimate we get depends only on the first eigenvalue of the Laplacian of the considered hypersurface. For immersed surfaces on the three dimensional sphere, we obtain an estimate slightly better than the one obtained in the case of higher dimension. In the last part, we introduce the concept of manifolds with constant energy and prove that the sphere and the torus are the only compact surfaces that have constant energy. For higher dimension, the situation is very different sine the product of the sphere with any compact manifold has constant energy. Nevertheless, if we impose a condition over the Ricci curvature it is possible to characterize the sphere also in this case. After that, we apply the informations obtained to the study of hypersurfaces of the sphere proving some rigidity results provided that the hypersurfaces has constant energy. / Esta tese está dividida em quatro partes. Na primeira delas estudaremos pontos críticos do funcional curvatura escalar total restrito ao espaço das métricas de curvatura escalar constante e volume unitário. Provaremos que sob certas condições integrais convenientes os pontos críticos de tal funcional são variedades de Einstein provando assim a conjectura dos pontos críticos neste caso. Na segunda parte, veremos duas estimativas para o primeiro autovalor do Laplaciano de uma variedade compacta com curvatura de Ricci limitada por baixo por uma constante. As estimativas que obtemos melhoram a estimativa correspondente provada por Li e Yau (1980). Na terceira parte, estamos interessados em estimar o diâmetro de hipersuperfícies mínimas da esfera. A estimativa que encontramos depende apenas do primeiro autovalor do Laplaciano da hipersuperfície considerada. Para superfícies imersas na esfera de dimensão três, obtemos uma estimativa ligeiramente melhor do que a obtida no caso de dimensão alta. Na última parte, introduzimos o conceito de variedade de energia constante e provamos que a esfera e o toro são as únicas superfícies que têm energia constante. Em dimensão mais alta a situação é bem diferente uma vez que o produto de uma esfera por qualquer variedade compacta tem energia constante. Entretanto, se impusermos uma condição sobre a curvatura de Ricci, é possível caracterizar a esfera também neste caso. Em seguida, aplicamos as informações obtidas ao estudo de hipersuperfícies da esfera provando alguns resultados de rigidez desde que a hipersuperfície tenha energia constante.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nosso objetivo nesse trabalho à apresentar um teorema que caracteriza os solitons gradiente rÃgidos para caso nÃo compacto. Como aplicaÃÃo provaremos que os solitons gradiente homogÃneos sÃo rÃgidos e apresentaremos um exemplar de soliton de Ricci que nÃo pode ser gradiente. / Our goal in this work is to present a theorem which characterizes the gradient solitons rigid for non-compact case. As an application we prove that the homogeneous gradient solitons are rigid and provide an example of the Ricci soliton can not be gradient.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O objetivo desta dissertaÃÃo à apresentar uma demonstraÃÃo para uma desigualdade pontual, denominada conjectura da curvatura escalar normal, a qual à vÃlida para subvariedades n-dimensionais, Mn, imersas isometricamente em formas espaciais Nn+m(c) de curvatura seccional constante c. / In this work we present a proof of the Normal Scalar Curvature Conjecture for submanifolds Mn, isometrically immersed into space forms Nn+m(c) of constant sectional curvature c.

EVANGELISTA, I. S. Compact almost Ricci soliton, critical metrics of the total scalar curvature functional and p-fundamental tone estimates. 2017. 75 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-07-10T12:41:32Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) Previous issue date: 2017-07-04 / The present thesis is divided in three different parts. The aim of the first part is to prove that a compact almost Ricci soliton with null Cotton tensor is isometric to a standard sphere provided one of the following conditions associated to the Schouten tensor holds: the second symmetric function is constant and positive; two consecutive symmetric functions are non null multiple or some symmetric function is constant and the quoted tensor is positive. The aim of the second part is to study the critical metrics of the total scalar curvature funcional on compact manifolds with constant scalar curvature and unit volume, for simplicity, CPE metrics. It has been conjectured that every CPE metric must be Einstein. We prove that the Conjecture is true for CPE metrics under a suitable integral condition and we also prove that it suffices the metric to be conformal to an Einstein metric. In the third part we estimate the p-fundamental tone of submanifolds in a Cartan-Hadamard manifold. First we obtain lower bounds for the p-fundamental tone of geodesic balls and submanifolds with bounded mean curvature. Moreover, we provide the p-fundamental tone estimates of minimal submanifolds with certain conditions on the norm of the second fundamental form. Finally, we study transversely oriented codimension one C 2-foliations of open subsets Ω of Riemannian manifolds M and obtain lower bounds estimates for the infimum of the mean curvature of the leaves in terms of the p-fundamental tone of Ω. / A presente tese está dividida em três partes diferentes. O objetivo da primeira parte é provar que um quase soliton de Ricci compacto com tensor de Cotton nulo é isométrico a uma esfera canônica desde que uma das seguintes condições associadas ao tensor de Schouten seja válida: a segunda função simétrica é constante e positiva; duas funções simétricas consecutivas são múltiplas, não nulas, ou alguma função simétrica é constante e o tensor de Schouten é positivo. O objetivo da segunda parte é estudar as métricas críticas do funcional curvatura escalar total em variedades compactas com curvatura escalar constante e volume unitário, por simplicidade, métricas CPE. Foi conjecturado que toda métrica CPE deve ser Einstein. Prova-se que a conjectura é verdadeira para as métricas CPE sob uma condição integral adequada e também se prova que é suficiente que a métrica seja conforme a uma métrica Einstein. Na terceira parte, estima-se o p-tom fundamental de subvariedades em uma variedade tipo Cartan-Hadamard. Primeiramente, obtém-se estimativas por baixo para o p-tom fundamental de bolas geodésicas e em subvariedades com curvatura média limitada. Além disso, obtém-se estimativas do p-tom fundamental de subvariedades mínimas com certas condições sobre a norma da segunda forma fundamental. Por fim, estudam-se folheações de classe C 2 transversalmente orientadas de codimensão 1 de subconjuntos abertos Ω de variedades riemannianas M e obtêm-se estimativas por baixo para o ínfimo da curvatura média das folhas em termos do p-tom fundamental de Ω.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nosso objetivo nesse trabalho à apresentar uma generalizaÃÃo das mÃtricas quasi-Einstein para campo de vetores suaves nÃo necessariamente gradiente, alÃm disso, apresentar algumas fÃrmulas integrais para mÃtricas quasi-Einstein gradiente definidas numa variedade compacta e como aplicaÃÃo expor trÃs resultados importantes, sendo um deles uma caracterizaÃÃo para tais classes de variedades compactas de dimensÃo dois. / Our objective in this work is to present a generalization of quasi-Einstein metrics for vector field is not necessarily smooth gradient also present some integral formulas for compact quasi-Einstein metrics defined in a compact and as application set out three important results, one being characterized such classes for a compact manifolds of dimension two.

Foi provado por Byde que é possível adicionar um fim do tipo Delaunay a uma variedade compacta não degenerada de curvatura escalar constante positiva; desde que ela seja localmente conformemente plana em alguma vizinhança do ponto de colagem. A variedade resultante é não-compacta e possui a mesma curvatura escalar constante. O principal objetivo desta tese é generalizar este resultado. Construiremos uma família a um parâmetro de soluções para o problema de Yamabe singular positivo em qualquer variedade compacta não degenerada cujo tensor de Weyl anula-se até uma ordem suficientemente grande no ponto singular. Se a dimensão da variedade é no máximo 5; nenhuma condição sobre o tensor de Weyl é necessária. Usaremos técnicas de pertubação e o método de colagem. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT: It has been showed by Byde [5] that it is possible to attach a Delaunay type end to a compact nondegenerate manifold of positive constant scalar curvature, provided it is locally conformally flat in a neighborhood of the attaching point. The resulting manifold is noncompact with the same constant scalar curvature. The main goal of this thesis is to generalize this result. We will construct a one-parameter family of solutions to the positive singular Yamabe problem for any compact non-degenerate manifold with Weyl tensor vanishing to suciently high order at the singular point. If the dimension is at most 5, no condition on the Weyl tensor is needed. We will use perturbation techniques and gluing methods.

This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto's paper called Complete and Stable O(p + 1) x O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, published on the Annals of Global Analysis and Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classi_cation Theorem, which states: The O(p+1) x O(q+1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2, p; q > 1, with zero scalar curvature belong to one of the following classes: (1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2; (2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the cones Cα and Cβ; (3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα; (4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ; (5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ. It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2, involving the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in its turn, is associated with a vector field X : R22 → R2 on the plan. The study of the orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate the X orbits' behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach the theorem. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p+1) x O(q+1) - Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema de Classicação, que afirma o seguinte: Uma hipersuperfície Mp+q+1 que é invariante pela açãoao do grupo O(p + 1) x O(q + 1), p; q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a uma das seguintes classes: (1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2; (2) Hipersuperfícies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os cones Cα e Cβ; (3) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cα; (4) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cβ; (5) Hipersuperfícies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ. A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfícies. Esta equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possível traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas geratrizes e desta maneira obter o teorema.

SANTOS, A. S. L. Problema de Yamabe modificado em variedades compactas de dimensão quatro e métricas críticas do funcional curvatura escalar. 2017. 58 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-25T19:34:47Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 535461 bytes, checksum: 8c3ddbdd33d74c4eb7b265354b3bafb3 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Eu revisei a Tese de ALEX SANDRO LOPES SANTOS, e encontrei um pequeno erro na capa, ele colocou os seguintes elementos: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA DOUTORADO EM MATEMÁTICA Mas deve ser alterado para: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Com os demais elementos da Tese, não há nenhum problema de formatação. Atenciosamente, on 2017-05-26T15:06:03Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-29T13:47:44Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) Previous issue date: 2017-05-19 / In the fisrt part of this work we investigate the modified Yamabe problem on four-dimensional manifolds whose the modifiers invariants depending on the eigenvalues of the Weyl curvature tensor and they are described in terms of maximum and minimum of the biorthogonal (sectional) curvature. We provide some geometrical and topological properties on four-dimensional manifolds in terms of these invariants. In the second part we investigate the critical points of the total scalar curvature functional restricted to space of metrics with constant scalar curvature of unitary volume, for simplicity CPE metrics. It was conjectured in the 1980’s that every CPE metric must be Einstein. We prove that such a conjecture is true under a second-order vanishing condition on the Weyl tensor. / Na primeira parte deste trabalho investigamos o problema de Yamabe modificado em variedades de dimensão quatro cujos invariantes modificadores dependem dos autovalores do tensor de Weyl e são descritos em termos do máximo e mínimo da curvatura biortogonal (seccional). Fornecemos algumas propriedades geométricas e topológicas para tais variedades em termos destes invariantes. Na segunda parte investigamos os pontos críticos do funcional curvatura escalar total restrito ao espaço de métricas com curvatura escalar constante e volume unitário, abreviadamente chamamos de métricas CPE. Conjecturou-se na década de 1980 que toda métrica CPE deve ser Einstein. Provamos que tal conjectura é verdadeira sob uma condição de nulidade sobre o divergente de segunda ordem do tensor de Weyl.

SILVA, Adam Oliveira da. Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos. 2017. 78 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-19T19:08:04Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 481005 bytes, checksum: 2bdfc6ab68b042a5cfd4f67caf1e21e4 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Estou devolvendo a Tese de ADAM OLIVEIRA DA SILVA, para que o arquivo seja substituído, pois o aluno já veio na BCM e orientei quais eram as correções a serem feitas. Atenciosamente, on 2017-09-20T14:03:26Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-20T16:47:21Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-21T12:26:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T12:26:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) Previous issue date: 2017-09-15 / The aim of this work is to study metrics that are critical points for some Riemannian functionals. In the first part, we investigate critical metrics for functionals which are quadratic in the curvature on closed Riemannian manifolds. It is known that space form metrics are critical points for these functionals, denoted by F t,s (g). Moreover, when s = 0, always Einstein metrics are critical to F t (g). We proved that under some conditions the converse is true. For instance, among others results, we prove that if n ≥ 5 and g is a Bach-flat critical metric to F −n/4(n−1) , with second elementary symmetric function of the Schouten tensor σ 2 (A) > 0, then g should be Einstein. Furthermore, we show that a locally conformally flat critical metric with some additional conditions are space form metrics. In the second part, we study the critical metrics to volume functional on compact Riemannian manifolds with connected smooth boundary. We call such critical points of Miao-Tam critical metrics due to the variational study making by Miao and Tam (2009). In this work, we show that the geodesics balls in space forms Rn , Sn and Hn have the maximum possible boundary volume among Miao-Tam critical metrics with connected boundary provided that the boundary be an Einstein manifold. In the same spirit, we also extend a rigidity theorem due to Boucher et al. (1984) and Shen (1997) to n-dimensional static metrics with positive constant scalar curvature, which give us another way to get a partial answer to the Cosmic no-hair conjecture already obtained by Chrusciel (2003). / Este trabalho tem como principal objetivo estudar métricas que são pontos críticos de alguns funcionais Riemannianos. Na primeira parte, investigaremos métricas críticas de funcionais que são quadráticos na curvatura sobre variedades Riemannianas fechadas. É de conhecimento que métricas tipo formas espaciais são pontos críticos para tais funcionais, denotados aqui por F t,s (g). Além disso, no caso s = 0, métricas de Einstein são sempre críticas para F t (g). Provamos que sob algumas condições, a recíproca destes fatos são verdadeiras. Por exemplo, dentre outros resultados, provamos que se n ≥ 5 e g é uma métrica Bach-flat crìtica para F−n/4(n−1) com segunda função simétrica elementar do tensor de Schouten σ 2 (A) > 0, então g tem que ser métrica de Einstein. Ademais, mostramos que uma métrica crítica localmente conformemente plana, com algumas hipóteses adicionais, tem que ser tipo forma espacial. Na segunda parte, estudamos as métricas críticas do funcional volume sobre variedades Riemannianas compactas com bordo suave conexo. Chamamos tais pontos críticos de métricas críticas de Miao-Tam, devido ao estudo variacional feito por Miao e Tam (2009). Neste trabalho provamos que as bolas geodésicas das formas espaciais Rn , S n e H n possuem o valor máximo para o volume do bordo dentre todas as métricas críticas de Miao-Tam com bordo conexo, desde que o bordo seja uma variedade de Einstein. No mesmo sentido, também estendemos um teorema de rigidez devido à Boucher et al. (1984) e Shen (1997) para métricas estáticas de dimensão n e com curvatura escalar constante positiva, o qual nos fornece outra maneira para obter uma resposta parcial para a Cosmic no-hair conjecture já obtida por Chrusciel (2003).