First-principle calculations is a key ingredient for us to understand, improve and design new materials. Density functional theory (DFT) [1] has proven to be a very powerful tool and a number of different versions exist depending on the problem at hand. A crucial perspective brought by DFT, thanks to the Hohenberg-Kohn theorems, is that all the information needed is contained in the ground state electronic density and that the density that minimizes the energy functional is the true density. This shift the problem from solving a many-body Schrödinger equation to an easier problem of solving single-particle Kohn-Sham equations where each electron interacts with the electronic density. One can then solve the problem self-consistently, iterating until the global minimum is reached. The most expensive part computationally is the inversion of a large Hamiltonian, with the help of the Recursion Method [4]. The goal of the project was to skip this step in some of the iterations by solving the Dyson equation to get a new Green's function from the old one and the parameters used to construct the Hamiltonian. The implemented Dyson recursion algorithm, into the self-consistent process of the RS-LMTO-ASA code, indicates that we in some cases do improve convergence time of the studied systems, showing a great decrease of the number of regular Hamiltonian inversions, using linear mixing, needed to get to a low moment difference.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

In this thesis we study various properties of the spins models, in particular, Ising and Dyson models. We study the stability of the phase transition of the nearest-neighbor ferromagnetic Ising model when we add a perturbation to the critical external field that becomes weaker far from the root of the Cayley tree. We also study the relation between g-measures and Gibbs measures, showing that the Dyson model at sufficiently low temperature is not a g-measure. Counting contours on trees is also studied, showing the characterization of the trees that have infinite number of contours, and comparisons between various definitions of contours. We also study the measures of the spatial Gibbs random graphs, and their local convergence. / Nesta tese estudamos diversas propriedades dos modelos de spins, em particular, os modelos de Ising e Dyson. Estudamos a estabilidade da transição de fase no modelo de Ising ferromagnético de primeiros vizinhos quando adicionamos uma perturbação no campo externo crítico pela qual se torna mais fraca ao estar distante da raiz da árvore de Cayley. Estudamos a relação entre g-medidas e medidas de Gibbs, mostrando que a medida de Gibbs do modelo de Dyson a temperaturas suficientemente baixas não é uma g-medida. Também estudamos contagem de contornos em árvores, mostramos uma caracterização das árvores que possuem um número infinito de contornos de um tamanho fixo envolvendo um vértice, e comparamos entre diversas definições de contornos. Estudamos também as medidas de grafos aleatórios spatial Gibbs, e suas convergências locais.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

Orientadora: Arlene Cristina Aguilar / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-31T04:21:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Figueiredo_ClaraTeixeira_M.pdf: 3320128 bytes, checksum: 24dc162fc60ec8d9e4cdb7690324c5fa (MD5) Previous issue date: 2016 / Resumo: Neste trabalho, descrevemos os mecanismos de geração de uma massa dinâmica para o gluon no regime não perturbativo da QCD. Além disso, analisamos o impacto que essa geração de massa do gluon aliada ao comportamento do ghost, que permanece não massivo no região não perturbativa, causa em outras funções de Green fundamentais da QCD. A partir das equações de Schwinger-Dyson, apresentamos um formalismo teórico generalizado para lidar com a geração de massa para o gluon em teorias de Yang-Mills. A construção central se baseia na ação combinada das identidades de Ward satisfeitas pelos vértices não perturbativos (dentro do esquema PT-BFM) e uma identidade especial, chamada identidade de seagull, nos diagramas que compõem a equação de Schwinger-Dyson do propagador de gluon. O resultado dessas considerações é que o gluon permanece rigorosamente não massivo, desde que os vértices não contenham polos. Quando tais polos são incorporados aos vértices da teoria, os termos se combinam de tal forma que a aniquilação total de divergências quadráticas permanece e, ao mesmo tempo, aparecem contribuições residuais que provocam a saturação do propagador de gluon no infravermelho profundo. Esses polos se comportam como excitações de estado ligado não massivas e podem ser estudados a partir das equações de Bethe-Salpeter. As análises realizadas previamente dentro desse contexto consideravam apenas a possibilidade de polo no vértice de três gluons, desprezando efeitos advindo de possíveis polos nos demais vértices. Aqui, nós obtemos a contribuição da presença de um polo no vértice gluon-ghost para a equação dinâmica que descreve a criação de tais polos. Por fim, nota-se que o fato do gluon ganhar um massa dinâmica e o ghost permanecer não massivo impacta algumas das funções de Green da teoria, em particular o propagador de gluon e o vértice de três gluons. Assim, verificamos que o comportamento divergente dos loops de ghost induz simultaneamente um máximo no propagador de gluon e um mínimo em seu termo cinético. Além disso, esses loops provocam uma mudança de sinal e uma divergência negativa no infravermelho em um dos fatores de forma do vértice de três gluons, calculado em uma configuração cinemática especial / Abstract: In this work, we describe the mechanisms at work in the gluon dynamical mass generation in the nonperturbative regime of QCD. In addition, we obtain some effects of this mass generation allied to the behavior of the ghost, which remain massless in the nonperturbative region, in other fundamental Green's functions of QCD. From the Schwinger-Dyson equations, we present a general theoretical formalism to deal with mass generation in Yang-Mills theories. The central construction relies on the combined action of the Ward identities satisfied by the nonperturbative vertices (within the PT-BFM scheme) and a special identity, called seagull identity, in the diagrams that comprise the Schwinger-Dyson equation for the gluon propagator. The result of these considerations is that the gluon remains rigorously massless, given that the vertices do not contain poles. When such poles are incorporated to the vertices of the theory, the terms are combined in a way that the total annihilation of the quadratic divergences remains and, at the same time, residual contributions appear, which provoke the gluon propagator saturation in the deep infrared. These poles behave as massless bound-state excitations and can be studied using the Bethe-Salpeter equations. The analyses carried out previously within this context considered only the possibility of a pole in the three-gluon vertex, neglecting effects from possible poles in the remaining vertices. Here, we obtain the contribution of the presence of a pole in the gluon-ghost vertex for the dynamical equation that describes the creation of such poles. Finally, we note that the fact that the gluon gains a dynamical mass and the ghost remains massless impacts some of the Green's functions of the theory, in particular, the gluon propagator and the three-gluon vertex. Thus, we verify that the divergent behavior of the ghost loops induces simultaneously a maximum in the gluon propagator and a minimum in the kinetic term of this propagator. Besides, these loops generate a change in sign and a negative divergence in the infrared in one of the form factor of the three gluon vertex, calculated in a specific kinematic configuration / Mestrado / Física / Mestra em Física / 2014/16247-8 / 147440/2014-9 / FAPESP / CNPQ

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés / In this thesis, we are interested on the one hand in the theory of Gaussian multiplicative chaos introduced by Kahane in 1985 and on the other hand in random matrix theory whose pioneers are Wigner, Wishart and Dyson. The first part of this manuscript constitutes a brief introduction to those two theories and also contains the personal contributions of this work rapidly explained. The following parts contain the texts of the published articles [1], [2], [3], [4], [5] and pre-prints [6], [7], [8] on those results where the reader can find more detailed developments

Dyson-Schwinger-Gleichungen sind Fixpunktgleichungen, die in der Quantenfeldtheorie auftauchen. Obwohl es bekannt ist, wie die Kombinatorik vor der Anwendung von Feynman-Regeln aussieht, war die Kombinatorik der resultierenden analytischen Dyson-Schwinger-Gleichungen bisher unbekannt. Wir verallgemeinern die Arbeiten von Yeats et.al. auf diesem Gebiet zu einer Klasse von unendlich vielen Dyson-Schwinger-Gleichungen mit Hilfe von Sehnen-Diagrammen. / In quantum field theory, Dyson-Schwinger equations are fixed-point equations that come from self insertion properties of Feynman graphs. While the combinatorics of these are well understood, the combinatorics are still mysterious after applying the Feynman rules. We generalize the work of Yeats et.al. in this field to an infinite number of Dyson-Schwinger equations with the help of chord diagrams.

Wir betrachten eine Reihe von Trivialitäts- resultaten und No-Go-Theoremen aus der Axiomatischen Quantenfeldtheorie. Von besonderem Interesse ist Haags Theorem. Im Wesentlichen sagt es aus, dass der unitäre Intertwiner des Wechselwirkungsbildes nicht existiert oder trivial ist. Als wichtigste Voraussetzung von Haags Theorem arbeiten wir die unitäre Äquivalenz heraus und unterziehen die kanonische Störungstheorie skalarer Felder einer Kritik um zu argumentieren, dass die kanonisch renormierte Quantenfeldtheorie Haags Theorem umgeht, da sie genau diese Bedingung nicht erfüllt. Der Hopfalgebraische Zugang zur perturbativen Quantenfeldtheorie bietet die Möglichkeit, Dyson-Schwinger-und Renormierungsgruppengleichungen mathematisch sauber herzuleiten, wenn auch mit rein kombinatorischem Ausgangspunkt. Wir präsentieren eine Beschreibung dieser Methode und diskutieren eine gewöhnliche Differentialgleichung für die anomale Dimension des Photons. Eine Spielzeugmodellversion dieser Gleichung lässt sich exakt lösen; ihre Lösung weist eine interessante nichtstörunsgtheoretische Eigenschaft auf, deren Auswirkungen auf die laufende Kopplung und die Selbstenergie des Photons wir untersuchen. Solche nichtperturbativen Beiträge mögen die Existenz eines Landau-Pols ausschliessen, ein Sachverhalt, den wir ebenfalls diskutieren. Unter der Arbeitshypothese, dass die anomale Dimension eines Quantenfeldes in die Klasse der resurgenten Funktionen fällt, studieren wir, welche Bedingungen die Dyson-Schwinger-und Renormierungsgruppengleichungen an ihre Transreihe stellen. Wir stellen fest, dass diese unter bestimmten Bedingungen kodieren, wie der perturbative Sektor den nichtperturbativen vollständig determiniert. / We review a package of triviality results and no-go theorems in axiomatic quantum field theory. Of particular interest is Haag''s theorem. It essentially says that the unitary intertwiner of the interaction picture does not exist unless it is trivial. We single out unitary equivalence as the most salient provision of Haag''s theorem and critique canonical perturbation theory for scalar fields to argue that canonically renormalised quantum field theory bypasses Haag''s theorem by violating this very assumption. The Hopf-algebraic approach to perturbative quantum field theory allows us to derive Dyson-Schwinger equations and the Callan-Symanzik equation in a mathematically sound way, albeit starting with a purely combinatorial setting. We present a pedagogical account of this method and discuss an ordinary differential equation for the anomalous dimension of the photon. A toy model version of this equation can be solved exactly; its solution exhibits an interesting nonperturbative feature whose effect on the running coupling and the self-energy of the photon we investigate. Such nonperturbative contributions may exclude the existence of a Landau pole, an issue that we also discuss. On the working hypothesis that the anomalous dimension of a quantum field falls into the class of resurgent functions, we study what conditions Dyson-Schwinger and renormalisation group equations impose on its resurgent transseries. We find that under certain conditions, they encode how the perturbative sector determines the nonperturbative one completely.

O formalismo matemático da teoria das ondas de spin é analisado. A equivalência entre as transformações de Dyson-Malleev e Holstein-Pr imakoff é demonstrada. Os problemas envolvendo a interação cinemática são discutidos em detalhe. Uma nova divisão do Hamiltoniano de Heisenberg, desenvolvida no espaço de configuração, é usada para estudar a interação dinâmica entre as ondas de spin a baixa temperatura e para grandes valores do número quântico de spin S. Assumindo que a restrição cinemática pode ser neglicenciada, a expansão da energia livre é desenvolvida em potências da temperatura e os resultados estão em acordo com os de Dyson. A relevância da aproximação diagonal de Mattis é demonstrada. Usando o método da positividade por reflexão, limites superiores e inferiores para a contribuição da energia livre são encontrados. Dentro de certa aproximação, estes limites significam que a interação dinâmica pode ser neglicenciada caso o inverso da temperatura (=1/KT), eo número quântico de spin S, forem grandes o suficiente, porém com dependente de S nestas estimativas. Este fato, que não ocorre no limite clássico, é uma característica na região das ondas de spin. / The mathematical formalismo f the spin wave theory is analysed. The thermodynamical equivalence between the Dyson-Malleev and Holstein-Primakoff transformations is proved. The problems involving the kinematical interaction are also discussed in detail. A new splitting of the Heisenberg Hamiltonian, perfomed in configuration space, is used to study the spin wave dynamical interaction at low temperature and for large values of the spin quantum number S. Assuming the the kinematical restriction may be lifted, a low temperature espansion of the free energy is developed with results in agreement with Dysons. The relevance of the Mattis diagonal approximation for the dynamical interaction is demonstrated. Using the method of reflection positivity, upper and lower bounds to the contribuition of the dynamical interaction to the free energy are provided. In a certain approximation, these bounds mean that the dynamical interaction may be dropped IF the inverse temperature (=1/KT) and the spin quantum number S are large enough but depends on S in the estimates, a novel feature wich does not occur in the classical limit but is characteristic of the spin-wave limit.

O formalismo matemático da teoria das ondas de spin é analisado. A equivalência entre as transformações de Dyson-Malleev e Holstein-Pr imakoff é demonstrada. Os problemas envolvendo a interação cinemática são discutidos em detalhe. Uma nova divisão do Hamiltoniano de Heisenberg, desenvolvida no espaço de configuração, é usada para estudar a interação dinâmica entre as ondas de spin a baixa temperatura e para grandes valores do número quântico de spin S. Assumindo que a restrição cinemática pode ser neglicenciada, a expansão da energia livre é desenvolvida em potências da temperatura e os resultados estão em acordo com os de Dyson. A relevância da aproximação diagonal de Mattis é demonstrada. Usando o método da positividade por reflexão, limites superiores e inferiores para a contribuição da energia livre são encontrados. Dentro de certa aproximação, estes limites significam que a interação dinâmica pode ser neglicenciada caso o inverso da temperatura (=1/KT), eo número quântico de spin S, forem grandes o suficiente, porém com dependente de S nestas estimativas. Este fato, que não ocorre no limite clássico, é uma característica na região das ondas de spin. / The mathematical formalismo f the spin wave theory is analysed. The thermodynamical equivalence between the Dyson-Malleev and Holstein-Primakoff transformations is proved. The problems involving the kinematical interaction are also discussed in detail. A new splitting of the Heisenberg Hamiltonian, perfomed in configuration space, is used to study the spin wave dynamical interaction at low temperature and for large values of the spin quantum number S. Assuming the the kinematical restriction may be lifted, a low temperature espansion of the free energy is developed with results in agreement with Dysons. The relevance of the Mattis diagonal approximation for the dynamical interaction is demonstrated. Using the method of reflection positivity, upper and lower bounds to the contribuition of the dynamical interaction to the free energy are provided. In a certain approximation, these bounds mean that the dynamical interaction may be dropped IF the inverse temperature (=1/KT) and the spin quantum number S are large enough but depends on S in the estimates, a novel feature wich does not occur in the classical limit but is characteristic of the spin-wave limit.