This paper is the last part of a three-fold article aimed at some efficient numerical methods for solving the Poisson problem in three-dimensional prismatic and axisymmetric domains. In the first and second parts, the Fourier singular complement method (FSCM) was introduced and analysed for prismatic and axisymmetric domains with reentrant edges, as well as for the axisymmetric domains with sharp conical vertices. In this paper we shall mainly conduct numerical experiments to check and compare the accuracies and efficiencies of FSCM and some other related numerical methods for solving the Poisson problem in the aforementioned domains. In the case of prismatic domains with a reentrant edge, we shall compare the convergence rates of three numerical methods: 3D finite element method using prismatic elements, FSCM, and the 3D finite element method combined with the FSCM. For axisymmetric domains with a non-convex edge or a sharp conical vertex we investigate the convergence rates of the Fourier finite element method (FFEM) and the FSCM, where the FFEM will be implemented on both quasi-uniform meshes and locally graded meshes. The complexities of the considered algorithms are also analysed.

The boundary concentrated finite element method is a variant of the hp-version of the finite element method that is particularly suited for the numerical treatment of elliptic boundary value problems with smooth coefficients and low regularity boundary conditions. For this method we present two multilevel preconditioners that lead to preconditioned stiffness matrices with condition numbers that are bounded uniformly in the problem size N. The cost of applying the preconditioners is O(N). Numerical examples illustrate the efficiency of the algorithms.

The paper deals with a combination of the Fourier method with the Nitsche-finite-element method (as a mortar method). The approach is applied to the Dirichlet problem of the Poisson equation in threedimensional axisymmetric domains with reentrant edges generating singularities. The approximating Fourier method yields a splitting of the 3D problem into 2D problems on the meridian plane of the given domain. For solving the 2D problems bearing corner singularities, the Nitsche finite-element method with non-matching meshes and mesh grading near reentrant corners is applied. Using the explicit representation of singular functions, the rate of convergence of the Fourier-Nitsche-mortaring is estimated in some $H^1$-like norm as well as in the $L_2$-norm. Finally, some numerical results are presented.

In dieser Publikation werden ein numerisches Verfahren zur Kalibrierung von Materialmodellen für die Simulation großer, nahezu inkompressibler hyperelastischer Verzerrungen sowie dessen numerische Realiserung im Rahmen einer gemischten Finite Elemente Formulierung vorgestellt. Dabei werden die Parameter der konstitutiven Beziehungen auf der Grundlage experimentell erfasster Verschiebungsfelder (vorzugsweise inhomogener) bzw. globaler Informationen ermittelt. Dieses inkorrekte, inverse Problem wird mit Hilfe eines deterministischen Optimierungsverfahrens vom trust-region-Typ gelöst. Wesentlicher Bestandteil ist dabei die halbanalytische Sensitivitätsanalyse, die ein effizientes und hochgenaues Verfahren zur Ermittlung des Gradienten der Zielfunktion darstellt. Sie erfordert die einmalige Lösung eines zur direkten Aufgabe analogen Gleichungssystems pro Parameter und Lastschritt und basiert auf der impliziten Differentiation der schwachen Formulierung des gemischten Randwertproblems nach den Materialparametern. Genauigkeit und Konvergenzverhalten der numerischen Algorithmen werden an illustrativen Beispielen mit synthetischen Messwerten demonstriert. Im Mittelpunkt stehen dabei Untersuchungen zur Abhängigkeit des Optimierungsergebnisses von den Startwerten für unterschiedliche konstitutive Ansätze der kompressiblen und nahezu inkompressiblen Elastizität.

Untersucht werden instationäre Wärmeleitprobleme mit gemischen Randbedingungen 2. und 3. Art. Die Probleme weisen als stochastische Einflussgröße einen zufälligen Wärmeleitkoeffizienten auf. Aus einer Ortsdiskretisierung nach dem Vorbild der Methode der finiten Elemente (FEM) geht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit zufälliger Systemmatrix hervor. Unter der Annahme kleiner stochastischer Schwankungen lässt sich die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe als Entwicklung bezüglich eines Störungsparameters darstellen. Dies ermöglicht die genäherte Berechnung von Erwartungswert- und Korrelationsfunktion der approximativen Lösung des ursprünglichen Randanfangswertproblems. Konkrete Berechnungen werden für ein eindimesionales Wärmeleitproblem angegeben, wobei der Wärmeleitkoeffizient als zufällige Funktion sowie als Zufallsgröße modelliert wird.

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist ein Modell für die Plattendeformationen unter Beachtung großer Verzerrungen sowie die Implementierung einer entsprechenden FE-Simulation. Durch Einsetzen der Kirchhoff-Hypothese in die nichtlineare statische dreidimensionale Elastizitätstheorie wird die Gesamtenergie einer deformierten Platte einzig und allein durch die Verschiebungen ihrer Mittelfläche beschrieben. Minimieren dieser Energie führt auf ein nichtlineares Variationsproblem, welches mit Hilfe des Newton-Verfahrens und der Finiten-Elemente-Methode numerisch gelöst werden kann. Dafür werden die Formeln des Energiefunktionals sowie der notwendigen zwei Linearisierungen angegeben. Mit der weiteren Annahme, dass sich die Normale der Mittelfläche nicht ändert, wird eine FE-Implementierung mit bilinearen Elementfunktionen in der Plattenebene und bikubischen Elementfunktionen, vom Bogner-Fox-Schmidt-Element, in Dickenrichtung hergeleitet. / The aim of this thesis is a model for the plate deformations, under consideration of large strains, and the implementation of a suitable FE simulation. Starting from nonlinear static 3D elasticity theory and introducing the Kirchhoff assumptions, the total energy of a deformed plate is described solely by the displacements of its midsurface. Minimizing this energy leads to a nonlinear variational problem, which can be solved numerically, using Newton's method and the finite element method. For this purpose, the formulae of the energy functional and its necessary two linearizations are provided. With the further assumption that the normal of the midsurface does not change, an FE implementation is derived, with bilinear element functions in the in-plane-direction and bicubic element functions, from the Bogner-Fox-Schmidt-element, in the out-of-plane-direction.

Following generally accepted axioms and assumptions the authors developed a phenomenological, thermodynamically consistent material model for large anisotropic elastoplastic deformations based on a substructure concept. The material model originally includes a stress relation in rate formulation, evolutional equations for the internal variables modeling the hardening behavior, and the yield condition. Due to the necessary time discretization solving the initial value problem (IVP) this approach is associated with an incremental stress computation. It will be shown that, within this context, the accuracy of stress values essentially deteriorates with increasing load steps. Consequently, the authors substitute the usual stress relation including the symmetric plastic strain tensor of right Cauchy-Green type instead of the stress tensor into the set of unknown constitutive variables. Stresses are explicitly computed from a hyperelastic material law depending on the elastic strain tensor. Furthermore, as an alternative to the plastic strain tensor the solution of the IVP considering an evolutional equation for the plastic part of the deformation gradient has been studied. This procedure simplifies the mathematical structure of the system to be solved as well as the computation of substructure-based variables which are suitable for the analysis of texture development. The presented numerical strategies were implemented into an in-house FE-code. Some examples illustrating their accuracy, stability as well as efficiency are discussed.

Non-negligible coupled thermal and mechanical effects occur in several physical and industrial procedures, e.g. warm for ming processes. The authors present the theoretical background of a phenomenological thermoelastoplastic material model at large strains as well as its numerical realization within the context of appropriate finite element formulations. As usual, the presented thermodynamical consistent constitutive approach is based on the multiplicative decomposition of the deformation gradient, and a corresponding additive decomposition of the free Helmholtz energy density. For the numerical treatment of thermoelastoplastic problems within a finite element approach, weak formulations of the balance equation of momentum and the heat conduction equation in material description are developed. For the solution of non-linear boundary value problems the linearization of the weak formulations is presented. Within the context of the mechanical problem the temperature dependence of material parameters as well as the thermal expansion are considered. The temperature evolution will be affected by non-thermal phenomena like the thermoelastic effect and plastic dissipation. Several numerical procedures for the solution of the coupled thermomechanical problem are discussed.

Steigende Anforderungen an die Genauigkeit von Werkzeugmaschinen sind nicht mehr allein durch die Verbesserung des statischen und dynamischen Verhaltens zu erfüllen. Die Simulation des thermischen Verhaltens kann bereits in frühen Phasen der Produktentwicklung entscheidende Hinweise zur Gestaltung des Maschinenentwurfes geben. Die Arbeit beschreibt die Methodik und Umsetzung eines Simulationswerkzeuges aufbauend auf Programmen der Finite-Elemente-Analyse. Neben der Modellierung von Antriebs- und Gestellkomponenten wird auf deren Kopplung eingegangen. Thermische Lasten durch Hauptantrieb, Nebenantrieb und Zerspanungsprozess werden dargestellt. Mit der Berücksichtigung konvektiver Randbedingungen als funktionaler Zusammenhang wird die Genauigkeit der Simulation gesteigert. Möglichkeiten zur Abbildung von Aufstellbedingungen und Temperaturschwankungen der Umgebung werden aufgezeigt. Hinweise zur Einbindung von thermischen Kompensationsmaßnahmen runden das Konzept ab. Anhand eines Demonstrators werden der theoretische und praktische Nachweis der Funktionsfähigkeit erbracht. / Simulation of the thermal behavior of cutting machine tools during the conceptual stage Greater demands in the accuracy of machine tools can no longer be achieved by improved static and dynamic functions alone. The simulation of thermal behavior can provide essential information for the machine’s design concept at the earliest stages of product development. This thesis describes methodology and implementation of a simulation tool, based on software utilizing finite element analysis. In addition to the modeling of drives and base components, the work focuses on coupling different sub-components. Heat sources of the main drive, feed drives and cutting process are described. Greater accuracy is obtained by the implementation of convection as a functional process in the simulation. Methods of implementing working area conditions and temperature deviations in the environment are illustrated. Finally, steps for incorporation of a thermal compensation mechanism are included to complete the concept. The workflow applied to a demonstration structure validates the theoretical background and demonstrates the functionality of the thesis. / Моделирование температурных характеристик металлорежущих станков на этапе разработки В настоящее время растущие требования к точности металлорежущих станков обеспечиваются не только улучшением их статических и динамических параметров. Моделирование температурных характеристик на ранних стадиях проектирования может задать определяющее направление для всего процесса разработки и производства металлорежущего станка. Данная работа описывает методику и реализацию средств симуляции, основанных на программе анализа конечных элементов. Кроме моделирования звеньев привода и неподвижных звеньев станка на них также наложены связи. Показаны температурные воздействия от главного и вспомогательного приводов, а также непосредственно от самого процесса резания. Введение учета конвекционных граничных условий как функциональной связи улучшает точность моделирования. Представлены способы для отображения начальных условий и температурных изменений среды. Концепцию завершают указания для учета термокомпенсаций. Изложены доказательства теоретической и практической применимости.

This paper presents the theoretical background of a phenomenological biphasic material approach at large strains based on the theory of porous media as well as its numerical realization within the context of an adaptive mixed finite element formulation. The study is aimed at the simulation of coupled multiphysics problems with special focus on biomechanics. As the materials of interest can be considered as a mixture of two immiscible components (solid and fluid phases), they can be modeled as saturated porous media. For the numerical treatment of according problems within a finite element approach, weak formulations of the balance equations of momentum and volume of the mixture are developed. Within this context, a generalized Lagrangean approach is preferred assuming the initial configuration of the solid phase as reference configuration of the mixture. The transient problem results in weak formulations with respect to the displacement and pore pressure fields as well as their time derivatives. Therefore special linearization techniques are applied, and after spatial discretization a global system for the incremental solution of the initial boundary value problem within the framework of a stable mixed U/p-c finite element approach is defined. The global system is solved using an iterative solver with hierarchical preconditioning. Adaptive mesh evolution is controlled by a residual a posteriori error estimator. The accuracy and the efficiency of the numerical algorithms are demonstrated on a typical example.