Studiens syfte är att mäta effekten av ett interventionsprogram enligt modellen Response to Intervention nivå 2 för att stärka elevernas taluppfattning samt för att se om modellen kan vara ett sätt att tidigt upptäcka och ge relevant stöd till elever. De didaktiska frågorna som varför, vad, hur och när har styrt planerandet och genomförandet av interventionen vars fokus ligger på att utveckla elevernas taluppfattning. Målgruppen för studien var elever som identifierats vara i riskzonen för att utveckla matematiksvårigheter. Låga resultat på det nationella bedömningsstödet i taluppfattning för vårterminen år 1 låg till grund för identifieringen. Studien är kvantitativ och för att mäta effekten användes regression discontinuity, som är en kvasiexperimentell design. Den bygger på mätningar som genomfördes före och efter insatsen. De elever som ingick i interventionsgruppen (nio elever) var de som låg lägst i resultat på bedömningsstödet. Jämförelsegruppen (nio elever) randomiserades ur den grupp som låg därefter i resultat. Eleverna i interventionsgruppen delades i sin tur in i tre mindre grupper som fick undervisning tre tillfällen per vecka i fem veckor enligt det framarbetade interventionsprogrammet. Dessa tillfällen sammanföll ibland på tider för ordinarie matematikundervisning men även på andra ämnens lektioner. Under arbetstillfällena genomfördes ostrukturerade observationer som bidrog till reflektioner som i sin tur ledde till anpassningar och förändringar i interventionsprogrammet. Eleverna i jämförelsegruppen deltog i den ordinarie matematikundervisning som vanligt. En signifikant effekt uppmättes på talföljder och storleksordning av tal men ej på tallinjer. På det aritmetiktest som ingick i för- och eftermätningarna uppmättes ingen signifikant effekt av interventionen. Resultatet stärker teorierna att taluppfattning är ett mångfacetterat begrepp som består av många delar som inte bör ses och hanteras som en. Studien är ett steg till att visa att olika delar går att träna var för sig men att de bygger på och stöttar varandra.  Följande citat i diskussionen kring taluppfattning/number sense har återgetts i flera artiklar som ligger till grund för det här arbetet. ”What is number sense? We all know it when we see it but, if asked to define what it is and what it consists of, most of us, including the teachers among us, would have a much more difficult time.” (Griffin, 2004, s 173)

As a result of two years working with the pre-service primary teachers in a College in Fiji I became aware of the difficulty many of the students were having understanding the primary school mathematics they would be required to teach. During that time I had attempted to help them overcome the difficulties by using different teaching approaches and activities but was far from satisfied with my efforts. Hence I decided to make a concerted effort to help the students by planning, implementing and partially evaluating a mathematics education unit, known as the Teaching Program for the first semester of their course. This work formed the basis of my study. For the Teaching Program I chose a constructivist teaching approach with number sense as the underlying theme. To examine the aspects of the Program I used my observations and those of the students especially ones reported in their mathematics journals. To evaluate the effectiveness of the Teaching Program I collected and analysed quantitative data from traditional testing of the class of forty students as well as data from case studies of six of the pre-service teachers in the class. To determine what features of the Teaching Program were linked to positive changes my main source of data was the case studies, especially entries from their journal writings. The findings suggested that a significant development of the cognitive aspects of the students’ number sense did occur during the time of the Teaching Program but not as much as was hoped for. As a result of the analysis of the data I came to a greater realisation of the importance of the non-cognitive aspects of number sense and the necessity for a greater consideration of them in the development of a Program. I also realise now that a major development that did occur was in my understanding of the knowledge and learning of mathematics. My ideas of a teaching paradigm of social constructivism had not guided me sufficiently to incorporate activities and procedures to develop the non-cognitive aspects. I suggest that a paradigm which extends the theory of social constructivism to give greater consideration of these aspects of learning in general, and hence numeracy and number sense in particular, was needed. As a result of this study, my introduction to the theory of enactivism appears to be giving me some direction in this search at this stage.

<p>Competence in mental arithmetic is recognised by many as essential to be active participants in the fast flowing, high technological society we live in today.  Many have noticed pupils’ unwillingness to set their calculators aside and practice this aspect of mathematics when possible.  Furthermore, some studies show that pupils’ ability to compute mentally deteriorates as they pass through the school system.  Through testing classes in a Swedish obligatory school and an upper secondary school, the aim of this thesis is to see if the goals set by The National [Swedish] Agency for Education regarding mental arithmetic, are being fulfilled.  Through using questionnaires to collect the strategies and ideas of the pupils, a wide range of problematic mathematical misconceptions became evident.  These are highlighted since they are important aspects teachers should be aware of.  The results of this study show that the obligatory school classes are far from reaching the goals set for them whereas the upper secondary classes show good results.  Furthermore, there is an apparent improvement in their progression, resulting in a fulfilment the official goals.  Many pupils however, seem reluctant to rely on their mental arithmetic capabilities and resort to algorithmic strategies.  Other problems to emerge are in carrying out table calculations and in a lack of number sense when deeming if the answers are reasonable.   </p>

Competence in mental arithmetic is recognised by many as essential to be active participants in the fast flowing, high technological society we live in today.  Many have noticed pupils’ unwillingness to set their calculators aside and practice this aspect of mathematics when possible.  Furthermore, some studies show that pupils’ ability to compute mentally deteriorates as they pass through the school system.  Through testing classes in a Swedish obligatory school and an upper secondary school, the aim of this thesis is to see if the goals set by The National [Swedish] Agency for Education regarding mental arithmetic, are being fulfilled.  Through using questionnaires to collect the strategies and ideas of the pupils, a wide range of problematic mathematical misconceptions became evident.  These are highlighted since they are important aspects teachers should be aware of.  The results of this study show that the obligatory school classes are far from reaching the goals set for them whereas the upper secondary classes show good results.  Furthermore, there is an apparent improvement in their progression, resulting in a fulfilment the official goals.  Many pupils however, seem reluctant to rely on their mental arithmetic capabilities and resort to algorithmic strategies.  Other problems to emerge are in carrying out table calculations and in a lack of number sense when deeming if the answers are reasonable.

Purpose: The purpose of the study is to find out what mathematical content primary school children encounter in their free options at school. Through observation, the study defines mathematical areas that primary school students encounter in their free options at school. We want the study to show the reader the mathematics that students continuously meet without associating it with regular mathematics as taught in school. A number of mathematical areas have been defined in the analysis of the observations. These areas have subsequently been discussed more thoroughly. Finally, the areas have been arranged in a grid system to clarify the results. In our study, we have discovered that mathematics exists in all the observed situations the students participated in. We believe that observation as a method can give teachers a tool for helping students associate practical actions during their free options with the more theoretical aspects of formal teaching of mathematics. We discuss this further in the study.

The purpose of the present thesis was to test and contrast hypotheses about the cognitive conditions that support the development of mathematical learning disability (MLD). Following hypotheses were tested in the thesis: a) domain general deficit, the deficit is primarily located in the domain general systems such as the working memory, b) number sense deficit, the deficit is located in the innate approximate number system (ANS), c) numerosity coding deficit, the deficit is located to a exact number representation system, d) access deficit, the deficit is in the mapping between symbols and the innate number representational system (e.g., ANS), e) multiple deficit hypothesis states that MLD could be related to more than one deficit. Three studies examined the connection between cognitive abilities and arithmetic. Study one and three compared different groups of children with or without MLD (or risk of MLD). Study two investigated the connection between early number knowledge, verbal working memory and the development of arithmetic ability. The results favoring the multiple deficit hypothesis, more specifically the result indicate that number sense deficit together with working memory functions constitutes risk-factors to the development of MLD in children. A simple developmental model that is based on von Asters and Shalev´s (2007) model and the present results is suggested, in order to understand the development of MLD in children. / Avhandlingens syfte var att testa och kontrastera hypoteser om vilka kognitiva förutsättningar som är centrala för utvecklandet av matematiska inlärningssvårigheter (MLD) hos barn. De hypoteser som prövas i avhandlingen är följande: a) den domängenerella hypotesen, detta innebär att den förmodade störningen/nedsättningen finns primärt i barnets generella förmågor, främst då i arbetsminnes funktioner. b) en nedsättning i den medfödda approximativa antalsuppfattningen. c) nedsättning i den exakta antalskodningen. d) nedsättning gällande kopplingen mellan den kulturellt betingande symboliska nivå (räkneord och siffror) samt den medfödda antalsuppfattningen (eller antalskodningen). e) slutligen prövas även hypotesen att MLD kan härröras från flera nedsättningar i dessa förmågor. I tre studier undersöktes kopplingen mellan kognitiva förmågor och aritmetik. i studie1 och 3 jämfördes grupper av barn med MLD (eller risk för MLD) med grupper av barn som inte hade MLD i studie 2 undersöktes kopplingen mellan förmågorna verbalt arbetsminne och tidig sifferkunskap samt tidig aritmetiskförmåga. Sammantaget indikerar resultaten från denna avhandling att det kan vara både multipla och enstaka kognitiva förmågor, primärt i den approximativa antalsuppfattningen samt i arbetsminnesfunktioner, som kan fungera som riskförutsättningar för utvecklande av MLD hos barn. Dock måste dessa förmågor samspela med andra faktorer som kan fungera kompensatoriskt eller riskhöjande för utvecklandet av MLD. En förenklad utvecklingsmodell med utgångspunkten i resultaten från studierna samt von Asters och Shalevs (2007) modell föreslås. Syftet med modellen är att den ska kunna användas som teoretiskt ramverk för att förstå utvecklingen av MLD hos barn.

Flera undersökningar har visat att svenska elevers kunskaper inom områdena taluppfattning och aritmetik har blivit sämre. I denna uppsats står därför taluppfattning, med multiplikation som utgångspunkt, i fokus. Syftet med det här arbetet har varit att analysera hur olika läromedels framställning av räknesättet multiplikation samt strukturering av inlärningen av de grundläggande multiplikationskombinationerna kan påverka elevers möjlighet att utveckla god taluppfattning. För att svara på vårt syfte har vi gjort en läromedelsanalys av fem olika läromedel i matematik, avsedda för åk 1-3. Resultatet pekar på att några av de analyserade läromedlen framställer multiplikation på ett begränsat sätt vilket kan antas ha negativ inverkan på elevers möjlighet att utveckla förståelse för räknesättet multiplikation och därmed också på taluppfattningen. Resultatet pekar också på att flera av läromedlen, genom sitt sätt att lyfta fram tankeformer och samband, strukturerar inlärningen av multiplikationskombinationerna så att elevers möjlighet att utveckla taluppfattning gynnas. / Several studies have shown that Swedish students' knowledge of number sense and arithmetic have been deteriorating. In view of this number sense, with multiplication as a basis, is the focus in this composition. The purpose of this work has been to analyze how different textbooks description of multiplication and structure of learning the basic multiplication combinations can influence students' ability to develop number sense. To answer our purpose we made a textbook analysis of five textbooks in mathematics, for grade 1-3. The results indicate that some of the analyzed textbooks describe multiplication in a limited way which one can assume have negative impact on students' ability to develop understanding of multiplication and so developing number sense. The results also indicate that several of the textbooks, by the way they emphasize mental strategies and connections between numbers, structure the learning of the basic multiplication combinations in a way that support students' opportunity to develop number sense.

Dyskalkyli (specifika räknesvårigheter) är en av flera orsaker till matematiksvårigheter. Studier har påvisat samband mellan dyskalkyli och dyslexi och att personer med dyskalkyli har svårt att klara skolmatematiken. Två skilda synsätt förklarar orsaken till dyskalkyli: systemteorin och modulärteorin. Dyscalculia Screener är ett screeningverktyg som bygger på modulärteorin och att dyskalkyli beror på svårigheter med grundläggande antalsuppfattning och ska urskilja personer med dyskalkyli från de som är dåliga på matematik av andra orsaker. Testet innehåller delar som testar reaktionstid (Simple Reaction Time), antalsuppfattning (Dot Enumeration och Numerical Stroop) och aritmetik (Addition och Multiplication). Denna studie undersökte hur svenska barn i årskurs 5 och 6 presterade på testet, för att ge referensdata för svenska förhållanden och undersöka hur väl de engelska normerna fungerar. Studien studerade även samband mellan avkodningsförmåga, av riktiga ord och non-ord (med testet LäSt) och prestation på Dyscalculia Screener samt samband mellan prestation i skolmatematik och resultat på respektive test. Studien innefattade 66 barn, 36 i årskurs 5 och 30 i årskurs 6. Svenska barns resultat skiljde sig till viss del från de engelska normvärdena. De presterade lägre än normvärdena på deltesten Simple Reaction Time och Multiplication. På Dot Enumeration och Numerical Stroop presterade barnen högre. På Addition låg barnen inom normvärdena. Samband mellan avkodningsförmåga och räkneförmåga kunde påvisas, framförallt för avkodning av non-ord. En skillnad i resultat fanns på deltesten Numerical Stroop, Addition och Multiplication mellan de som uppnådde målen i matematik och de som var tveksamma att uppnå eller inte uppnådde målen. / Dyscalculia (specific mathematics disorder) is one, among other causes of mathematical difficulties. Studies have indicated a correlation between dyscalculia and dyslexia and people with dyscalculia have problems managing school mathematics. Two different theories explain the cause of for dyscalculia: the system theory and the modular theory. Dyscalculia Screener is a screening tool based on the modular theory and that dyscalculia is caused by difficulties in basal number sense and should discriminate people with dyscalculia from those who are bad at mathematics for other reasons. The test includes parts that test reaction time (Simple Reaction Time), number sense (Dot Enumeration and Numerical Stroop) and arithmetics (Addition and Multiplication). This study investigated how Swedish children, in year 5 and 6, scored on the test, to get reference data for Swedish relations and see whether the normes from England could be used. The study also investigated correlations between decoding, of real words and non-words (with the test LäSt) and score on Dyscalculia Screener and correlations between ability to manage school mathematics and score on each test. The study included 66 children, 36 in year 5 and 30 in year 6. Swedish children scored different in some ways from the English norms. They scored lower than the norms on the testparts Simple Reaction Time and Multiplication. On Dot Enumeration and Numerical Stroop they scored higher. On Addition, they scored within the norms. A correlation between decoding and counting ability was found, especially for decoding of non-word. A difference in score was seen on the testparts Numerical Stroop, Addition och Multiplication between children that achieved the goals in mathematics and those who were unsure to achieve them or did not.

Tanken med detta arbete är att ta reda på förskolebarns kunskaper om taluppfattning med fokus på antal. Studien genomfördes i en förskola i Mellansverige med 15 barn från 3-5 år för att se skillnaden i taluppfattning mellan dessa åldersgrupper men även mellan jämnåriga. Vidare ville jag genom observation ta reda på vilka aktiviteter som görs i förskolan för att kunna utveckla barnens förståelse och tänkandet inom taluppfattning. Resultatet av intervjun visar att barnen har stor förmåga och förståelse kring klassificering och sortering oavsett ålder. Men 14 av de 15 barnen förstod inte antalskonservation. Observationen visar att klassificering och sortering ingår i aktiviteter som barnen brukar göra varje dag medan antalskonservation inte uppmärksammas. Denna studie hjälper förskollärare att ta reda på barnens taluppfattning för att utifrån det anpassa aktiviteter efter barnens förmåga och göra lärandet intressant och lustfyllt.

<p>Purpose: The purpose of the study is to find out what mathematical content primary school children encounter in their free options at school.</p><p>Through observation, the study defines mathematical areas that primary school students encounter in their free options at school. We want the study to show the reader the mathematics that students continuously meet without associating it with regular mathematics as taught in school.</p><p>A number of mathematical areas have been defined in the analysis of the observations. These areas have subsequently been discussed more thoroughly. Finally, the areas have been arranged in a grid system to clarify the results.</p><p>In our study, we have discovered that mathematics exists in all the observed situations the students participated in.</p><p>We believe that observation as a method can give teachers a tool for helping students associate practical actions during their free options with the more theoretical aspects of formal teaching of mathematics. We discuss this further in the study.</p>