Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de l'étude de la dynamique de populations. Elle porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de l'hématopoïèse, le processus de production et de régulation des cellules sanguines. La population de cellules est perçue comme un milieu continu avec une structuration en âge et en espace. Nous avons commencé par analyser des modèles d'équations différentielles et aux différences à retard discret et distribué. Ces modèles à retard permettent de mettre en évidence des comportements particuliers tels que l'existence de solutions périodiques. Ensuite, nous avons pris en compte l'aspect spatial et la diffusion des cellules dans ces modèles, tout en sachant que la structuration en espace, dans le cas de l'hématopoïèse, a été très peu abordée par le passé. Un nouveau modèle a été obtenu du point de vue mathématique. Une étude d'existence d'ondes progressives est effectuée lorsque le domaine est non borné et lorsque le domaine est borné une étude de stabilité des états stationnaires ainsi que de l'existence d'une bifurcation de Hopf est réalisée / This thesis focuses on the study of population dynamics. It is devoted to the mathematical analysis and modeling of hematopoiesis, which is the process leading to the production and regulation of blood cells. The cell's population is seen as a continuous medium structured in age and space. We analyzed models of differential-difference system with discrete- and distributed -delay. These models can exhibit specific behaviors such as the existence of periodic solutions. Then we consider a space structuration and the diffusion of cells in such models, knowing that the space structure has not been widely studied in the case of hematopoiesis. A new model is obtained from the mathematical point of view. We studied the existence of traveling waves when the domain is unbounded. When the domain is bounded, the stability of stationary solutions and the existence of a Hopf bifurcation are obtained

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système. / In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system.

Les travaux de cette thèse portent sur des méthodes numériques pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques de convection-réaction-diffusion non linéaires. Nous analysons ces méthodes et nous les appliquons à la simulation effective de l'écoulement et du transport de contaminants en milieux poreux et fracturés. Au chapitre 1, nous proposons un schéma permettant une discrétisation efficace, robuste, conservative et stable des équations de convection-réaction-diffusion non linéaires paraboliques dégénérées sur des maillages non structurés en dimensions deux ou trois d'espace. Nous discrétisons le terme de diffusion, qui contient en général un tenseur de diffusion inhomogène et anisotrope, par la méthode des éléments finis non conformes ou mixtes-hybrides et les autres termes par la méthode des volumes finis. La partie essentielle du chapitre est ensuite consacrée à montrer l'existence et l'unicité d'une solution discrète et sa convergence vers une solution faible du problème continu. La méthode de démonstration permet en particulier d'éviter des hypothèses restrictives sur le maillage souvent présentes dans la littérature. Nous proposons finalement une variante de ce schéma pour des maillages qui ne se raccordent pas, couplant cette fois la méthode des volumes finis avec celle des éléments finis conformes, et nous l'appliquons à la simulation du transport de contaminants en milieux poreux. Au chapitre 2, nous présentons une démonstration constructive des inégalités de Poincaré-Friedrichs discrètes pour une classe d'approximations non conformes de l'espace de Sobolev H1, indiquons les valeurs optimales des constantes dans ces inégalités et montrons l'inégalité de Friedrichs discrète pour des domaines bornés dans une direction uniquement. Ces résultats sont importants dans l'analyse de méthodes numériques non conformes, comme les méthodes d'éléments finis non conformes ou de Galerkin discontinu. Au chapitre 3, nous montrons que la méthode des éléments finis mixtes de Raviart-Thomas de plus bas degré pour des problèmes elliptiques en dimension deux ou trois d'espace est équivalente à un schéma de volumes finis à plusieurs points. Après avoir étudié ce schéma, nous l'appliquons à la discrétisation d'équations de convection-réaction-diffusion paraboliques non linéaires. Cette approche permet de réduire le temps de calcul de la méthode des éléments finis mixtes, tout en conservant sa très grande précision, ce qui est confirmé par les tests numériques. Enfin, au chapitre 4, nous proposons une version de la méthode des éléments finis mixtes de Raviart-Thomas de plus bas degré pour la résolution de problèmes elliptiques sur un système de polygones bidimensionnels placés dans l'espace tridimensionnel, démontrons qu'elle est bien posée et étudions sa relation avec la méthode des éléments finis non conformes. Ces résultats sont finalement appliqués à la simulation de l'écoulement de l'eau souterraine dans un système de polygones représentant un réseau de fractures perturbant un massif rocheux.

Nous abordons le développement d'une nouvelle génération de méthodes numériques pour la résolution des EDP évolutives qui modélisent des phénomènes multi-échelles en temps et en espace issus de divers domaines applicatifs. La raideur associée à ce type de problème, que ce soit via le terme source chimique qui présente un large spectre d'échelles de temps caractéristiques ou encore via la présence de fort gradients très localisés associés aux fronts de réaction, implique en général de sévères difficultés numériques. En conséquence, il s'agit de développer des méthodes qui garantissent la précision des résultats en présence de forte raideur en s'appuyant sur des outils théoriques solides, tout en permettant une implémentation aussi efficace. Même si nous étendons ces idées à des systèmes plus généraux par la suite, ce travail se focalise sur les systèmes de réaction-diffusion raides. La base de la stratégie numérique s'appuie sur une décomposition d'opérateur spécifique, dont le pas de temps est choisi de manière à respecter un niveau de précision donné par la physique du problème, et pour laquelle chaque sous-pas utilise un intégrateur temporel d'ordre élevé dédié. Ce schéma numérique est ensuite couplé à une approche de multirésolution spatiale adaptative permettant une représentation de la solution sur un maillage dynamique adapté. L'ensemble de cette stratégie a conduit au développement du code de simulation générique 1D/2D/3D académique MBARETE de manière à évaluer les développements théoriques et numériques dans le contexte de configurations pratiques raides issue de plusieurs domaines d'application. L'efficacité algorithmique de la méthode est démontrée par la simulation d'ondes de réaction raides dans le domaine de la dynamique chimique non-linéaire et dans celui de l'ingénierie biomédicale pour la simulation des accidents vasculaires cérébraux caractérisée par un terme source "chimique complexe''. Pour étendre l'approche à des applications plus complexes et plus fortement instationnaires, nous introduisons pour la première fois une technique de séparation d'opérateur avec pas de temps adaptatif qui permet d'atteindre une précision donnée garantie malgré la raideur des EDP. La méthode de résolution adaptative en temps et en espace qui en résulte, étendue au cas convectif, permet une description consistante de problèmes impliquant une très large palette d'échelles de temps et d'espace et des scénarios physiques très différents, que ce soit la propagation des décharges répétitives pulsées nanoseconde dans le domaine des plasmas ou bien l'allumage et la propagation de flammes dans celui de la combustion. L'objectif de la thèse est l'obtention d'un solveur numérique qui permet la résolution des EDP raides avec contrôle de la précision du calcul en se basant sur des outils d'analyse numérique rigoureux, et en utilisant des moyens de calculs standard. Quelques études complémentaires sont aussi présentées comme la parallélisation temporelle, des techniques de parallélisation à mémoire partagée et des outils de caractérisation mathématique des schémas de type séparation d'opérateur.

Ce travail s'intéresse aux processus physico-chimiques sous-jacents à l'auto-organisation du vivant, par lesquels une solution de réactifs chimiques, initialement homogène, s'auto-organise spontanément pour laisser apparaître de l'ordre et des structures macroscopiques. L'auto-organisation peut apparaître lors d'un couplage entre des processus réactifs et de la diffusion moléculaire. La présence ou l'absence d'un champ faible, comme la gravité, à un moment critique, précoce dans le processus d'auto-organisation, détermine l'état qui va se développer. Les préparations de microtubules, éléments essentiels du cytosquelette, s'auto-organisent ainsi, spontanément, par des processus de réaction-diffusion. Les morphologies qui se forment, dépendent de la présence de la gravité à un moment critique, précoce dans le processus. Le travail expérimental présenté a principalement concerné l'étude de l'effet des champs externes sur les préparations de microtubules. J'ai montré que l'on peut obtenir des conditions d'apesanteur au sol et que, dans ces conditions, les microtubules ne s'auto-organisent pas. Ceci peut être corrigé grâce à d'autres facteurs externes. En parallèle, j'ai développé un modèle numérique de réaction-diffusion, fondé sur la dynamique d'une population de microtubules, qui simule l'auto-organisation microtubulaire. Dans ce travail sont présentés les fondements du modèle et nous discutons de la façon dont un dialogue permanent, entre la simulation et les expériences, nous a aidé à développer une compréhension microscopique de ces phénomènes collectifs. Les simulations numériques ont permis de reproduire l'ensemble des observations expérimentales.

La microfluidique de gouttes - i.e. l'emploi de gouttelettes comme microréacteurs - offre de nombreux avantages pour l'étude des systèmes biologiques. Dans ce travail de thèse, nous présentons une nouvelle approche pour la production et la manipulation de gouttelettes au sein de microcanaux afin de suivre l'avancement de réactions biochimiques au cours du temps. Contrairement aux approches existantes, notre dispositif utilise des gradients de confinement afin de produire et guider une unique goutte vers son lieu de stockage. Ce faisant, deux gouttes de contenus différents peuvent être appariées et fusionnées afin de déclencher une réaction chimique. Les réactifs n'étant pas activement mélangés, un front de réaction se propage alors le long de la goutte fille duquel on peut extraire la cinétique de la réaction. Nous commençons par l'étude de réactions simples ayant lieu en une étape. Un modèle 1D de réaction-diffusion permet de représenter la dynamique du front de réaction ce qui est vérifié en confrontant les solutions de ce modèle, obtenues numériquement ou analytiquement, à des mesures effectuées en gouttes. Puis, nous nous intéressons au cas des réactions enzymatiques. Nous démontrons d'abord la parallélisation de notre technique d'appariement de gouttes afin de reproduire en microcanal différents tests enzymatiques usuellement effectués en plaque multipuits. Finalement, nous étudions le cas des réactions enzymatiques rapides à l'aide de notre modèle de réaction-diffusion. Là encore, la comparaison d'expériences tenues en gouttes et de prédiction issues de notre modèle nous permet d'extraire une mesure des paramètres cinétiques de la réaction mise en jeu.

Une alternative prometteuse à la lutte chimique pour la régulation des ravageurs de culture consiste à favoriser les populations de leurs prédateurs en jouant sur la structure du paysage agricole. L'identification de structures spatio-temporelles favorables aux ennemis naturels peut se faire par l'exploration de scénarios paysagers via une modélisation couplée de paysages et de dynamiques de population. Dans cette approche, les dynamiques de populations sont simulées sur des paysages virtuels aux propriétés structurales contrôlées, et l'observation des motifs de populations associés permet l'identification de structures favorables. La modélisation des dynamiques de populations repose cependant sur une connaissance fine des processus écologiques et de leur variabilité entre les différentes unités du paysage. L'état actuel des connaissances sur les mécanismes écologiques régissant les dynamiques des ennemis naturels de la famille des carabidés demeure l'obstacle majeur à la recherche in silico de scénarios paysagers favorables. La littérature sur les liens entre motifs de population de carabes et variables paysagères permet de formuler un ensemble d'hypothèses en compétition sur ces mécanismes. Réduire le nombre de ces hypothèses en analysant les convergences entre les motifs de population qui leur sont associés, et étudier la stabilité de ces convergences le long d'un gradient paysager apparaît comme une première étape nécessaire vers l'amélioration de la connaissance sur les processus écologiques. Dans une première partie, nous proposons une heuristique méthodologique basée sur la simulation de modèles de réaction-diffusion porteurs de ces hypothèses en compétition. L'étude des motifs de population a permis d'effectuer une typologie des modèles en fonction de leur réponse à une variable paysagère, via un algorithme de classification, réduisant ainsi le nombre d’hypothèses en compétition. La sélection de l'hypothèse la plus plausible parmi cet ensemble irréductible doit s'effectuer sur la base d'une observation des motifs de population sur le terrain. Cela implique que ces derniers soient caractérisés à des résolutions spatiales et temporelles suffisantes pour sélectionner une unique hypothèse parmi celles en compétition. Dans la deuxième partie, nous proposons une heuristique méthodologique permettant de déterminer a priori des stratégies d'échantillonnage maximisant la robustesse de la sélection d'hypothèses écologiques. Dans un premier temps, la simulation de modèles de réaction-diffusion représentatifs des hypothèses écologiques en compétition permet de générer des données biologiques virtuelles en tout point de l'espace et du temps. Ces données biologiques sont ensuite échantillonnées suivant des protocoles différant dans l'effort total d'échantillonnage, le nombre de dates, le nombre de points par unité d'espace et le nombre de réplicats de paysages. Les motifs des populations sont caractérisés à partir de ces échantillons. Le potentiel des stratégies d'échantillonnage est évalué via un algorithme de classification qui classe les modèles biologiques selon les motifs de population associés. L'analyse des performances de classification, i.e. la capacité de l'algorithme à discriminer les processus écologiques, permet de sélectionner un protocole d'échantillonnage optimal. Nous montrons également que la manière de distribuer l'effort d'échantillonnage entre ses composantes spatiales et temporelles est un levier majeur sur l'inférence des processus écologiques. La réduction du nombre d'hypothèses en compétition et l'aide à l'échantillonnage pour la sélection de modèles répondent à un besoin fort dans le processus d'acquisition de connaissances écologiques pour l'exploration in silico de scénarios paysagers favorisant des services écosystémiques. Nous discutons dans une dernière partie des implications de nos travaux et de leurs perspectives d'amélioration. / A promising alternative to the chemical control of pests consists in favoring their natural enemies populations by managing the agricultural landscape structure. Identifying favorable spatio-temporal structures can be performed through the exploration of landscape scenarios using coupled models of landscapes and population dynamics. In this approach, population dynamics are simulated on virtual landscapes with controlled properties, and the observation of population patterns allows for the identification of favorable structures. Population modeling however relies on a good knowledge about the ecological processes and their variability within the landscape elements. Current state of knowledge about the ecological mechanisms underlying natural enemies’ of the carabid family population dynamics remains a major obstacle to in silico investigation of favorable landscape scenarios. Literature about the relationship between carabid population and landscape properties allows the formulation of competing hypotheses about these processes. Reducing the number of these hypotheses by analyzing the convergence between their associated population patterns and investigating the stability of their convergence along a landscape gradient appears to be a necessary tep towards a better knowledge about ecological processes. In a first step, we propose a heuristic method based on the simulation of reaction-diffusion models carrying these competing hypotheses. Comparing the population patterns allowed to set a model typology according to their response to the landscape variable, through a classification algorithm, thus reducing the initial number of competing hypotheses. The selection of the most likely hypothesis from this irreducible set must rely on the observation of population patterns on the field. This implies that population patterns are described with spatial and temporal resolutions that are fine enough to select a unique hypothesis among the ones in competition. In the second part, we propose a heuristic method that allows determining a priori sampling strategies that maximize the robustness of ecological hypotheses selection. The simulation of reaction-diffusion models carrying the ecological hypotheses allows to generate virtual population data in space and time. These data are then sampled using strategies differing in the total effort, number of sampling locations, dates and landscape replicates. Population patterns are described from these samples. The sampling strategies are assessed through a classification algorithm that classifies the models according to the associated patterns. The analysis of classification performances, i.e. the ability of the algorithm to discriminate the ecological processes, allows the selection of optimal sampling designs. We also show that the way the sampling effort is distributed between its spatial and temporal components is strongly impacting the ecological processes inference. Reducing the number of competing ecological hypotheses, along with the selection of sampling strategies for optimal model inference both meet a strong need in the process of knowledge improvement about the ecological processes for the exploration of landscape scenarios favoring ecosystem services. In the last chapter, we discuss the implications and future prospects of our work.

Motivated by the existence of complex behaviors arising from interactions between chemistry and fluid dynamics in numerous research problems and every-day life situations, we theoretically investigate the dynamics resulting from the interplay between chemistry, diffusion, and fluid motions in a reactive aqueous solution. As a chemical reaction induces changes in the temperature and in the composition of the reactive medium, such a reaction can modify the properties of the solution (density, viscosity, surface tension,…) and thereby trigger convective motions, which in turn affect the reaction. Two classes of convective flows are commonly occurring in solutions open to air, namely Marangoni flows arising from surface tension gradients and buoyancy flows driven by density gradients. As both flows can be induced by compositional changes as well as thermal changes and in turn modify them, the resulting experimental dynamics are often complex. The purpose of our thesis is to gain insight into these intricate dynamics thanks to the theoretical analysis of model systems where only one type of convective flow is present. In particular, we numerically study the spatio-temporal evolution of model chemical fronts resulting from the coupling between reactions, diffusion, and convection. Such fronts correspond to self-organized interfaces between the products and the reactants, which typically have different density and surface tension. Fluid motions are therefore spontaneously induced due to these differences across the front.<p><p>In this context, we first address the propagation of a model autocatalytic front in a horizontal solution layer, in the presence of pure Marangoni convection on the one hand and of pure buoyancy convection on the other hand. We evidence that, in both cases, the system attains an asymptotic dynamics characterized by a steady fluid vortex traveling with the front at a constant speed. The presence of convection results in a deformation and acceleration of the chemical front compared to the reaction-diffusion situation. However we note important differences between the Marangoni and buoyancy cases that could help differentiate experimentally between the influence of each hydrodynamic effect arising in solutions open to the air. We also consider how the kinetics and the exothermicity of the reaction influence the dynamics of the system. The propagation of an isothermal front occurring when two diffusive reactants are initially separated and react according to a simple bimolecular reaction is next studied in the presence of chemically-induced buoyancy convection. We show that the reaction-diffusion predictions established for convection-free systems are modified in the presence of fluid motions and propose a new way to classify the various possible reaction-diffusion-convection dynamics./En induisant des changements de composition et de température, une réaction chimique peut modifier les propriétés physiques (densité, viscosité, tension superficielle,…) de la solution dans laquelle elle se déroule et ainsi générer des mouvements de convection qui, à leur tour, peuvent affecter la réaction. Les deux sources de convection les plus courantes en solution ouverte à l’air sont les gradients de tension superficielle, ou effets Marangoni, et les gradients de densité. Comme ces deux sources sont en compétition et peuvent toutes deux résulter de différences de concentration ou de température, les dynamiques observées expérimentalement sont souvent complexes. Le but de notre thèse est de contribuer à la compréhension de telles dynamiques par une étude théorique analysant des modèles réaction-diffusion-convection simples. En particulier, nous étudions numériquement l’évolution spatio-temporelle de fronts chimiques résultant du couplage entre chimie non-linéaire, diffusion et hydrodynamique. Ces fronts constituent l’interface auto-organisée entre les produits et les réactifs qui typiquement ont des densités et tensions superficielles différentes. Des mouvements du fluide peuvent dès lors être spontanément initiés dus à ces différences au travers du front.<p> <p>Dans ce contexte, nous étudions la propagation d’un front chimique autocatalytique se propageant dans une solution aqueuse horizontale, d’une part en la seule présence d’effets Marangoni, et d’autre part en présence uniquement d’effets de densité. Nous avons montré que dans les deux cas, le système atteint une dynamique asymptotique caractérisée par la présence d’un rouleau de convection stationnaire se propageant à vitesse constante avec le front. Ce front est à la fois déformé et accéléré par les mouvements convectifs par rapport à la situation réaction-diffusion. Nous avons mis en évidence d’importantes différences entre les deux régimes hydrodynamiques qui pourraient aider les expérimentateurs à différencier les effets de tension superficielle de ceux de densité générés par la propagation de fronts chimiques en solution. Nous avons également considéré l’influence de la cinétique de réaction ainsi que de l’exothermicité sur la dynamique de ces fronts. Enfin, nous avons étudié la propagation en présence de convection d’un front de réaction impliquant deux espèces de densités différentes, initialement séparées et réagissant selon une cinétique bimoléculaire. Nous avons montré que la convection modifie les propriétés réaction-diffusion du système et nous proposons de nouveaux critères pour classifier les dynamiques réaction-diffusion-convection.<p><p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques. / Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results.