In den letzten Jahren erfreuen sich komplexe Netzwerke einer zunehmenden Beliebtheit, um Zusammenhänge und Strukturen in hoch-dimensionalen Datensätzen zu analysieren. Im Unterschied zu vielen anderen Forschungsgebieten wurden sie jedoch selten auf Paläoklima-Daten angewandt, obwohl die steigende Anzahl an veröffentlichen Zeitreihen die Nutzung effizienter Methoden multivariater Analyse ermöglicht. Die Resultate der wenigen Studien, in denen Netzwerkmethoden und Paläoklima-Daten kombiniert wurden, sind außerdem geprägt von niedriger Robustheit und hohen Unsicherheiten. Dies steht im Zusammenhang zu der niedrigen Anzahl und Auflösung der Zeitreihen als auch den Unsicherheiten, die den meisten Paläoklima-Rekonstruktionen zu eigen sind. In dieser Doktorarbeit schlage ich verschiedene Wege vor, um diese Probleme zu überwinden, indem verlässlichere, quantitative Resultate ermöglicht werden, unter anderem indem die Datenunsicherheiten explizit in die Analyse mit einbezogen werden. Zu diesem Zweck präsentiere ich vier Fallstudien mit einem Fokus auf zwei Zeiträume, das späte Holozän (die letzten zweitausend Jahre) und den Übergang von der letzten Kaltzeit zur aktuellen Warmzeit, die letzte glaziale Termination. Alle diese Studien legen einen räumlichen Fokus auf den Nordatlantik, eine Schlüsselregion globaler Klimavariabilität. Ich beschränke mich hierbei auf zwei Methoden, eine der netzwerkbasierten Zeitreihenanalyse, Sichtbarkeitsgraphen genannt, und eine der räumlichen Analyse, sogenannte Klimanetzwerke. Neben Erweiterungen von existierende Methoden, schlage ich auch neue Wege vor, um verlässliche Resultate auch für Zeitreihen mit hohen Unsicherheiten zu erhalten. Diese Fallstudien demonstrieren, dass Netzwerkmethoden auch für die Analyse von Paläoklima-Daten nützlich sein können. Sie sind daher ein weiterer Schritt hin zu einer künftigen Anwendung durch eine größere Anzahl an Forschenden. / In recent years, complex networks have become an increasingly popular tool to analyse relationships and structures in high-dimensional data sets in a variety of research fields. They have, however, rarely been applied to paleoclimate data sets, even though the growing number of published records demands efficient tools of multivariate analysis. The few published results that combine network methods and paleoclimate proxies are often not robust or have high uncertainty levels, linked tothe low dimensionality, resolution and the large uncertainties of most particulate time series. In this thesis, I propose several ways to overcome these issues in order to obtain reliable and quantitative results from network based tools by taking the particularities of paleoclimate data into account. For this purpose, I present four case studies, focusing on two time periods, the late Holocene (last two millennia) and the transition from the last ice age to the recent warm period, the last deglaciation. These studies are all related to the North Atlantic, a key region in multi-decadal to millennial scale climate variability. I primarily use two methods, one of network based time series analysis named visibility graphs and one of spatial analysis, so called limate networks. I have both further developed existing methods, but also propose new ways to yield reliable results when dealing with highly uncertain paleoclimate data. The case studies demonstrate the usefulness of network based data analysis to study patterns of regional climate variability. Hence, this work is another step in bringing network based approaches to a larger audience and towards a wider application of these methods.

Wir konstruieren Beispiele von Kontaktmannigfaltigkeiten in jeder ungeraden Dimension, welche endliche nicht-triviale algebraische Torsion (im Sinne von Latschev-Wendl) aufweisen, somit straff sind und keine starke symplektische Füllung haben. Wir beweisen, dass Giroux Torsion algebraische 1-Torsion in jeder ungeraden Dimension impliziert, womit eine Vermutung von Massot-Niederkrüger-Wendl bewiesen wird. Wir konstruieren unendlich viele nicht diffeomorphe Beispiele von 5-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten, welche straff sind, keine starke symplektische Füllung zulassen und keine Giroux Torsion haben. Wir erhalten Obstruktionen für symplektische Kobordismen, ohne für deren Beweis die SFT Maschinerie zu verwenden. Wir geben eine provisorische Definition eines spinalen offenen Buchs in höherer Dimension an, basierend auf der vom 3-dimensionalen Fall aus Lisi-van Horn Morris-Wendl. In einem Anhang geben wir in gemeinsamer Autorenschaft mit Richard Siefring eine wesentliche Zusammenfassung der Schnitttheorie für punktierte holomorphe Kurven und Hyperflächen an, welche die 3-dimensionalen Resultate von Siefring auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Mittels der Schnitttheorie erhalten wir eine Anwendung für holomorphe Blätterungen von Kodimension zwei, die wir benutzen um das Verhalten von holomorphem Kurven in unseren Beispielen einzuschränken. / We construct examples in any odd dimension of contact manifolds with finite and non-zero algebraic torsion (in the sense of Latschev-Wendl), which are therefore tight and do not admit strong symplectic fillings. We prove that Giroux torsion implies algebraic 1-torsion in any odd dimension, which proves a conjecture of Massot-Niederkrüger-Wendl. We construct infinitely many non-diffeomorphic examples of 5-dimensional contact manifolds which are tight, admit no strong fillings, and do not have Giroux torsion. We obtain obstruction results for symplectic cobordisms, for which we give a proof not relying on SFT machinery. We give a tentative definition of a higher-dimensional spinal open book decomposition, based on the 3-dimensional one of Lisi-van Horn Morris-Wendl. An appendix written in co-authorship with Richard Siefring gives a basic outline of the intersection theory for punctured holomorphic curves and hypersurfaces, which generalizes his 3-dimensional results to higher dimensions. From the intersection theory we obtain an application to codimension-2 holomorphic foliations, which we use to restrict the behaviour of holomorphic curves in our examples.

Aufgrund der fundamentalen Bedeutung partieller Differentialgleichungen zur Beschreibung von Phänomenen in angewandten Wissenschaften ist deren Analyse ein Kerngebiet der Mathematik. Durch Computer lassen sich die Lösungen für eine Vielzahl dieser Gleichungen näherungsweise bestimmen. Die dabei verwendeten numerischen Verfahren sollen auf möglichst exakte Approximationen führen und deren Genauigkeit verifizieren. Die Least-Squares Finite-Elemente-Methode (LSFEM) und die unstetige Petrov-Galerkin (DPG) Methode sind solche Verfahren. Sie werden in dieser Dissertation untersucht. Der erste Teil der Arbeit untersucht die Genauigkeit der mittels LSFEM berechneten Näherungen. Dazu werden Eigenschaften der zugrundeliegenden Differentialgleichungen mit den Eigenschaften der LSFEM kombiniert. Dies zeigt, dass die Abweichung der berechneten Näherung von der exakten Lösung einem berechenbaren Residuum asymptotisch entspricht. Ferner wird ein Verfahren zu Berechnung einer garantierten oberen Fehlerschranke eingeführt. Während etablierte Fehlerschätzer den Fehler signifikant überschätzt, zeigen numerische Experimente eine äußerst geringe Überschätzung des Fehlers mittels der neuen Fehlerschranke. Die Analyse der Fehlerschranken für das Stokes-Problem offenbart ein Beziehung der LSFEM und der LBB Konstanten. Diese Konstante ist entscheidend für die Existenz und Stabilität von Lösungen in der Strömungslehre. Der zweite Teil der Arbeit nutzt diese Beziehung und entwickelt ein auf der LSFEM basierendes Verfahren zur numerischen Berechnung der LBB Konstanten. Der dritte Teil der Arbeit untersucht die DPG Methode. Dabei werden existierende Anwendungen der DPG Methode zusammengefasst und analysiert. Diese Analyse zeigt, dass sich die DPG Methode als eine leicht gestörte LSFEM interpretieren lässt. Diese Interpretation erlaubt die Anwendung der Resultate aus dem ersten Teil der Arbeit und ermöglicht dadurch eine genauere Untersuchung existierender und die Entwicklung neuer DPG Methoden. / The analysis of partial differential equations is a core area in mathematics due to the fundamental role of partial differential equations in the description of phenomena in applied sciences. Computers can approximate the solutions to these equations for many problems. They use numerical schemes which should provide good approximations and verify the accuracy. The least-squares finite element method (LSFEM) and the discontinuous Petrov-Galerkin (DPG) method satisfy these requirements. This thesis investigates these two schemes. The first part of this thesis explores the accuracy of solutions to the LSFEM. It combines properties of the underlying partial differential equation with properties of the LSFEM and so proves the asymptotic equality of the error and a computable residual. Moreover, this thesis introduces an novel scheme for the computation of guaranteed upper error bounds. While the established error estimator leads to a significant overestimation of the error, numerical experiments indicate a tiny overestimation with the novel bound. The investigation of error bounds for the Stokes problem visualizes a relation of the LSFEM and the Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB) constant. This constant is a key in the existence and stability of solution to problems in fluid dynamics. The second part of this thesis utilizes this relation to design a competitive numerical scheme for the computation of the LBB constant. The third part of this thesis investigates the DPG method. It analyses an abstract framework which compiles existing applications of the DPG method. The analysis relates the DPG method with a slightly perturbed LSFEM. Hence, the results from the first part of this thesis extend to the DPG method. This enables a precise investigation of existing and the design of novel DPG schemes.

Diese Dissertation analysiert BSDEs und PDEs mit singulären Endbedingungen, welche in Problemen der optimalen Portfolioliquidierung auftreten. In den vergangenen Jahren haben Portfolioliquidierungsprobleme in der Literatur zur Finanzmathematik große Aufmerksamkeit erhalten. Ihre wichtigste Eigenschaft ist die singuläre Endbedingung der durch die Liquidierungsbedingung induzierten Wertfunktion, welche eine singuläre Endbedingung der zugehörigen BSDE oder PDE impliziert. Diese Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Das erste Kapitel analysiert ein Portfolioliquidierungsproblem für mehrere Wertpapiere mit sofortigem und anhaltendem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Wir zeigen, dass die Wertfunktion durch eine mehrdimensionale BSRDE mit singulärer Endbedingung beschrieben werden kann. Wir weisen die Existenz einer Lösung dieser BSRDE nach und zeigen, dass diese durch eine Folge von Lösungen von BSRDEs mit endlicher und wachsender Endbedingung approximiert werden kann. Eine neue a priori-Abschätzung für die approximierenden BSRDEs wird für den Nachweis hergeleitet. Das zweite Kapitel betrachtet ein Portfolioliquidierungsproblem mit unbeschränkten Kostenkoeffizienten. Wir weisen die Existenz einer eindeutigen nichtnegativen Viskositätslösung der HJB-Gleichung nach. Das Existenzresultat basiert auf einem neuartigen Vergleichsprinzip für semi-stetige Viskositätssub-/-superlösungen für singuläre PDEs. Stetigkeit der Viskositätslösung ist hinreichend für das Verifikationsargument. Im dritten Kapitel untersuchen wir ein optimales Liquidierungsproblem unter Mehrdeutigkeit der Parameter des Preiseinflusses. In diesem Fall kann die Wertfunktion durch die Lösung einer semilinearen PDE mit superlinearem Gradienten beschrieben werden. Zuerst zeigen wir die Existenz einer Viskositätslösung indem wir unser Vergleichsprinzip für singuläre PDEs erweitern. Sodann weisen wir die Regularität mit einer asymptotischen Entwicklung der Lösung am Endzeitpunkt nach. / This dissertation analyzes BSDEs and PDEs with singular terminal condition arising in models of optimal portfolio liquidation. Portfolio liquidation problems have received considerable attention in the financial mathematics literature in recent years. Their main characteristic is the singular terminal condition of the value function induced by the liquidation constraint, which translates into a singular terminal state constraint on the associated BSDE or PDE. The dissertation consists of three chapters. The first chapter analyzes a multi-asset portfolio liquidation problem with instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience. We show that the value function can be described by a multi-dimensional BSRDE with a singular terminal condition. We prove the existence of a solution to this BSRDE and show that it can be approximated by a sequence of the solutions to BSRDEs with finite increasing terminal condition. A novel a priori estimate for the approximating BSRDEs is established for the verification argument. The second chapter considers a portfolio liquidation problem with unbounded cost coefficients. We establish the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub-/supersolutions for singular PDEs. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument. The third chapter studies an optimal liquidation problem under ambiguity with respect to price impact parameters. In this case the value function can be characterized by the solution to a semilinear PDE with superlinear gradient. We first prove the existence of a solution in the viscosity sense by extending our comparison principle for singular PDEs. Higher regularity is then established using an asymptotic expansion of the solution at the terminal time.

Für eine Primzahl p, sei L eine endliche Erweiterung von $QQ_p$ mit Ganzheitsring $O_L$ und Restklassenk\"{o}rper $kk_L$. Sei ferner n eine positive ganze Zahl. In dieser Arbeit beschreiben wir die Kategorie der endlich erzeugten stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz der absoluten Galoisgruppe $G_L$ von L mit Koeffizienten in $O_L$, unter Verwendung einer verallgemeinerten Version der $(phi, Gamma)$-Moduln von Fontaine. In Kapitel 4 beweisen wir, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlichen dimensionalen $kk_L$-Vektorräumen und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $kk_L$ äquivalent sind. In Kapitel 5 erweitern wir diese Äquivalenz, um zu beweisen, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlich erzeugten $O_L$-Moduln und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $O_L$ äquivalent sind. Einerseits erhalten wir, wenn wir n=1 und L willkürlich lassen, die Verfeinerung von Fontaine ursprünglicher Konstruktion gemäß Kisin, Rin und Schneider, die Lubin-Tate Theorie verwenden. Wenn wir andererseits n willkürlich lassen und $L=QQ_p$, erhalten wir die Theorie von Zábrádi von multivariablen zyklotomischen $(phi, Gamma)$-Moduln, die Fontaines Verwendung einer einzelnen freien Variablen verallgemeinert. Daher bietet unsere Arbeit einen gemeinsamen Rahmen für diese beiden Verallgemeinerungen. / For a prime number p, let L be a finite extension of $QQ_p$ with ring of integers $O_L$ and residue field $kk_L$. We also let n be a positive integer. In this thesis we describe the category of finitely generated continuous representations of the n-th direct power of the absolute Galois group $G_L$ of L with coefficients in $O_L$ using a generalized version of Fontaine's $(phi, Gamma)$-modules. In Chapter 4 we prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finite dimensional $kk_L$-vector spaces is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $kk_L$. In Chapter 5 we extend this equivalence to prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finitely generated $O_L$-modules is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $O_L$. On the one hand, if we let n=1 and $L$ be arbitrary, we obtain the refinement of Fontaine's original construction due to Kisin, Rin and Schneider, which uses Lubin-Tate theory. On the other hand, if we let n be arbitrary and $L=QQ_p$, we recover Zábrádi's theory of multivariable cyclotomic $(phi,Gamma)$-modules that generalizes Fontaine's use of a single free variable. Therefore, our thesis provides a common framework for both of these generalizations.

Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit der optimalen Steuerung von einem Cahn–Hilliard–Navier–Stokes-System mit variablen Flüssigkeitsdichten. Dabei konzentriert sie sich auf das Doppelhindernispotential, was zu einem optimalen Steuerungsproblem einer Gruppe von gekoppelten Systemen, welche eine Variationsungleichung vierter Ordnung sowie eine Navier–Stokes-Gleichung beinhalten, führt. Eine geeignete Zeitdiskretisierung wird präsentiert und zugehörige Energieabschätzungen werden bewiesen. Die Existenz von Lösungen zum primalen System und von optimalen Steuerungen für das ursprüngliche Problem sowie für eine Gruppe von regularisierten Problemen wird etabliert. Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für die regularisierten Probleme werden hergeleitet. Mittels eines Grenzübergangs in Bezug auf den Regularisierungsparameter werden Stationaritätsbedingungen für das ursprüngliche Problem etabliert, welche einer Form von C-Stationarität im Funktionenraum entsprechen. Weiterhin wird ein numerischer Lösungsalgorithmus für das Steuerungsproblem basierend auf einer Strafmethode entwickelt, welche die Moreau–Yosida-artigen Approximationen des Doppelhindernispotentials einschließt. In diesem Zusammenhang wird ein dual-gewichteter Residuenansatz für zielorientierte adaptive finite Elemente präsentiert, welcher auf dem Konzept der C-Stationarität beruht. Die numerische Realisierung des adaptiven Konzepts und entsprechende numerische Testergebnisse werden beschrieben. Die Lipschitzstetigkeit des Steuerungs-Zustandsoperators des zugehörigen instantanen Steuerungsproblems wird bewiesen und dessen Richtungsableitung wird charakterisiert. Starke Stationaritätsbedingungen für dieses Problem werden durch die Anwendung einer Technick von Mignot und Puel hergeleitet. Basierend auf der primalen Form der Bouligard-Ableitung wird ein impliziter numerischer Löser entwickelt, dessen Implentierung erläutert und anhand von numerischen Resultaten illustriert wird. / This thesis is concerned with the optimal control of a Cahn–Hilliard–Navier–Stokes system with variable fluid densities. It focuses on the double-obstacle potential, which yields an optimal control problem for a family of coupled systems in each time instant of a variational inequality of fourth order and the Navier–Stokes equation. A suitable time-discretization is presented and associated energy estimates are proven. The existence of solutions to the primal system and of optimal controls is established for the original problem as well as for a family of regularized problems. The consistency of these approximations is shown and first order optimality conditions for the regularized problems are derived. Through a limit process with respect to the regularization parameter, a stationarity system for the original problem is established, which corresponds to a function space version of ε-almost C-stationarity. Moreover, a numerical solution algorithm for the optimal control problem is developed based on a penalization method involving the Moreau–Yosida type approximations of the double-obstacle potential. A dual-weighted residual approach for goal-oriented adaptive finite elements is presented, which is based on the concept of C-stationarity. The overall error representation depends on dual weighted primal residuals and vice versa, supplemented by additional terms corresponding to the complementarity mismatch. The numerical realization of the adaptive concept is described and a report on numerical tests is provided. The Lipschitz continuity of the control-to-state operator of the corresponding instantaneous control problem is verified and its directional derivative is characterized. Strong stationarity conditions for the instantaneous control problem are derived. Utilizing the primal notion of B-differentiability, a bundle-free implicit programming method is developed. Details on the numerical implementation are given and numerical results are included.

Die Relaxation in der Variationsrechnung führt zu Minimierungsaufgaben mit einer quasi-konvexen Energiedichte. In der nichtlinearen Elastizität, Topologieoptimierung, oder bei Mehrphasenmodellen sind solche Energiedichten konvex mit einer zusätzlichen Kontrolle in der dualen Variablen und einem beidseitigem Wachstum der Ordnung $p$. Diese Minimierungsprobleme haben im Allgemeinen mehrere Lösungen, welche dennoch eine eindeutige Spannung $\sigma$ definieren. Die Approximation mit der „hybrid high-order“ (HHO) Methode benutzt eine Rekonstruktion des Gradienten in dem Raum der stückweisen Raviart-Thomas Finiten Elemente ohne Stabilisierung auf einer Triangulierung in Simplexen. Die Anwendung dieser Methode auf die Klasse der degenerierten, konvexen Minimierungsprobleme liefert eine eindeutig bestimmte, $H(\div)$ konforme Approximation $\sigma_h$ der Spannung. Die a priori Abschätzungen in dieser Arbeit gelten für gemischten Randbedingungen ohne weitere Voraussetzung an der primalen Variablen und erlauben es, Konvergenzraten bei glatten Lösungen vorherzusagen. Die a posteriori Analysis führt auf garantierte obere Fehlerschranken, eine berechenbare untere Energieschranke, sowie einen konvergenten adaptiven Algorithmus. Die numerischen Beispiele zeigen höhere Konvergenzraten mit zunehmenden Polynomgrad und bestätigen empirisch die superlineare Konvergenz der unteren Energieschranke. Obwohl der Fokus dieser Arbeit auf die nicht stabilisierte HHO Methode liegt, wird eine detaillierte Fehleranalysis für die stabilisierte Version mit einer Gradientenrekonstruktion im Raum der stückweisen Polynome präsentiert. / The relaxation procedure in the calculus of variations leads to minimization problems with a quasi-convex energy density. In some problems of nonlinear elasticity, topology optimization, and multiphase models, the energy density is convex with some convexity control plus two-sided $p$-growth. The minimizers may be non-unique in the primal variable, but define a unique stress variable $\sigma$. The approximation by hybrid high-order (HHO) methods utilizes a reconstruction of the gradients in the space of piecewise Raviart-Thomas finite element functions without stabilization on a regular triangulation into simplices. The application of the HHO methodology to this class of degenerate convex minimization problems allows for a unique $H(\div)$ conform stress approximation $\sigma_h$. The a priori estimates for the stress error $\sigma - \sigma_h$ in the Lebesgue norm are established for mixed boundary conditions without additional assumptions on the primal variable and lead to convergence rates for smooth solutions. The a posteriori analysis provides guaranteed error control, including a computable lower energy bound, and a convergent adaptive scheme. Numerical benchmarks display higher convergence rates for higher polynomial degrees and provide empirical evidence for the superlinear convergence of the lower energy bound. Although the focus is on the unstabilized HHO method, a detailed error analysis is provided for the stabilized version with a gradient reconstruction in the space of piecewise polynomials.

Es sei Γ eine torsionsfreie arithmetische Untergruppe der symplektischen Gruppe Sp(n,R), die auf dem Siegelschen oberen Halbraum H_n vom Grad n wirkt. Wir betrachten den d-dimensionalen Raum der Siegelschen Spitzenformen vom Gewicht k zur Gruppe Γ, mit einer Orthonormalbasis {f_1,…,f_d}. In der vorliegenden Dissertation zeigen wir mit Hilfe des Wärmeleitungskerns, dass die Supremumsnorm von S_k(Z):=det(Y)^k (|f_1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) für n=2 ohne zusätzliche Bedingungen und für n>2 unter Annahme einer vermuteten Determinanten-Ungleichung nach oben beschränkt ist. Wenn M:=Γ\H_n kompakt ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} gegeben. Wenn M nicht kompakt und von endlichem Volumen ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} gegeben. In beiden Fällen ist c_(n,Γ) eine positive reelle Konstante, die nur vom Grad n und der Gruppe Γ abhängt. Wir zeigen weiter, dass die obere Schranke in dem Sinne gleichmäßig ist, dass bei fixierter Gruppe Γ_0 die Konstante c_(n,Γ) für Untergruppen Γ von endlichem Index nur vom Grad n und der Gruppe Γ_0 abhängt. / Let Γ be a torsion-free arithmetic subgroup of the symplectic group Sp(n,R) acting on the Siegel upper half-space H_n of degree n. Consider the d-dimensional space of Siegel cusp forms of weight k for Γ with an orthonormal basis {f_1,…,f_d}. In this thesis we show using the heat kernel method that for n=2 unconditionally and for n>2 subject to a conjectural determinant-inequality, the sup-norm of the quantity S_k(Z):=det(Y)^k (|f1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) is bounded above by c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} when M:=Γ\H_n is compact and by c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} when M is non-compact of finite volume, where c_(n,Γ) denotes a positive real constant depending only on the degree n and the group Γ. Furthermore, we show that this bound is uniform in the sense that if we fix a group Γ_0 and take Γ to be a subgroup of Γ_0 of finite index, then the constant c_(n,Γ) in these bounds depends only on the degree n and the fixed group Γ_0.

Die Analyse von Proxy-Zeitreihen aus Paläoklimaarchiven wie zum Beispiel Baumringen, Seesedimenten, Tropfsteinen und Eisbohrkernen mittels gefensterter Rekurrenznetzwerkanalyse ermöglicht die Identifizierung und Charakterisierung dynamischer Anomalien in der Klimavariabilität der Vergangenheit. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung einer zuverlässigeren Routine zur gefensterten Rekurrenznetzwerkanalyse. Aufbauend auf dem bestehenden methodischen Rahmen werden die Bereiche der Phasenraumrekonstruktion und des Signifikanztests als verbesserungsfähig identifiziert. Deshalb werden verschiedene Methoden zur Rekonstruktion des Phasenraums aus unregelmäßig abgetasteten, verrauschten Daten verglichen. Außerdem wird ein allgemeiner flächenweiser Signifikanztest eingeführt, der, basierend auf einem ausgewählten Nullmodell, Korrelationen in den Analyseergebnissen numerisch abschätzt, um damit das Problem hoher Raten an falsch positiv signifikanten Ergebnissen zu adressieren. Im zweiten Teil der Arbeit wird die entwickelte Methodik genutzt, um die nichtlineare Variabilität des Klimas der Vergangenheit in Nord- und Südamerika zu untersuchen, indem vier reale Zeitreihen verschiedener Proxys studiert werden. Außerdem werden Proxy-System-Modelle genutzt, um auf die Frage der Eignung von Daten verschiedener Paläoklimaarchive zur Charakterisierung der Klimavariabilität mittels gefensterter Rekurrenznetzwerkanalyse einzugehen. Mit der Arbeit wird der Einsatz nichtlinearer Methoden zur Analyse von Paläoklima-Zeitreihen vorangebracht, das Potential und die Grenzen der gefensterten Rekurrenznetzwerkanalyse aufgezeigt und zukünftige relevante Fragestellungen, die die erhaltenen Ergebnisse und Schlussfolgerungen komplementieren können, identifiziert. / Studying palaeoclimate proxy data from archives such as tree rings, lake sediments, speleothems, and ice cores using windowed recurrence network analysis offers the possibility to characterise dynamical anomalies in past climate variability. This thesis aims at developing a more reliable framework of windowed recurrence network analysis by comparing different phase space reconstruction approaches for non-uniformly sampled noisy data and by tackling the problem of increased numbers of false positive significant points when correlations within the analysis results can not be neglected. For this, different phase space reconstruction approaches are systematically compared and a generalised areawise significance test which implements a numerical estimation of the correlations within the analysis results is introduced. In particular, the test can be used to identify patches of possibly false positive significant points. The developed analysis framework is applied to detect and characterise dynamical anomalies in past climate variability in North and South America by studying four real-world palaeoclimatic time series from different archives. Furthermore, the question whether palaeoclimate proxy time series from different archives are equally well suited for tracking past climate dynamics with windowed recurrence network analysis is approached by using the framework of proxy system modelling. This thesis promotes the use of non-linear methods for analysing palaeoclimate proxy time series, provides a detailed assessment of potentials and limitations of windowed recurrence network analysis and identifies future research directions that can complement the obtained results and conclusions.

Diese Dissertation behandelt arithmetische Eigenschaften von Familien algebraischer Varietäten und deren speziellen Untervarietäten. Im ersten Kapitel definieren wir sogenannte absolut spezielle Untervarietäten mithilfe von Delignes Begriff der absoluten Hodgeklassen. Ausgehend von der Vermutung, dass alle Hodgeklassen absolute Hodgeklassen sind, erwarten wir, dass alle speziellen Untervarietäten absolut speziell sind. Wir beweisen diese Erwartung für Untervarietäten, die eine bestimmte Monodromiebedingung erfüllen. Das zweite Kapitel führt eine l-adische Version von speziellen Untervarietäten ein, die wir l-Galois spezielle Untervarietäten nennen. Wir studieren bewiesene und vermutete Eigenschaften dieser Untervarietäten und deren Zusammenhang zur Struktur des l-Galois exzeptionellen Locus und zur Mumford-Tate Vermutung. Im dritten Kapitel beweisen wir eine Rapoport-Zink Uniformisierung für den Modulraum der primitiv polarisierten K3 Flächen und kubischen Vierfaltigkeiten mit supersingulärer Reduktion. In beiden Fällen ist der Modulraum uniformisiert von einer explizit definierten rigid analytischen Untervarietät einer lokalen Shimura-Varietät von orthogonalem Typ. / This thesis studies arithmetic aspects of families of algebraic varieties and their special subvarieties. In the first part, we use Deligne's framework of absolute Hodge classes to define a notion of absolutely special subvarieties. The conjecture that all Hodge classes are absolute Hodge predicts that every special subvariety is absolutely special. We prove this prediction for subvarieties satisfying a certain monodromy condition. The second part introduces an l-adic analog of special subvarieties that we call l-Galois special subvarieties. We study the properties of these subvarieties and discuss how known and unknown properties of l-Galois special subvarieties are related to the structure of the l-Galois exceptional locus and to the Mumford-Tate conjecture. In the third chapter, we prove a Rapoport-Zink type uniformization result for the moduli space of polarized K3 surfaces and cubic fourfolds. We show that in both cases, the tube over the supersingular locus of the moduli space is uniformized by an explicitly described rigid analytic open subvariety of a local Shimura variety of orthogonal type.